【文档说明】浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.485 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸

.选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知方程22220xyxk+−++=表示半径为1的圆，则实数k=（）A.2B.1C.1−D.2−【答案】D【解析】

【分析】将方程化成圆的标准形式，即有(1)1k−+=，求参即可.【详解】由题设22(1)(1)xyk−−++=表示半径为1的圆，所以(1)12kk+==−−.故选：D2.在空间直角坐标系Oxyz−中，点(0

,1,1),(1,1,2)AB−，点B关于y轴对称的点为C，则||AC=（）A.14B.6C.2D.2【答案】C【解析】【详解】首先确定B关于y轴对称点坐标，再应用空间两点距离公式求||AC.【分析】由题设(1,1,2)C−−，故222||[0(1)](11)[1(2)]2AC=−−+−+−

−−=.故选：C3.已知直线l的一个方向向量()1,2n=−，且过点()1,2-，则直线l的方程为（）的A.20xy+=B.250xy−+=C.230xy+−=D.240xy−+=【答案】A【解析】【分析】先根据直线的

方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程.【详解】因为直线l一个方向向量()1,2n=−，所以直线l的斜率为2−，又直线经过点()1,2-，所以直线l的方程为()221yx−=−+，即20xy+=.故选：A.4.抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，且抛物

线C与椭圆2212xy+=在第一象限的交点为A，若AFx⊥轴，则p=（）A.2B.1C.223D.23【答案】C【解析】【分析】根据题设可得(,)2pAp，再由点在椭圆上，代入求参数即可.【详解】由题设(,0)2

pF，且A在第一象限，AFx⊥轴，则(,)2pAp，又A在椭圆上，故2228189ppp+==，而0p，故p=223.故选：C5.已知长方体1111ABCDABCD−，1ABAD==，12AA=，则直线1AB与直线1

BC所成角的余弦值为（）A.1010B.45C.35D.34【答案】B【解析】【详解】由正方体的性质可得11//ADBC，所以直线1AB与直线1BC所成角即为直线1AB与直线1AD所成角，即1DAB，由余弦定理求解即可.【分析】连接1,ADDB，由正

方体的性质可得11//ADBC，的所以直线1AB与直线1BC所成角即为直线1AB与直线1AD所成角，即1DAB，在1ABD中，211125ABAD==+=，112BD=+=，所以222111115524cos25255ABADBDDABABAD+−

+−===.故选：B.6.已知圆22:1Oxy+=与圆22:(2)(1)2Mxy−+−=相交于A，B两点，则||AB=（）A.255B.55C.52D.5【答案】A【解析】【分析】首先确定圆O的圆心和半径，再将两圆

方程作差求相交弦方程，应用点线距离公式、弦长的几何求法求||AB.【详解】由圆22:1Oxy+=中(0,0)O且半径为1，将两圆方程作差，得22221(2)(1)xyxy−+−−=−，整理得220xy+−=，所以相交弦方程为220xy+−=，则O到其距离为25，

所以22225||21()55AB=−=.故选：A7.双曲线(222:10)25xyCbb−=的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线2AF与双曲线C的右支交于点B，且12π15,3ABFAF==，则12AFAF+=（）A.1103B.26C.25D

.23【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义有2112||||||||210AFAFBFBFa−=−==，设2||BFx=易得1||5AFx=+，1||10BFx=+，在1ABF中应用余弦定理求参数，即可求12AFAF+.【详解】由题设知：2112||||||||210AFAFBFBF

a−=−==，令2||BFx=，则1||15105AFxx=+−=+，1||10BFx=+，1ABF中，12π15,3ABFAF==，则22211121||||||12||||2cosABAFBFFAFABAF+−==，所以22225(5)(10)130(5)2

xxx++−+=+，则3x=，故1||8AF=，则2||18AF=，所以1226AFAF+=.故选：B8.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得

与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中

奖”卡的概率大于12，再列不等式求n取值.【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.刮第1张卡前，下注50元：若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减

少；若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于12即可，由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有(1)2nn−种，所以

(1)1(1)10202nnnn−−且25n，故4n=或5，即n至少为4.故选：C【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于12为关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线1:4330lxy−+=，2:(2)(1)0lmxmym+−++=(R)m，则（）A.直线2l过定点(1,2)B.当2m=时，12l

l//C.当1m=−时，12ll⊥D.当12ll//时，12,ll之间的距离为15【答案】ABD【解析】【分析】将2l化为(1)20mxyxy−++−=，令1020xyxy−+=−=即可确定定点；将2m=、1m=−代入方程，由方程形式判断直线位置关系；由直线平行得2m=，应用平行线距离

公式求距离.【详解】由2:2(1)20lmxxmyymmxyxy+−−+=−++−=，令1020xyxy−+=−=，可得12xy==，所以2l过定点(1,2)，A对；2m=时，2:4320lxy−+=，而1:43

30lxy−+=，即12ll//，B对；1m=−时，2:10−=lx，而1:4330lxy−+=，显然不垂直，C错；12ll//，则3(2)4(1)mm−+=−+，可得2m=，由上知，12,ll之间的距离为22321543−

=+，D对.故选：ABD10.某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：μg/m³）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根

据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（）A.甲地区：平均数为80，众数为70B.乙地区：平均数为80，方差为40C.丙地区：中位数为80，方差为40D.丁地区：极差为10，80%分位数为90【答案】BD【解析】【

分析】A由数据70,70,70,70,70,70,70,70,70,170即可判断；C由数据80,80,80,80,80,80,81,81,87,101；B、D假设存在大于100的数据，由10211(80)4010iix=−=得矛盾判断B；根据极差得最小数据为90，与百分位数矛盾判断D

.【详解】A：10天数据如下：70,70,70,70,70,70,70,70,70,170满足平均数为80，众数为70，不符合；B：若ix表示第i天数据，则10211(80)4010iix=−=，如果其

中一天的数据超过100，则10211(80)4010iix=−，故没有超过100的数据，符合；C：10天数据如下：80,80,80,80,80,80,81,81,87,101，此时中位数为80，方差约为40，不符合；D：若其中一天的数据超过100，由于极差为10，则

最小数据超过90，与80%分位数为90矛盾，故10天没有超过100的数据，符合；故选：BD11.已知抛物线2:4Cyx=的准线与x轴交于点D，O为坐标原点，点A，B是抛物线C上异于点O的两个动点，线段AB与x轴交于点T，则（）A.若T为抛物线C的焦点，则线段AB的长

度的最小值为4B.若T为抛物线C的焦点，则OAOB为定值C.若△AOT与△BOT的面积之积为定值，则T为抛物线C的焦点D.若直线DA和直线DB都与抛物线C相切，则T为抛物线C的焦点【答案】ABD【解析】【分析】设直线AB方程为xmyt=+(0)t，1122(

,),(,)AxyBxy，由直线方程与抛物线方程联立可得124yym+=，124yyt=-，又可得1212,xxxx+，由焦半径公式得焦点弦长求解后判断A，由数量积的坐标运算判断B，计算出△AOT与△BOT的面积之积，由其为定值判

断C，求出切点坐标得切线弦所在直线方程判断D．【详解】设直线AB方程为xmyt=+(0)t，1122(,),(,)AxyBxy，24p=，2p=，由24xmytyx=+=，得2440ymyt−−=，124yym+=，124yyt=-，

则21212()242xxmyytmt+=++=+，222121216yyxxt==，T为焦点时，1t=，21242xxm+=+，2124422ppABxxm=+++=+，显然0m=时，min4AB=；A正确；1t=，121=xx，124yy=−，1212143OAOBxxyy=+=−

=−，B正确；21212111224AOTBOTSSOTyOTytyy==△△3t=为定值，所以t为定值，但不一定有1t=，C错；(1,0)D−，设过D点的切线方程是(1)ykx=+，0k，由2(1)4ykxyx=+=，得204kyyk−+=，210k

=−=，1k=，1k=时，204kyyk−+=的解为2y=，因此1x=，即(1,2)A，1k=−时，204kyyk−+=的解为=2y−，因此1x=，即(1,2)B−，直线AB方程为1x=过焦点(1,0)F，D正确．故选：AB

D．12.己知椭圆222:1(02)4xyCbb+=的左，右焦点分别为1F，2F，圆22:(2)1Mxy+−=，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是32

,1B.若1b=，则||PQ的最大值为4C.若存在点P使得213PFPF=，则03bD.若存点Q使得123QFQF=，则1b=【答案】ACD【解析】【分析】A根据已知，数形结合得01b时椭圆C和圆M没有交点，进而求

离心率范围；B令(,)Pxy，求得23|2|283()3yMP−+=+，结合椭圆有界性得max283||MP=，即可判断；C由题设123,1PFPF==，令(,)Pxy，进而得到()()2222224941xbyxby+−+=−−+=，结合点在椭圆上得到公共解22(0,2]4x

b=−求范围；D将问题化为圆心为2(24,0)b−，半径为23(4)b−的圆与圆22:(2)1Mxy+−=有交点.在【详解】由椭圆C中2a=，圆M中圆心(0,2)M，半径为1，如下图示，A：由于02b，由图知：当01b时椭圆C和圆M没有交点，此时

离心率221()43,121bbea=−=−，对；B：当1b=时，令(,)Pxy，则22|(|2)xyMP=+−，而224(1)xy=−，所以23|2|283()3yMP−+=+，又11y−，故

max283||MP=，所以||PQ的最大值为2831+，错；C：由1224PFPFa+==，若213PFPF=，则123,1PFPF==，由2212(4,0),(4,0)FbFb−−−，令(,)Pxy，且2221)(4xyb=−，则()()2222224941xby

xby+−+=−−+=，即222222(4)84200(4)84120bxbxbxbx−+−−=−−−+=，所以22(0,2]4xb=−，则23b，且02b，故03b，对；D：令(,)Qxy，若123QFQF=，所以222222(4)3[(4)]xbyxby+−+=

−−+，则222244(4)0xbxby−−+−+=，所以2222(24)3(4)xbyb−−+=−，Q轨迹是圆心为2(24,0)b−，半径为23(4)b−的圆，而(0,2)M与2(24,0)b−的距离为225b−，要使点Q存在，则22

2|3(4)1|253(4)1bbb−−−−+，可得22(1)0b−，且02b，即1b=，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到123,1PFPF==，设(,)Pxy，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解22(0,2]4xb=−为关键；对于D，问

题化为圆心为2(24,0)b−，半径为23(4)b−的圆与圆22:(2)1Mxy+−=有交点为关键.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为5，圆柱底面直径为4，则圆

柱的侧面积为______.【答案】12π【解析】【分析】由题设圆柱体外接球直径25R=，根据圆柱体高、底面半径与外接球半径的几何关系列方程求得高h，再应用圆柱侧面积求法求结果.【详解】由题设，圆柱体外接球直径25R=，而圆柱体底面直径24r=，若圆柱体的高为h，则2224hr

R+=，故()22249hRr=−=，3h=，所以圆柱的侧面积为2π12πrh=.故答案：12π14.已知直线:10lxy+−=与圆()()22:344Cxy−++=，则圆C上到直线l距离为1的点有__

____个.【答案】2为【解析】【分析】写出圆的圆心和半径，应用点线距离公式判断直线与圆相交，再通过221−判断劣弧一侧是否存在到直线l距离为1的点，即可得答案.【详解】由题设，圆C的圆心(3,4)−，半径为2，而(3,4)−到:10lxy+

−=的距离为2222=，故直线与圆相交，又221−，即劣弧一侧不存在到直线距离为1的点，所以圆C上到直线l距离为1的点有2个.故答案为：215.椭圆(222210)xyabab+=与双曲线(22221,0)xymnmn−=有公共焦点，左右焦点分别为1F，2F.点O是坐标

原点，点A是椭圆的左顶点，AO的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足12PFPF⊥，则椭圆的离心率e=______.【答案】104##1104【解析】【分析】根据AO的中点M为双曲线的左顶点得2am=，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可

得12PFPF、，再由12PFPF⊥可得答案.【详解】因为AO的中点M为双曲线的左顶点，所以2am=，椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足12PFPF⊥，所以121222212224PFPFaPFPFmPFPFc+=−=+=，可得()()122224PFamPFamamam

c=+=−++−=，所以2222amc+=，代入2am=可得2258ca=，则椭圆的离心率104e=.故答案为：104.16.点P是长方体1111ABCDABCD−内的动点，已知()11(21)2,2,ABADAAAPxABAAAxDyy====++=+，

Q是平面BC₁D上的动点，满足2PQ=，则APAQ的最小值是______.【答案】222−【解析】【分析】根据三点共线定理可得点P在线段1AO上运动时，点Q的运动范围是以O点为圆心，半径为2的圆面，再结合三角换元，正弦型函数的最值得出结果.【详解】取底面ABCD的中心O，因为()1(21)APx

ABAyxyDAA=+++=，所以点P在平面1ABD上，且()11(21)2APxABADyAAxAOAxyyA=+=+++=，所以点P在线段1AO上，由12,2,ABADAA===得1111112,2,22,6,2BDAOODAOACBCCCDO===

=====，所以由2221111AOCOAC+=，得11AOCO⊥，由11,ABADOBOD==，得1AOBD⊥，又11,,CCOBDOOBD=平面1CBD，所以1AO⊥平面1CBD.因为Q是平面BC₁D上的动点，满足2PQ=，所以当P在

1A点时，点Q在O点；当P在O点时，点Q在O点为圆心，半径为2的圆上；所以点P在线段1AO上运动时，点Q的运动范围是以O点为圆心，半径为2的圆面，以O为坐标原点，以11,,ODOCOA分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O

，()10,0,2A，设()0,0,,0,1P,()cos,sin,0,0,2Q，R，过点A作1AMAO⊥于点M，12AAAO==，则点M为的1AO中点，所以()0,0,1M,()0,1,1A−

，()0,1,1AP=−，()cossin,1,1AQ+−=,()cos,,sinPQ=−，()()()sinsin112APAQ+−−=+=−，当sin1=−时，cos−取最小，()2A

PAQ=−+为最小值，因为2PQ=，所以224+=，设2cos2sin==,，R，π2cos2sin22sin4=+=++，当π4=时，+取最大值22，所以()2APAQ=−+取最小值222−

.故答案为：222−.【点睛】空间立体几何轨迹问题：先根据已知条件确定与待求点相关的平行、垂直等关系；可建立空间直角坐标系，表示动点的坐标以及相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的几何关系，整理化简可得出动点的轨迹方程，根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度

等其它量.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆22:4640Cxyxy+−−+=.（1）求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线12yxb=+与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值.【答案】（1）320xy−=或50xy+

−=;（2）12b=−或92.【解析】【分析】（1）写出圆的标准方程确定圆心和半径，讨论直线是否过原点，结合截距式及所过的点求方程即可；（2）根据已知可得直线12yxb=+与(2,3)C的距离为5，应用点线距离公式列

方程求参数.【小问1详解】由题设，圆C标准方程为22(2)(3)9xy−+−=，即(2,3)C，半径为3，若直线原点，则方程为32yx=，即320xy−=，符合；若直线不过原点，令直线方程为()10xyaaa+=，而(

2,3)C在直线上，所以515aa==，故直线方程为50xy+−=；综上，所求直线为320xy−=或50xy+−=.【小问2详解】由题设，直线12yxb=+与(2,3)C的距离为22325−=，所以|

13|5114b−+=+，故12b=−或92.18.某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.

面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为23，通过面试的概率为34.考生乙通过笔试的概率均为12，通过面试的概率为45.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求：（1）()PA；（2）甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率.【答案】（1）()

23PA=（2）715【解析】【分析】（1）由题意事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，从而可求()PA；（2）先求出“乙被录用”的概率，再由恰有一个人被录用分为“甲被录用且乙不

被录用”和“乙被录用且甲不被录用”两种情况，进而可求出概率.【小问1详解】由于“甲被录用”为事件A，事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，则()2322321

343343PA=+−=.【小问2详解】由（1）知()23PA=，则“甲不被录用”的概率()13PA=，由题意“乙被录用”的概率()1411431252255PB=+−=，“乙

不被录用”的概率为()25PB=，由于甲乙两人恰有一个人被录用的事件为ABAB+，事件A，B相互独立，所以()()()22137353515PABABPABPAB+=+=+=.所以甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率为715.19.平

面上的动点(,)Pxy到定点(0,1)F的距离等于点P到直线1y=−的距离，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）直线:lyxm=+与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得MFAB⊥，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.【答案】

（1）24xy=；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程；（2）设112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy，联立直线与抛物线，由0得1m

−，应用韦达定理及中点公式得(2,2)Mm+，结合MFAB⊥求得3m=−，即可得结论.【小问1详解】由题意，动点P的轨迹是以(0,1)F为焦点，1y=−为准线的抛物线，故2p=，所以曲线C的方程为24xy=.【小问2详解】设112200(,),(,),(,)AxyBx

yMxy，联立24xyyxm==+，得2440xxm−−=，且16160m=+，则1m−，故12124,4xxxxm+==−，所以1242yym+=+，所以(2,2)Mm+，又MFAB⊥，即1

1132mm+=−=−，不满足1m−，所以不存在满足要求的直线l.20.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁满足AC=BC=1，∠ACB=90°，∠A₁AC=60°，顶点A₁在平面ABC上的射影为点B.（1）证明：AC⊥平面A₁BC；（2）点M为A₁C₁的中点，点N

为BC的中点，求直线CM与平面ANB₁所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）9191【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标系，借助于线面角的向量解法求线面角.【小问1详解】,A₁在平面ABC上的射影为点

B，1AB⊥面ABC，又AC面ABC，1ABAC⊥，又BCAC⊥，1BCABB=，BC面1ABC，1AB面1ABC，AC面1ABC，AC⊥面1ABC，【小问2详解】由（1）得，AC⊥面1ABC1AC面

1ABC，1ACAC⊥60AAC=₁，1ACBC==，2AB=，12AA=，13AC=，22112ABAAAB=−=，如图，以C为坐标原点，,CACB所在直线为x轴，y轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()

111110,0,0,1,0,0,0,,0,0,1,0,0,1,2,1,1,2,,1,2,1,2,222CANBACMB−−−则11,,02AN=−，()12,2,2AB=−设面1ANB的法向量为(),,mxyz=，则11022220mANxymABxyz=

−+==−++=，令2y=，则1x=，2z=−，()1,2,2m=−又1,1,22CM=−，设直线CM与平面ANB₁所成角为，则91sincos,91CMmCMmCMm===，CM与平面ANB₁所成角的正弦值为91

91.21.已知双曲线()22:1,,24xCyMm−=，斜率为k的直线l过点M.（1）若0m=，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；（2）已知点(2,0)T，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直

线,TATB的斜率分别为12,kk，若12kk+为定值，求实数m的值.【答案】（1）12k=或52k=；（2）2m=【解析】【分析】（1）令直线:2lykx=+，联立双曲线得22(14)16200kxkx−−−=，讨论214

0k−=、2140k−分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（2）令直线:2lykxmk=+−，1122(,),(,)AxyBxy，联立双曲线并应用韦达定理，结合12211212121211222()222()4kyyxyxy

yyxxxxkxx+−+=+=−−++−+，韦达公式代入化简，根据定值列方程组求参数m..【小问1详解】由题设()02,M，令直线:2lykx=+，联立双曲线，得224(2)4xkx−+=，所以22(14)16200kxkx−−−=，当214

0k−=，12k=时，直线与双曲线只有一个交点，当12k=，交点为53(,)24−；当12k=−，交点为53(,)24；当2140k−，此时2225680(14)0kk=+−=，则52k=，当5

2k=，切点为1(5,)2−−；当52k=−，切点为1(5,)2−；综上，12k=或52k=.【小问2详解】由题设，令直线:()22lykxmkxmk=−+=+−，联立双曲线，得22424()xkxmk+−−=，则222241)8(

2)4(45)0(kxkmkxmkmk−+−+−+=，故222264(2)164)[(2)]0(11kmkkmk−+−−+=，所以22(2)41mkk−−①，令1122(,),(,)AxyBxy，则1228(2)41kmkkxx−+=−

，212224(45)41xmkxmkk−+−=，由121221211212121212121212(2)(2)2()222()42()4xkyyyxyxxyxyyyxxxxxxxxxk−+−+−+=+==−−−++++−+又112ykxmk=+−，222ykxmk=+−，1

2kk+121212122(22)()482()4kxxmkkxxmkxxxx+−−++−=−++222222222(22)48244(45)8(2)41414(45)8(2)4141mkmkkmmkmkkmkkkkmkkkmkkk−+−−−+−−+−=−+−−−−+22

(84)8(41616)(3216)16mkmmkmk−+=−++−+为定值，所以24161602mmm−+==，此时1212kk+=为定值.22.已知椭圆(2222:10)xyCabab+=的离心率为12，左焦点F与

原点O的距离为1，正方形PQMN的边PQ，MN与x轴平行，边PN，QM与y轴平行，2112,,,7777PM−−，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中垂线为l.已知直线AB的斜率为k，且0k.（1）若直线l过点P，求k的值;

（2）若直线l与正方形PQMN的交点在边PN，QM上，l在正方形PQMN内的线段长度为s，求sAB的取值范围.【答案】（1）1k=（2）12,78【解析】【分析】（1）根据题意求椭圆方程，设直线():1ABykx=+，()()1122,,,AxyB

xy，联立方程利用韦达定理求直线l的方程，代入点P运算求解即可；（2）根据直线l的方程求直线l与PN，QM的交点坐标，结合题意可求得1k，利用弦长公式整理可得22143281+=+skABkk，利用换元法结合对勾函数求取

值范围.【小问1详解】设椭圆C的半焦距为0c，由题意可得：222112cceaabc====+，解得123cab===，所以椭圆22:143xyC+=.因为()1,0F−，则直线():1ABykx=+，()()1122,,,AxyBxy，联立方程()221143ykxx

y=++=，消去y得()22224384120kxkxk+++−=，则()()()()22222844341214410=−+−=+kkkk，可得221212228412,4343kkxxxxkk−+=−=++，则2

1224243+=−+xxkk，()()1212122113122243+++++==+=+kxbkxyyxxkkk，即线段AB的中点为22243,4343−++kkkk，所以直线222314

:4343−=−+++kklyxkkk，即22043++=+kxkyk，若直线l过点21,77−P，则22207743−++=+kkk，整理得()()214360−++=kkk，对于24360++=kk，则9446900=−=−，即24360++=k

k无解，由()()214360−++=kkk，解得1k=.【小问2详解】由（1）可知：直线22:043++=+klxkyk，令27x=−，可得22743=−+kykk，即直线l与PN的交点坐标为222,7743−−+kkk，令17x=，可得21743=−−

+kykk，即直线l与QM的交点坐标为211,7743−−+kkk，由题意可得：222217743721177437kkkkkk−−+−−−+，解得1k，可得()2222222212184

1214434343+−=+−−=+++kkkABkkkk，22121311777+=+−−−=kskk，则()2222231143728121143++==+++kskkABkkkk，

可得()()()222222222243438916111kkkkkkkkk+++==++++，令28917tk=+，则298−=tk，可得()2228964999110188ktttkktt+==−−++−+，

因为910=+−ytt在)17,+内单调递增，且17128|17==ty，可得91281017+−tt，则()2228964170,92110kkktt+=++−，可得()2222224389491616,211kkkkkk++=+

++，即2243724,21++kkk，可得2214312,28781+=+skABkk.所以sAB的取值范围12,78.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，

确定出极端位置后数形结合求解．（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com