【文档说明】湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.479 MB，由小赞的店铺上传

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大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知()260,{lg10}AxxxBxx=+−

=−∣∣，则AB=（）A.32xx−∣B.{32}xx−∣C.{12}xx∣D.{12}xx∣【答案】D【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,AB，再求交集．【详解】集合()32,{lg10}{12}AxxBxxxx=−=−=∣

∣∣，则{12}ABxx=∣，故选：D．2.若复数z满足()1i3iz+=−+（i是虚数单位），则z等于（）A.102B.54C.5D.52【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12iz=−+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i3i

z+=−+可得()()()()3i1i3i24i12i1i1i1i2z−+−−+−+====−+++−，所以22(1)25z=−+=.故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1ab==−，则向量ab+在向量b上的投影向量为（）A.()6,3

−B.()4,2−C.()2,1−D.()5,0【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()227,1,15,2(1)5ababbb+=−+==+−=，所以向量ab+在向量b上的投影向量为()()236,3||abbbbb+==−.故选：A4

.记nS为等差数列na的前n项和，若396714,63aaaa+==，则7S=（）A.21B.19C.12D.42【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】na是等差数列，396214aaa+

==，即67a=，所以67769,aaaa==故公差76162,53daaaad=−==−=−，()767732212S=−+=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分

布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,XN，记()()pkPkXk=−+，则()()0.750.547,10.683pp．A.136

人B.272人C.328人D.820人【答案】B【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)XN，再根据所给条件求出(5790)PX，即可求出(90)PX，即可估计人数．【详解】由题得0.4

915073.5,22===，()()(),0.750.547pkPkXkp=−+，()5790PX()0.750.547p=，()()900.510.5470.2265PX=−=，该校及格人数为0.22651200272（人），故选：B．6.已知

()π5,0,,cos,tantan426−==，则+=（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】D【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知

可得5coscossinsin6sinsin4coscos+==，解得1coscos62sinsin3==，，()1coscoscossinsin2+=−=−，π,0,2

，()0,π+，2π,3+=，故选：D．7.已知12,FF是双曲线22221(0)xyabab−=的左､右焦点，以2F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,AB两点，若123ABFF，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.261,3

B.351,5C.()1,2D.()1,3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长222ABab=−，再根据不等式123ABFF整理可得2259ca，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0

Fc为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bxay−=交于,AB两点，则2F到渐近线0bxay−=的距离22bcdbab==+，所以222ABab=−，因为123ABFF，所以22322abc−，可得2222299a

bcab−=+，即22224555abca=−，可得2259ca，所以2295ca，所以355e，又1e，所以双曲线的离心率的取值范围是351,5.故选：B8.已知函数()220log0xaxfxxx

=，，，，若关于x的方程()()0ffx=有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是（）A.()0,1B.()(),00,1−C.)1,+D.()()0,11,+【答案】C【解析】【分析】利用换元法

设()ufx=，则方程等价为()0fu=，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u=，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()ufx=，则()0fu=．①当0a=时，若()0,0ufu=；若0u，由()2log0fuu==，得1u=．所以由()()0ffx=

可得()0fx或()1fx=．如图所示，满足()0fx的x有无数个，方程()1fx=只有一个解，不满足题意；②当0a时，若0u，则()20ufua=；若0u，由()2log0fuu==，得1u=．所以由()()0ffx=可得()1fx=，当0x时，由()2log1fxx==，可

得2x=，因为关于x的方程()()0ffx=有且仅有两个实数根，则方程()1fx=在(,0−]上有且仅有一个实数根，若0a且()(0,20,xxfxaa=，故1a；若0a且()0,20xxfxa=，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是)1,+，故选：C．二､多选题：本

题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.如图，在正方体111ABCDABCD−中，EFMN，，，分别为棱111AAADABDC，，，的中点，

点P是面1BC的中心，则下列结论正确的是（）A.EFMP，，，四点共面B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,EFM三点的平面为一个正六边形，判断A

；分别连接,EF和1,BC，截面1CBEF是等腰梯形，判断B；分别取11,BBCC的中点,GQ，易证EF显然不平行平面QGMN，可判断C；EM⊥平面PMN，可判断D.【详解】对于A：如图经过,,EFM三

点的平面为一个正六边形EFMHQK，点P在平面外，,,,EFMP四点不共面，选项A错误；对于B：分别连接,EF和1,BC，则平面PEF即平面1CBEF，截面1CBEF是等腰梯形，选项B正确；对于C：分别取11,B

BCC的中点,GQ，则平面PMN即为平面QGMN，由正六边形EFMHQK，可知HQEF，所以MQ不平行于EF，又,EFMQ平面EFMHQK，所以EFMQW=，所以EFI平面QGMNW=，所以EF不平行于平面PMN，故选项C错

误；对于D：因为,AEMBMG是等腰三角形，45AMEBMG==，90EMG=，EMMG⊥，,MN是,ABCD的中点，易证MNAD∥，由正方体可得AD⊥平面11ABBA，MN⊥平面11ABBA，又ME平面11ABBA，EMMN⊥，,MGMN平面P

MN，EM⊥平面GMN，EM平面MEF，平面MEF⊥平面,PMN故选项D正确．故选：BD．10.已知函数()5π2cos24fxx=+，则（）A.()fx的一个对称中心为3π,08B.()fx的图象向右平移3π8个单位长

度后得到的是奇函数的图象C.()fx在区间5π7π,88上单调递增D.若()yfx=在区间()0,m上与1y=有且只有6个交点，则5π13π,24m【答案】BD【解析】【分析】代入即

可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由5π2cos242x+=求解所以根，即可求解D.【详解】对于A，由35π3π2cos2π20848f=+=，故A错误；对于B，(

)fx的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ2cos22cos22sin28842yfxxxx=−=−+=+=−，为奇函数，故B正确；对于C

，当5π7π,88x时，则5π5π2,3π42x+，由余弦函数单调性知，()fx在区间5π7π,88上单调递减，故C错误；对于D，由()1fx=，得5π2cos242x+=，解得ππ4xk=+或ππ,2kk+Z，()yfx=在区间()0

,m上与1y=有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m，故D正确.故选：BD11.已知定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()21fxgx++−=，则（）A.()fx的图象关于点

()2,1对称B.()fx是以8为周期的周期函数C.()20240g=D.20241(42)2025kfk=−=【答案】ABC【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222fxfx++−=，即可判断A正确；

利用对称中心表达式进行化简计算可得B正确，可判断()gx也是以8为周期的周期函数，即C正确；根据周期性以及()()42fxfx++=计算可得20241(42)2024kfk=−=，可得D错误.【详解】由题意()()()(),fxfxgx

gx−=−=−，且()()()00,21gfxgx=++−=，即()()21fxgx+−=①，用x−替换()()21fxgx++−=中的x，得()()21fxgx−+=②，由①+②得()()222fx

fx++−=，所以()fx的图象关于点(2,1)对称，且()21f=，故A正确；由()()222fxfx++−=，可得()()()()()42,422fxfxfxfxfx++−=+=−−=−，所以()()()()824

22fxfxfxfx+=−+=−−=，所以()fx是以8为周期的周期函数，故B正确；由①知()()21gxfx=+−，则()()()()882121gxfxfxgx+=++−=+−=，故()()8

gxgx+=，因此()gx也是以8为周期的周期函数，所以()()202400gg==，C正确；又因为()()42fxfx++−=，所以()()42fxfx++=，令2x=，则有()()262ff+=，令10x=，则

有()()10142,ff+=…，令8090x=，则有()()809080942ff+=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024ffffff++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)

(8090)(8094)2024kfkffffff=−=++++++=，故D错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特

征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)xy+−的展开式中2xy的系数为______．【答案】180−【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2xy的系数为213643CC(1)−，化简

即可得到结果．【详解】在6(31)xy+−的展开式中，由()2213264CC3(1)180xyxy−=−，得2xy的系数为180−.故答案为：180−．13.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()()2fxfx−，且()10f=，则不等式()

0fx的解集为__________.【答案】()()1,01,−+【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()fxfx−=，因此可得()()2fxfx，可构造函数()()2xfxhx=e并求得其单调性即可得()fx在()1,+上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论

.【详解】因为()fx为奇函数，定义域为R，所以()()fxfx−=−，两边同时求导可得()()fxfx−−=−，即()()fxfx−=且()00f=，又因为当0x时，()()2fxfx−，所以

()()2fxfx.构造函数()()2xfxhx=e，则()()()22xfxfxhx−=e，所以当0x时，()()0,hxhx在()0,+上单调递增，又因为()10f=，所以()()10,hhx=

在()1,+上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e0x，所以()fx在()1,+上大于零，在()0,1上小于零，因为()fx为奇函数，所以()fx在(),1−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0fx的解集为()()1,01,−+.故答案为：()

()1,01,−+14.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且60AOB=，若(),ROCOAOB=+，则+的取值范围是__________.【答案】231,3【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合

向量关系表示+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系，其中()()13,,1,0,c

os,sin22ABC，其中π,0,3BOC=，由(),ROCOAOB=+，即()()13cos,sin,1,022=+，整理得

13cos,sin22+==，解得2sinsin,cos33==−，则2sinsin323ππcossincossin,0,333333+=+−=+=+

，ππ2ππ3,,sin,133332++所以231,3+.方法二：设k+=，如图，当C位于点A或点B时，,,ABC三点共线，所以1k=+=；当点C运动到AB的中点时，123332k=+==，所以2

31,3+故答案为：231,3四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知22cosabcB+=．（1）求角C；（2）若角C的平分线C

D交AB于点,313,13DADDB==，求CD的长．【答案】（1）2π3C=（2）3CD=【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos1sin0CB+=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3

ba=，再由余弦定理求出4a=，12b=，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cosabcB+=，根据正弦定理可得2sinsin2sincosABCB+=，则()2sinsin2sincosBCBCB++=，所以2sincos2cossinsin2sincosB

CBCBCB++=，整理得()2cos1sin0CB+=，因为,BC均为三角形内角，所以(),0,π,sin0BCB，因此1cos2C=−，所以2π3C=．【小问2详解】因为CD是角C的平分线，313,13ADDB==，所以在ACD和BCD△中，由正弦定理可得，,ππs

insinsinsin33ADCDBDCDAB==，因此sin3sinBADABD==，即sin3sinBA=，所以3ba=，又由余弦定理可得2222coscababC=+−，即2222(413)93aaa

=++，解得4a=，所以12b=．又ABCACDBCDSSS=+△△△，即111sinsinsin222abACBbCDACDaCDBCD=+，即4816CD=，所以3CD=．16.已知1ex=为函数()lnafxxx=的极值点．（1）求a的值；（2）设函数()exkxgx=，若对(

)120,,xx+R，使得()()120fxgx−，求k的取值范围．【答案】（1）1a=（2）(()10,−−+,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a的值；（2）先由（1）求出()fx的最小值，由题意可得是求()g

x的最小值，小于等于()fx的最小值，对()gx求导，判断由最小值时的k的范围，再求出最小值与()fx最小值的关系式，进而求出k的范围．【小问1详解】()()111lnln1aafxaxxxxaxx

−−==++，由1111ln10eeeafa−=+=，得1a=，当1a=时，()ln1fxx=+，函数()fx在10,e上单调递减，在1,e+上单调递

增，所以1ex=为函数()lnafxxx=的极小值点，所以1a=．【小问2详解】由（1）知min11()eefxf==−．函数()gx的导函数()()1exgxkx−=−①若0k，对()1210,,xxk+=−，

使得()()12111e1ekgxgfxk=−=−−−，即()()120fxgx−，符合题意．②若()0,0kgx==，取11ex=，对2xR，有()()120fxgx−，不符合题意．③若0k，当1x时，()()0,gxgx在(),1−上单调递减；当1

x时，()()0,gxgx在(1,+∞)上单调递增，所以()min()1ekgxg==，若对()120,,xx+R，使得()()120fxgx−，只需minmin()()gxfx，即1eek−，解得1k−．综上所述，k的取值范围为((),10,−−+．17.已知

四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥底面,ABCDAD∥2,,,2,2BCABBCPAPBABABBCADE⊥====为AB的中点，F为棱PC上异于,PC的点．（1）证明：BDEF⊥；（2）试确定点F的

位置，使EF与平面PCD所成角的余弦值为7014．【答案】（1）证明见解析（2）F位于棱PC靠近P的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PEECEC交BD于点G，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC的中点H，以E为坐标原点，分别以,,EBEHEP所在直线为,,xy

z轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PEECEC交BD于点G．因为E为AB的中点，PAPB=，所以PEAB⊥．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,ABCDABPE=平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为BD平面ABCD，所以

PEBD⊥．因为ABDBCE，所以CEBBDA=，所以90CEBABD+=，所以BDEC⊥，因为,,PEECEPEEC=平面PEC，所以BD⊥平面PEC．因为EF平面PEC，所以BDEF⊥．【小问2详解】如

图，取DC的中点H，以E为坐标原点，分别以,,EBEHEP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，【设2AB=，则2,1,2BCADPAPB====，则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0PCDE−，设(),,,(01)FxyzPFPC=，所以

()(),,11,2,1xyz−=−，所以,2,1xyz===−，即(),2,1F−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DCPCEF==−=−，设平面PCD的法向量为(),,mabc=，则00DCmP

Cm==，，即2020ababc+=+−=，，取()1,2,3m=−−，设EF与平面PCD所成的角为，由70cos14=，得314sin14=．所以222433314sincos,14144(1)mEFmEFmEF−−+====++−，整理得26

20−=，因为01，所以13=，即13PFPC=，故当F位于棱PC靠近P的三等分点时，EF与平面PCD所成角的余弦值为7014．18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线21:2(0)Cypxp=的焦点到准线的距离等于椭圆222:161Cxy+=

的短轴长，点P在抛物线1C上，圆222:(2)Exyr−+=（其中01r）.（1）若1,2rQ=为圆E上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,Dt是抛物线1C上位于第一象限的一点，过D作圆E的两条切线，分别交抛物线1C于点,MN.证明：直线MN经过定点.【答

案】（1）712−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2yx=，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MNDM的直线方程，由直线与圆相切可得,ab是方程()()()2

222124240rxrxr−+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116yx+=，所以短半轴14b=所以112242pb===，所以抛物线1C的方程是2yx=.设点()2,Ptt，则()2222211371712222422PQ

PEttt−−=−+−=−+−，所以当232=时，线段PQ长度取最小值712−.【小问2详解】()1,Dt是抛物线1C上位于第一象限的点，21t=，且()0,1,1tD设()()2

2,,,MaaNbb，则：直线()222:baMNyaxaba−−=−−，即()21yaxaab−=−+，即()0xabyab−++=.直线()21:111aDMyxa−−=−−，即()10xaya−++=.由直线DM与圆相切

得221(1)ara+=++，即()()()2222124240rarar−+−+−=..同理，由直线DN与圆相切得()()()2222124240rbrbr−+−+−=.所以,ab是方程()()()2222124240rxrxr−+−+

−=的两个解，22224224,11rrababrr−−+==−−代入方程()0xabyab−++=得()()222440xyrxy+++−−−=，220,440,xyxy++=++=解得0,1.xy==−直线MN恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）

引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00yykxx−=−,则直线过定点()00,xy

;若直线方程为ykxb=+(b为定值),则直线过定点()0,.b19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况

．日期t12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432592.682.762.70.4经计算可得：101010211112.2,118.73,38510iiiiiiiyytyt=======.

（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）

若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为nP，求nP；（3）记（2）中所得概率nP的值构成数列()NnPn.①求nP的最值；②数列收敛的定义：已知数列

na，若对于任意给定的正数，总存在正整数0N，使得当0nN时，naa−，（a是一个确定的实数），则称数列na收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列nP收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,nniiiiiinniiiixxyyxy

nxyaybxxxxnx====−−−==−−−.【答案】（1）673220710001200yt=+（2）433774nnP=+−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见

解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出,ab的值，进而得到y关于t的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44nnnPPPn−−=+，其中12113,416PP==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n为

偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得2.2100.42.49y−==新，12345678959t++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,3

8510285iiiityt===−==−=新新，所以912922119114,73952.4673ˆ2859560009iiiitytybtt==−−===−−新新

新新新，可得6732207ˆ2.4560001200a=−=，所以6732207ˆ60001200yt=+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44nnnPPPn−−=+，其中12111313,444416PP==+=，所以11233,(3)44nnnnPPPPn−−−+=+，又由

2131331141644PP+=+=，所以134nnPP−+是首项为1的常数列，所以131,(2)4nnPPn−+=所以1434(),(2)747nnPPn−−=−−，又因为1414974728P−=−=−，所以数

列47nP−是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284nnP−−=−−，所以1934433()()2847774nnnP−=−−+=+−.【小问3详解】解：①当n为偶数时，19344334()()28477747

nnnP−=−−+=+单调递减，最大值为21316P=；当n为奇数时，19344334()()28477747nnnP−=−−+=−单调递增，最小值为114P=，综上可得，数列nP的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0总存在正整

数0347[log()]13N=+，其中x表示取整函数，当347[log()]13n+时，347log()34333333()()()7747474nnnP−=−==，所以数列nP收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解

策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问

题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知

识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.