【文档说明】《2023年新高考数学临考题号押》押第15题 双曲线（新高考）（解析）【高考】.docx，共(15)页，2.090 MB，由小赞的店铺上传

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1押第15题双曲线双曲线是高考全国卷每年必考知识点,且均以客观题的形式进行考查,若为基础题,主要考查双曲线的几何性质,考查热点是双曲线的渐近线与离心率,若为较难题,一般常涉及直线与双曲线的位置关系、范围与最值问题,2020年全国Ⅰ卷以填空题形式考

查双曲线,难度中等偏易,2021年全国新高考Ⅱ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,预测2022年全国新高考Ⅰ卷以选择题形式考查双曲线的可能性较大,难度依然会保持中等偏易.1.双曲线的定义与方程(1)利

用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系．(3)待定系数法

求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ

(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．2.双曲线的几何性质(1)注意双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的实轴长是2a,不是a.(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线x2a2－y2b2＝

1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.在求双曲线的离心率范围时要注意离心率1e.3.直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元

,得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验．21．（2021·新高考全国卷Ⅱ数学·高考真题）若双曲线22

221xyab−=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3yx=【详解】解：由题可知，离心率2cea==，即2ca=，又22224abca+==，即223ba=，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为

3yx=.故答案为：3yx=.2．（2021·全国·高考乙卷真题（文））双曲线22145xy−=的右焦点到直线280xy+−=的距离为________．【答案】5【详解】由已知，22543cab=+=+=，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到

直线280xy+−=的距离为22|3208|55512+−==+.故答案为：53．（2021·全国·高考乙卷真题（理））已知双曲线22:1(0)xCymm−=的一条渐近线为30xmy+=，则C的焦距为_________．【答案】4【详解】由渐近线方程30x

my+=化简得3yxm=−，即3bam=，同时平方得2223bam=，又双曲线中22,1amb==，故231mm=，解得3,0mm==（舍去），2223142cabc=+=+==，故焦距24c=.故答案为：4.4．（2021·全国·高考甲卷真题（

文））点()3,0到双曲线221169xy−=的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A3【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy−=，即340xy=，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340xy+

=的距离：9095916d+==+.故选：A.5．（2021·全国·高考甲卷真题（理））已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率为（）A．72B．132C．

7D．13【答案】A【详解】因为213PFPF=，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa−==，所以2PFa=，13PFa=；因为1260FPF=,由余弦定理可得2224923cos60caaaa=+−，整理可得2247ca=，所以22274ace==，即72e=.故

选：A1．（2022·山东·济南一中模拟预测）建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却

塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线1l，2l为该双曲线的两条渐近线，1l，2l向上的方向所成的角的正切值为512，则该双曲线的离心率为______．【答案】264【详解】解：设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，则22tan5ta

n21tan12==−，解得1tan5=或tan5=−（舍），即15ab=，故5ba=，所以22126bea=+=．故答案为：26.2．（2022·河北邯郸·一模）已知点P在双曲线22145xy−=的右支上，()0,2A，动点B满足2AB=，F是双曲线的右焦点，则P

FPB−的最大值为___________.【答案】132−##213−+【详解】动点B满足2AB=，则点B的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆,设双曲线的左焦点为1F，由题知14PFPF−=，14PFPF=−则1144134PFPAPFPAAF−=−−−=−，当且仅

当A，P，1F三点共线时，等号成立，所以PFPB−的最大值为132−，故答案为：132−3．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为12,FF，直线ykx=在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线

的离心率e满足2e3，且12AFAF⊥，则k的取值范围是___________.【答案】325,355【详解】设2(,),(,0)AmnFc，由题可知122221224AFAFaAFAFc−=+=，∴

22212222AFAFcab=−=.∴1212121122AFFSAFAFFFn==，∴2bnc=，∴2bmck=.又由12AFAF⊥，可知OAc=，∴22222bbccck+=，解得4244411bkcbcb==−−.∵2242222222e1

1e1e1ccbca===+−−−，2e3，∴4944cb.∴21435k，依题意，0k，∴32535k.故答案为：325,354．（2022·河北·

石家庄二中模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，点P在双曲线上，且3FPFH=，则双曲线的离心率为__________．

【答案】132【详解】由题意，设(,)Pxy，直线FH的方程为()ayxcb=+，与渐近线byxa=−联立，可得H的坐标为2(,)cabac−，3FPFH=，即23axcccabyc+=−+=，2323axccabyc=−+=，代入双曲线方程可得，222223(2)

91acacac−+−=，化简可得22413ca=，6132cea\==，故答案为：1325．（2022·广东汕头·二模）如图从双曲线22221xyab−=（其中0ba）的左焦点F引圆222xya+=的切线，切点为T，延长FT，交双曲线右支于P，若M为线段

FP的中点，O为原点，则||||MOMT−的值为（用ab、表示）__________．【答案】ba−【详解】由图可知点P在第一象限．设1F是双曲线的右焦点，连接1PFM、O分别为FP、1FF的中点，11||||2MOPF=．又由双曲线定义得，

1||||2PFPFa−=，2222||FTOFOTcab=−=−=．故||||MOMT−11||||||2PFMFFT=−+11(||||)||2PFPFFT=−+ba=−．故答案为：ba−．7（限时：30分钟）1．已知双曲线()22

2210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，1260FAF=，四边形12AFBF的周长p与面积S满足212839pS=，则该双曲线的离心率为______．【答案】72【详解】由题知，12||||2AF

AFa−=，四边形12AFBF的是平行四边形，12||||2pAFAF+=，联立解得，1||4pAFa=+，2||4pAFa=−，1260FAF=，221233||||sin60()()()244216ppSpAFAFaaa=+−=−=，又2128

39pS=，222)9321283(16pap=−，即2264pa=.由余弦定理可得222(22))()()()cos6044(44ppppaaaca++−−+=−，化简得2222224334716pcaaaa=+=+=，227742cea==

=.故答案为：722．已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且123FPF=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,ee，则2212ee+的最小值__________．8【答案】312+【详解】由题意

，可设椭圆的长半轴为1a，双曲线的实半轴为2a，由椭圆和双曲线的定义可知，1211222,2PFPFaPFPFa+=−=，则112PFaa=+，212PFaa=−，又1260FPF=，由余弦定理可得()()()

()()2221212121222cos60caaaaaaaa=++−−+−，整理得2221243=+caa，即2212134ee+=，则221213144ee+=，所以()2222212121222121213133144222eeeeeeeeee+=+++=+

.3．已知椭圆1C和双曲线2C有公共的焦点1F､2F，曲线1C和2C在第一象限相交于点P.且1260FPF=，若椭圆1C的离心率的取值范围是32,32，则双曲线2C的离心率的取值范围是___________

.【答案】6,32【详解】设椭圆22122:1(0)xyCabab+=，双曲线：2C2222111xyab−=，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率cea=，双曲线离心率11cea=，12||,||PFsPFt==，如图，由椭圆定义可得：2st

a+=，由双曲线定义可得：12sta−=，联立可得1saa=+，1taa=−，由余弦定理可得：1222222211111242cos()()2()()cos603cststaaaaaPaaFaFaa=+−=++−−+=+

−即221134ee=+，解得212314ee=−，9因为32,32e，所以21132e，2123e，可得21332e，故1632e，故答案为：6,324．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=

的右焦点为F，若MFx⊥轴，MF的中点为P，点A，B为双曲线顶点，当APB最大时，点M恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【详解】解：设()0,Pcy，00y，

A为左顶点，B为右顶点.∴当APB最大时，tanAPB最大.又APBAPFBPF=−，0tancaAPFy+=，0tancaBPFy−=，∴0022000000tantan22tan1tantan12cacayyAPFBPFaaaA

PBcacabAPFBPFbbyyyyyy+−−−====+−+++，当且仅当200byy=，即为0yb=时取等号.∴此时点P的坐标为(,)cb，点M的坐标为(,2)cb.将点M的坐标代入双曲线方程，得222241cb

ab−=，得5ca=.∴当APB最大时，该双曲线离心率为5.故答案为：5.5．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．

若1PHPF+的最小值为3a，则双曲线C的离心率为______．【答案】2【详解】由双曲线定义知，122PFPFa−=，则122PFPFa=+，∴12||||2PHPFPHPFa+=++，所以，过2F作双曲线一条渐近

线的垂线垂足为H，交右支于点P，10此时2||2PHPFa++最小，且最小值为3a，易求焦点到渐近线的距离为b，即2||PHPFb+=，所以23baa+=，即ba=，222ca=，可求离心率2e=.故答案为：2.6．双曲线2213xy−=的两条渐近线的夹角为

______.【答案】60【详解】由题意，双曲线2213xy−=，可得两条渐近线方程为33yx=，设直线33yx=的倾斜角为，则3tan,[0,180)3=，解得30=，根据双曲线的对称性，可得两见解析

的夹角为260=.故答案为60.7．已知双曲线C：2222xyab−=1（a>0，b>0）的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为___________.【答案】2【详解】双曲线2222:1(

,0)xyCabab−=的右焦点为(c,0)F，渐近线方程为byxa=，设F关于byxa=的对称点为(,)bmma−，由题意可得bmaacmb=−−，(*)且11(0)()22bbmmcaa−=+，可得12mc=−，代入(*)可得223ba=，故22224caba=+=，1

1则离心率2cea==，故答案为：2．8．已知双曲线2222:1,(0,0)xyabCab−=的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线yx=有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得21123PFFPFF

=，则双曲线离心率取值范围范围为___________.【答案】(2,2)【详解】双曲线C与直线yx=有交点，则1ba，222221bcaaa−=，解得2cea=，双曲线上存在不是顶点的P，使得21123PFFPFF=，则P点在右支上

，设1PF与y轴交于点Q，由对称性12QFQF=，所以1221QFFQFF=，所以221211222PFQPFFQFFPFFPQF=−==，2PQPF=，所以12112PFPFPFPQQFa−=−==，由11QFOF得2ac，所以2cea=，又12PFF△中，122112

4180PFFPFFPFF+=，1245PFF，所以122cos22cPFFa=，即2cea=，综上，22e．故答案为：(2,2)．9．写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为2yx=﹔③焦距

大于10【答案】2255114436yx−=（答案不唯一，写出一个即可）【详解】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：()222210,0yxabab−=12由②一条渐近线方程为2yx=知，2ab=

，即2ab=由③知，210c，即5c，则可取6c=（此处也可取大于5的其他数）又222abc+=，()22236bb+=，2365b=2214445ab==则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：2255114436yx−=故答案为：2255114436yx−=（答案不唯

一,写出一个即可）.10．已知双曲线C的方程为2214xy−=，则其离心率为_______．【答案】52【详解】由双曲线C的方程2214xy−=可得：224,1ab==所以2225cab=+=，所以52cea==11．如图，F1，F2是平

面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲

线可以同时满足：①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点．【答案】5（或56）（答案不唯一）【详解】因为12210FFc==，若过A，C两点，则由题意得121212AFAFCFCF+=+=，13此时

离心率21052126cceaa====．若过B，C两点，则由题意得21122BFBFCFCF−=−=，此时离心率210522cceaa====．故答案为：5（或56）（答案不唯一）12．若双曲线经过点()1,3，其渐近线方程为2yx=，则双曲

线的方程是___________.【答案】2241xy−=【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设22221(0,0)xyabab−=，则22131ab−=且2ba=，联立解得1,12ab==,则双曲线的标准方程为22

41xy−=；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设22221(0,0)yxabab−=，则22311ab−=，且2ab=，此时无解，综上，双曲线的方程为2241xy−=.故答案为：2241xy−=13．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=）的左､右焦点分别是()()121122

,,,,,FFPxyQxy是双曲线右支上的两点，11223xyxy+=+=.记12,PQFPQF的周长分别为12CC，，若128CC−=，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为___________.【答案】22【详解】解：根据双曲线的定义，()()12112248

CCPQPFQFPQPFQFa−=++−++==.所以2a=，故双曲线右顶点()2,0，因为11223xyxy+=+=，所以P在3xy+=上，Q在3xy+=上，即直线PQ方程为：30xy+−=，所以双曲线的右顶点到直线PQ的距离为12.22d==故答案为：2214．双曲线2222:1(0,0)

xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，焦距为2c，以右顶点A为圆14心，半径为2ac+的圆与过1F的直线l相切于点N，设l与C的交点为,PQ，若2PQPN=，则双曲线C的离心率为___________.【答案】2.【详解】因为

以右顶点A为圆心，半径为2ac+的圆过1F的直线l相切与点N，A1F=ac+，故可知直线的倾斜角为030，设直线方程为()2222422332301xycbaybcybxyab=−−−+=−=

设点P()()1122,,,xyQxy，根据条件2PQPN=知N点是PQ的中点，故得到2222223,33acbcNbaba−−，因为2222223333bcbaNAlacaba−⊥=−−−，故得到323

402.eee−+==故答案为2.15．已知双曲线2222:1xyCab−=，1l，2l为C的两条渐近线，过C的右焦点F作1l的垂线，垂足为A，且该垂线交2l于点B，若3BAAF=，则曲线C的离心率e=____

__.【答案】263##263【详解】解：不妨设1l为byxa=，2l为byxa=−，过C的右焦点F作1l的垂线，垂足为A，且该垂线交2l于点B，(),0Fc，则直线AB的方程为()ayxcb=−−，联立()ayxcbbyxa=−−=，解得2axcabyc=

=，即2,aabAcc，联立()ayxcbbyxa=−−=−，解得22222acxababcyab=−=−−，15即22222,acabcBabba−−，则222222,aacababcBAcabcba=−−−−，2

,aabAFccc=−−，因为3BAAF=，所以222222233aacaccabcababcabcbac−=−−−=−−，所以224ccba=−，即()222224bacab−==+，所以2235ba=，所以2253ba=，所以2252611

33bea=+=+=.故答案为：263.