【文档说明】陕西西安市长安区第一中学2023届高三上学期第一次质量检测数学（文）试卷 含答案.doc，共(10)页，761.500 KB，由小赞的店铺上传

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长安一中2020级高三第一次质量检测数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合03Axx=∣，0,1,3,4B=，则AB=（）A．0,1B．0,1,3C．0,1,4D．0,

3,42．已知复数2iz=+，且()i3izab−=+，,abR，则ab+=（）A．1B．1−C．0D．2−3．已知向量a＝(3，1)，b＝(2，λ)(λ∈R)，若a⊥b，则+=ab()A．5B．52C．53

D．104．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确

率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差5．若变量,xy满足约束条件111xyyxx+−≥≤≤，则2+zxy=的最

小值为()A．1B．2C．3D．46．已知抛物线2:4Dyx=的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若PAAF=，则PF=（）A．2B．22C．23D．47．在如图所示的程序框

图中，输入4N=，则输出的数等于（）A．34B．45C．1315D．568．函数()fx的部分图象如图所示，则()fx的解析式可能是（）A．()2sinexxxfx=B．()2cosexxxfx=C．()2sein

xxfxx=D．()2ceosxxfxx=9．在正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（）A．1AB∥平面1BCQB．平面11ABD∥平面1BCQC．1AQ⊥平面1BDPD．平面1BCD⊥平面1BDP10．设正项等

比数列na的前4项和为90，且1336aa−=，则5a=（）A．1B．2C．3D．411．函数()12cosfxxxx=+−的最小值为（）A．1−−B．222−C．-1D．012．现有一副斜边长相等

的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD−，如图所示，已知6DAB=，4BAC=，三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为()A．33B．36C．32

4D．348二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列na的前n项和为nS，若30a=，636SS=+，则7S=_____．14．从2名教师，3名学生中选出1名教师，2名学生组成辩论队，学生A恰被选中的概率是_______.15．过四点()1,0−，()4,4−，()0,

1，()1,0中的三点的一个圆的方程为______.16．若1()ln2fxabx=++−是奇函数，则=a_____，b=______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。1

7．（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinsin3sinsinsinACACB+=+．(1)证明：2A+C=B；(2)记ABC的面积为S，若343Sb==，求ac+的值．1

8．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，1ABAD==，//ABCD，ABAD⊥，点E为PC的中点，平面ABE交侧棱PD于点F，且四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）当PCCD=时，求四棱锥PABEF−的体积．1

9．（12分）近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～

5．年份代码x12345宠物市场规模y/千亿元1.221.341.782.212.95(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．参考数据：1.9y=，5132.83iiixy

==，()5211.41iiyy=−，103.162．参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniiini

ixxyybxx==−−=−，ˆˆˆaybx=−．20．（12分）已知函数21()ln2fxaxx=−.(1)若1a=，求()fx的极值.(2)若方程()1fx=在区间1,2上有解，求实数a的取值范围.21．

（12分）椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，其左焦点到点()2,1P的距离为10（1）求椭圆C的标准方程.（2）若直线:lykxm=+与椭圆C相交于,AB两点（,AB不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定

点，并求出该定点的坐标.选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

曲线1C的参数方程为1cos(sinxy=+=为参数），曲线2C的直角坐标方程为310xy+−=．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的极坐标方程和2C的极坐标方程；（2）若直线:lykx=与曲线1

C，2C的交点分别为A，(BA，B异于原点），当斜率3[,3]3k时，求1||||OAOB+的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a、b、c为正数，且满足1abc++=.证明：（1）11192

bcacab+++++；（2）3331abcbcacab++≥.数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-6BCBBAD7-12BADCCB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.714.2315.2

23131240777xyxy++−+=或2231104xyy+−−=或2210xy+−=或223131320xyxy+++−=16.1ln44−三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）证明：将2sinsin3sinsinsinACACB+=+两边平方，得222sins

in2sinsin3sinsinsinACACACB++=+，即222sinsinsinsinsinACBAC+−=，由正弦定理可得222acbac+−=，所以2221cos22acbBac+−==，()0,πB，所以π3B=，所以2ππ3ACB+=−=，即2ACB=＋．（2）由

343Sb==，解得4b=，且13sin4324SacBac===，所以16ac=．由余弦定理可得()22222cos3bacacBacac=+−=+−，即()21648ac=+−，所以8ac+=．18．解：（1）证明：ABEF是平行四边形，//ABEF=

，//ABCD，//EFCD，E是PC中点，2EFCD=，22CDAB==，2BD=，45BDC=，BDBC⊥，PC⊥底面ABCD，PCBD⊥，PCBCC=，BD⊥平面PBC，BD平面PBD，平面PBD⊥平面PBC．（2）解：由

（1）知22CDAB==，2PC=，1EFPE==，1122PEFSEFPE==，ADDC⊥，由PC⊥底面ABCD，得ADPC⊥，AD⊥平面PCD，点A到平面PCD的距离为1，四棱锥PABEF−的体积：1112221323PABE

FPAEFAPEFVVV−−−====．19.(1)由题意得3x=，1.9y=，()52110iixx=−=，5132.83iiixy==，()5211.41iiyy=−，()()5511532.83531.94.33iiiiiixxyyx

yxy==−−=−=−=，∴4.330.9713.1621.41r．因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)由（1）得()()()515214.330.433ˆ10iiiiixxyyxxb===

==−−−，1.90.43330.61ˆˆ0aybx=−=−=，所以y关于x的线性回归方程为0.43300ˆ.61yx=+，2022年对应的年份代码为7，代入0.43300ˆ.61yx=+，得0.43370.6013.632ˆy=

+=，所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．20．（1）解：因为21()ln2fxaxx=−定义域为()0,+，所以211()axfxaxxx−=−=，当1a=时，21()ln2fxxx=−，21

()xfxx−=，令()0fx=得1x=当01x时，()0fx，当1x时()0fx，所以()fx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以()fx的极小值为1(1)2f=，无极大值.（2）解：因为211()axfxaxxx−=−=，①若1a，

当1,2x时()0fx恒成立，所以()fx在1,2上单调递增要使方程()1fx=在1,2上有解，则()()1121ff即122ln21aa−得1ln222a+，因为1

ln212+，所以12a.②若14a，当1,2x时()0fx恒成立，所以()fx在1,2上单调递减，此时1()(1)28afxf=不符合条件.③若114a，当11xa时，()0fx，当12xa时()0fx

，所以()fx在11a，上单调递减，在12a，上单调递增，此时1(1)22af=，11(1)2ffa，要使方程()1fx=在[1,2]上有解，则需(2)2ln21fa=−，解得1ln22a+，所以1ln212a+.综上可知，a的取值范围

为1ln2,22+21：解：（1）1::2:3:12ceabca===，设左焦点()1,0Fc−()()22120110PFc=−−+−=，解得1c=2,3ab==椭圆方程为22143xy+=（2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,AxyBxy，以

AB为直径的圆过()2,0DDADB⊥即DADB⊥0DADB=()()11222,,2,DAxyDBxy=−=−()()()121212121222240DADBxxyyxxxxyy=−−+=−+++=①联立直线与椭圆方程：

223412ykxmxy=++=()()222348430kxmkxm+++−=()2121222438,4343mmkxxxxkk−+=−=++()()()2212121212yykxmkxmkxxmk

xxm=++=+++()22222222438312434343kmmkmkmkmkkk−−=−+=+++，代入到①()222222438312240434343mmkmkDADBkkk−−=+++=+++22222412161612312043mmkkmkk−++++−

=+()()22716407220mmkkmkmk++=++=27mk=−或2mk=−当27mk=−时，22:77lykxkkx=−=−l恒过2,07当2mk=−时，():22lykxkk

x=−=−l恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l恒过2,0722．解：（1）由1cossinxy=+=消得22(1)1xy−+=，即2220xyx+−=将cosx=，siny=，222xy=+代入1C，2C得：1C的极坐标方程为

2cos=，2C的极坐标方程为cos3sin1+=．（2）设直线l的极坐标方程为=，R，[,]63，联立方程可得2cosA=，1cos3sinB=+所以1||2coscos3sin3c

os3sin23sin()||3OAOB+=++=+=+，又[,]63，则有2[,]323+，即3sin()[,1]32+综上1||||OAOB+的取值范围为[3,23]23．证明：（1）∵a、b、c为正数，1abc++=，

∴1111111(222)()2abcbcacabbcacab++=++++++++++1111[()()()]()2abbcacbcacab=++++++++++33111193()()()322abbcacbcacab

+++=+++，∴11192bcacab+++++；（当且仅当13abc===时取等）（2）由333322abababbcacbcacc+=；333322bcbcbcacabacaba+

=；333322acacacbcabbcabb+=，将上述三个不等式相加得：333abcabbcacbcacabcab++++，又22abbcabbcbcaca+=,22bcacbcaccabab+=,22abacabacacbc

b+=，同理，将上述三个不等式相加得：abbcacabccab++++，而1abc++=，∴3331abcbcacab++≥，当且仅当13abc===时，等号成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com