【文档说明】浙江省“南太湖”联盟2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，7.924 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期“南太湖”联盟高二年级第一次联考数学学科试题卷本卷共4页满分150分，考试时间120分钟出卷人：徐卫锋、吕平审核人：薛燕鸣、何伟伟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{10}Axx=−∣，

集合220Bxxx=−−∣，则AB=（）A.(),2−B.()1,2-C.()(),11,−−+D.()(),12,−−+【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再求两集合的并集【详解】因为()()()2{10}1,,20,12,AxxBxxx

=−=+=−−=−−+∣∣，所以()(),11,AB=−−+.故选：C2.若复数z满足(1)i1zz+=−，则z=（）A.1−B.1C.i−D.i【答案】C【解析】【分析】应用复数的除法求复数

即可.【详解】由题设(i1)1iz+=−，则21i(1i)i1i2z−−===−+.故选：C3.若m，n是互不相同的直线，,是不重合的平面，则下列说法不正确的是（）A.若,,mmn=∥，则mn∥B.若,mn⊥⊥，则mn∥C.若,,,,mnmnmnA

=∥∥，则∥D.若m⊥，，则m⊥【答案】D【解析】【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可.【详解】对于A：由线面平行的性质可知mn∥，故A正确；对于B：垂直于同一个平面的两条直线平行，故B正确；对于C：平面内两条相交直线分别和另一

个平面平行，则两个平面平行，故C正确；对于D：m⊥，，则m或//m或m⊥或m与相交，故D错误；故选：D4.如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc===，点M在OA上，且2OMMA=，点N为BC中点，则MN=（）A.121232a

bc−+B.211322abc−++C.111222abc+−D.2132abc+−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】因为2OMMA=，所以2OMMA=，所以23OMOA=，又点N为BC中点，所以()12

ONOBOC=+，所以()1221123322MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++.故选：B.5.如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球

缺的高．球冠面积公式为2πSRH=，球缺的体积公式为()21π33VRHH=−，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2，则这两个球缺的体积之比为（）．A.19B.1120C.720D.310【答案】C【解析】【分析】根据已知条件

求得123Rh=，243Rh=，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h，大球缺的高为2h，则122hhR+=，①由题意可得：122π12π2RhRh=，即：212hh=，②所以由①②得：123R

h=，243Rh=，所以小球缺的体积23112228ππ333381RRRVR=−=，大球缺的体积23214480ππ333381RRRVR=−=，所以小球缺

与大球缺体积之比为313228π78180π2081RVRV==.故选：C.6.已知向量m，n，且1mn==，327mn−=，则向量m在向量n方向上的投影向量为（）A.0B.12mC.12nD.12n−

【答案】C【解析】【分析】先求得mn，然后根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】由327mn−=两边平方得191247,2mnmn−+==，所以向量m在向量n方向上的投影向量为12mnnnnn=.故选：C7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于

山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30和45，在A处

测得楼顶部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出AC，30CMA=，45CAM=，在ACM△中，由正弦定理求出742MC=，从而得到MN的长度

.【详解】在RtABC△中，37sinsin30ABACACB==o，180105ACMACBMCN=−−=，153045CAM=+=，在ACM△中，18030CMAMACACM=−−=，由

sin30sin45ACMC=，237sin45sin45742sin30sin30ACMC===，RtMNC△中，sin4574MNMC==o.故选：A8.棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P在棱CD上运

动，点Q在侧面11ADDA上运动，满足1BQ⊥平面1ADP，则线段PQ的最小值为（）在A.63B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设()0,,0,01Pmm，(),0,Qnt，根据线面垂直得到方程组，求出tn=，1mn=−，从而求出2

212333PQn=−+，得到线段PQ的最小值.【详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,0,0,1,1,1,1ADB，设()0

,,0,01Pmm，(),0,Qnt，所以()()()1,0,1,1,11,1,1BQntnt=−=−−−，()()()()11,0,1,0,,01,0,01,,0ADAPmm=−=−=−，因为1BQ⊥平面1ADP，所以()()1

11,1,11,0,1110BQADntnttn=−−−−=−+−=−=，故tn=，()()11,1,11,,010BQAPntmnm=−−−−=−−=，故1mn=−，其中()()(),0,0,,0,,PQntmnmt=−=−，故()222222221221321333PQnmtnnnn

n=++=+−=−+=−+，故当13n=时，2min23PQ=，此时213mn=−=满足要求，所以线段PQ的最小值为2633=.故选：A二、多选题：本答题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若()19PAB=，()23PA=，()13PB=，则事件A与B的关系错误是（）A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【答案】ABD【解析】【分析】

根据积事件概率不为零可确定A与B不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.【详解】对于ABD，()()109PABPAB==，事件A与B不互斥，不对立，ABD错误；对于C，()()113PAPA=−

=，()()()PABPAPB=，事件A与B相互独立，C正确.故选：ABD.10.对数函数logayx=（0a且1a）与二次函数()21yaxx=−−在同一坐标系内的图象不可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】AB选项，从对数函数出发，推出1a，再判断二次函数，从开口

方向和其中一根与1的比较，得到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到01a，再判断二次函数，也是从开口方向和其中一根与1的比较，得到CD均不可能.【详解】选项A，B中，由对数函数图象得1a，则二次函数中

二次项系数10a−，其对应方程的两个根为0，11a−，选项A中，由图象得111a−，从而12a，选项A可能；选项B中，由图象得101a−，与1a相矛盾，选项B不可能．选项C，D中，由对数函数的图象得01a，则10a−，二次函数图象开口向下，D不可

能；选项C中，由图象与x轴的交点的位置得111a−，与01a相矛盾，选项C不可能．故选：BCD．11.关于函数()sin2cos2fxxx=−，下列命题是真命题的是（）A.函数()yfx=的周期为πB.直线π4x=是()yfx=的一条对称轴C.点π8,0是()

yfx=的图像的一个对称中心D.函数()yfx=的最大值为2【答案】AC【解析】【分析】根据题意，结合辅助角公式可得()π2sin24fxx=−，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】()πsin

2cos22sin24fxxxx=−=−，2=，则2ππ2T==，故A正确；当π4x=时，πππ2sin21444f=−=不是最值，故直线π4x=不是()yfx=的一条对称轴，故B错误；当π

8x=时，π204x−=，终边落在x轴上，故点π8,0是()yfx=的图像的一个对称中心，故C正确；函数()yfx=的最大值为2，故D错误.故选：AC12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为棱1AA上的动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在

点M，使得1//CM平面1ABCB.对于任意点M，都有平面1CMB⊥平面11ABCDC.异面直线1CM与BC所成角的余弦值的取值范围是12[,]22D.若1CM⊥平面，则平面截该正方体截面图形的周长最大值为6

2【答案】AB【解析】【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为棱1AA上的动点（含端点），的对于A，当点M与1A重合时，由1111//,AACCAACC=

，得11ACCA，有11//ACAC，而AC平面1ABC，11AC平面1ABC，因此11//AC平面1ABC，即1//CM平面1ABC，A正确；对于B，由11AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，得111ABBC⊥，又11BCBC⊥，1111111,,ABBCBABBC=

平面11ABCD，则1BC⊥平面11ABCD，而1BC平面1CMB，因此平面1CMB⊥平面11ABCD，B正确；对于C，由11BC⊥平面11ABBA，1BM平面11ABBA，得111BCBM⊥，因为11//BCBC，显然11MCB

是锐角，则11MCB是异面直线1CM与BC所成的角，而1[22,23]CM，1111132cos[,]32BCMCBCM=，C错误；对于D，当点M与1A重合时，与选项B同理得11AC⊥平面11BD

DB，当平面11BDDB为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形11BDDB，其周长为44262+，D错误.故选：AB三、填空题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1,0a=r

，()1,0,2b=−，若向量kab+与akb+平行，则k=______．【答案】1或1−【解析】【分析】先求出kab+和akb+rr的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算即可．详解】由()1,1,0a=r，()1,0,2b=−r，则()1,,2kabkk+=−，

()1,1,2akbkk+=−rr，又向量kab+与akb+rr平行，即存在使得()()1,,21,1,2kkkk−=−成立，则有()1122kkkk−=−==，解得1k=或1k=−．故答案为：1或1−．14.数据2,4,5,8

,,10,11a的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为______．【答案】9【【解析】【分析】先利用平均数的性质求得参数a，再利用百分数位数据定义即可得解.【详解】因为数据2,4,5,8,,10,11a的平均数是7，所以()1245810117

7a++++++=，解得9a=，因为760%4.2=，所以这组数据的第60百分位数为第5位数，即9.故答案为：9.15.若ABC的面积为()222312acb+−，则B=______.【答案】π6【解析】【分析】根据题意利

用面积公式和余弦定理可得3tan3B=，进而可得结果.【详解】ABC的面积为()222312acb+−，则()22213sin212acBacb=+−，由余弦定理可得：13sin2cos212acBacB=，整理得3tan3B=，且π0,2B，所以π6B

=；故答案为:π616.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，若动点P在线段1BD上运动，则DCAP的取值范围是___________．【答案】0,4【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1BPBD=，即可求出DCAP，再根据的范围，求出DC

AP的取值范围．【详解】解：以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以1DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D，()0,2,0C，()2,0,0A，()2,2,0B，()10,0,2D．()0,2,0DC=，()12,2,2BD=−−，()0,

2,0AB=．点P在线段1BD上运动，()12,2,2BPBD==−−，且01剟．()2,22,2APABBP=+=−−，44DCAP=−，∵01剟，∴0444−，即0,4DCAP，故答案为：0,4．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答

题应给出文字说明、证明过程.17.已知()3,2,1a=−，()2,1,2b=r．（1）求a与b夹角的余弦值；（2）当()()kabakb+⊥−时，求实数k的值．【答案】（1）147（2）32k=或23k=−【解析】分

析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()kabakb+⊥−列方程，从而求得k的值.【小问1详解】【614cos,7149ababab===.【小问2详解】由于()()kabakb+⊥−，所以()()0kabakb+−=，所以()22210kakabkb+−−=

，()22146190,6560kkkkk+−−=−−=，解得32k=或23k=−.18.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重

要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分)40,50)5060，)6070，)7080，)809

0，90100，心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人.（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在)

40,50的市民心理等级转为“良好”的概率为14，调查评分在)50,60的市民心理等级转为“良好”的概率为13，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?【答案】（1）200

0，0.002t=（2）23【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．【小问1详解】由已知条件可得40020000.0210n==，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以0.84801t

+=，解得0.002t=.【小问2详解】由（1）知0.002t=，所以调查评分在[40,50)的人数占调查评分在)50,60人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40,50)有1人，)50,60有2人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为32214333=，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为322214333P=−=.19.在

ABC中，角,,ABC的对边分别为(),,,cos3sinsincos0abcBabCbBC−−=.（1）求角B；（2）若2,caABC=的面积为3，求ABC的周长.【答案】（1）π3（2）326+【解析】分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得B.【（2）利用

三角形的面积求得ac，进而求得,ac，根据余弦定理求得b，从而求得ABC的周长.【小问1详解】由()cos3sinsincos0BabCbBC−−=得，()3cossincoscossin0aBbCBCB−+=，3cossin()sinaBbBCbA=

+=，由正弦定理得3sincossinsinABBA=，sin0,tan3AB=，()π0,π,3BB=.【小问2详解】ABC的面积为3，即13sin324acBac==，得4ac=，22,24caa==，0a，2,222aca===，由余弦定理可得2222c

os6bacacB=+−=，0,6bb=，三角形的周长为326abc++=+.20.已知21()21xxmfx−=+是定义在R上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）若不等式()2(3)0fxfax−++恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1m=（

2）13,4+【解析】【分析】（1）根据奇函数(0)0f=即可求出结果；（2）根据()fx的奇偶性和单调性即可求出结果.【小问1详解】因为()fx为定义在R上的奇函数，所以1(0)02mf−==，所以1m=．此时21()21xxfx-=+，经验证，()()fxfx−=−，故1m=．【

小问2详解】由（1）可知212()12121xxxfx−==−++，任取12xx，则()()()1212121222222()()(1)(1)21212121xxxxxxfxfx−−=−−−=++++，因为12xx，则1222xx，12()

)0(fxfx−所以12()()fxfx所以()fx是R上的增函数．由()2(3)0fxfax−++恒成立，得()2(3)fxfax−−−恒成立，则23xax−−−，所以23axx−−+恒成立，因为22113133244xxx−−+=−++，所以134

a．实数a的取值范围为：13,4+．21.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,AB的一动点．（1）证明：PBC是直角三角形；（2）若2PAABAC==，求直线A

B与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由圆的性质可得BCAC⊥，再由PA⊥平面ABC，则PABC⊥，然后由面面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，从而可得BCPC⊥，进而可证得结论；（2）过A作AH

PC⊥于H，可证得ABH是直线AB与平面PBC所成的角，在RtABH△中求解即可.【小问1详解】证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于,AB的一动点，∴BCAC⊥，∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PABC⊥．又PAACA

=，,PAAC平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BCPC⊥，∴PBC是直角三角形．【小问2详解】解：过A作AHPC⊥于H，∵BC⊥平面PAC，AH平面PAC，∴BCAH⊥，又PCBCC=，,PCBC平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴ABH是直线AB与平面PBC所成的

角，在RtPAC△中，2263PAACAHACPAAC==+，在RtABH△中，633sin32ACAHABHABAC===，故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为33．22.如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=33km，60A=，∠AOB=9

0，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且30MON=．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN

的面积要尽可能小，设∠AOM=，π0θ3<<，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．【答案】（1）74km（2）π12=时面积最小，最小值为542734−【解析】【分析】（1）由条件根据余弦定理求得7

OM=；再用余弦定理和正弦定理即可求得MN；（2）利用正弦定理表示出,OMON的长，利用三角形面积公式表示出OMN的面积，化简并结合三角函数性质求得答案.【小问1详解】依题意，2AM=，在AMO中，由余弦定理得，22212cos942327

2OMOAAMOAAMA=+−=+−=，则7OM=,22297427cos27237OAOMAMAOMOAOM+−+−===，在OAN中，sinsin()sin()ANOAAONANOMAOM=+=++27sin(90)cos7AOM

AOM=+==，所以在OMN中，由正弦定理，sin30sinMNOMANO=，得17sin3072sin4277OMMNANO===，即点M，N之间的距离为74km.【小问2详解】π,03AOM

=，在AMO中，由正弦定理得，sinsinOMOAOAMOMA=，所以332sin(60)OM=+，在ANO△中，由正弦定理得，sinsinONOAOAMONA=，所以332cosON=，1133331271

sin30222sin(60)2cos216313sin2cos2444SOMON===+++2711631πsin(2)423=++，因为π0θ3<<，所以ππ2π33+，获得更多资源请扫码加入享学资

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