【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，238.286 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.3基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，ab≠a＋b2，即只能有a2＋b2

>2ab，ab<a＋b2.2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(

积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝

ab；②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①√4+√6＞2√5，②𝑥+1𝑥≥2（x≠0），③√𝑎2+𝑏2≥√22(𝑎+𝑏)(𝑎、𝑏∈�

�)，下列说法正确的是（）A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．【解答过程】解：因为(√4+√6)2−

(2√5)2=10+√24−20=√24−10＜0，所以√4+√6＜2√5，故①错误；当取x＝﹣1时，显然𝑥+1𝑥=−2≥2不成立，故②错误；因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）

2，所以√𝑎2+𝑏2≥√22√(𝑎+𝑏)2=√22|𝑎+𝑏|≥√22(𝑎+𝑏)，故③正确．故选：C．【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2√𝑎𝑏B．a+b＜2√𝑎𝑏C．𝑎2+2b＞2√�

�𝑏D．𝑎2+2b＜2√𝑎𝑏【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2√𝑎𝑏，当且仅当a＝b时取等号，又a＞b＞0，所以a+b＞2√𝑎𝑏，故A正确，B错误，𝑎2+2𝑏≥2√𝑎2×2𝑏=2√𝑎𝑏，当且仅当𝑎2=

2𝑏，即a＝4b时取等号，故CD错误，故选：A．【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1B．√𝑎+√𝑏≥2C．a2+b2≥2D．1𝑎+1𝑏≤2【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【

解答过程】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（𝑎+𝑏2）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误；因为（√𝑎+√𝑏）2＝a+b+2√𝑎𝑏=2+2√𝑎𝑏≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以√𝑎+√𝑏≤2，B错误；因为𝑎2+𝑏22≥(𝑎+𝑏2)2

=1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以a2+b2≥2，C正确；1𝑎+1𝑏=12（𝑎+𝑏𝑎+𝑎+𝑏𝑏）=12（2+𝑏𝑎+𝑎𝑏）≥12(2+2)=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误．故选：C．【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1

，则下列选项错误的是（）A．0＜𝑏＜12B．2𝑎+4𝑏≥2√2C．ab的最大值是18D．a2+b2的最小值是516【解题思路】结合基本不等式，对选项逐一判断即可．【解答过程】解：根据题意，a＝1﹣2b＞0，b＞0，则0＜

b＜12，所以选项A正确；2a+4b≥2√2𝑎⋅4𝑏=2√2𝑎+2𝑏=2√2，当且仅当a＝2b，即a=12，b=14时等号成立，所以2a+4b≥2√2，选项B正确；由a＞0，b＞0，1＝a+2b≥2√2�

�𝑏，即ab≤18，当且仅当a＝2b，即a=12，b=14时等号成立，所以ab的最大值是18，选项C正确；由a+2b＝1，得a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，所以当b=25时，a2+b2有最小值5×（25）2﹣4×25+1=15，所以选项D错误．故选

：D．【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时

等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1𝑎)(1+1𝑏)≥9

．【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成a+b，由基本不等式即可证明．【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1∴(1+1𝑎)(1+1𝑏)=(1+𝑎+𝑏𝑎)(1+𝑎+𝑏𝑏)=(2+𝑏𝑎)(2+𝑎𝑏)=4+2𝑎𝑏+2𝑏𝑎+𝑏𝑎×𝑎𝑏＝

5+2𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥5+2√2𝑏𝑎×2𝑎𝑏=5+4=9当且仅当2𝑏𝑎=2𝑎𝑏，即a＝b=12时取“＝”号．故原题得证．【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=√𝑎𝑏，y=√𝑎2+𝑏22，求

证：（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【解题思路】（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．【解答过程】证明：（1）∵a，b∈R+，x=√𝑎𝑏，y=√𝑎2+𝑏22，∴xy=√𝑎𝑏⋅√𝑎2+𝑏22≥

√𝑎𝑏⋅√𝑎𝑏=ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）∵a，b∈R+，x+y=√𝑎𝑏+√𝑎2+𝑏22，则（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2−(𝑎𝑏+𝑎2+𝑏22+2√𝑎𝑏⋅√𝑎2+𝑏22)=(𝑎

+𝑏)22−2√2𝑎𝑏(𝑎2+𝑏2)2，而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4，∴（a+b）2≥2√2𝑎𝑏(𝑎2+𝑏2)，∴（a+b）2﹣（

x+y）2≥0，∴a+b≥x+y．【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1𝑎+9𝑏=1，求证：a+b≥16；（2）求证：a+b+1≥√𝑎𝑏+√𝑎+√𝑏．【解题思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证；（2）由基本不等式可得

a+1≥2√𝑎，b+1≥2√𝑏，a+b≥2√𝑎𝑏，当且仅当a＝b＝1时等号成立，三个式子相加即可得证．【解答过程】证明：（1）因为1𝑎+9𝑏=1，a＞0，b＞0，所以a+b＝（a+b）（1𝑎+9𝑏）＝

10+9𝑎𝑏+𝑏𝑎≥10+2√9𝑎𝑏⋅𝑏𝑎=16，当且仅当9𝑎𝑏=𝑏𝑎，即a＝4，b＝12时等号成立，所以a+b≥16．（2）因为a＞0，b＞0，则a+1≥2√𝑎，b+1≥2√𝑏，a+b≥2√𝑎𝑏，当且仅当a＝b＝1时等号成立，

所以a+1+b+1+a+b≥2√𝑎+2√𝑏+2√𝑎𝑏，所以a+b+1≥√𝑎+√𝑏+1．【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥√3；（2）√𝑎𝑏𝑐+√𝑏𝑎𝑐+√𝑐𝑎𝑏≥√3（√𝑎+√𝑏+√𝑐）

．【解题思路】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥√3，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明a√𝑏𝑐+b√𝑎𝑐+c√𝑎𝑏≤1，根据基本不等式的性质证明即可．【解答过

程】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥√3，即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+

c2≥zb+bc+ca＝1，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）∵√𝑎𝑏𝑐+√𝑏𝑎𝑐+√𝑐𝑎𝑏=𝑎+𝑏+𝑐√𝑎𝑏𝑐，而由（1）a+b+c≥√3，∴𝑎+𝑏+𝑐√𝑎𝑏𝑐≥√3（√𝑎

+√𝑏+√𝑐），故只需1√𝑎𝑏𝑐≥√𝑎+√𝑏+√𝑐，即a√𝑏𝑐+b√𝑎𝑐+c√𝑎𝑏≤1，即：a√𝑏𝑐+b√𝑎𝑐+c√𝑎𝑏≤ab+bc+ac，而a√𝑏𝑐=√𝑎𝑏•√𝑎𝑐≤𝑎𝑏+𝑎𝑐2，b√𝑎𝑐≤𝑎𝑏+�

�𝑐2，c√𝑎𝑏≤𝑏𝑐+𝑎𝑐2，∴a√𝑏𝑐+b√𝑎𝑐+c√𝑎𝑏≤ab+bc+ac＝1成立，（当且仅当a＝b＝c=√33时）．【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为

定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则𝑎+4𝑎−1的最小值是（）A．5B．6C．3√2D．2√2【解题思路】由已知结合基本不等式即可直接

求解．【解答过程】解：因为a＞1，则𝑎+4𝑎−1=a﹣1+4𝑎−1+1≥2√(𝑎−1)⋅4𝑎−1+1＝5，当且仅当a﹣1=4𝑎−1，即a＝3时取等号．故选：A．【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）𝑦=𝑥+4𝑥(𝑥≥1)

的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】利用基本不等式的性质可求得答案．【解答过程】解：由已知函数𝑦=𝑥+4𝑥，∵x≥1，∴4𝑥＞0，∴𝑥+4𝑥≥2√𝑥×4𝑥=4，当且仅当�

�=4𝑥，即x＝2时等号成立，∴当x＝2时，函数𝑦=𝑥+4𝑥有最小值是4，故选：C．【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数𝑦=3𝑥+43𝑥−1(𝑥＞13)的最小值为（）A．8B．7C．6D．5【解题思路】由x＞13

可得3x﹣1＞0，所以y＝3x+43𝑥−1=3x﹣1+43𝑥−1+1，进一步即可利用基本不等式进行求解．【解答过程】解：由x＞13，得3x﹣1＞0，所以y＝3x+43𝑥−1=3x﹣1+43𝑥−1+1≥2√(3𝑥−1)(43𝑥−1)+1＝5，当且仅当3x﹣1=43𝑥−1，

即x＝1时等号成立，所以y＝3x+43𝑥−1的最小值为5．故选：D．【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎的最小值为（）A．√2B．2C．2√2D．4【解题思路】把𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎变形，再由基本不等式求其最小值．【解答过程】解：∵

a＞0，b＞0，∴𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎=𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎2+𝑎2≥4√𝑏𝑎2⋅1𝑏⋅𝑎2⋅𝑎24=4√144=4√12=2√2．当且仅当𝑏𝑎2=1𝑏=𝑎2时等号成立，∴𝑏𝑎2+1𝑏+𝑎的最小值为2√2．故选：C．【题型4利用基本不等式求最值（有条件）

】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则𝑏𝑎+2𝑏的最小值为（）A．32B．√2+1C．52D．3【解题思路】由已知可知𝑏𝑎+2𝑏=𝑏𝑎+𝑎𝑏+1，利用基本不等

式即可求解．【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，所以𝑏𝑎+2𝑏=𝑏𝑎+𝑎+𝑏𝑏=𝑏𝑎+𝑎𝑏+1≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏+1＝2+1＝3，当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏，即a＝b时等号成立，所以𝑏𝑎+2𝑏的最小值为3．故选：D．【变式4-1】（2022秋•广东月

考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1𝑥−4𝑦的最大值是（）A．6+4√29B．−6+4√29C．6+4√2D．−6−4√2【解题思路】推导出−1𝑥−4𝑦=−19（1𝑥+4𝑦）（2x+y）=−19（6+8𝑥𝑦+𝑦�

�），利用基本不等式能求出−1𝑥−4𝑦的最大值．【解答过程】解：正实数y满足2x+y＝9，∴−1𝑥−4𝑦=−19（1𝑥+4𝑦）（2x+y）=−19（6+8𝑥𝑦+𝑦𝑥）≤−19（6+2√8𝑥𝑦⋅𝑦𝑥）=−6

+4√29，当且仅当8𝑥𝑦=𝑦𝑥时，取等号，则−1𝑥−4𝑦的最大值是−6+4√29．故选：B．【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，则x+y的最小值为（）A．√13−2B

．2C．2+√13D．2+√14【解题思路】由题意可得1𝑥+4𝑦=𝑥+𝑦−4，再将两边同时乘以x+y，然后利用均值不等式，可得关于整体x+y的一元二次不等式，最后解不等式即可得解．【解答过程】解：∵正实数x，y满足1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，∴1

𝑥+4𝑦=𝑥+𝑦−4，∴(1𝑥+4𝑦)(𝑥+𝑦)=(𝑥+𝑦)2−4(𝑥+𝑦)，∴(𝑥+𝑦)2−4(𝑥+𝑦)=5+𝑦𝑥+4𝑥𝑦≥5+2√4=9，当且仅当𝑦𝑥=4𝑥𝑦，即y＝2x，又1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，∴当且仅当y＝2x=4+2√

133时，取得等号，∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+√13，∴x+y的最小值为2+√13．故选：C．【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)的最小值为（）A．2√2+2B．4C．254D．2√2+1【

解题思路】由题可知(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)=ab+1𝑎𝑏+2，再利用基本不等式求解即可．【解答过程】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，∴(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)=ab+1𝑎𝑏+2≥2√𝑎𝑏⋅1𝑎𝑏+2＝4．当且仅当ab

=1𝑎𝑏，即ab＝1，a+b＝4时取等号，∴(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)的最小值为4．故选：B．【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1𝑥+4𝑦=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数

m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1+∞）D．（﹣9，1）【解题思路】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，且且1𝑥+4𝑦=1，∴x+y＝（x+y）（1𝑥+4𝑦）＝5+𝑦

𝑥+4𝑥𝑦≥2√𝑦𝑥⋅4𝑥𝑦+5＝9，当且仅当𝑦𝑥=4𝑥𝑦，即x＝3，y＝6时取等号．∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，即m∈（﹣9，1）．故选：D．【变式5-1

】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2𝑥+1𝑦=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）【解题思路】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然

后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．【解答过程】解：因为x＞0、y＞0，且2𝑥+1𝑦=1，2x+y＝（2x+y）（2𝑥+1𝑦）＝5+2𝑦𝑥+2𝑥𝑦≥5+2√2𝑥𝑦⋅2𝑦𝑥=9，当且仅当2𝑥𝑦=2𝑦𝑥且2𝑥+1𝑦=1

，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9，若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．故选：A．【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1𝑎+1𝑏=𝑚，若(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)

的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）【解题思路】由题意可得(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)=ab+1𝑎𝑏+2≥＝4，将1𝑎+1𝑏=𝑚化为a

+1𝑎=m，再利用基本不等式可求得m的范围．【解答过程】解：因为a，b为正实数，所以(𝑎+1𝑏)(𝑏+1𝑎)=ab+1𝑎𝑏+2≥2+2＝4，当ab=1𝑎𝑏，即ab＝1时等号成立，此时b=1𝑎，又因为1𝑎+1�

�=𝑚，所以a+1𝑎=m，所以由基本不等式可知a+1𝑎≥2（a＝1时等号成立），所以m≥2．故选：B．【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2𝑥+3𝑦=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是

（）A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}【解题思路】由x＞0，y＞0，2𝑥+3𝑦=1，得3x+2y＝（2𝑥+3𝑦）（3x+2y），以此变形可解决此题．【解答过程】解：由x＞0，y＞0，2𝑥+3𝑦=1，得3x+2y＝（

2𝑥+3𝑦）（3x+2y）=4𝑦𝑥+9𝑥𝑦+12≥2√4𝑦𝑥⋅9𝑥𝑦+12＝24，当且仅当4𝑦𝑥=9𝑥𝑦且2𝑥+3𝑦=1，即x＝4且y＝6时等号成立．又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）

．故选：C．【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆

围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【解题思路】根据已知条件，求出x+y＝16，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答过程】解：设矩形菜园的长为x（m），宽为y（m），则2（

x+y）＝32，x+y＝16，矩形菜园的面积为xy（m2），由√𝑥𝑦≤𝑥+𝑦2=162=8，xy≤64，当且仅当x＝y，即x＝y＝8时，等号成立，故这个矩形的长、宽都为8（m）时，菜园的面积最大，最大面积为64（m2）．【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一

个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1𝑥+2𝑦的最小值．【解题思路】（1）根据积定，应用基

本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求1𝑥+2𝑦的最小值，注意等号成立条件．【解答过程】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．又𝑥+2𝑦≥2√2�

�𝑦=24，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y＝30，又(1𝑥+2𝑦)(𝑥+2𝑦)=5+2𝑦𝑥+2𝑥�

�≥5+2√2𝑦𝑥⋅2𝑥𝑦=9，∴1𝑥+2𝑦≥310，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴1𝑥+2𝑦的最小值是310．【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等

的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【解题思路】（1）根

据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；（2）利用基本不等式，即可求得最值．【解答过程】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，∴b=20000𝑎广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广

告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600；（2）S＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000𝑎）+60600≥30×2√𝑎×40000𝑎=12000+60600＝72600，当且仅当a=40000𝑎，即a＝200时，取

等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ

）若𝐷𝑃＞13𝐴𝐵，求x的取值范围；（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．【解题思路】（Ⅰ）由折叠性质可知△ADP≌△CEP，进而可得AP＝PC＝（x﹣a），再利用勾股定理得到（20﹣x）2+

a2＝（x﹣a）2，化简整理求出a，根据AB＞AD求出x的范围即可；（Ⅱ）𝑆=300−10(𝑥+200𝑥)，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．【解答过程】解：（Ⅰ）由矩形周长为40cm，可知AD

＝（20﹣x）cm，设DP＝acm，则PC＝（x﹣a）cm，∵△ADP≌△CEP，∴AP＝PC＝（x﹣a）cm．在Rt△ADP中，AD2+DP2＝AP2，即（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，得𝑎=20−200𝑥，由题意，20−200𝑥＞13𝑥，即x2﹣6

0x+600＜0，解得30−10√3＜𝑥＜30+10√3，由AB＞AD得，10＜x＜20，∴30−10√3＜𝑥＜20，即x的取值范围是（30−10√3，20）．（Ⅱ）𝑆=12𝐴𝐷⋅𝐷𝑃=12(20−𝑥)(20−200𝑥)，10＜x＜20．化简得𝑆

=300−10(𝑥+200𝑥)．∵x＞0，∴𝑥+200𝑥≥20√2，当且仅当𝑥=200𝑥，即𝑥=10√2时，(𝑥+200𝑥)𝑚𝑖𝑛=20√2，𝑆𝑚𝑎𝑥=300−200√2cm2．