【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第六讲 集合的表示 Word版含解析.docx，共(20)页，1.754 MB，由小赞的店铺上传

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第六讲：集合的表示【教学目标】1、初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用；2、会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．【基础知识】集合的表示：1、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举

法．2、描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征()px的元素x所组成的集合表示为{|()}xpxR，这种表示集合的方法称为描述法．3、Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．【题型目录】考点一：

用列举法表示集合考点二：用描述法表示集合考点三：Venn图考点四：集合的表示综合考点五：元素个数考点六：元素个数（求参）考点七：集合新定义【考点剖析】考点一：用列举法表示集合利用大括号，将集合中的元素一一列举出来的表示方法.例1．用列举法表示下列给定的集合：（1）不大于8的非

负偶数组成的集合A；（2）小于10的质数组成的集合B；（3）方程2230xx−−=的实数根组成的集合C；（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【答案】（1）A＝{0，2，4，6，8}；（2）B＝{2，3，5，7}；（3）C＝31,2−

；（4）D＝{(1，4)}.【详解】解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，所以A＝{0，2，4，6，8}．（2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．（3）方程2230xx−

−=的实数根为－1，32，所以C＝31,2−.（4）由326yxyx=+=−+，得14xy==，所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．变式训练1．用列举法表示下列给定

的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2230xx−−=的实数根组成的集合C；(4)方程组42xyxy+=−=的解集D.解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A

＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，所以C＝{－1,3}．(4)方程组x＋y＝4，x－y＝2的解为x＝3，y＝1.所以方程组的解集D＝{(3,1)}．变式训练2．

．用列举法表示下列集合：(1)中国国旗的颜色组成的集合；(2)单词mathematics中的字母组成的集合；(3)自然数中不大于10的质数组成的集合；(4)同时满足240,121xxx++−的整数组成的集合；(5

)由||aa＋||bb(a,b∈R)所确定的实数组成的集合.【答案】(1){红，黄}；(2){m,a,t,h,e,i,c,s}；(3){2,3,5,7}(4){－1,0,1,2}；(5){－2,0,2}(1)由题意，中国国旗的颜色有红、黄两种故中国国旗的颜色组成的集合为

{红，黄}(2)集合中的元素具有互异性，除去相同的字母单词mathematics中的字母组成的集合为{m,a,t,h,e,i,c,s}(3)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7故自然数中不大于10的

质数组成的集合为{2,3,5,7}(4)2402221212xxxxxx+−−+−故同时满足240,121xxx++−的整数有－1,0,1,2对应的集合为：{－1,0,1,2}(5)由题意，0

,0ab当0,0ab时，||aa＋||112bb=+=；当0,0ab时，||aa＋||110bb=−=；当0,0ab时，||aa＋||110bb=−+=；当0,0ab时，||aa＋||112bb=−−=

−故由||aa＋||bb(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{－2,0,2}考点二：用描述法表示集合文字描述；式子描述.例2．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式235x−的解集；(3)方程210x

x++=的所有实数解组成的集合；(4)抛物线236yxx=−+−上所有点组成的集合；(5)集合1,3,5,7,9.【答案】(1){|3,Z}xxkk=；(2)4,Rxxx；(3)2{|10,R}xxxx++=(4)()2{,|36}xyyxx=

−+−；(5){|21,15xxnn=−且*N}n【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：{|3,Z}xxkk=（2）解：不等式235x−的解集，用描述法可表示为：4,Rxxx.（3）解：方程21

0xx++=的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：2{|10,R}xxxx++=.（4）解：抛物线236yxx=−+−上所有点组成的集合，用描述法可表示为：()2{,|36}xyyxx=−+−.（5

）解：集合1,3,5,7,9，用描述法可表示为：{|21,15xxnn=−且*N}n.变式训练1．用描述法表示下列集合：(1)不等式231x−的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3){2,4,6,8,10}C=；

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n

∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n

，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．变式训练2．用描述法表示下列集合：(1)

比1大又比10小的实数组成的集合；(2)不等式342xx+的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．考点三：Venn

图通过画圈的形式，将元素写入对应的圈中，表示一个集合例3．已知全集=UR，集合2{0,1,2},{|0}ABxxx==+=，则下列关于集合,AB关系的韦恩图正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】解出集合B，结合集合A即可得答案.【详解】由集合2{|0}

Bxxx=+=，{0,1}B=−,又集合{0,1,2}A=，所以{0}AB=，结合选项就得A故选：A.变式训练1．已知全集RU=，能表示集合2N|20,2,1,0,1,2,3AxxxB=−−=−−关系的Venn图是（）A．B．C．D．

【答案】A【分析】先求得集合A，判断集合,AB的关系，由此确定正确选项.【详解】解220xx−−可得12x−，所以2N|200,1,2Axxx=−−=，又2,1,0,1,2,3B=−−，所以AB，根据选项的Venn图可

知选项A符合.故选：A变式训练2．如图,两个区域分别对应集合,AB,其中2,1,0,1,2,N4ABxx=−−=.则阴影部分表示的集合为（）A．0,1,2B．0,1C．2,1,2−−D．2,1−−【答案】D【分析】根据题意表示出集合,将集合中元素

还原到图形中,即可得到结果.【详解】解:由题意知,2,1,0,1,2,N4ABxx=−−=,阴影部分表示的集合为UABð,因为N40,1,2,3Bxx==,所以2,1UAB=−−ð.故选:D考点四：集合的表示综合用适当的集

合表示方法，表示集合.例4．下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程2(1)(2)0xx−−=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{|45}xx可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只

有②D．以上语句都不对【答案】C【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.变式训练1．

方程组149xyxy+=−=的解集是（）A．()2,1−B．()1,2−C．()1,2−D．()2,1−【答案】D【详解】149xyxy+=−=①②，两式相加可得510x=，所以2x=，将2x=代入1xy+=可得1y=−，所以21xy==−，

所以方程组149xyxy+=−=的解集是()2,1−，故选：D变式训练2．下列集合恰有2个元素的集合是（）A．2{0}xx−=B．2{|}xyxx=−C．2{|0}yyy−=D．2{|}yyxx=−【答案】C【详解】2{0}xx−=不是集合

；2{|}xyxxR=−=,2{|0}{0,1}yyy−==,21{|}[,)4yyxx=−=−+,所以选C.变式训练3．下列叙述正确的是（）A．方程2210xx++=的根构成的集合为1,1−−B．2210R20R30xxxxx++===

+C．集合(),5,6Mxyxyxy=+==表示的集合是2,3D．集合1,3,5与集合3,5,1是不同的集合【答案】B【分析】根据集合中的元素满足互异性可判断A,D，根据方程的解以及不等式组的解可判断B,C.【详解】对于A;方程2210xx++=的根构成

的集合为1−,故A错误，对于B;方程当2R,20xx+=无解，不等式组21030xx++无解，故2210R20R30xxxxx++===+，故B正确，对于C;由5263xyxxyy+====或32xy==,故()

(),5,62,3Mxyxyxy=+===，故C错误，对于D;由集合中的元素满足无序性可知13,5,1,3,5=，故D错误，故选：B考点五：元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例5．已知集合1,2,1,2,3AB==，

集合},{,|CttxyxAyB==+，则集合C中的元素个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】根据元素与集合关系，直接用枚举法解决即可．【详解】解：由题知，x的取值可以是1,2，y的取值可以是1,2,3，所以，t可以等于2,

3,4,5共四个结果，即2,3,4,5C=，所以集合C中的元素个数是4个.故选:A．变式训练1．已知集合1,0,1,2,,,ABCxxabaAbB=−===−，则C集合中元素的个数为（）A．2B．3C

．4D．5【答案】B【分析】根据定义列举出C中所有元素，即可判断.【详解】,,xabaAbB=−，则可以为：112x=−−=−，123x=−−=−，011x=−=−，022x=−=−.故3,2,1C

=−−−，有3个元素.故选：B变式训练2．已知集合(),N,N,2Mxyxyxy=+，则M中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】由条件用列举法表示M可得结论.【详解】因为(),N,N,2Mxyxyxy=+，所以()()()0,0,0,1

,1,0M=，故集合M中元素的个数为3，故选：D.变式训练3．设a，b，c为非零实数，则babcacxabcabc=+++的所有值所组成的集合为（）A．0,4B．4,0−C．4,0,4−D．0【答案】C

【分析】分a、b、c是大于0还是小于0进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果．【详解】解：a，b，c为非零实数，当0a，0b，0c时，11114babcacxabcabc=+++=+++=；当a，b，c中有一个小于0时，不妨设a<0，0b，0c，11110bab

cacxabcabc=+++=−++−=；当a，b，c中有两个小于0时，不妨设a<0，0b，0c，11110babcacxabcabc=+++=−−++=；当a<0，0b，0c时，11114babcac

xabcabc=+++=−−−−=−；x的所有值组成的集合为4,0,4−．故选：C．考点六：元素个数（求参）相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）例6．已知集合2{|320,}AxaxxxR=−+=（1）若A=，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素

，求实数a的值，并写出相应的集合；（3）若A中至少有两个元素，求实数a的取值范围.【答案】（1）9,8+；（2）实数a的取值为90,8+；当0a=时，23A=；当98a=时，43A=；当9,8a+时，A=；（3）()9

,00,8−【详解】（1）若A是空集，则方程2320axx−+=无解，此时0a且980a=−，即98a，所以a的取值范围为9,8+；（2）若A中至多有一个元素，则方程2320axx−+=有且只有一个实根或者无解，若方程23

20axx−+=有且只有一个实根，则当0a=时，方程为一元一次方程，满足条件，当0a时，此时980a=−=，解得：98a=，若方程2320axx−+=无解，由（1）可知9,8a+，综上可知：若A中至多有一个元

素，则实数a的取值为90,8+；当0a=时，23A=；当98a=时，43A=；当9,8a+时，A=；（3）若A中至少有两个元素，则2320axx−+=有两个不等的实数根，此时0a

且980a=−，解得98a且0a，所以a的取值范围是()9,00,8−.变式训练1．已知集合2210,RAxaxxa=++=∣.(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)0a

=或1a=；(2)|1aa【详解】（1）由题意，当0a=时，210x+=，得12x=−，集合A只有一个元素，满足条件；当0a时，2210axx++=为一元二次方程，440a=−=，得1a=，集合A只有一个元素=1x−，A中只有一个元素时0

a=或1a=.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，0a并且440a=−，得1a且0a，再结合A中一个元素的情况，a的取值范围为|1aa.变式训练2．已知集合2320,,AxaxxxRaR=−+=.（1）若

A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围【答案】（1）9(,)8+；（2）当0a=时，2{}3A=；当98a=时，4{}3A=；（3）9{0}[,)8+.【详解】

（1）若A是空集，则方程2320axx−+=无解此时0,a＝9-8a＜0即a98＞所以a的取值范围为9(,)8+（2）若A中只有一个元素则方程2320axx−+=有且只有一个实根当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，

解得：98a=∴a＝0或a98=当0a=时，2{}3A=；当98a=时，4{}3A=（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是90[,)8+.考点七：集合新定义根据集合的相关概念，定义新的

集合，并求解对应的表示和集合中元素的相关性质例7．给定集合A，若对于任意a、bA，有abA+，且abA−，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合4,2,0,2,4A=−−为闭集合；②集合

3,AnnkkZ==为闭集合；③若集合1A、2A为闭集合，则12AA为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】对于命题①，取2a=，4b=−，则6abA−=，则集合4,2,0,2,4A=−−不是闭集合

，①错误；对于命题②，任取1n、2nA，则存在1k、2kZ，使得113nk=，223nk=，且12kkZ+，12kkZ−，所以，()12123nnkkA+=+，()12123nnkkA−=−，所以，集合3,AnnkkZ==为闭集合，②正确；对于命题③，若集合

1A、2A为闭集合，取13,AnnkkZ==，22,AmmttZ==，则123AAxxk==或2,xkkZ=，取13A，22A，则()12325AA+=，()12321AA−=，所以，集合1

2AA不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为1.故选：B.变式训练1．已知集合A中的元素均为整数，对于kA，如果1kA−且1kA+，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S=，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_____

___个．答案：6解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．变式训练2．已知集合{|31,},{

|32,},{|63,}AxxnnBxxnnMxxnn==+==+==+ZZZ．(1)若mM，则是否存在,aAbB，使mab=+成立？(2)对于任意,aAbB，是否一定存在mM，使abm+=？证明你的结论．解：(1)

设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l

∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.【课堂小结】1．知识清单：(1)用

列举法和描述法表示集合．(2)两种表示法的综合应用．2．方法归纳：等价转化、分类讨论．3．常见误区：点集与数集的区别．【课后作业】1、下列命题中正确的（）A．0与0表示同一个集合；B．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；C．方程()()21

20xx−−=的所有解的集合可表示为1,1,2；D．集合45xx可以用列举法表示．【答案】B【详解】对A：0不能表示一个集合，故错误；对B：因为集合的元素具有无序性，故正确；对C：因为集合的元素具有互异性，1,1,2中有相同的元素，故错误；对D：集合4

5xx有无限个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B.2、若用列举法表示集合27{(,)|}2yxAxyxy−==+=，则下列表示正确的是（）A．{1,3}xy=−=B．{(-1,3)}C．{3,-1}D．{-1,3}【答案】B

【详解】由272yxxy−=+=可得13xy=−=，用列举法表示为：{(-1,3)}，故选：B.3、已知集合1,2,3,4,5A=，(),|,,BxyxAyAxyA=+，则集合B中

所含元素的个数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【详解】因为集合1,2,3,4,5A=，所以()()()()()()()()()()(),|,,1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,4,1BxyxAyAxyA=

+=共含有10个元素.故选：D.4、列说法中正确的是（）①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；②27Q；③不等式240xx−的解集为04x；④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为(,)|<0,R

,Rxyxyxy.A．①②B．②④C．②③④D．③④【答案】B【详解】①“高个子男生”标准不确定，不满足集合的确定性，故①错误；②27是有理数，故27Q正确，故②正确；③描述法中缺少代表元素，应该为0<<4xx，故③错误；④因为第二

、第四象限点的横纵坐标符号相反，故点构成的集合可表示为(,)|0,R,Rxyxyxy，故④正确.故选：B.5、如图，设集合A={华南虎，爪哇虎，里海虎}，B={华南虎，巴厘虎，马来亚虎}，则阴影部分表示的集合是（）A．{华南虎，爪哇虎}B．{华南虎，巴厘虎

}C．{爪哇虎，里海虎}D．{巴厘虎，马来亚虎}【答案】C【详解】由题意得阴影部分表示的集合中的元素需满足,xA且,xBAB=华南虎所以，阴影部分表示的集合即()AAB=ð{爪哇虎，里海虎

}．故选：C.6、已知集合2,2A=−，|,,BmmxyxAyA==+，则集合B等于（）A．4,4−B．4,0,4−C．4,0−D．0【答案】B【详解】因为,xAyA，所以2x=，2y

=，当22xy=−=−，时，4m=−；当22xy=−=，时，0m=；当22xy==，时，4m=；当22xy==−，时0m=，所以404B=−，，，故选：B7、已知232,2aa++，则实数a的值为（）A．1或1−B．1C．1−D．1−或0【答案】C【详解】当2

3a+=时，得1a=，此时223a+=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a+=时，得1a=，若1a=，则23a+=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a=−，则21a+=，满足232,2aa

++.故选：C8、下列四个命题：①{0}是空集；②若aN，则a−N；③集合2{|210}xxx−+=R含有两个元素；④集合6{|}xQNx是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．0【答案】D【详解】①

{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x为正整数的倒数时，6x

∈N，所以6|xQNx是无限集，所以④不正确．故选：D9、若集合210xaxx−+=中只有一个元素，则实数a的值为（）A．14B．0C．4D．0或14【答案】D【详解】当0a=时，210101xaxxxx−+==−==，合乎题意；当0

a时，关于x的方程210axx−+=有两个相等的实根，则140a=−=，解得14a=.综上所述，0a=或14.故选：D.10、设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的,abP，都有,,,aaba

babPb+−(除数0b)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（）A．数域必含有0,1两个数；B．整数集是数域；C．若有理数集QM，则数集M必为数域；D．数域必为无限集．【答案】AD【详解】数集P有两个元素m，N

，则一定有m－m＝0，mm＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，12Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集3MQ=，则1M，但13M+，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．故选：AD11、设P是

一个数集，且至少含有两个数，若对任意abP、，都有+ab、−ab、ab、aPb（除数0b≠）则称数集P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集{2,}FababQ=+∣也是数域．下列命题是真命题的是（）A．整数集是数域B．若有理

数集QM，则数集M必为数域C．数域必为无限集D．存在无穷多个数域【答案】CD【详解】要满足对四种运算的封闭，逐个检验；A.对除法如12∉Z不满足，所以排除；B.当有理数集Q增加一个元素i得M，而1i+不属于集合M，所以M不

是一个数域,B排除；C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；D.把集合2,FababQ=+∣中2替换成2以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.故选:CD.12、试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程220xx−−

=的解集；(2)大于1－且小于7的所有整数组成的集合．【答案】(1)12−，；2R20xxx−−=(2)0123456，，，，，，；Z17xx−【解析】（1）方程220xx−−=的根可以用x表示，它满足的条件是220xx−−=，因此，用

描述法表示为2R20xxx−−=；又方程220xx−−=的根是12−，，因此，用列举法表示为12−，．（2）大于1－且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是Zx且17x−，因此，用描述法表示为Z17xx−；大于1−且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举

法表示为0,1,2,3,4,5,613、用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】（1）用描述法表

示为{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．14、已知集合2210,AxaxxaR=++=．

（1）若A中只有一个元素，求a的值；（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【答案】（1）0a=或1a=；（2）1a；（3）0a=或1a.【详解】解：（1）若A中只有一个元素，则当0a

=时，原方程变为210x+=，此时12x=−符合题意，当0a时，方程2210axx++=为二元一次方程，440a=−=，即1a=，故当0a=或1a=时，原方程只有一个解；（2）A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由0得1a综合（1）当1a时A中至少有一个元素；（3）

A中至多有一个元素，即A中有一个或没有元素当44a0=−，即1a时原方程无实数解，结合（1）知当0a=或1a时A中至多有一个元素.