【文档说明】《精准解析》浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.304 MB，由小赞的店铺上传

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丽水发展协作体2022-2023学年上学期期末考试高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选

择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合01Axx=，220Bxxx=−，则AB=（）A.)0,+B.0,1C.(0,1D.)0,1【答案】C【

解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合B，由交集定义可得结果.【详解】由220xx−得：02x，即0,2B=，又(0,1A=，(0,1AB=.故选：C.2.设34iz=+，则iizz+−=（）A.12i−+B.12i−−C.12i+D.12i−【答案】

B【解析】【分析】根据共轭复数的概念以及复数的乘法运算，即可得答案.【详解】因为34iz=+，所以34iz=−，则34i)i+34ii4+3i+34ii12iii(zz+−+−−=−−−=−−=，故选：B3.已知向量||2,||1,||3abab==+=，则ab−=（）A.5B.6C.7D

.22【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的模的运算求解.【详解】解：因为向量||2,||1,||3abab==+=，所以2223abab++=，解得1ab=−，所以22||27ababab−=+−=，故选

：C4.已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（）A.3B.33C.D.3【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解.【详解】解：设圆锥的母线为l，由题意得2121l=，解得2l=，所以圆锥的高为2

23hlr=−=，所以圆锥的体积为2211313333Vrh===，故选：B5.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书3本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A.110

B.15C.310D.25【答案】A【解析】【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将3本书排序，然后将2本语文书插入中间2个空，所以，同一科目的书都不相邻的概率是323255AA1A10P==.故选：A.6.将函数()()sin

(0)fxx=的图像向右平移23个单位长度得到的图像与原图像重合，则的最小值为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析】由题有()2233ππsinsinsinωωxωxωx−=−=

，据此可得答案.【详解】由题有()2233ππsinsinsinωωxωxωx−=−=，则223ππ,Zωkk=，得3,Zkk=，结合0，得3=.故选：B7.已知e333,e,πabc===，则（）A.ca

bB.bcaC.acbD.cba【答案】D【解析】【分析】先比较,bc的值，然后构造新函数利用函数导数与单调性比较,ab即可.【详解】因为1<e<π，所以331<eπ，所以cb，设()ln,0xfxxx=，则()21lnxfxx−=，令

()0efxx==，当0ex时，()0fx¢>，当ex时，()0fx，所以()fx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，因为e3，所以lneln3e3，因为3e0，所以3lneeln3，即3elneln3，由函数lnyx=在()0,

+上单调递增，所以3ee3，即ba，所以cba，故选：D.8.将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体BACD−体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）A.13B.15C.110D.112【答案】C【解析】【分析】当平面BAC⊥平面

DAC时，四面体BACD−的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.【详解】不妨设菱形的边长为3，2ACx=，03x，外接球半径为R，

内切球半径为r，取AC中点为O，连接,,OBODBD，因为BABC=，所以2,3BOACBOx⊥=−，当平面BAC⊥平面DAC时，平面BAC平面DACAC=，BO平面BAC，所以BO⊥平面DAC，此时四面体BACD−的高最大为23BOx=−，因为D

ADC=，所以2,3,DOACDOx⊥=−2132DACSACDOxx==−△所以311(3)3,303BACDDACVSBOxxx−==−+△，221(33)(1)3BACDVxx−=−+=−−，令2(1)0BACDVx−=−−解得01x，令2(1)0BACDV

x−=−−解得13x，所以31(4)3BACDVxx−=−+在()0,1单调递增，()1,3单调递减，所以当1x=时BACDV−最大，最大体积为()121333BACDV−=−+=，此时2222,2,2ACxDOBOB

DDOBO=====+=，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为,,abc，则有222222334abacbc+=+=+=解得222122abc===，所以222245Rabc=++=，所以外接球的表面积为24π5πR=，232,BACDACSSx

x==−=△△又因为3,2BADABD===，所以2211222BADSBDBABD=−=△，3,2BCDCBD===，所以2211222BCDSBDBCBD=−=△，所以()3132DACBACBADBCDACDBSV

SSSr−+++==△△△△，所以24r=，所以内切球的表面积为214ππ2r=，所以内切球和外接球表面积之比为1π125π10=，故选:C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知正方体1111,ABCDABCDE−是1BC中点，则（）A.//AE面11ABBB.1BDAC⊥C.11AEAD⊥D.1AE⊥平面11BCCB【答案】BC【解析】【分析】AE与平面11ABB相交于点A，判断选项A，体对角线与异面

的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形11ABC中E为中点，判断选项C，1AE不垂直于平面11BCCB，判断选项D.【详解】AE与平面11ABB相交于点A，故选项A错误；1,ACDDACBD⊥⊥,1,BDDD面1BDDAC⊥面1BDD1BD面1B

DDAC⊥1BD,故选项B正确；连接111,ABAC,11ABCV为等边三角形，E为1BC中点，11AEBC⊥,11//ADBC,则11AEAD⊥故选项C正确；由于111ABBC⊥,故1AE不垂直于1BC，1AE不垂直于平面11BCCB，故选项D错误.故选：B

C.10.已知函数()fx定义域为R，且()()00,11ffx=−+为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数()fx对称中心为()1,1B.()110f−+=C.()()312ff+−=−D.()()312ff−+=−【答案】BD【解析】【分析】根据奇函数的定义与

性质逐项分析判断.【详解】令()()11gxfx=−+对A：()gx可以认为是由()fx向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，若()gx为奇函数，则()gx的对称中心为()0,0，故函数()fx对称中心为()1,1−−，A错误；对B：若()gx为定义在R上的奇函数，则()()0

110gf=−+=，B正确；对C、D：若()gx为奇函数，则()()0gxgx−+−=，即()()11110fxfx−++−−+=，得()()112fxfx−+−−=−，令4x=，得()()352ff+−=−，但无法

确定()1f−与()5f−是否相等，C错误；令2x=，得()()132ff+−=−，D正确；故选：BD11.抛物线2:4Cxy=，过焦点F的直线l与抛物线C交于,AB两点（点A在第一象限），()0,1M−，

则下列说法正确的是（）A.AB最小值为4B.AMB有可能是钝角C.当直线l的倾斜角为π6时，AFM△与BFM面积之比为3D.当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，AB4=【答案】ACD【解析】【分析】设直线l方程为1ykx=+，联立抛物线方程得根与系数的关系，利用抛物线弦长

公式可判断A;利用向量的夹角公式计算24cos0||||||||MAMBkAMBMAMBMAMB==，可判断B;求得122323,3xx==−，.根据AFM△与BFM面积之比为11221||||||2

1||||||2MFxxxMFx=，可判断C;利用直线和抛物线相切，求出切线斜率，求出切点，继而求得l的方程，可得B点坐标，即可求得AB，判断D.【详解】抛物线2:4Cxy=的焦点为(0,1)，过焦点F的直线l与抛物线C交于,AB两点,对于A，由题意知l的斜率必存在，设直线l方程

为1ykx=+，设1122(,),(,)AxyBxy，联立214ykxxy=+=，则2440xkx−−=，216(1)0k=+，则12124,4xxkxx+==−，则21212()242yykxxk+=++=+，故212

2444yAByk++=+=，0k=时取等号，即AB最小值为4，A正确；对于B，1122(,1),(,1)MAxyMBxy=+=+，故211221212(,1)(,1)(1)2()4MAMBxyxykxxkxx=++=++++22(1)(4)24

44kkkk=+−++=，则24cos0||||||||MAMBkAMBMAMBMAMB==，即AMB不可能是钝角，B错误；对于C,当直线l的倾斜角为π6时,直线l方程为313yx=+,由A的分析知2440xkx−−=即243403xx−−=，解得12232

3,3xx==−，又AFM△与BFM面积之比为11221||||||231||||||2MFxxxMFx==，C正确；对于D，因为点A在第一象限，当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，直线AM与抛物线C一定相切，直线AM的斜率存在，设直线

AM的方程为1ymx=−，所以由214ymxxy=−=，得到2440xmx−+=，故216160,1mm=−==，又因为点A在第一象限，所以0m，则1m=，则2440xmx−+=即2440xx−+=，解得12x=，故(2,1A），此时直线l的斜率为11020−=−，即直

线l的方程为1y=，此时(2,1B−）,所以AB4=，故D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：解答此类关于直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法是设直线方程，要注意直线的斜率是否存在情况，联立圆锥曲线方程，利用根

与系数的关系结合题设等条件进行化简，关键是要注意计算量较大，很容易出错.12.已知e为自然对数的底数，设()()()1(ln1)1,2kfxxxk=−−=，则下列结论正确的是（）A.当1k=时，()fx既有极小值又有极大值B.当1k=时，()fx只有极小值无极大值C.当2k=时，()fx

既有极小值又有极大值D.当2k=时，()fx只有极小值无极大值【答案】BC【解析】【分析】分别求12，kk==时，()fx导数，即可得()fx极值情况.【详解】对于AB选项，当1k=时，()()()1ln1fxxx=−−，则()1

lnfxxx=−，令()10ln，gxxxx=−，则()2110gxxx=+，得()()fxgx=在()0,+上单调递增，又()110f=−，1217e2.89lne.，则()12122221702lnlnlnelnln.f=−=−−，故()()00120,，xfx

=，结合()fx在()0,+上单调递增，则()()()000,，xxfxfx在()00,x上单调递减，()()()00,，xxfxfx+在()0,x+上单调递增，故此时()fx在0xx=时有极小

值无极大值；对于CD，当1k=时，()()()211lnfxxx=−−，则()()211lnlnfxxxx=−+−，注意到10lne−=，令()210ln，hxxxx=+−，则()2120hxxx=+，得()hx在(

)0,+上单调递增，又()()110220，lnhh=−=，则()()11120,，xhx=.结合()hx和函数ln1yx=−均在()0,+上单调递增，则当()()()100,,xxfxfx在()10,x上单调递增，当()()()1

0,,xxefxfx在()1,xe上单调递减，当()()()0e,,xfxfx+在()e,+上单调递增.故()fx在1xx=时取得最大值，在ex=时取得最小值，故C正确.故选：BC非选择题部分三、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.13.6

2xx−展开式中的常数项为__________.【答案】60【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案.【详解】由题意62xx−的展开式的通项为33621662C()()(2)C,0,1,2,,6rr

rrrrrTxxrx−−+=−=−=，令330,22rr−==，故62xx−展开式中的常数项为2260C(2)6−=，故答案为：6014.已知圆221:4Cxy+=与圆222:(1)(1)10Cxy−+−=相交于

,AB两点，则AB=__________.【答案】22【解析】【分析】将两圆方程相减求得公共弦AB的方程，求出圆心到直线AB的距离，利用几何法即可求得AB.【详解】将圆221:4Cxy+=与圆222:(1)(1)10Cxy−+−=的方程相减，即得AB的方程为20xy++=，则221:4

Cxy+=的圆心为(0,0)，半径为2，则(0,0)到直线AB的距离为22|2|211d==+，故2222(2)22AB=−=，故答案为：2215.若函数()sinfxaxx=+的图像上存在两条互相垂直

的切线，则实数a是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cosfxax=+.若函数()fx上存在两条切线垂直，则存在1x、2xR，使得()()()()12121coscos1fxfxaxax=−++=−()21212coscoscosco

s10aaxxxx++++=221212coscoscoscos1022xxxxa+−++−=12coscos1,0xxa=−==.故答案为016.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点，若E上存在不同的两

点,AB使得123FAFB=，则该椭圆离心率的取值范围为__________.【答案】1,12【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，求出12,FAFB坐标，根据123FAFB=可得121234,3=+=cyxyx，把()()1122,,,A

xyBxy代入椭圆方程得2212=−accx，根据1x的范围可得答案.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，()()12,0,,0FcFc−，则()()112212,,,FAFxcyxcyB−==+，因为123FAFB=，所以()()21213,,+=−xxccyy，可得

121234,3=+=cyxyx，由22112222222211xyabxyab+=+=可得()22112222112214199xyabxcyab+=++=，两式相减可得2212=−accx，因为

E上存在不同的两点,AB，且123FAFB=，所以2212acxac−=，解得12e，又01e，所以112e.故答案为：1,12.四、解答题：本题6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，且2*

11,N,222nnnnaSnnnb=+=.（1）求na；（2）求数列nb前n项和为nT.【答案】（1）()*Nnann=（2）222nnnT+=−【解析】【分析】（1）由11,1,2nnnSnaSSn−==−可求得数列na的通项公式；（2）由（1）求得n

b，利用错位相减法可求得nT.【小问1详解】21122nSnn=+，①当2n时，()2111(1)122nSnn−=−+−，②①−②得()2nann=又111aS==，故()*Nnann=.【小问2详解】因为2nnna

b=，所以2nnnb=，所以1212222nnnT=+++，③2311122222+=+++nnnT，④③−③得：21111122222nnnnT+=+++−即111122111112222212nnnnnnnT+−

=−=−−−即222nnnT+=−.18.已知锐角ABC内角ABC，，的对边分别为abc，，.若()sinsinsinbBcCbaA−=−.（1）求C；（2）若3c=，求ab−范围.【答案】（1）π3C=（2）()1,1−的【解析】【分析】（1）利用正弦定理将()sinsi

nsinbBcCbaA−=−化为有关边长的条件，再利用余弦定理可得答案；（2）利用正弦定理得到2sinsinsincabCAB===，则ab−()2sinsinAB=−.后利用33ππsinsinπ--sinBAA==+

结合A的范围可得答案.【小问1详解】由正弦定理，()sinsinsinbBcCbaA−=−()22bcbaa−=−222cabab=+−又2222coscababC=+−，得1πcos23CC==；【小问2详解】因为3c=，所以2sinsins

incabCAB===，()πππ2sinsin2sinsinπ2sinsin2sin333abABAAAAA−=−=−−−=−+=−，因为三角形ABC为锐角三角形，所以π022ππ032ABA

=−，解得ππ62A，令3tA=−，所以π,12sin2sin1663，tabAt−−−=−=，所以()1,1ab−−.19已知矩形ABCD中，

2,1ABBC==，现将ACD沿对角线AC向上翻折得到四面体1DABC−，且13BD=..（1）求点B到平面1DAC的距离；（2）求二面角1CADB−−的大小.【答案】（1）32（2）π6【解析】【分析】（1）根据题干数

据，先可以证明1AD⊥面1BCD，然后利用等体积法求距离即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.【小问1详解】由题意可得2222211111121,CCADBDABBDBCDADBDBDB+=+⊥⊥=，，又11111,ADCDBDCDD⊥=，11

,BDCD面1BCD，故1AD⊥面1BCD.设点B到平面1DAC的距离为h，利用等体积法：11111133DABCBCDDACVSADSh−==，所以1111311213232h=解得32h=；【

小问2详解】以B点为原点，BC为x轴，1BD为y轴，过B平行与1DA的射线为z轴建立空间直角坐标系，()()()()10,0,0,0,3,0,1,0,0,0,3,1BDCA，()1,3,1AC=−−，()10,0,1AD=−，(

)0,3,1AB=−−.设平面1CAD法向量为()1111,,nxyz=，平面1BAD法向量为()2222,,nxyz=，111111103000nACxyzznAD=−−=−==，取13x=，则11

01yz==，，故1(3,1,0)n=为平面1CAD的一个法向量；22222103000nAByzznAD=−−=−==，取21x=，则2200yz==，，故2(1,0,0)n=为平面1BAD的一个法向量；121

2123cos,2nnnnnn==，结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角1CADB−−的余弦值为32，该角大小为π6.20.为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游

戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.（1）判断是否有99%的把握认为性别与玩手机游戏有关联；（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.()20PKk0.10.050.010.

0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）有99%的把握认为性别与玩手机游戏有关联（2）分布列见解析，数学期望为34，方差为916【解析】【分析】（1）

由题意得到列联表，再根据里面的数据求得2，与临界值表对照下结论；（2）由题意得到经常玩手机游戏的频率为5012004=，再根据随机变量X服从13,4XB求解.【小问1详解】解：列联表如下：不玩手机游

戏玩手机游戏合计男6040100女9010100合计15050200()()()()222()200(60104090)246.635.10010015050nadbcabcdacbd−−===++

++有99%的把握认为性别与玩手机游戏有关联.【小问2详解】由题意可得，经常玩手机游戏的频率为5012004=，则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为14，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3由题意可得，1

3,4XB，()33111,0,1,2,344kkkPXkCk−==−=故X的分布列为：X0123P27642764964164故()13344EX==()1193

14416DX=−=.21.已知()()1,0,1,0AB−为双曲线2222C:1xyab−=左右顶点，焦点到渐近线的距离为3，直线12x=上一点P与点A连线与双曲线右支交于另一点C，点P与点B连线与双曲

线右支交于另一点D.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线CD是否经过定点？若是，求出该定点.【答案】（1）2213yx−=；（2）经过定点，定点坐标为()2,0.【解析】【分析】（1）由题意即可得到答案（2）设出,,

CDP，直线:CDxmyt=+，联立直线与双曲线方程得到关于y的韦达定理，由,,APC三点共线得011312yyx=+，,,BPD三点共线，得022112yyx=−−，化简得到()()12612203

1mttym+−+=−，即可得到答案.【小问1详解】依题可知1a=，双曲线的渐近线方程为bxya=，所以焦点到渐近线距离为223bcbab==+，即双曲线方程为22:13yCx−=.【小问2详解】设()()112201,,,,,2CxyD

xyPy，直线:CDxmyt=+，由2213xmytyx=+−=得()222316330mymtyt−++−=，所以()()122212222226313331Δ36431330mtyymtyymmtmt−+=−−=−=−−−又,,APC三点共线，则011

312yyx=+①，,,BPD三点共线，则022112yyx=−−②，的联立①②得12121131yyxx=−+−，化简得()()11223141tymyyty−−=++，即()()()1121224140tytyymyy−++++

=（*）将122631mtyym−+=−，21223331tyym−=−，代入（*）式化简得()()126122031mttym+−+=−.所以2t=，即直线CD是否经过定点()2,0.22.已知函数()exfxx=.（1）求函数()fx在点11,4

4f处的切线方程；（2）若12,xx为方程()fxk=的两个不相等的实根，证明：（i）()ee22fxx+；（ii）412e292e4xxk−+−.【答案】（1）114452ee2yx=−+（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导

数几何意义可求得切线斜率14f，结合14f的值可得切线方程；（2）（i）所证不等式可化为()e12fxx+，令()()1fxgxx=+，利用导数可求得()gx单调性，进而得到()mine2gx=，从而证得结论；（ii）根据（i）中结论，知yk=与2ee2yx=+的交点

为1,e2kk−，得到2e21kx−，从而可知只需证得41542exk−即可，又yk=与114452ee2yx=−+的交点为45,4e2kk−，则需证得114452e2eexxx−+，构造函数()114452eee2xhxxx=+−，利

用导数可求得()hx单调性，从而得到()104hxh=，由此可得结论.【小问1详解】()()32ee21e22xxxxxxfxxx−−==，14141e122e144f−==−，又1412e4f=，所求切线方程为：114412e2e4yx

−=−−，即114452ee2yx=−+.小问2详解】（i）令()()e1xgxxx=+，则()gx定义域为()0,+，()()()()2121e21xxxgxxxx=−++，当()0,1x时，()0gx；当()1,x+时，()0

gx；()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；()()mine12gxg==，即()ee21xxx+，eee22xxx+，即()ee22fxx+；（ii）令()114452eee2xhxx

x=+−，则()1312241e2e2xhxxx−−=−+，令()()xhx=，则()()5221443e04xxxxx−=−+，【()hx在()0,+上单调递增，又104h=，当10,4x时，()0hx；当1,4x+

时，()0hx；()hx在10,4上单调递减，在1,4+上单调递增；()104hxh=，即114452e2eexxx−+；不妨设12xx，yk=与114452ee2yx=−+的交点为45,4e2kk−，；与2ee2yx=+

的交点为1,e2kk−，由图象可知：41542exk−，2e21kx−；4412252914eeee224kxxkk−−−−=+−.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不

等式的证明问题；本题证明两根之差范围的解题关键是能够利用之前证得的不等关系对所证不等式进行放缩，将问题进一步转化为关于函数最值的求解问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com