【文档说明】福建省福州外国语学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(27)页，1.548 MB，由小赞的店铺上传

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福州外国语学校2023—2024学年第二学期期末考高二年级数学试卷考试时间：120分钟；命题人：高一数学集备组审核人：高一数学集备组(全卷共4页，四大题，20小题，满分150分.)注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填

涂自己的准考证号，姓名.考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔

，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.3.考试结束，考生请将答题卡交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合2{12},4,AxxBxxxx=−=N∣∣，则AB=（）A.0,2B.(0,

2C.0,1,2D.1,22.已知复数z满足()1i2iz−=+，则复数z的虚部为（）A.32B.32−C.3i2D.3i2−3.已知π2sin83+=，则3πcos24−=（）A.23B.23−C.19D.19−4.在A

BC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()()3abcabcab+++−=且sin2sincosCAB=，则ABC是（）A.等边三角形B.顶角为30等腰三角形C.等腰直角三角形D.非直角三角形，也非等腰三角形5.已知非负实数,xy满

足1xy+=，则111xy++的最小值为（）的A.73B.2C.95D.436.在锐角ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3a=，π6A=，则b的取值范围是（）A.(0,6)B.(0,23)C.(3,23)D.(3

3,6)7.已知A，B，C是直线ym=与函数()2sin()fxx=+（0，0π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点(0,2)A，B，C两点的横坐标分别为12,xx，若21π4xx−=，则（）A.π

4=B.π()22f=−C.()fx的图象关于(π,0)中心对称D.()fx在π[0,]2上单调递减8.设R，若对任意的1π0,2x，都存在2π0,2x，使得()21sincos6xx+=−成立

，则可以是（）．A.4B.512C.712D.34二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.命题“存在0x，使得2210mxx+−

”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2m−B.1m−C.0mD.1m10.对于函数()21sincossin2fxxxx=+−，下列结论正确的是（）A.函数()yfx=的图象关于点π,08对称；B.函数()yfx=的对称轴是π3

π28kx=+，kZ；C.若函数()yfx=+是偶函数，则的最小值为π8；的D.函数()yfx=在π2π,63的值域为1331,44−−，11.下列选项正确的有（）A.若2i3−是方程()220,xpx

qpq++=R的一个根，则12,26pq=−=B.复数65i+与34i−+分别表示向量OA与OB，则向量BA表示的复数为9i+C.若复数z满足12i1z+−=，则z的最大值为15+D.若复数12,zz，满足11221i,2izzzz=−=+，则22123102z

z+=三、填空题12.已知集合)1,A=+，1R212Bxaxa=−，若ABB=，则实数a的取值范围是______．13.在函数()sinfxx=的图象中，把横坐标变为原来的6倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度，得到函数()gx的图象，则函数(

)gx的解析式是____________14.设0，已知函数()π5πsin3sin246fxxx=−+在区间()0,π恰有6个零点，则ω取值范围为____________四、解答题15.已知数列na的前n项和为23

nSnn=−.（1）求数列na的通项公式；（2）令()*11nnnbnaa+=N，数列nb的前n项和为nT，证明：14nT.16.已知抛物线2:2(03)Cypxp=，其焦点为F，点(),23Qm在抛物线C上，且4QF=．（1）求抛物线C的方程；

（2）O为坐标原点，,AB为抛物线上不同的两点，且OAOB⊥，求证直线AB过定点；17.已知ABC中，角ABC，，的对边分别是abc，，，()333cossinabCcA=−=，（1）求角A的大小；的（2）求22bc+的最大值；（3）若2AD=，D为BC边上靠近B点的三等分点，求ABC的面积．18

.已知函数()()2lnafxxxax=−++R.（1）若0a=，求曲线()yfx=在1x=处切线方程；（2）讨论()yfx=的单调性；（3）若1x时，()1fxxx−恒成立，求实数a取值范围19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，棱1,ACCC的中点分别为1,,D

EC在平面ABC内的射影为D，ABC是边长为2的等边三角形，且12AA=，点F在棱11BC上运动（包括端点）．（1）若点F为棱11BC的中点，求点F到平面BDE的距离；（2）求锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围．20.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分

布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.附:()()()()22()nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++，;a0.1000.0500.0250.010ax2.7063.8415

0246.635（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联?性别就餐区域的.南区北区男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅

就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12;如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为1233，:如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为111442，，.(i)求第2

天他去乙餐厅用餐的概率;(ii)求第()*Nnn天他去甲餐厅用餐的概率np.福州外国语学校2023—2024学年第二学期期末考高二年级数学试卷考试时间：120分钟；命题人：高一数学集备组审核人：高一数学集备组(全卷共4页，四大题，20小题，满

分150分.)注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名.考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答

案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.3.考试结束，考生请将答题卡交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合2{12},4,AxxBxxxx=−=N∣∣，则AB=（）A.0,2B.(0,2C.0,1,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】根据题意先求集合B，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：24,04,0,1,2,3,4Bxxxxxxx=

==NN∣∣，所以0,1,2AB=.故选：C.2.已知复数z满足()1i2iz−=+，则复数z的虚部为（）A.32B.32−C.3i2D.3i2−【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的

除法运算化简复数z，即可判断其虚部.【详解】因为()1i2iz−=+，所以()()()()2i1i2i13i1i1i1i22z+++==+−−+=，故z的虚部为32.故选：A3.已知π2sin83+=，则3πcos24−=（）A.23B.23−C.19D.19−【

答案】D【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为3π3ππππ2coscoscossin882883−=−=−+=+=，所以23π3π3π41cos2cos22cos12148

899−=−=−−=−=−.故选：D.4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()()3abcabcab+++−=且sin2sincosCAB=，则ABC是（）A.等边三角形B.顶角为30的等腰三角形C.等腰直角三角形D.非

直角三角形，也非等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由条件利用余弦定理求得1cos2C=，可得60C=，由sin2sincosCAB=，再根据正弦定理和余弦定理再可得ab=，从而得出结论．【详解】在ABC中，()(

)3abcabcab+++−=，222abcab+−=，2221cos,6022abcCCab+−===，又由sin2sincosCAB=可得22222222acbacbcaacc+−+−==，22,abab==，故ABC是

等边三角形..故选：A.5.已知非负实数,xy满足1xy+=，则111xy++的最小值为（）A.73B.2C.95D.43【答案】B【解析】【分析】依题意可得0x且()12xy++=，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因

为非负实数,xy满足1xy+=，显然0x，则0x，所以()12xy++=，则()111111111112121yxxyxyxyxy++=+++=++++++1122221yxxy++=+，当且仅当11yxxy+=+，即

1x=，0y=时取等号，所以111xy++的最小值为2.故选：B6.在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a=，π6A=，则b的取值范围是（）A.(0,6)B.(0,23)C.(3,23)D.

(33,6)【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理得到6sinbB=，再由三角形是锐角三角形求出B的范围，即可求出sinB的范围，从而得解.【详解】锐角ABC中，3a=，π6A=，由正弦定理可得361sinsin2abAB===，所以6sinbB=，又2π3BC+=，所以

π025ππ062BCB=−，解得ππ32B，所以3sin12B，所以()33,6b．故选：D．7.已知A，B，C是直线ym=与函数()2sin()fxx=+（0，0π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点(0,2)A，

B，C两点的横坐标分别为12,xx，若21π4xx−=，则（）A.π4=B.π()22f=−C.()fx的图象关于(π,0)中心对称D.()fx在π[0,]2上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据给定

条件，可得3π()2sin()4fxx=+，进而求得21π2xx−=，结合21π4xx−=，得到2=，再逐项分析判断即可.【详解】由(0)2sin2f==，得2sin2=，而0π，且点A在()fx图象的下降部分，则3π4=，于是3π()2si

n()4fxx=+，显然,,ABC是直线2y=与()fx的图象的三个连续的交点，由A点横坐标0Ax=，即3π3π44Ax+=，解得13π9π44x+=，23π11π44x+=，解得13π2x=，22πx=，则21π2xx−=，而21π4xx−=，因此2=，所以3

π()2sin(2)4fxx=+，对于A，3π4=，A错误；对于B，π3π3π()2sin(π)2sin2244f=+=−=−，B正确；对于C，3π3π(π)2sin(2π)2sin2044f=+==，()fx的图象关于(π,0)不对称，

C错误；对于D，当π[0,]2x时，3π3π7π2444x+，当3π3π242x+=，即3π8x=时，函数()fx取得最小值，又3ππ(0,)82，因此()fx在π[0,]2上不单调，D错误.故选：B【点睛】思路点睛：给定sin0,0()()()fAxxA=＋

的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.8.设R，若对任意的1π0,2x，都存在2π0,2x，使得()21sincos6xx+=−成立，则可

以是（）．A.4B.512C.712D.34【答案】B【解析】【分析】设()2sinyx=+的值域为1D，1πcos6yx=−的值域为2D，求出21,12D=，根据题意21D

D，再代入选项逐项分析即可.【详解】设()2sinyx=+的值域为1D，1πcos6yx=−的值域为2D，则由题意得21DD，因为1π0,2x，则1πππ,663x−−，则1π1cos,162

x−，则21,12D=，因为2π0,2x，所以2π,2x++，对A，当π4=时，2,ππ3π444x+，则2π2s

in,142x+，则12,12D=，不满足21DD，故A错误；对B，当5π12=时，2π5π11π412,12x+，2s11ππππ1sinsinsin121212in6=−==，则22πsπsinin41,1

x+，则1,πsin112D=，满足21DD，故B正确；对C，当7π12=时，2π7π13π412,12x+，13πππsinsin01212si12n=+=−，则2nπsπ7πsisin1,41n2i2x+

−，则1π7πsinsi2,n112D−=，不满足21DD，故C错误；对D，当3π4=时，2π3π5π444,x+，则22πs2n,422ix+−，则122,22D−=

，不满足21DD，故D错误；故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有

多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.命题“存在0x，使得2210mxx+−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2m−B.1m−C.0mD.1m【答案】C

D【解析】【分析】根据题意，转化为存在0x，设定212xmx−，利用二次函数的性质，求得212xx−的最小值为1−，求得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.【详解】由题意，存在0x，使得2210mxx+−，即22212111()2(1)1

xmxxxx−=−=−−，当110x−=时，即1x=时，212xx−的最小值为1−，故1m−；所以命题“存在0x，使得2210mxx+−”为真命题的充分不必要条件是1mm−的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件.故选：CD.10.对于函数()21sinco

ssin2fxxxx=+−，下列结论正确的是（）A.函数()yfx=的图象关于点π,08对称；B.函数()yfx=的对称轴是π3π28kx=+，kZ；C.若函数()yfx=+是偶函数，则

的最小值为π8；D.函数()yfx=在π2π,63的值域为1331,44−−，【答案】ABD【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得()fx，计算π8f可判

断A；求出函数()yfx=的对称轴方程可判断B；根据()yfx=+为偶函数求出可判断C；根据π24x−的范围求出πsin24x−最大值可判断D.【详解】对于A，因为()2111cos21sincossinsin22222xfxxxxx

−=+−=+−2222πsin2cos2sin222224xxx=−=−，因为π2ππsin208284f=−=，所以函数()yfx=的图象关于点π,08对称，故A正确；对于B，令ππ2π,Z42xkk−=+，解得3ππ,Z

82kxk=+，所以函数()yfx=的对称轴是π3π28kx=+，Zk，故B正确；对于C，因为()2πsin2224yfxx=+=+−为偶函数，所以ππ2πZ42kk−=+，，解得3ππ,Z82kk=+

，所以的最小值为π8，故C正确；对于D，当2,63ππx，则ππ13π2,41212x−，当ππ242x−=，即3π8x=时，πsin214x−=，()max23124fx−=，故D错误.故选：ABD11.下列选项正确的有（）A.

若2i3−是方程()220,xpxqpq++=R的一个根，则12,26pq=−=B.复数65i+与34i−+分别表示向量OA与OB，则向量BA表示的复数为9i+C.若复数z满足12i1z+−=，则z的最大值为15+D

.若复数12,zz，满足11221i,2izzzz=−=+，则22123102zz+=【答案】BCD【解析】【分析】通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何

意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断D．【详解】对于A：若2i3−是方程()220,xpxqpq++=R的一个根，则方程的两个根分别1232i,32ixx=−+=−−，所以12126,1322pqxxxx−=+=−==，所以12,26pq==，故A错误

；对于B：由题意可知()()6,5,3,4OAOB==−，所以()()()6,53,49,1BAOAOB=−=−−=，所以向量BA表示的复数为9i+，故B正确；对于C：设izxyxy=+R，，，若复数z满足12i1z+−=，则在复平面内点(),Zxy

在圆22:(1)(2)1Cxy++−=上，圆C的圆心()1,2C−，半径1r=，则z的几何意义为原点()0,0O到圆C上点的距离，又5=OC，则z的最大值为15+，C正确；对于D：因为11221i,2izzzz=−=+，所以()()()2111221i2i3iz

zzzz==−+=−，()()()()2122122i1i2i13i1i1i1i22zzzzz+++====+−−+，所以2222221213103103(1)102222zz+=+−++=+=

，D正确．故选：BCD.三、填空题12.已知集合)1,A=+，1R212Bxaxa=−，若ABB=，则实数a取值范围是______．【答案】23a或2a【解析】【分

析】利用空集的意义,列式求a的范围；再利用交集的结果，借助集合的包含关系求出a的范围.【详解】由ABB=，得BA，的当B=时，BA，则1212aa−，解得23a，当B时，11212aa−，解得2a，所以实数a的取值范围是23a或2a.故答案为：23a或2

a13.在函数()sinfxx=的图象中，把横坐标变为原来的6倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度，得到函数()gx的图象，则函数()gx的解析式是____________【答案】()1πsin66gxx=+【解析】【分析】利用三角函数的平

移和伸缩法则求解即可.【详解】首先，我们先在函数()sinfxx=的图象中，把横坐标变为原来的6倍（纵坐标不变），此时解析式变为1sin6yx=，然后再向左平移π个单位长度，此时解析式变为()11πsin(π)sin()

666gxxx=+=+.故答案为：()1πsin66gxx=+14.设0，已知函数()π5πsin3sin246fxxx=−+在区间()0,π恰有6个零点，则ω的取值范围为____________【答案】1719,1212.

【解析】【分析】令()0fx=，求得()fx从左到右的零点依次为：π5π7π9π13π17π19π12121212121212，，，，，，，结合题意，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()π5πsin3s

in246fxxx=−+，令()0fx=，即πsin304x−=或5πsin206x+=，解得()fx的正零点为()14π12k+或()16πN12kk+，，所以函数()fx从左到右的零点依次

为：π5π7π9π13π17π19π12121212121212，，，，，，，为了使得()fx在区间()0,π恰有6个零点，只需17π19ππ1212，解得17191212，所以实数的取值范围为1719,1212.故答案为：1719,121

2.四、解答题15.已知数列na的前n项和为23nSnn=−.（1）求数列na的通项公式；（2）令()*11nnnbnaa+=N，数列nb的前n项和为nT，证明：14nT.【答案】（1）64nan=−（2）证明见解析【解析】

【分析】（1）由题意，根据()12nnnaSSn−=−计算即可求解；（2）由（1）得111123231nbnn=−−+，结合裂项相消求和法计算可得()11121231nTn=−+，即可证明

.【小问1详解】当2n时，()()221331164nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−，因为1n=时，112aS==，满足上式，所以数列na的通项公式为64nan=−.【小问2详解】()()1111116462123231nnnbaannnn+===−

−+−+，123111111111124477103231nnTbbbbnn=++++=−+−+−++−−+()111111231121231nn=−=−++，因为1031n+，

所以11124nT.16.已知抛物线2:2(03)Cypxp=，其焦点为F，点(),23Qm在抛物线C上，且4QF=．（1）求抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，,AB为抛物线上不同的两点，且OAOB⊥，求证直线AB过定点

；【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入OAOB⊥的坐标运算可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(03)Cypxp=，(),23Qm

,其焦点为,02pF，准线方程为2px=−，可得42pQFm=+=，且212pm=，解得2p=，或6p=（舍去），3m=，则抛物线的方程为24yx=；小问2详解】如图，设直线AB的方程为()0xsytt=+，()()1122,,AxyB

xy，，联立24xsytyx=+=，可得2440ysyt−−=，则216160=+st，又124yyt=-，所以()21221216yyxxt==，由OAOB⊥，可得2121240xxyytt+=−=，解得4t=，或0=t（舍去），【所以直线A

B恒过定点()4,0N.17.已知ABC中，角ABC，，的对边分别是abc，，，()333cossinabCcA=−=，（1）求角A的大小；（2）求22bc+的最大值；（3）若2AD=，D为BC边上靠近B点的三

等分点，求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）18（3）332【解析】【分析】（1）由正余弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简可求解；（2）由余弦定理2222cosabcbcA=+−，代入已知数据结合重要不等式求解；（3）由题意有1233ADACA

B=+，两边平方化简得224236bcbc++=，在ABD△中和ACD中，由余弦定理得化简得22218cb+=，解得2bc=，代入②得23c=，可求ABC的面积.【小问1详解】由()33cossinbCcA−=，而3a=，所以()3cossi

nbaCcA−=，即3sin3cosbcAaC−=，由正弦定理得3sinsinsin3sincosBCAAC−=．故()3sinsinsin3sincosACCAAC+−=．即3sincos3cossinsinsin3sincosACACCAAC+−=，即()sin

3cossin0CAA−=，而0πC，sin0C，故3cossin0AA−=，即tan3A=．而0πA，故π3A=.【小问2详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即229bcbc=+−，而222bcbc+，所以22222222922bcbc

bcbcbc++=+−+−=，所以2218bc+，当且仅当3bc==时等号成立．故22bc+最大值为18.【小问3详解】因为D为BC边上靠近B点的三等分点，1BD=，2CD=，有13BDBC=，即()13

ADABACAB−=−，故1233ADACAB=+，两边平方得222144cos999ADACABABACA=++，即221424999bcbc=++，化简得224236bcbc++=①，在ABD△中，由余弦定理得22221cos221c

ADB+−=；在ACD中，由余弦定理得22222cos222bADC+−=；而coscos0ADBADC+=，故22222221220221222cb+−+−+=，即22218cb+=②，由①和②得：()22224222b

cbccb++=+，解得2bc=，代入②得23c=，的所以ABC的面积为2133sinsin22bcAcA==.18.已知函数()()2lnafxxxax=−++R.（1）若0a=，求曲线()yfx=在1x=处切线方程；（2）讨论()yfx=的单调性；（3）若1x时，()

1fxxx−恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）20xy+−=（2）答案见解析（3）)1,+−【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）求导，分类讨论的符号以及根与定义域之间的关系，结合导数与单调性之间的关系分析求解；（3）令()2ln,1gxx

xxx=−，分析可知原题意等价于()12agx−对任意1x恒成立，利用导数判断()gx的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】若0a=，则()2lnfxxx=−+，()21fxx=−

+，可得()()11,11ff==−，即切点坐标为()1,1，切线斜率为1k=−，所以切线方程为()11yx−=−−，即20xy+−=.【小问2详解】由题意可知：()yfx=的定义域为()0,+，且

()222221axxafxxxx−−=−−+=，令()0fx=，即220xxa−−=，则有：当440a=+，即1a−时，则220xxa−−，即()0fx，所以()yfx=在()0,+内单调递增；当440a=+，即1a−时，则方程220xxa

−−=有两个不相等的实根111xa=−+，211xa=++，且122,0xxx，若1110xa=−+，即0a，令()0fx¢>，解得2xx；()0fx，解得20xx；则()yfx=在()20,x内单调递减，在()2,x+内单调递增

；若1110xa=−+，即10a−，令()0fx¢>，解得2xx或1xx；()0fx，解得12xxx；则()yfx=在()12,xx内单调递减，在()()120,,,xx+内单调递增；综上所述：当1a−时，()yfx=在()0,+内

单调递增；当0a，()yfx=在()0,11a++内单调递减，在()11,a+++内单调递增；若10a−，()yfx=在()11,11aa−+++内单调递减，在()()0,11,11,aa−++++内单调递增.【小问3详解】因为()12lnafxxxxxx=−++−，整理可得2

1ln2axxx−−，令()2ln,1gxxxxx=−，原题意等价于()12agx−对任意1x恒成立，因为()ln12gxxx+=−，令()(),1hxgxx=，则()120xhxx−=对任意1x恒成立，可知()hx在)1,+内单调

递减，则()()110hxh=−，即()0gx对任意1x恒成立，可知()gx在)1,+内单调递减，则()()11gxg=−，可得112a−−，解得1a−，所以实数a的取值范围为)1,−+.【点睛

】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题1.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．2.函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的

最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，棱1,ACCC的中点分别为1,,DEC在平面ABC内的射影为D，ABC是边长为2的等边三角形，且12AA=，点F在棱11BC上运动（包括端点）．（1）

若点F为棱11BC的中点，求点F到平面BDE的距离；（2）求锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围．【答案】（1）334（2）1322，【解析】【分析】（1）利用空间向量法来求点到面的距离即可；（2）用动点引入变量表示动向量，再用空间向量法求二面角的余弦值，最后利用关于变量的函数求

取值范围即可.【小问1详解】连接1DC，依题意可知1DC⊥平面ABC，由于,ACBD平面ABC，所以11,DCACDCBD⊥⊥，由于三角形ABC是等边三角形，所以BDAC⊥，22213BD=−=，又221213DC=−=，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系

，则()10,0,3C，()()131,0,0,,0,,0,3,022CEB，又()111,3,0CBCB==−，故()11,3,3B−，13,,322F−，则13,0,22DE=

，()0,3,0DB=，设平面BDE的法向量为()111,,mxyz=，则1111302230mDExzmDBy=+===，令11z=，则13x=−，10y=，故()3,0,1m=−

，又13,,322BF=−−，所以点F到平面BDE的距离为3333224BFmdm===.【小问2详解】设()11101CFCB=，()111,3,0CB=−，则()()()111110,0,31,3,0,3,3DFDCCFDCCB

=+=+=+−=−，设平面BDF的法向量为()222,,nxyz=，则222233030mDFxyzmDBy=−++===，令23x=，则2z=，20y=，故可设()3,0,n=

，设锐二面角FBDE−−为，则22313cos2233mnmn−+−===++()223123−=+，令()32,3tt−=，所以222111cos2126216121ttttt==−+−+，设111,32sst

=，则21121261cosss=−+，二次函数221112611244ysss=−+=−+的开口向上，对称轴为14s=，所以当11,32s时，该二次函数单调递增，所以当13s=时，该二次函数有最小值2111126133

3−+=，当12s=时，该二次函数有最大值2111261122−+=，所以211,31261ss−+，即13cos,22.即锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围13,22.20.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两

个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.附:()()()()22()nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++，;a0.1000.05000250.010ax2

.7063.8415.0246.635（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据.0.100=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联?性别就餐区域南区北区男331043

女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12;如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为1233，:如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12.张同学第1

天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为111442，，.(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;(ii)求第()*Nnn天他去甲餐厅用餐的概率np.【答案】（1）没有关联（2）(i)38;(ii)()()1114{4112992nnnp

n+==−−，，【解析】【分析】（1）根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解；（2）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解（ⅰ），根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解（ⅱ）

.【小问1详解】依据表中数据，2088(3371038)0.8372.70643457117x−==，依据0.100=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2

详解】设=iA“第i天去甲餐厅用餐”，iB=“第i天去乙餐厅用餐”，iC=“第i天去丙餐厅用餐”，则,,iiiABC两两独立，1,2,3,in=．根据题意得，11111()(),()42PAPBPC===，111111(|),(|),(

|)232iiiiiiPAAPABPAC+++===．111112(|),(|),(|)223iiiiiiPBAPBCPCB+++===，（ⅰ）由22121BBABC=+，结合全概率公式，得2212112112111

113()()()(|)()(|)42228PBPBABCPAPBAPAPBC=+=+=+=，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38．（ⅱ）记第*(N)nn天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为,,nnnpqr，则11111,42pqr===，由全概率公式，得111111()()(

)()()nnnnnnnnnnnnnnpPAPAAABACPAAPABPAC−−−−−−==++=++=111111()(|)()(|)()(|)nnnnnnnnnPAPAAPBPABPCPAC−−−−−−++，故111111(2)232nnnnppqrn−−−=++①，同理1

111(2)22nnnqprn−−=+②，12(2)3nnrqn−=③，1nnnpqr++=④，由①②，113nnnpqq−=+，由④，1111nnnpqr−−−=−−，代入②，得：11122nnqq−=−，即111

1()323nnqq−−=−−，故1{}3nq−是首项为112−，公比为12−的等比数列，即1111()3122nnq−−=−−，所以111[1()]32nnq+=−−，于是，当2n时，11111111411[1()][1()]()33292992nnnn

nnpqq++−=+=−−+−−=−−，综上所述：11,(1)4411(),(2)992nnnpn+==−−【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：（1）当出现1nnaam−=+时，构造等差数列；（2）当出现1nnaxay−=+时，构造等比数列；（3）当出现1(

)nnaafn−=+时，用累加法求解；（4）当出现1()nnafna−=时，用累乘法求解.