【文档说明】广东省普宁市普师高级中学2021届高三下学期第二次模拟数学试题 含答案.docx，共(28)页，288.604 KB，由小赞的店铺上传

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1绝密★启用前普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考数学注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记

分。一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合𝐴={1,2}，𝐵={2,3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{1}B.{3,4}C.{2}D.{1,2，3，4}2.己知i是虚数

单位，复数𝑧=1−𝑖|𝑖|，下列说法正确的是()A.z的虚部为−𝑖B.z对应的点在第一象限C.z的实部为−1D.z的共轭复数为1+𝑖3.设m，n是两条不同的直线，𝛼，𝛽是两个不同的平面，p：𝑚⊥𝑛，若p是q的必要条件，则q可能是()A.q：

𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽B.q：𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，𝛼//𝛽C.q：𝑚⊂𝛼、𝑛⊥𝛽，𝛼//𝛽D.q：𝑚⊂𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽4.下列结论正确的是()①“𝑎=14”是“对任意的正数x，均有𝑥+𝑎𝑥≥1”的充分非必要条件．②随机变量𝜉服从正态

分布𝑁(2,22)，则𝐷(𝜉)=2③线性回归直线至少经过样本点中的一个．④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有𝑐>𝑏>𝑎2A.③④

B.①②C.①③④D.①④5.已知函数𝑓(𝑥)=1+log2𝑥−log2(4−𝑥)，则()A.𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于直线𝑥=2对称B.𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于点(2,1)对称C.𝑓(𝑥)在(0,

4)单调递减D.𝑓(𝑥)在(0,4)上不单调6.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段

(13,23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0,13]，[23,1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间

段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为()(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)A.4B.5C.6D.77.设双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(

𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠𝐹1𝑃𝐹2=120°，则双曲线C的离心率为A.√3B.1+√3C.2+√3D.48.已知锐角△𝐴𝐵𝐶的一边BC在平面𝛼内，𝐴∉𝛼，点A在

平面𝛼内的射影为点P，则∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝑃𝐶的大小关系为()A.∠𝐵𝐴𝐶<∠𝐵𝑃𝐶B.∠𝐵𝐴𝐶>∠𝐵𝑃𝐶C.∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐶D.以上情况都有可能二、多选题（本大题共4小题，共20.0分,错选多选得0分，漏选得2分）9.下列命题

正确的是()A.“𝑎>1”是“1𝑎<1”的必要不充分条件B.命题“∃𝑥0∈(0,+∞)，ln𝑥0=𝑥0−1”的否定是“∀𝑥∈(0,+∞)，ln𝑥≠𝑥−1”C.若𝑎,𝑏∈𝑅，则𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=2D.设𝑎∈𝑅，“𝑎=1”，是“函数�

�(𝑥)=𝑎−𝑒𝑥1+𝑎𝑒𝑥在定义域上是奇函数”的充分不必要条件310.已知函数𝑓(𝑥)=2cos2𝜔𝑥+√3sin2𝜔𝑥−1(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则下列说法正确的有()A.𝜔=2B.函数𝑓(𝑥)

在[0,𝜋6]上为增函数C.直线𝑥=𝜋3是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一条对称轴D.点(512𝜋,0)是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一个对称中心11.下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其

它类营业收入占比48.6％15.8％20.1％10.8％4.7％净利润占比65.8％−4.3％16.5％20.2％1.8％该生活超市本季度的总营业利润率为32.5％(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，则A.本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区B.本季度此生活超市的

营业净利润超过一半来自生鲜区C.本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50％12.已知点P为▵𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A.向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可能平行B.向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可能垂直C.点P在线段EF上D.𝑃𝐸:𝑃𝐹=1:2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为60°，则𝑎⃗⃗+𝑏⃗在𝑎⃗⃗方向上的投影为______．14.若(𝑎𝑥2+𝑏𝑥)6的展开式中𝑥3项的系数为20，则𝑎2+𝑏2的最小值为______．15.

已知𝑎⃗⃗,𝑏⃗,𝑐⃗是平面向量，𝑎⃗⃗,𝑐⃗是单位向量，且<𝑎⃗⃗,𝑐⃗>=𝜋3，若𝑏⃗2−9𝑏⃗⋅𝑐⃗+20=0，则|2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|最大值是___________16.已知𝑥1是函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−2的一个

零点，𝑥2是函数𝑔(𝑥)=log2(𝑥−1)+𝑥−3的一个零点，则𝑥1+𝑥2的值为________．4四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑎+𝑏sin𝐶=√3𝑏−𝑐sin𝐵−s

in𝐴．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若等差数列{𝑎𝑛}的公差不为零，𝑎1sin𝐴=1，且𝑎2、𝑎4、𝑎8成等比数列，求{4𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前n项和𝑆𝑛．18.在①𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶−√3𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=√3𝑏𝑐𝑜𝑠2𝐶；②5𝑐�

�𝑜𝑠𝐵+4𝑏=5𝑎；③(2𝑏−𝑎)𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴这三个条件中任选一个，补充在面问题中，然后解答补充完整的题目．在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.且满足__________．(1)

求sinC；(2)已知𝑎+𝑏=5，△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为4√33，求△𝐴𝐵𝐶的边AB上的高ℎ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为

𝐴𝐴1，AC，𝐴1𝐶1，𝐵𝐵1的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√5，𝐴𝐶=𝐴𝐴1=2．(1)求证：𝐴𝐶⊥平面BEF；(2)求二面角𝐵−𝐶𝐷−𝐶1的余弦值．520.已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的

左、右焦点，A为C的上顶点，𝐴𝐹1⊥𝐴𝐹2，且▵𝐴𝐹1𝐹2的面积等于1．(1)求C的方程；(2)若过点A的直线𝑙1交C于另外一点M，𝑙1关于直线𝐴𝐹1对称的直线为𝑙2，𝑙2交C于另外一点𝑁(异于点𝑀)，证明：直线MN过定点．21.已

知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥．(1)解不等式𝑓(log22𝑥)+𝑓(log√2𝑥−3)≤0；(2)若过点𝐴(2,𝑚)可作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的三条切线，求实数m的取值范围．22.为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了A、

B两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下(单位：元)：(Ⅰ)分别计算两个小区这20户家

庭当日消费额在[500,600)的频率，并补全频率分布直方图；(Ⅱ)分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在[500,600)的户数为1时的概率(频率当作概率使用)；(Ⅲ)运用所学统计知识分析比较两

个小区的当日网购消费水平．67绝密★启用前普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考数学答案注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、单选题（本大题共8

小题，共40.0分）23.已知集合𝐴={1,2}，𝐵={2,3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{1}B.{3,4}C.{2}D.{1,2，3，4}【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合的基

本运算，以及韦恩图，比较基础．由图象可知阴影部分对应的集合为𝐵∩(∁𝑁𝐴)，然后根据集合的基本运算即可．【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是𝐵∩∁𝑁𝐴，∵集合𝐴={1,2}，𝐵={2,3，4}，∴𝐵∩(∁

𝑁𝐴)={3,4}，故选：B．24.己知i是虚数单位，复数𝑧=1−𝑖|𝑖|，下列说法正确的是()A.z的虚部为−𝑖B.z对应的点在第一象限C.z的实部为−1D.z的共轭复数为1+𝑖【答案】D【

解析】8【分析】本题考查复数的概念、几何意义、模、共轭复数和运算，属于基础题．先化简z，再逐一判断即可．【解答】解：∵𝑧=1−𝑖|𝑖|=1−𝑖，∴𝑧的实部为1，虚部为−1；z对应的点的坐标为(1,−1)，

在第四象限;z的共轭复数为1+𝑖．故ABC错误，D正确故选D．25.设m，n是两条不同的直线，𝛼，𝛽是两个不同的平面，p：𝑚⊥𝑛，若p是q的必要条件，则q可能是()A.q：𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽B.q：𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，𝛼//𝛽C.q：𝑚⊂𝛼、𝑛⊥�

�，𝛼//𝛽D.q：𝑚⊂𝛼，𝑛//𝛽，𝛼⊥𝛽【答案】C【解析】解：若p是q的必要条件，则只需𝑞⇒𝑝即可；对于选项A，m、n的位置关系是平行、相交或异面，q不能推出p，所以A错误；对于选项B，结论为𝑚//𝑛，则q不能推出p，所以B错误；对于选项C，若𝑛⊥𝛽，𝛼//𝛽

，则𝑛⊥𝛼；又𝑚⊂𝛼，所以𝑚⊥𝑛，即𝑞⇒𝑝，所以C正确；对于D，m、n的位置关系是平行、相交或异面，则q不能推出p，所以D错误．故选：C．由题意知，若p是q的必要条件，则只需𝑞⇒𝑝即

可；分别判断四个选项中是否满足q能推出p，即可得出结论．本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．26.下列结论正确的是()①“𝑎=14”是“对任意的正数x，均有

𝑥+𝑎𝑥≥1”的充分非必要条件．9②随机变量𝜉服从正态分布𝑁(2,22)，则𝐷(𝜉)=2③线性回归直线至少经过样本点中的一个．④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均

数为a，中位数为b，众数为c，则有𝑐>𝑏>𝑎A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】【分析】此题考查充分必要条件、正态分布、线性回归直线及统计知识的应用，关键是对相关知识的熟练掌握．【解答】解：①当𝑎=14时，由基本不

等式得𝑥+14𝑥≥2√14=1；但当对任意的正数x，均有𝑥+𝑎𝑥≥1时，𝑥=14不一定成立，所以“𝑎=14”是“对任意的正数x，均有𝑥+𝑎𝑥≥1”的充分非必要条件，故①正确；②因为𝐷(𝜉)=22=4，所以②不正确；③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；④

因为平均数为14.7，中位数为15，众数为17，所以𝑐>𝑏>𝑎，故④正确．所以正确的为①④．故选D．27.已知函数𝑓(𝑥)=1+log2𝑥−log2(4−𝑥)，则()A.𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于直线𝑥=2对称B.𝑦=𝑓(𝑥)的图

像关于点(2,1)对称10C.𝑓(𝑥)在(0,4)单调递减D.𝑓(𝑥)在(0,4)上不单调【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性，对称性，复合函数的单调性以及对数函数的性质，属于中

档题．根据题意对函数化简，可设，先判断函数𝑔(𝑥)的性质，再由平移关系得到.函数𝑓(𝑥)的性质，即可得解．【解答】解：，则{𝑥>04−𝑥>0，即函数的定义域为(0,4)，设，𝑥∈(−2,2)，，∴函数𝑔(𝑥)为奇函数，

关于点(0,0)对称，又∵2+𝑥2−𝑥在(0,2)上单调递增，∴𝑔(𝑥)在定义域(−2,2)上单调递增，∵函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+2)−1向右平移2个单位，向上平移1个单位得到函数𝑓(𝑥)，∴𝑓(𝑥)关于点(2,1)对

称，且在定义域(0,4)上单调递增，故选B．28.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为

三段，去掉中间的区间段(13,23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0,13]，[23,1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区

间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为()(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)11A.4B

.5C.6D.7【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查等比数列的求和，等比数列的实际应用，涉及解指数不等式，属于中档题．根据已知可得所有去掉的区间长度之和为𝑆𝑛=13+29+⋅⋅⋅+2𝑛−1

3𝑛=1−(23)𝑛，进而通过不等式求出结果，【解答】解：第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n次操作去掉2𝑛−1个长度为13𝑛的区间，长度和为2𝑛−1

3𝑛．于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为𝑆𝑛=13+29+⋅⋅⋅+2𝑛−13𝑛=1−(23)𝑛，由题意，1−(23)𝑛⩾910，即𝑛lg23⩽lg110，解得：𝑛⩾5.68，又n为整数，所以n的最小值为6．故选C．29.设双曲线C：𝑥

2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠𝐹1𝑃𝐹2=120°，则双曲线C的离心率为A.√3B.1+√3C.2+√3D.4【答案】C【解析】【

分析】本题考查了双曲线焦点三角形问题，余弦定理的应用，以及三角形面积公式应用，属于中档题．设𝑃𝐹1=𝑚，𝑃𝐹2=𝑛，12则{|𝑚−𝑛|=2𝑎12𝑚𝑛√32=12×2𝑐×2𝑎−12=𝑚2+𝑛2−4𝑐22𝑚𝑛⇒𝑐2−𝑎2=2√3𝑎𝑐化

简即可求解离心率．【解答】解：设𝑃𝐹1=𝑚，𝑃𝐹2=𝑛，则{|𝑚−𝑛|=2𝑎12𝑚𝑛√32=12×2𝑐×2𝑎−12=𝑚2+𝑛2−4𝑐22𝑚𝑛⇒𝑐2−𝑎2=2√3𝑎𝑐,故，故

选C．30.已知锐角△𝐴𝐵𝐶的一边BC在平面𝛼内，𝐴∉𝛼，点A在平面𝛼内的射影为点P，则∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝑃𝐶的大小关系为()A.∠𝐵𝐴𝐶<∠𝐵𝑃𝐶B.∠𝐵𝐴𝐶>∠𝐵𝑃𝐶C.∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐶D.以上情况都有可能【答案】A【解析】解

：过点P作𝑃𝐷⊥𝐵𝐶于点D，连结AD，如图，则𝐵𝐷⊥平面APD，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，tan∠𝐶𝐴𝐷=𝐶𝐷𝐴𝐷，𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐷中，tan∠𝐶𝑃𝐷=𝐶𝐷𝑃𝐷，在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐷中，𝐴𝐷>𝑃𝐷，∴�

�𝐷𝐴𝐷<𝐶𝐷𝑃𝐷，∴tan∠𝐶𝐴𝐷∠tan∠𝐶𝑃𝐷，∵∠𝐶𝐴𝐷和∠𝐶𝑃𝐷都是锐角，∴∠𝐶𝐴𝐷<∠𝐶𝑃𝐷，同理可得∠𝐵𝐴𝐷<∠𝐵𝑃𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐷<∠𝐶𝑃

𝐷+∠𝐵𝑃𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐶<∠𝐵𝑃𝐶．故选：A．过点P作𝑃𝐷⊥𝐵𝐶于点D，连结AD，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷和𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐷中，分别求出tan∠𝐶𝐴𝐷和tan∠𝐶𝑃𝐷，就可以比较∠𝐶𝐴𝐷和∠𝐶𝑃𝐷的大小，进而比较∠𝐵𝐴𝐶与∠

𝐵𝑃𝐶的大小．本题考查两个角大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，13考查运算求解能力，是中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）31.下列命题正确的是()A.“𝑎>1”是“1𝑎<1”的必

要不充分条件B.命题“∃𝑥0∈(0,+∞)，ln𝑥0=𝑥0−1”的否定是“∀𝑥∈(0,+∞)，ln𝑥≠𝑥−1”C.若𝑎,𝑏∈𝑅，则𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=2D.设𝑎∈𝑅，“𝑎=

1”，是“函数𝑓(𝑥)=𝑎−𝑒𝑥1+𝑎𝑒𝑥在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【答案】BD【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判定及存在量词命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否及命题的充分条件与必要条件判断即可．【解答】解：对于A，当�

�>1时，能推得1𝑎<1，当𝑎<0时，由1𝑎<1推不出𝑎>1，所以“𝑎>1”是“1𝑎<1”的充分不必要条件，A不正确；对于B，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃𝑥0∈(0,+∞),ln𝑥0=𝑥0−1”的否定是“∀𝑥∈(0,+∞),ln𝑥≠𝑥−1”，

B正确；对于C，显然a，b异号时不能得到𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏⬚=2，故C错误；对于D，由𝑎=1推出𝑓(𝑥)=𝑎−𝑒𝑥1+𝑎𝑒𝑥是奇函数，而当𝑎=−1时，𝑓(𝑥)=𝑎−𝑒𝑥1+𝑎𝑒𝑥也是奇函数，则“𝑎=1”是“函数𝑓(𝑥

)=𝑎−𝑒𝑥1+𝑎𝑒𝑥在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，D正确．故选BD．32.已知函数𝑓(𝑥)=2cos2𝜔𝑥+√3sin2𝜔𝑥−1(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则下列说法正确的有()14A.𝜔=2B.函数𝑓(𝑥)在

[0,𝜋6]上为增函数C.直线𝑥=𝜋3是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一条对称轴D.点(512𝜋,0)是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一个对称中心【答案】BD【解析】【分析】本题考查三角函数的性质应用，考查两角和与差的三角函数公式，辅助角公式及二倍角公式应用，属基础题．依题意，根据两角和与差的

三角公式及二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可．【解答】解：，因最小正周期为𝜋得𝜔=1，故A错误，当时，，得函数𝑓(𝑥)在[0,𝜋6]上为增函数，故B正确；当，，所以直线𝑥=𝜋3不是函数𝑦=𝑓(𝑥

)图象的一条对称轴，故C错误；当，，得点(512𝜋,0)是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一个对称中心，故D正确；故选BD．33.下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区

日用品区其它类营业收入占比48.6％15.8％20.1％10.8％4.7％净利润占比65.8％−4.3％16.5％20.2％1.8％该生活超市本季度的总营业利润率为32.5％(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，则15A.本季度此生活超

市营业收入最低的是熟食区B.本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区C.本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50％【答案】BC【解析】【分析】本题考查了统计表格的理解，考查了学生对数据的处理能力，由各

区域营业收入占比和净利润占比统计表可分析得答案．【解答】解：由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A错；生鲜区的净利润占比65.8%>12，故B正确；生鲜区的营业利润率为65.8%48.6%×32.5%

<50%，，故D错；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为20.2%10.8%×32.5%，最高，故C正确．故选BC．34.已知点P为▵𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A.向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可能平行B.向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可能垂直C.点P在线段EF上D.𝑃𝐸:𝑃�

�=1:2【答案】BC【解析】【分析】本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．由题意并根据平面向量线性运算可知𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗)，代入等式可得𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，即可判断C和D；根据平面中的位置关系，可判断A和B．【解答】16解：∵𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+2

(𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=0⃗，∵𝐸为AC的中点，F为BC的中点，∴2𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+2×2𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，∴𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝑃为FE的三等分点(靠近点𝐹)，即𝑃𝐸:𝑃𝐹=2:1，

故C正确，D错误，∴向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗不可能平行，故A错误；当|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=43|𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=23|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|时，向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗垂直，B正确．故选BC．三

、单空题（本大题共4小题，共20.0分）35.已知|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为60°，则𝑎⃗⃗+𝑏⃗在𝑎⃗⃗方向上的投影为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基

础题．根据|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为60°，算出|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=√7且(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⋅𝑎⃗⃗=2.再设𝑎⃗⃗+𝑏⃗与𝑎⃗⃗的夹角为𝜃，结合数量积公式和向量投影的

定义，算出|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃的值，即可得到向量𝑎⃗⃗+𝑏⃗在𝑎⃗⃗方向上的投影值．【解答】解：∵|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为60°，∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=|𝑎⃗⃗|×|𝑏⃗|×𝑐𝑜𝑠60°=1由此可得(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)2=

|𝑎⃗⃗|2+2𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗+|𝑏⃗|2=1+2+4=7∴|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=√7．设𝑎⃗⃗+𝑏⃗与𝑎⃗⃗的夹角为𝜃，∵(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⋅𝑎⃗⃗=|𝑎⃗⃗|2+𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=2，∴𝑐𝑜𝑠𝜃=(𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗)⋅𝑎⃗⃗

|𝑎⃗⃗+𝑏⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗|=2√77，可得向量𝑎⃗⃗+𝑏⃗在𝑎⃗⃗方向上的投影为|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃=√7×2√77=2，故答案为2．1736.若(𝑎𝑥2+𝑏𝑥)6的展开式中𝑥3项的系数为20，则𝑎2+

𝑏2的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【

解答】解：(𝑎𝑥2+𝑏𝑥)6的展开式中𝑥3项的系数为20，所以𝑇𝑟+1=𝐶6𝑟(𝑎𝑥2)6−𝑟(𝑏𝑥)𝑟=𝐶6𝑟𝑎6−𝑟𝑏𝑟𝑥12−3𝑟，令12−3𝑟=3，∴𝑟=3，𝐶63�

�3𝑏3=20，∴𝑎𝑏=1，𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏=2，当且仅当𝑎=𝑏=1时取等号．𝑎2+𝑏2的最小值为：2．故答案为2．37.已知𝑎⃗⃗,𝑏⃗,𝑐⃗是平面向量，𝑎⃗⃗,𝑐⃗

是单位向量，且<𝑎⃗⃗,𝑐⃗>=𝜋3，若𝑏⃗2−9𝑏⃗⋅𝑐⃗+20=0，则|2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|最大值是___________【答案】1+√612【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算

及平面向量的数量积，同时考查与圆有关的最值问题，属于中档题．以𝑐⃗的正方向为x轴的正方向，以𝑐⃗的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，设𝑏⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦)，𝑎⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，

根据原等式可知𝑏⃗的终点B在圆(𝑥−92)2+𝑦2=12上，作出图象，利用|2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|的几何意义即可得解．【解答】18解：以𝑐⃗的正方向为x轴的正方向，以𝑐⃗的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，则由已知得𝑐⃗=(1,0)，设𝑏⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦)，𝑎⃗

⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，则由𝑏⃗2−9𝑏⃗⋅𝑐⃗+20=0得𝑥2+𝑦2−9𝑥+20=0，即(𝑥−92)2+𝑦2=14，所以𝑏⃗的终点B在圆(𝑥−92)2+𝑦2=12上，圆心𝐶(92,0)，半径𝑟=12，又单位向量𝑎⃗

⃗与𝑐⃗的夹角为𝜋3，所以𝑎⃗⃗的终点A在射线𝑦=√3𝑥,𝑥>0上，所以𝐴(12,√32)，设2𝑎⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑀(1,√3)，又|2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|=|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以|

2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|的最大值等于圆心C到点M的距离加上圆的半径，如下图，所以|2𝑎⃗⃗−𝑏⃗|max=|𝑀𝐶|+𝑟=√(1−92)2+(√3)2+12=√61+12，故答案为1+√612．38.已知𝑥1是函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−2的一个零点，�

�2是函数𝑔(𝑥)=log2(𝑥−1)+𝑥−3的一个零点，则𝑥1+𝑥2的值为________．【答案】3【解析】【分析】本题考查利用数形结合的思想求函数的零点，属于较难题．由于同底数的指数函数、对数函数互为反函数，且他们的图像关于直线𝑦=𝑥对

称，因此涉及互为反函数的两个函数零点的和的问题，常利用此性质求解．本题求解的易错之处是不能正确理解ℎ(𝑥)=192𝑥+1与𝑡(𝑥)=log2(𝑥−1)的图像关于直线𝑦=𝑥对称以及点A，B在直线𝑚(𝑥)=3−𝑥上(此时直线𝑚(𝑥)=3−

𝑥与直线𝑦=𝑥垂直)的性质．【解答】解：函数𝑓(𝑥)的零点问题可以转化为函数ℎ(𝑥)=2𝑥+1与𝑚(𝑥)=3−𝑥的图像交点问题，函数𝑔(𝑥)的零点问题可以转化为函数𝑡(𝑥)=log2(𝑥−1)

与𝑚(𝑥)=3−𝑥的图像交点问题，易得ℎ(𝑥)与𝑡(𝑥)互为反函数，即图像关于直线𝑦=𝑥对称，在同一直角坐标系中作出函数𝑦=ℎ(𝑥)，𝑦=𝑚(𝑥)，𝑦=𝑡(𝑥)的图像如图所示，设𝐴(𝑥1,𝑦

1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则由ℎ(𝑥)与𝑡(𝑥)的图像关于直线𝑦=𝑥对称可得𝑥2=𝑦1，由𝐴(𝑥1,𝑦1)在直线𝑚(𝑥)=3−𝑥上可知𝑦1=3−𝑥1，即𝑥1+𝑥2=3．故答案为3．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）39.

在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑎+𝑏sin𝐶=√3𝑏−𝑐sin𝐵−sin𝐴．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若等差数列{𝑎𝑛}的公差不为零，𝑎1sin𝐴=1，且𝑎2、𝑎4、𝑎

8成等比数列，求{4𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前n项和𝑆𝑛．【答案】解：(Ⅰ)由𝑎+𝑏sin𝐶=√3𝑏−𝑐sin𝐵−sin𝐴及正弦定理得𝑎+𝑏𝑐=√3𝑏−𝑐𝑏−𝑎，整理得𝑏

2+𝑐2−𝑎2=√3𝑏𝑐，所以cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=√32，又0<𝐴<𝜋，∴𝐴=𝜋6；20(Ⅱ)设{𝑎𝑛}的公差为d，由𝑎1sin𝐴=1得𝑎1=2，∵𝑎2、�

�4、𝑎8成等比数列，∴𝑎42=𝑎2𝑎8，即(2+3𝑑)2=(2+𝑑)(2+7𝑑)，又𝑑≠0，∴𝑑=2，∴𝑎𝑛=2𝑛．∴4𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1�

�+1．∴𝑆𝑛=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1𝑛−1𝑛+1)=1−1𝑛+1=𝑛𝑛+1．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质和利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．

(Ⅰ)由𝑎+𝑏sin𝐶=√3𝑏−𝑐sin𝐵−sin𝐴，利用正弦定理及余弦定理，可得cosA，进而求得A；(Ⅱ)设{𝑎𝑛}的公差为d，由等差数列的通项公式以及等比数列的性质解得𝑑=2，𝑎�

�=2𝑛，进而可得4𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，即可用裂项相消法求和．40.在①𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶−√3𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=√3𝑏𝑐𝑜𝑠2𝐶；②5𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵+4𝑏=5𝑎；③(2𝑏−𝑎)𝑐𝑜

𝑠𝐶=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴这三个条件中任选一个，补充在面问题中，然后解答补充完整的题目．在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.且满足__________．(1)求sinC；(2)已知𝑎+𝑏=5，△𝐴𝐵𝐶的

外接圆半径为4√33，求△𝐴𝐵𝐶的边AB上的高ℎ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解：选择条件①：(1)因为𝑎sin𝐶−√3𝑐cos𝐵cos𝐶=√3𝑏cos2𝐶，所以由正弦定理得s

in𝐴sin𝐶=√3sin𝐶cos𝐵cos𝐶+√3sin𝐵cos2𝐶，即sin𝐴sin𝐶=√3cos𝐶(sin𝐶cos𝐵+sin𝐵cos𝐶)，故sin𝐴sin𝐶=√3cos𝐶sin𝐴.又𝐴∈(0,𝜋)⇒sin𝐴≠0，所以sin𝐶=√3cos𝐶⇒

tan𝐶=√3．由𝐶∈(0,𝜋)⇒𝐶=𝜋3．所以sin𝐶=sin𝜋3=√32.21(2)由正弦定理得𝑐=2×4√33sin𝜋3=4，由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝜋3=(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=16，所以𝑎𝑏=(𝑎

+𝑏)2−163⇒𝑎𝑏=3.于是得△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑐ℎ，所以ℎ=𝑎𝑏sin𝐶𝑐=3×√324=3√38.选择条件②：(1)因为5𝑐cos𝐵+4𝑏=5𝑎，由正弦定理得

5sin𝐶cos𝐵+4sin𝐵=5sin𝐴，即5sin𝐶cos𝐵+4sin𝐵=5sin(𝐵+𝐶)=5sin𝐵cos𝐶+5cos𝐵sin𝐶，于是sin𝐵(4−5cos𝐶)=0.在△𝐴𝐵𝐶中，sin𝐵

≠0，所以cos𝐶=45，sin𝐶=√1−cos2𝐶=35.(2)由正弦定理得𝑐=2×4√33×35=8√35，由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=(𝑎+𝑏)2−185𝑎𝑏=19225，所以𝑎𝑏=[(𝑎+�

�)2−19225]×518=43390，于是得△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑐ℎ，所以ℎ=𝑎𝑏sin𝐶𝑐=43390×35×58√3=433√3720．选择条件③：(1)因为(2𝑏−𝑎)cos𝐶=𝑐cos𝐴，所以由正弦定

理得(2sin𝐵−sin𝐴)cos𝐶=sin𝐶cos𝐴，所以2sin𝐵cos𝐶=sin(𝐴+𝐶)=sin𝐵，因为𝐵∈(0,𝜋)，所以sin𝐵≠0⇒cos𝐶=12，又𝐴∈(0,𝜋)，22所以𝐶=𝜋3，所以sin𝐶=√32.(2)由正弦定理得

𝑐=2×4√33sin𝜋3=4，由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝜋3=(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=16，所以𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)2−163⇒𝑎𝑏=3.于是得△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑐ℎ，

所以ℎ=𝑎𝑏sin𝐶𝑐=3×√324=3√38.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，属于较难题．选择条件①：(1)由正弦定理及三角恒等变换可得tanC，即可得角C的值，从而可得sinC；(2)由正

弦定理得c，由余弦定理可得ab的值，即可得△𝐴𝐵𝐶的面积，从而可得△𝐴𝐵𝐶的边AB上的高h．选择条件②：(1)由5𝑐cos𝐵+4𝑏=5𝑎结合正弦定理及三角恒等变换得cos𝐶，由同角三角函数关系可得sinC；(2)由正弦定理得c，由余弦定理可得ab，结合三角形面

积即可得△𝐴𝐵𝐶的边AB上的高h．选择条件③：(1)由(2𝑏−𝑎)cos𝐶=𝑐cos𝐴结合正弦定理得，(2sin𝐵−sin𝐴)cos𝐶=sin𝐶cos𝐴，从而可得cos𝐶，即可得角C的值，从而可得sin

C；(2)由正弦定理得c，由余弦定理可得ab的值，即可得△𝐴𝐵𝐶的面积，从而可得△𝐴𝐵𝐶的边AB上的高h．41.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为𝐴𝐴1，AC，𝐴1𝐶1，𝐵𝐵1的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√

5，𝐴𝐶=𝐴𝐴1=2．23(1)求证：𝐴𝐶⊥平面BEF；(2)求二面角𝐵−𝐶𝐷−𝐶1的余弦值．【答案】解：(1)证明：在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∵𝐶𝐶1⊥平面ABC，∴四边形𝐴1𝐴𝐶𝐶1为矩形

．又E，F分别为AC，𝐴1𝐶1的中点，∴𝐴𝐶⊥𝐸𝐹．∵𝐴𝐵=𝐵𝐶．∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，𝐵𝐸⋂𝐸𝐹=𝐸∴𝐴𝐶⊥平面BEF．(2)由(1)知𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，𝐸𝐹//𝐶𝐶1．又𝐶𝐶1⊥平面ABC，∴𝐸𝐹⊥平面ABC．∵𝐵𝐸

⊂平面ABC，∴𝐸𝐹⊥𝐵𝐸．如图建立空间直角坐称系𝐸−𝑥𝑦𝑧．24由题意得𝐵(0,2，0)，𝐶(−1,0，0)，𝐷(1,0，1)，𝐹(0,0，2)，𝐺(0,2，1)．∴𝐶𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗=(2,0,1),𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,0)，设平面BCD的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，∴{𝑛⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴{2𝑎+𝑐=0�

�+2𝑏=0,令𝑎=2，则𝑏=−1，𝑐=−4，∴平面BCD的法向量𝑛⃗⃗=(2,−1,−4)，又∵平面𝐶𝐷𝐶1的法向量为𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，∴cos<𝑛⃗⃗,𝐸𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗>=𝑛⃗⃗·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗·|𝐸𝐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−√2121．由图可得二面角𝐵−𝐶𝐷−𝐶1为钝角，所以二面角𝐵−𝐶𝐷−𝐶1的余弦值为−√2121．【解析】本题主要考查的是线面

垂直的判定和性质，平面的法向量，二面角，线线垂直的判定和性质等有关知识．(1)先判定出四边形𝐴1𝐴𝐶𝐶1为矩形．根据E，F分别为AC，𝐴1𝐶1的中点，得到𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，根据𝐴𝐵=𝐵𝐶，得到𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，进而解出此题

；(2)建立空间直角坐称系𝐸−𝑥𝑦𝑧.由题意得𝐵(0,2，0)，𝐶(−1,0，0)，𝐷(1,0，1)，𝐹(0,0，2)，𝐺(0,2，1).设平面BCD的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，令𝑎=2，则𝑏=−1，𝑐=−4，

得到平面BCD的法向量𝑛⃗⃗=(2,−1,−4)，然后求出cos<𝑛⃗⃗,𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑛⃗⃗·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗·|𝐸𝐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−√2121．2542.已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆C：𝑥

2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，A为C的上顶点，𝐴𝐹1⊥𝐴𝐹2，且▵𝐴𝐹1𝐹2的面积等于1．(1)求C的方程；(2)若过点A的直线𝑙1交C于另外一点M，𝑙1关于直线𝐴𝐹1对称的直线为𝑙2，𝑙2交C于另

外一点𝑁(异于点𝑀)，证明：直线MN过定点．【答案】(1)解：设椭圆的半焦距为c，因为𝑆△𝐴𝐹1𝐹2=12𝑎2=1，所以𝑎=√2，又𝑏=𝑐，且𝑎2=𝑏2+𝑐2，所以𝑏=𝑐=1．所以椭圆C的方程为𝑥22+𝑦2=1;(2)证明：由(1)知𝐴(0,1

)，设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2⋅𝑦2)，𝑙1:𝑦=𝑘1𝑥+1，𝑙2:𝑦=𝑘2𝑥+1，联立{𝑦=𝑘1𝑥+1,𝑥22+𝑦2=1,得(1+2𝑘12)𝑥2+4𝑘1𝑥=0．所以�

�1=−4𝑘11+2𝑘⬚12⋅𝑦1=1−2𝑘121+2𝑘12．因为𝑙1与𝑙2关于直线𝑦−𝑥+1对称，设点𝐹1到直线𝑙1的距离为𝑑1，到直线𝑙2的距离为𝑑1，所以𝑑1=𝑑1，得𝑘1𝑘1=1，同

理𝑥2=−4𝑘1𝑘⬚12+2，𝑦2=𝑘12−2𝑘12+2，所以𝑘𝑀𝑁𝑘12−2𝑘12+2−1−2𝑘121+2𝑘12−4𝑘1𝑘12+2−−4𝑘11+2𝑘12=𝑘12+1−𝑘1，所以直线MN的方程为𝑦−1−2𝑘121+2𝑘12=−1+�

�12𝑘1(𝑥+4𝑘11+2𝑘12)=−1+𝑘12𝑘1𝑥−4(1+𝑘12)1+2𝑘12所以𝑦=−1+𝑘12𝑘1𝑥−3，所以直线MN恒过定点(0,−3)．【解析】本题主要考查椭圆的概念及标准方程，圆锥曲线中的定

点与定值问题，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，属于中等题．(1)根据题意得到𝑎=√2，进而得到𝑏=𝑐=1即可；(2)设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2⋅𝑦2)，𝑙1:𝑦=𝑘1𝑥+1，𝑙2:𝑦=𝑘2𝑥+1，

联立{𝑦=𝑘1𝑥+1,𝑥22+𝑦2=1,得(1+262𝑘12)𝑥2+4𝑘1𝑥=0，进而得到𝑥1=−4𝑘11+2𝑘⬚12⋅𝑦1=1−2𝑘121+2𝑘12，𝑥2=−4𝑘1𝑘⬚12+2，

𝑦2=𝑘12−2𝑘12+2即可．43.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥．(1)解不等式𝑓(log22𝑥)+𝑓(log√2𝑥−3)≤0；(2)若过点𝐴(2,𝑚)可作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的三条切线，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)定义域为R，∵𝑓

(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，∴𝑓(𝑥)为奇函数，∵𝑓′(𝑥)=3𝑥2+3>0，∴𝑓(𝑥)为单调递增函数．∵𝑓(log22𝑥)+𝑓(log√2𝑥−3)≤0，，而𝑓(𝑥)为奇函数，

∴𝑓(log22𝑥)≤𝑓(−log√2𝑥+3)，∵𝑓(𝑥)为单调递增函数，，∴log22𝑥+2𝑙𝑜𝑔2𝑥−3≤0，∴−3≤log2𝑥≤1，∴𝑥∈[18,2]．(2)设切点为(𝑥0,𝑥03+3𝑥0)，则切线方程为𝑦−(𝑥03+3𝑥

0)=(3𝑥02+3)(𝑥−𝑥0)．∵𝐴(2,𝑚)在切线上，∴(3𝑥02+3)(2−𝑥0)=𝑚−(𝑥03+3𝑥0)，由题意得，关于𝑥0的方程𝑚=−2𝑥03+6𝑥02+6有三个不等的实根，𝑔(𝑥)=−2𝑥3+6𝑥2+6

，𝑔′(𝑥)=−6𝑥2+12𝑥=−6𝑥(𝑥−2)，令𝑔′(𝑥)=0，则𝑥=0或𝑥=2，令𝑔′(𝑥)>0,则0<𝑥<2，令𝑔′(𝑥)<0,则𝑥<0或𝑥>2，即𝑔(𝑥)的减区间为(−∞,0),(2,+∞

)，增区间为(0,2)，∴𝑔(0)<𝑚<𝑔(2)，解得6<𝑚<14．【解析】本题考查了函数的单调性、奇偶性以及切线问题，考查导数的应用，转化思想，是一道综合题．27(1)求出函数的导数，得出函

数的单调性，再结合奇偶性，求解即可；(2)设出切点坐标，表示出切线方程，由𝐴(2,𝑚)在切线上得(3𝑥02+3)(2−𝑥0)=𝑚−(𝑥03+3𝑥0)，由题知方程𝑚=−2𝑥03+6𝑥02+6应有3个解，从而构造函数𝑔(𝑥)=−2𝑥3+6𝑥2+6，求出m的范围即可．44

.为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了A、B两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统

计如下(单位：元)：(Ⅰ)分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在[500,600)的频率，并补全频率分布直方图；(Ⅱ)分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在[500,600)的户数为1时的概率(频率当作概率使用)；(Ⅲ)运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水

平．【答案】解：(Ⅰ)𝐴小区这20户家庭当日消费额在[500,600)的频率为1−(0.0005×3+0.001+0.002+0.0015)×100=0.4，B小区这20户家庭当日消费额在[500,600)的频率为420=15，补全频率分布直方图如下；28(Ⅱ)由题意可知，分别从两个

小区随机选取1户家庭，当日消费额均在[500,600)的概率分别为25，15．分别从两个小区随机选取1户家庭，这两户家庭当日消费额均在[500,600)的户数为1为事件A，则𝑃(𝐴)=25×(1−15)+(1−25)×15=1125．(Ⅲ)𝐴小区

当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小．【解析】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了运用概率解决问题，属于中档题；(Ⅰ)根据条件分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在[500,600)的频率，即可得解；(

Ⅱ)由题意可知，分别从两个小区随机选取1户家庭，当日消费额均在[500,600)的概率分别为25，15.即可得解；(Ⅲ)𝐴小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小．