【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(7)页，217.012 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.3基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，ab≠a＋b2，即只能有

a2＋b2>2ab，ab<a＋b2.2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是

正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①√4+√6＞2√5，②𝑥+1𝑥≥2（x≠0

），③√𝑎2+𝑏2≥√22(𝑎+𝑏)(𝑎、𝑏∈𝑅)，下列说法正确的是（）A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式

中恒成立的是（）A．a+b＞2√𝑎𝑏B．a+b＜2√𝑎𝑏C．𝑎2+2b＞2√𝑎𝑏D．𝑎2+2b＜2√𝑎𝑏【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1B．√𝑎+√𝑏≥2C．a2+b2≥2D．

1𝑎+1𝑏≤2【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜𝑏＜12B．2𝑎+4𝑏≥2√2C．ab的最大值是18D．a2+b2的最小值是516【题型2利

用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时

，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1𝑎)(1+1𝑏)≥9．【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=√𝑎�

�，y=√𝑎2+𝑏22，求证：（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1𝑎+9𝑏=1，求证：a+b≥16；（2）求证：a+b+1≥√𝑎𝑏+√𝑎+√𝑏．【变式2-3】（2022•黄州

区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥√3；（2）√𝑎𝑏𝑐+√𝑏𝑎𝑐+√𝑐𝑎𝑏≥√3（√𝑎+√𝑏+√𝑐）．【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定

值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则𝑎+4𝑎−1的最小值是（）A．5B．6C．3√

2D．2√2【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）𝑦=𝑥+4𝑥(𝑥≥1)的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数𝑦=3𝑥+43𝑥−1(𝑥＞13)的最小值为（）A．8B．7C．6D．5【变式3-3

】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎的最小值为（）A．√2B．2C．2√2D．4【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则𝑏𝑎+2𝑏的最小值为（）A．32B．

√2+1C．52D．3【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1𝑥−4𝑦的最大值是（）A．6+4√29B．−6+4√29C．6+4√2D．−6−4√2【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，则x+y的

最小值为（）A．√13−2B．2C．2+√13D．2+√14【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)的最小值为（）A．2√2+2B．4C．254D．2

√2+1【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1𝑥+4𝑦=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1+∞）D．（﹣9，1）【变式5-1】（2021秋

•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2𝑥+1𝑦=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实

数a、b满足1𝑎+1𝑏=𝑚，若(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设

2𝑥+3𝑦=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，

建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一

个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1𝑥+2𝑦的最小值．【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩

形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积S

cm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交

DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若𝐷𝑃＞13𝐴𝐵，求x的取值范围；（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．