【文档说明】浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 含解析.docx，共(18)页，891.288 KB，由小赞的店铺上传

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镇海中学2023学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数1yx=+在3x=处的导数是（）A.14B.12C.2D.4【答案】A【解析】【分析】先对函数求导后，再将3x=代入导函数中可

求得结果.【详解】由1yx=+，得()()121111221yxxx−=++=+，所以函数1yx=+在3x=处的导数是114231=+，故选：A2.设数列na满足()()2111,11nnaaan+==−+，则3a=（）．A.4B.4C.94D.94−【答案】D【解析】【分析】根

据递推关系代入计算即可.【详解】由211(1)(1),1nnnaana+=−+=，则212(1)(11)4aa=−+=−，则24a=−，2223(1)(21)9aa=−+=，则394a=−.故选：D.3.若方程22123xymm+=−

+表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（）A.132m−−B.122m−C.3m−D.>2m【答案】A【解析】【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得：032+−mm，解得132m−−，所以m的取值范围为13,2−−.故选：A.4.

2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总

额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）．参考数据：8910111.0641.64,1.0641.75,1.0641.86,1.0641.98A.17.9万亿B.19.1万亿C.20.3万亿D.21.6万亿【答案】B【解析】【分析

】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.【详解】依题意，从2013年到2022年每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{}na，其中110.9a=，公比16.4%1.064q=+=，所以2022年进出口累计总额为

9910110.91.06410.91.7519.1aaq==（万亿）.故选：B5.函数e2xyx=−图象与直线ya=恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A.(),22ln2−−B.()22ln2,−+C.)22ln2,−+D.()2ln2

,−+【答案】B【解析】【分析】利用导数探讨函数e2xyx=−的性质，并求出函数值集合即可得解.【详解】函数e2xyx=−的定义域为R，求导得e2xy=−，当ln2x时，0y，函数e2xyx=−递减，函数值集合(22ln2,)−+，当ln2x时，0y，函数e2xyx=−递增，

函数值集合为(22ln2,)−+，的为当ln2x=时，函数e2xyx=−取得最小值22ln2−，如图，所以函数e2xyx=−图象与直线ya=恰有两个不同的交点时，22ln2a−.故选：B6.已知0.011.01

,e,1.02abc===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】C【解析】【分析】构造函数可得e1xx+，据此判断ba，再由12xx+判断ca即可得解.【详解】令()e(1)xfxx=−+，则(

)e1xfx=−，可知0x时()0fx，0x时()0fx，故()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，可知()(0)0fxf=，所以e1xx+，0x=时等号成立，所以0.010.01110e.1ab+===，故ba；又12xx+，

当1x=时等号成立，则11.021.021.012ca+===，故ca.综上，bac.故选：C7.已知12,FF是椭圆2222:116xyCaa+=−的左、右焦点，O为坐标原点，M是椭圆C上的点（不在坐标轴上），

12FMF的平分线交2OF于N，且2ON=，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A.10,2B.1,12C.10,3D.1,13【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义及角平分线定理求22aMF=，再由2acMFac−

+即可求解.【详解】如图，由椭圆2222:116xyCaa+=−可知，222(16)16caa=−−=，即4c=，由内角平分线定理可知，1122232MFFNcMFFNc+===−，又122MFMFa+=，则242MFa

=，即22aMF=，所以2acMFac−+，即442aaa−+，解得08a，所以41,12ceaa==.故选：B8.已知无穷正整数数列na满足()*2120231nnnaana+++=+

N，则1a的可能值有（）个A.2B.4C.6D.9【答案】C【解析】【分析】变形给定的递推公式，由20nnaa+−，推导出矛盾，从而得31aa=，再代入1n=即可分析求解.【详解】由2120231nnnaaa++=++，得2212023

nnnnaaaa++++=+，当2n时，1112023nnnnaaaa++−+=+，两式相减得21121()nnnnnnnaaaaaaa++++−−+−=−，即21211()nnnnnnnaaaaaaa++++−−+−=−，于是2111(1))(nnnnnaaaaa+

++−−+=−，依题意111na++，若20nnaa+−，有11211nnnnnaaaaa+−++−−=+，则112111|0|||||nnnnnnnaaaaaaa+−++−+−−=−+1，即2|}{|nnaa+−是递减数列，由于na是无穷正整数数列，则

必存在*Nn，使得2|0|nnaa+−=与2|0|nnaa+−矛盾，因此20nnaa+−=，即2nnaa+=，于是数列na是周期为2的周期数列，当1n=时，由31aa=，得11220231aaa+=+，即122023120237

1717aa===，从而1{1,2023,7,17,119,289}a，所以1a的可能值有6个.故选：C【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质问题，认真分析递推公式并进行变形，结合已知条件探讨项间关系而解决问题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.定义在R上的可导函数()yfx=的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（）A.()()16ffB.函数()yfx=的最大值为()5fC.1是函数()

yfx=的极小值点D.3是函数()yfx=的极小值点【答案】AC【解析】【分析】由()fx的图象对选项一一判断即可得出答案,【详解】由()fx的图象可知，()yfx=在()0,1上单调递减，在()1,6上单调递增，在

()6,+上单调递减，的则()()16ff，故A正确；由()()56ff，故B错误；因为()yfx=在()0,1上单调递减，在()1,6上单调递增，故1是函数()yfx=的极小值点，故C正确；当3x=时

，()fx的符号未发生改变，故3不是函数()yfx=的极小值点，故D错误.故选：AC.10.已知数列na的前n项和为nS，则（）A.若na为递减等比数列，则na的公比()0,1q．B.“na为等差数列”是“nSn为等差数列”的充

要条件C.若nS为等比数列，则na可能为等比数列D.若对于任意的*,pqN，数列na满足pqpqaaa+=，且各项均不为0，则na为等比数列【答案】BD【解析】【分析】取特殊数列可判断AC，利用等差数列的定义及等差数列的求和公式判断B，令1,pqn==，根据等比

数列定义判断D.【详解】取12nna−=−，则na为递减等比数列，公比2(0,1)q=，故A错误；若na为等差数列，则1(1)2nnnSnad−=+，所以1(1)2nSdann=+−，故1(11)(1)1222nnSSdddnnnn+−=+−−−=+（常数），故nSn

为等差数列，若nSn为等差数列，则1(1)nSandn=+−，即1(1)nSnannd=+−，所以11(1)(1)nSnannd+=+++，两式相减得1112nnnaSSand++=−=+，所以12(1)naand=+−，故12nnaad+−

=（常数），所以na为等差数列，所以“na为等差数列”是“nSn为等差数列”的充要条件，故B正确；若1nS=，满足nS为等比数列，此时111aS==，当2n时，10nnnaSS−=−=，所以1,10,

2nnan==，不是等比数列，故C错误；任意的*,pqN，满足pqpqaaa+=，不妨取1,pqn==，则11nnaaa+=，因为各项均不为0，所以11nnaaa+=（不为0的常数），故na为等比数列，故D正确.故选：BD11.已知数列na满

足2112,2nnnaaaa+=+=，设()3log1nnba=+，记nb的前n项和为nS，1nS的前n项和为nT，则（）A.nb为等比数列B.1na+为等比数列C.11nnSb+=−D.2nT【答案】ACD【解析】【分析】根据条件化简得()211

1++=+nnaa判断B，取对数后可判断A，根据等比数列求和公式判断C，1nS放缩后利用等比数列求和可判断D【详解】由2112,2nnnaaaa+=+=，则0na，则()2111++=+nnaa，则()()313log12

log1nnaa++=+，即12nnbb+=，由()131log11ba=+=，则0nb，即12nnbb+=，1111nnnaaa++=++（不是常数），故A对B错；由nb为等比数列，故11122nnnb−−==，11221112nnnnSb+−==−=−

−，故C正确；又()1211111212112nnnnnS−+==−−+，则01111111122221222212nnnnT−−+++==−−(

)2n，当1n=时，11112TS==成立，综上2nT，故D正确.故选：ACD12.已知12,FF分别为双曲线22:145xyC-=的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点()2,3M，下列结论中正确的是（）A.124AFAF−=B.1AMAF+的最小值为410+C.过M与双曲线

有一个公共点直线有3条D.若1290FAF=，则12FAF的面积为5【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线定义判断A，根据双曲线定义及图象可判断B，根据双曲线的性质判断C，根据定义及直角三角形判断D.【详解】如图，由双

曲线方程22:145xyC-=知24a=，所以由双曲线定义知1224AFAFa−==，故A正确；因为2229cab=+=，所以2(3,0)F，222(23)(30)10MF=−+−=，由12244104AMAFAMAFMF+=+++=+，故B正确；过M与两渐近线平行的直线仅1个交点，

过M与左支相切与右支无交点的直线有1条，过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C错误；若1290FAF=，则2221212AFAFFF+=，即()221212122AFAFAFAFFF−+=，所以2212424aA

FAFc+=，解得()1213616102AFAF=−=，所以12121105122AFFSAFAF===△，故D正确.故选：ABD【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程采用纯代数的方法进行判断，选项D可以直接利用焦点三角形的面积公

式判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列na为等比数列，12343,12aaaa+=+=，则56aa+=______．【答案】48【解析】【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.【详解】由题意，234124aa

qaa+==+，所以()2563441248aaqaa+=+==.故答案为：4814.设函数()yfx=在0xx=处可导且()02fx=，则()()0002limhfxhfxh→+−=______．【答案】4【解析】【分析】由导数的概念求解即可.【详解】由()()()()()0000000

22lim2lim242hhfxhfxfxhfxfxhh→→−=+−+==.故答案为：4.15.设等差数列na的前n项和为nS，满足11120,0SS，数列{}(111)nnSna中最大的项为第

______项．【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质求出{}nS最大项，{||}na的最小项得解.【详解】依题意，11111611()1102aaSa+==，112126712()6()02aaSaa+=

=+，显然760aa−，且76||aa，等差数列na的公差76620daaa=−−，即数列na是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列{}nS的最大项为6S，6a是数列{||}na中的最小项，且60a，所以数列{}(111)nnSna

中最大的项为66Sa，是第6项.故答案为：616.若函数()2()lnfxxmx=−+在区间()1,2上有单调递增区间，则实数m的取值范围是______．【答案】9,4−【解析】【分析】根据题意转化为()0fx在(1.2)上有解，分离参

数后求函数最值即可得解.【详解】()()12(0)fxxmxx=−+，由题意()0fx在(1.2)上有解，即12mxx+在(1,2)上有解，根据对勾函数的性质可知，12yxx=+在()1,2上单调递增，所以在2x=时取最大值，故19244m+=，故实数m的取值范围是9,4−

.故答案为：9,4−四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列2,1,4,7,10,−，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成

为一个新的等差数列na．（1）求新数列na的通项公式；（2）16是新数列na中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．【答案】（1）732nan=−（2）不是【解析】【分析】（1）求出原等差数列nb的通项公式，利用12nnn

abb+=+求解；（2）根据数列na的通项公式求解即可.【小问1详解】设已知的等差数列为nb，易知121,2bb=−=，则213dbb=−=，则()1135nbbndn=+−=−，由题意知：()123531567nnnabbnnn+=+=−++−=−，则7

32nan=−.【小问2详解】令71316316N*22nann=−==，故16不是新数列na中的项.18.已知函数()()321,,,3fxxaxbabfx=++R在2x=处取到极小值23．（1）求,ab的值；（2）求曲线()

yfx=在点()()1,1f处的切线方程．【答案】（1）1,2ab=−=（2）3370xy+−=【解析】分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可.【小问1详解】因为()22fxxax=+，则(

)()440201822242333afababf+===−=++==，【即1,2ab=−=，当1,2ab=−=时，2()2fxxx=−，02x时，()0fx，2x时，()0fx，故()fx在2x=处取到极小值，所以1,2ab

=−=满足题意.【小问2详解】由（1）知，()()3212,23fxxxfxxx=−+=−，则()()41113,ff==−，故切线方程为：()()()()411113yfxfx=−+=−−+，即3370xy+−=.19.已知抛

物线()2:20Cypxp=上的点()1,Pm到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程及焦点F的坐标．（2）过点()2,0的直线l交抛物线于,AB两点，且OAB的面积为8，求直线l的方程．【答案】（1）2:4Cyx=（2

）22xy=+【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出p，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得；（2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得

.【小问1详解】由抛物线的定义可得：2122PppPFx=+==+，解得2p=，所以抛物线的方程为2:4Cyx=.【小问2详解】由题意可设直线方程为2xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，由224xtyyx=+=，得2480yty−−=，所以2

Δ16480t=+，124yyt+=，128yy=−，因为()2212121212124163282AOBSyyyyyyyyt=−=−=+−=+=．所以22t=，得2t=，故直线l的方程为：22xy=

+.20.已知等差数列na和正项等比数列nb满足：113ab==，10212ab−=，433ab=．（1）求数列,nnab的通项公式；（2）记nnncab=，数列nc的前n项和为nS，求nS．【答案】（1）21,3nnnanb=+=（2）13

nn+【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组求出公差、公比即可得解；（2）根据错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，则()11102221143912129933333(33)3adbqabdqadbqabdq+−=−=−=

+==+=，消元得2603qqq−−==或2q=−（舍去），故2d=，故()132121,3?33nnnnannb−=+−=+==.【小问2详解】由()213nnnncabn==+，

则()()()()123211322132313213nnSn=++++++++①()()()()231321132213213213nnnSnn+=+++++−++②①−②得：()()()()23121233233321332333213nnnnn

Snn++−=++++−+=++++−+()()113133221323.13nnnnn++−=+−+=−−故13nnSn+=.21.已知函数()ln1,fxxxaxa=−+R．（1）当1a=时

，求函数()fx的最小值；（2）若()fxa−对任意的0x恒成立，求整数．．a的最大值【答案】（1）()()min10fxf==（2）2【解析】【分析】（1）当1a=时，()ln1fxxxx=−+，对()fx求导，比较()

fx与0的大小，即可得出()fx的单调性，进而求出函数()fx的最小值；（2）由()fxa−可得1ln0axax+−+，令()1lnagxxax+=−+，分类讨论1a−和1a−，结合()0gx恒成立可得答案.【小问1详解】当1a=时，()ln1fxxxx=−+，()1ln1l

nfxxxxx=+−=，令()0fx，解得：01x；令()0fx¢>，解得：1x；所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min10fxf==.【小问2详解】由()fxa−可得：l

n1xxaxa−+−，即1ln0axax+−+，记()1lnagxxax+=−+，()()22111xaagxxxx=−++=−，若10a+，即1a−，()0gx，则()gx在()0,+上单

调递增，又0x+→时，()gx→−，不合题意；若10a+，即1a−，令()0gx，则01xa+，令()0gx，则1xa+，则()gx在()0,1a+上单调递减，在()1,a++上单调递增，()()()min1ln110gxgaaa=+=++−，令

()()ln11haaa=++−，()1111ahaaa−=−=++，则令()0ha，解得：0a，令()0ha，解得：10a−；所以()ha在()0,+上单调递减，在()1,0−上单调递增，且()()()()2010,1ln20,2ln31ln3lne0,32ln22ln4

lne0hhhh===−=−=−=−，故整数．．a的最大值为2.22.已知双曲线()2222Γ:10,0xyabab−=的左右顶点分别为点,AB，其中2AB=，且双曲线过点()2,3C．（1）

求双曲线Γ的方程；（2）设过点()1,1P的直线分别交Γ的左、右支于,DE两点，过点E作垂直于x轴的直线l，交线段BC于点F，点G满足EFFG=．证明：直线DG过定点，并求出该定点．【答案】22.2213y

x−=23.证明见解析，(1,0)B【解析】【分析】（1）根据题意求出a，代入点C求出b即可得解；（2）设,BCDE的方程，得出,FG坐标，求出,BDBGkk，化简计算可得BDBGkk=，据此得证.【小问1详解】由||22ABa==，则1a=，又224

91ab−=，则229413ba=−=，所以23b=，故双曲线Γ的方程为：2213yx−=.【小问2详解】如图，由),,(10)(23,BC，则BC方程33yx=−，显然直线DE的斜率存在，设直线DE方程为：()()()1122,1,1,,ykxDxyExy=−+，

则233Fyx=−，则()2233,Fxx−，由EFFG=，则()222,66Gxxy−−，则()11111111111BDkxykkxxx−+===+−−−，()()()222222261611116111B

Gxyxkxkkxxx−−−−−−===−−−−−，联立()()()()222221132113033ykxkxkkxkxy=−+−−−−−−=−=，则()()2121222211,333kkkxxxxkk−−−−

+==−−，则()()()()2122121212222122113621111321133kkxxkkxxxxxxkkkkk−−+−−+===−−−−++−−−−−+−−所以(6)620BDBGkkkkk−=−−+−=，为故BDBGkk=，故DG过定点(1,0)B

.【点睛】关键点点睛：本题求定点问题，方法与一般方法有差异，先求,BDBG的斜率，再利用根与系数的关系，证明0BDBGkk−=是问题的关键点与难点，据此得出BDBGkk=，再由此得出定点为B.获得更多资源

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