【文档说明】江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.825 MB，由小赞的店铺上传

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莲塘一中2019—2020学年度高二12月检测数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列三个命题①命题:PxR，都有sin1x，则非0:PxR，使得0sin1x②在ABC中，若sin2sin2AB=

，则角A与角B相等③命题：“若tan3x=，则3x=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】C【解析】【分析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种

结果，所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确；从而得到答案.【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题:PxR，都有sin1x，则非0:PxR，使得0sin1x，所以是正确的；②在ABC中，若sin2si

n2AB=，则有2A=2B或2A+2B=,所以角A与角B相等或互余，所以错误；③因为命题：“若tan3x=，则3x=”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；所以正确命题的序号是①③，故选C.【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的

知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.2.已知命题:0px,ln(1)0x+；命题:q若ab，则22ab，下列命题为真命题的是（）A.pqB.pqC.p

qD.pq【答案】B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q

是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．3.设抛物线2y4x=上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】抛物线24y

x=的准线方程为1x=−．因为P到y轴的距离为2，所以P到准线1x=−的距离为3.由抛物线的几何性质可知，P到抛物线焦点的距离为3，故选C4.在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为4sin=，曲线2C的极坐标方程为43cos=，若曲线

1C与2C的关系为（）A.外离B.相交C.相切D.内含【答案】B【解析】【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d，并将圆心距d与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位

置关系.【详解】在曲线1C的极坐标方程两边同时乘以，得24sin=，化为普通方程得224xyy+=，即()2224xy+−=，则曲线1C是以点()10,2C为圆心，以12r=为半径的圆，同理可知，曲线

2C的普通方程为()222312xy−+=，则曲线2C是以点()223,0C为圆心，以223r=为半径的圆，两圆圆心距为()()22023204d=−+−=，12223232rr−=−=−，12223rr+=+，1212rrdrr−

+，因此，曲线1C与2C相交，故选B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的

位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.等比数列na中，12a=，84a=，函数128()()()()fxxxaxaxa=−−−，则(0)f=A.62B.92C.122D.152【答案】C【解析】【分析

】将函数看做x与()()()128xaxaxa−−−的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x=可求得()1280faaa=；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128fxxaxxaxa−−=−()()()()()()128128xa

xaxaxaxaxaxx=+−−−−−−()()()()()()128128xxaxaxaxaxaxa−−−−−=+−()1280faaa=又18273645aaaaaaaa===()()441218082faa

===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.6.已知是ABC的一个内角，且

3sincos4+=，则方程22sincos1xy−=表示（）A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【答案】C【解析】【分析】先由题意，根据同角三角函数

基本关系，判断sin0，cos0，再由3sincos04+=，得到110cossin−，将方程22sincos1xy−=化为22111sincos+=−xy，即可得出结果.【详解】因为是ABC的一个内角，且3sincos4

+=，又22sincos1+=，所以()29sincos16+=，即912sincos16+=，即7sincos32=−，所以sin0，cos0，又3sincos04+=，所以sincos0−，因此110cossin−，因为

方程22sincos1xy−=可化为22111sincos+=−xy，所以，该方程表示焦点在y轴上的椭圆.故选：C【点睛】本题主要考查判断方程所表示的曲线，熟记椭圆的标准方程，以及同角三角函数基本关系即可，属于常

考题型.7.已如函数()yfx=（xR）上任()()00,xfx处的切线斜率()()20021kxx=−+，则该函数的单调减区间为（）A.)1,−+B.)2,+C.(),1−−，()1,2−D.(,2−【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数的导函数为()(

)()221fxxx=−+，求函数的单调减区间，即导函数小于等于0即可.【详解】由题意可知函数的导函数为()()()221fxxx=−+，要求函数的单调减区间，即函数的导函数小于等于0的解集，所以()()2210xx−+，解得2x，所以函数的单调减区间为(,2−.

故选：D.【点睛】本题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查运算能力，属于基础题.8.已知函数()()sinxfxexa=−有极值，则实数a的取值范围为（）A.()1,1−B.1,1−C.2,2−D.()2,2−

【答案】D【解析】【分析】由函数()()sinxfxexa=−有极值，等价于sincosxxa+−=0有变号根，即()0gx，()0gx均有解，又()2,2gxaa−−−，即2020aa−−−，运算即可得解

.【详解】解：因为()()sinxfxexa=−，所以()()'sincosxfxexxa=+−，令()sincosgxxxa=+−，由函数()()sinxfxexa=−有极值，则sincosxxa+−=0有变号根，即()0gx，()0gx均有解，又()sincos2sin()4gxxxa

xa=+−=+−，即()2,2gxaa−−−，即2020aa−−−，即22a−，故选D.【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.9.若322()7fxxaxbxaa=++−−在x=1处取得极大值10，则

ba的值为（）A.32−或12−B.32−或12C.32−D.12−【答案】C【解析】【分析】由于2'()32fxxaxb=++，依题意知，'(1)320fab=++=，2(1)1710fabaa=++−−=，于是有32ba=−−，代入f（1）=10即

可求得,ab，从而可得答案．【详解】∵322()7fxxaxbxaa=++−−，∴2'()32fxxaxb=++，又322()7fxxaxbxaa=++−−在x=1处取得极大值10，∴'(1)320fab=++=，2(1)1710fabaa=++−−=，∴28120aa++=，∴2,1ab

=−=或6,9ab=−=．当2,1ab=−=时，3'()341(31)(1)fxxxxx=−+=−−，当13＜x＜1时，'()0fx，当x＞1时，'()0fx，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当6,9ab=−=时，2'()31293(1)(3)fxxxxx=−+=−−，当x＜1时，

'()0fx，当＜x＜3时，'()0fx，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则9362ba=−=−−，故选C．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得2'()32fxxaxb=++，利用'(1)0f=，f（1）=10求得,ab是关键，考查分析、推

理与运算能力，属于中档题．10.已知函数()3269fxxxx=−+−，过点()1,Pm−可作曲线()yfx=的三条切线，求实数m的取值范围为（）A.()11,16−B.()5,19−C.()15,9−D.)9,17−【

答案】A【解析】【分析】先设切点()32,69−+−Qtttt，对函数求导，得到切线斜率为()=kft，得到切线方程，再由切线过点()1,Pm−，得到3223129=−−+mttt，令32()23129=−−+−g

ttttm，对其求导，用导数的方法求其极值，根据题意，()0gt=有三个根，只需极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果.【详解】由题意，设切点()32,69−+−Qtttt，因为()3269fxxxx=−+−，所以()23129=−+−fxxx，因此，

函数在点Q处的切线斜率为()23129==−+−kfttt，所以切线方程为：()()()232312969yttxtttt=−+−−+−+−，即()()22312926=−+−+−yttxttt；又该切斜过点()1,Pm−，所以()()23232312912623129=−+−−+−=−−+mt

tttttt，令32()23129=−−+−gttttm，则22()6612=−−gttt令()()226612620gttttt=−−=−−=，得：1t=−，2t=，由()()2620=−−gttt得2t或1t−；由()()2620=−−gttt得12t−，所以函数32()

23129=−−+−gttttm在(),1−−上单调递增，在()1,2−上单调递减，在()2,+上单调递增；因此函数()gt有极小值(2)161224911=−−+−=−−gmm；有极大值(1)2312916−=−−++−=−gmm，因为过点()1,Pm−可作曲线()yfx

=的三条切线，所以方程()0gt=有三个根，因此，只需：()()1020gg−，即160110mm−−−，解得：1116m−.故选：A【点睛】本题主要考查由曲线过某点的切线个数求参数，熟记导数

的几何意义，以及导数的方法研究方程的根即可，通常需要对函数求导，用导数的方法判断函数单调性，求极值等，属于常考题型.11.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数(1)()yxfx=−的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A

.函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fB.函数()fx有极大值(2)f−和极小值(1)fC.函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f−D.函数()fx有极大值(2)f−和极小值(2)f【答案】D【解析】【详解】()()2,10,10xxxfx−

−−则()0fx函数()fx增；()()21,10,10xxxfx−−−则()0fx函数()fx减；()()12,10,10xxxfx−−则()0fx函数()fx减；()()2,10,1

0xxxfx−−则()0fx函数()fx增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,PxyPxy间的“L-距离”定义为121212

|||||.PPxxyy=−+−‖则平面内与x轴上两个不同的定点12,FF的“L-距离”之和等于定值（大于12|FF）的点的轨迹可以是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设12(,0),(,

0)FcFc−，再设动点(,)Mxy，动点到定点12,FF的“L­距离”之和等于(20)mmc，由题意可得：xcyxcym++−++=，即2xcxcym−+++=，当,0xcy−时，方程化为220xym−+=；当,0xcy−时，方程化为220x

ym++=；当,0cxcy−时，方程化为2myc=−；当,0cxcy−时，方程化为2myc=−；当,0xcy时，方程化为220xym+−=；当,0xcy时，方程化为220xym−−=；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．考点：轨迹方程．【方法点晴

】本题主要考查了轨迹方程的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，属于中档试题，本题的解答中设出设12(,0),(,0)FcFc−和动点(,)Mxy的坐标，根据题设条件列出关系式后，分类讨论去掉绝对值号，从而确定动点的轨迹方程，结合本题的选项可得动点的轨迹，得到答案．二、填空

题（本大题共4小题，每小题5分）13.设:211px−，()():10qxaxa−−+，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______.【答案】10,2【解析】【分析】解对应的不等式，得到1:12px；1qaxa+:

；根据q是p的必要而不充分条件，得到1,12是,1aa+的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由211−x得0211x−，所以112x，即1:12px；由()()10xaxa−−+

得1axa+，即1qaxa+:；因为q是p的必要而不充分条件，所以1,12是,1aa+的真子集；因此1211aa+，解得102a≤≤.故答案为：10,2【点睛】本题

主要考查由命题的必要不充分条件求参数，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.14.设函数()fx在()0,+内可导，其导函数为()fx，且()ln2ln=−xfxx，则()1f=______.

【答案】21e−【解析】【分析】先由()ln2ln=−xfxx，根据换元法求出()2=−xfxex，对函数求导，将1x=代入导函数，即可得出结果.【详解】因为()ln2ln=−xfxx，令lntx=，则txe=，所以()2=−tftet，即()2=−x

fxex，所以()21xfxe=−，因此()112=−fe.故答案为：21e−【点睛】本题主要考查求导函数值，熟记导数的计算公式，以及求解析式的方法即可，属于常考题型.15.双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为1F，过点1F作斜率为2的直线与y

轴及双曲线的右支分别交于,AB两点，若1FAAB=，则双曲线的离心率为__．【答案】32+【解析】【分析】由1FAAB=知A为1FB的中点，连接2BF，利用中位线的性质得出2//OABF，利用直线1BF的斜率得出2122BFFF

=，可得出2BF，由勾股定理得出1BF，最后利用双曲线的定义得出a与c的等量关系，从而可求出双曲线离心率的值．【详解】设双曲线的右焦点为2F，连接2BF，1||||FAAB=，可得A为1FB的中点，即有2BFx⊥轴，由题意可

得21221tan2BFBFFFF==，即有2||22BFc=，可得221||8423BFccc=+=，由双曲线的定义可得12|||23222BFBFcca−=−=，可得13232cea===+−．

故答案为32+．【点睛】本题考查双曲线的离心率，充分分析焦点三角形的性质、利用三角形中相关定理以及双曲线的定义来解题，是解本题的关键，综合性较强，着重考查学生分析能力和运算求解能力，属于中等题．16.若函数()22xkfxexkx=−+在0,2上单调递增，则实数k的

取值范围是________．【答案】21,e−【解析】【分析】由()'xfxekxk=−+，利用导数再分情况讨论当0k，当2ke，当01k时，当21ke时函数()xgxekxk=−+的最小值，即可求得实数k的取值范围.【详解】解：由()22xkfxexkx=−+，则()'x

fxekxk=−+，由函数()fx在0,2上单调递增，则()'0xfxekxk=−+在0,2恒成立，设()xgxekxk=−+，0,2x①当0k时，()xgxekxk=−+，0,2x为增函数，要使()0gx，则只需()00g，求得10k−，②

由()'xgxek=−，1当2ke时，()'0gx，即函数()gx为减函数，即()2min(2)gxgek==−，要使()0gx，则只需()2min0gxek=−，即2ke=，2当01k时，有()'0xgxek=−，即函数()g

x为增函数，要使()0gx，则只需()min(0)10gxgk==−，即01k，3当21ke时，有当0lnxk时，()'0gx，当2lnkxe时，()'0gx，即函数()gx在(0,ln)k为减函数，在2(ln,)ke为增函数，即()min(ln)2lngxgkkk

k==−，要使()0gx，则只需()min2ln0gxkkk=−，即2ke，综上可得实数k的取值范围是21,e−，故答案为21,e−.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性

较强的题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤共70分）17.给定实数t，已知命题p：函数2()21fxxtx=−+有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)1xx−≤42t－1.(Ⅰ)当t＝1时，判断命题q的真假；(Ⅱ)若p∨q为假命题，求t的取值范围．【答案】（1）命题q为真命题．（2

）1(,2−1)2.【解析】【分析】(1)t＝1时，max10xx−=,进而得到结果；（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题，当p为假命题时，Δ＝()2-2t－4<0，q为真命题时，max1xx−≤24t－1，即42t－1≥0，取补集即可得到q为

假命题时，12t−12，最终两者取交集.【详解】(Ⅰ)当t＝1时，max10xx−=1xx−≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(Ⅱ)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝()2-2t－4<0，解得－1<t<1；当q为真命

题时，max1xx−≤42t－1，即24t－1≥0，解得t≤12−或t≥12∴当q为假命题时，12t−12∴t的取值范围是1(,2−1)2.【点睛】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复

合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．18.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为12322txyt=

+=−（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程4cos=.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于AB、两点，点(12)P，，求PAPB

+的值.【答案】（1）l的普通方程为：323yx=−++；C的直角坐标方程为：2240xyx+−=；（2）231+【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，建立方程，

即可求得PAPB+的值.【详解】由12322txyt=+=−得23(1)yx−=−−l的普通方程为：323yx=−++C的极坐标方程是4cos=24cos=，224xyx+=C的直角坐标方程为：2240xyx+

−=②将l的参数方程代入C的直角坐标方程223(1)(2)4(1)0222ttt++−−+=2(231)10tt−++=12121,231tttt=+=+，12,tt同号1212||||||||||231PAPB

tttt+=+=+=+.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有三种方程的转化方法，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.19.设函数()332fxxx=−++分别在1x、2x处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为()()11,xfx、()(

)22,xfx，该平面上动点P满足4PAPB=，点Q是点P关于直线yx=的对称点．（Ⅰ）求点A、B的坐标；（Ⅱ）求动点Q的轨迹方程．【答案】（Ⅰ）()1,0A−，()1,4B；（Ⅱ）22450yxx+−−=【解析】【分析】（Ⅰ）先对函

数求导，得到()233=−+fxx，解对应方程()2330fxx=−+=，判断函数单调性，从而可求出函数在1x=−处取得极小值，在1x=取得极大值，进而可求出结果；（Ⅱ）设(),Qxy，()00,Pxy，得到PA，PB的坐标，根据4PAPB=，得到22000450+−−=xyy，再由题意，得

到00xyyx==代入22000450+−−=xyy，化简整理，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为()332fxxx=−++，所以()233=−+fxx，令()2330fxx=−+=，解得1x=−或1x=，当1x

−时，()0fx，当11x−时，()0fx，当1x时，()0fx，所以函数()332fxxx=−++在(),1−−上单调递减，在()1,1−上单调递增，在()1,+上单调递减，所以，函数在1x=−处取得极小值，在1x

=取得极大值，故11x=−，21x=，又()10f−=，()14f=；点()1,0A−，()1,4B；（Ⅱ）设(),Qxy，()00,Pxy，则()001,=−−−PAxy，()001,4=−−PBxy，4=PAPB，220

00144−−+=xyy，22000450xyy+−−=①又点Q是点P关于直线yx=的对称点00xyyx==代入①得：22450yxx+−−=，即为Q的轨迹方程.【点睛】本题主要考查求极值点对应的坐标，以及求动点的轨迹方程，灵活运用导数的方法求

函数极值，根据相关点法求轨迹方程即可，属于常考题型.20.已知曲线221:149xyC+=，直线l：2,22,xtyt=+=−（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任

意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．【答案】（I）2cos,{3sin,xy==260xy+−=；（II）最大值为2255，最小值为255.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy==，得椭圆的参数方程为2cos

,{3sin,xy==，消去参数t即得直线的普通方程为260xy+−=；（II）关键是处理好PA与角30的关系．过点P作与l垂直的直线，垂足为H，则在PHA中，12PHdPA==，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP

，3sin)到定直线260xy+−=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为2cos,{3sin,xy==（为参数）．直线l的普通方程为260xy+−=．（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d

=+−．则0255sin()6sin305dPA==+−．其中为锐角，且4tan3=．当sin()1+=−时，PA取到最大值，最大值为2255．当sin()1+=时，PA取到最小值，最小值为255．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直

线的距离公式；3、解直角三角形．21.已知函数()()ln0fxkxxk=−．（1）若1k=，求()fx的单调区间；（2）若函数()fx有且只有一个零点，求实数k的值；【答案】（1）()fx的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+；（2）1ke=；【解析】【分析】（1）先由1k

=得()lnfxxx=−，对其求导，解对应不等式，即可得出单调区间；（2）先由题意，得到方程ln0kxx−=仅有一个实根，令()()ln0xgxxx=，则()ln()0=xgxxx与yk=有且仅有一个交点，对()lnxgxx=求

导，用导数的方法判断函数单调性，进而可确定结果.【详解】（1）由1k=得()lnfxxx=−，定义域为()0,+，则()111xfxxx−=−=，由()0fx得1x，由()0fx得01x

，所以()fx的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+.（2）由题意知方程ln0kxx−=仅有一个实根，由ln0kxx−=得()ln0xkxx=，令()()ln0xgxxx=，则()ln()0=xgxxx与yk=有且仅有一个交点

，又()21lnxgxx−=，由()21ln0−=xgxx得0xe；由()21ln0−=xgxx得xe；所以()gx在()0,e上单调递增，在(),e+上单调递减，所以()()max1gxgee==.当x→+

时，()0gx→.又0k，所以要使()fx仅有一个零点，则1ke=.【点睛】本题主要考查求函数单调区间，以及导数的方法研究函数零点，通常需要对函数求导，利用导函数判断函数单调性等，属于常考题型.22.椭圆2222:1(0)xyCabab+=

上动点P到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为23+．(1)求椭圆C的方程；(2)设点B为椭圆的上顶点，若直线l与椭圆C交于两点,MN（,MN不是上下顶点）BMBN⊥．试问：直线l是否

经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求BMN面积的最大值．【答案】（1）2214xy+=；（2）30,5P−；（3）见解析【解析】【分析】(1)先根据已知得到a,c的值，再求b的值，即

得椭圆的方程.(2)设直线:lykxm=+（k必存在），()()1122,,,MxyNxy，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理化简BMBN⊥得到35m=−，再求出直线l所经过的定点.(3)先求出22322542541BMNkSk+=+，

再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由已知得：2a=4∴a=2，，3c=，b=1，∴方程为：2214xy+=.（2）依题意可设直线:lykxm=+（k必存在），()()1122,,,MxyNxy，将ykxm=+代入椭圆方程得()222418440kxkmxm+++−

=．()()222264161410kmmk=−−+，2121222844,4141kmmxxxxkk−−+==++∵1122,,ykxmykxm=+=+∴()121222241myykxxmk+=++=+∴()()()2212121212yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++221

22441mkyyk−=+，∵点B为椭圆的上顶点，且BMBN⊥，∴()()()1122121212,1,1010BMBNxyxyxxyyyy⊥−−=+−++=，222222444210414141mmkmkkk−−+−+=+++，235

2305mmm−−==−或1m=（舍去），∴直线l3:5ykx=−必过定点30,5P−（3）不难得到：()212121214425BMNSBPxxxxxx=−=+−，()()222212122224464414

4322542525455412541BMNkkkSxxxxkk+++=+−==++，令2254,2tkt=+，则2249412525kt+=+，∴2321326432499925254422525

2BMNtSttt===+++（当2t=，即0k=时取等号）.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第3问的关键有两点，其一是求出()(

)2222121222244644144322542525455412541BMNkkkSxxxxkk+++=+−==++，其二是换元得到23249252525BMNtSt=+再利用基本不等式求函数的最大值.