【文档说明】陕西西安市长安区第一中学2023届高三上学期第一次质量检测数学（文）试卷 含答案.doc，共(10)页，761.500 KB，由小赞的店铺上传

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长安一中2020级高三第一次质量检测数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合03Axx=∣，0,1,3,4B=，则AB=（）A．0,1B．

0,1,3C．0,1,4D．0,3,42．已知复数2iz=+，且()i3izab−=+，,abR，则ab+=（）A．1B．1−C．0D．2−3．已知向量a＝(3，1)，b＝(2，λ)(λ∈R)，若a⊥b，则+=ab()A．5B．52C．

53D．104．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答

题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差5．若变量,xy满足约束条件111xyyxx+−≥≤≤，则2+zxy=的最小值为()

A．1B．2C．3D．46．已知抛物线2:4Dyx=的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若PAAF=，则PF=（）A．2B．22C．23D．47．在如图所示的程序框图中，输入4N=，则

输出的数等于（）A．34B．45C．1315D．568．函数()fx的部分图象如图所示，则()fx的解析式可能是（）A．()2sinexxxfx=B．()2cosexxxfx=C．()2seinxxfxx=D．()

2ceosxxfxx=9．在正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（）A．1AB∥平面1BCQB．平面11ABD∥平面1BCQC．1AQ⊥平面1BDPD．平面1BCD⊥平面1BDP10．设正项等

比数列na的前4项和为90，且1336aa−=，则5a=（）A．1B．2C．3D．411．函数()12cosfxxxx=+−的最小值为（）A．1−−B．222−C．-1D．012．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD−，

如图所示，已知6DAB=，4BAC=，三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为()A．33B．36C．324D．348二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列na的前n项

和为nS，若30a=，636SS=+，则7S=_____．14．从2名教师，3名学生中选出1名教师，2名学生组成辩论队，学生A恰被选中的概率是_______.15．过四点()1,0−，()4,4−，()0,1，()

1,0中的三点的一个圆的方程为______.16．若1()ln2fxabx=++−是奇函数，则=a_____，b=______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinsin3sinsinsinACACB+=+．(1)证明：2A+C=B；(2)记ABC的面积为S，若343Sb==，求ac+的值．18．（12分）如图

，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，1ABAD==，//ABCD，ABAD⊥，点E为PC的中点，平面ABE交侧棱PD于点F，且四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）当PCCD=时，求四棱锥PABEF−的体积．19．（12分）近年来，国民经济的增长和

社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．年份代码x12345宠物市场规模y/千亿元1.221.341.78

2.212.95(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．参考数据：1.9y=，5132.83iiixy==，()5211.41iiyy=−，103.162．参

考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆˆ

aybx=−．20．（12分）已知函数21()ln2fxaxx=−.(1)若1a=，求()fx的极值.(2)若方程()1fx=在区间1,2上有解，求实数a的取值范围.21．（12分）椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，其左焦点到点()2,1P的距离为10

（1）求椭圆C的标准方程.（2）若直线:lykxm=+与椭圆C相交于,AB两点（,AB不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡

上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）曲线1C的参数方程为1cos(sinxy=+=

为参数），曲线2C的直角坐标方程为310xy+−=．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的极坐标方程和2C的极坐标方程；（2）若直线:lykx=与曲线1C，2C的交点分别为A，(BA，B异于原点），当斜率3[,3]3k时，求1||||OAOB+的取值范围

．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a、b、c为正数，且满足1abc++=.证明：（1）11192bcacab+++++；（2）3331abcbcacab++≥.数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-6BCBBAD7-12BADCCB二

、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.714.2315.223131240777xyxy++−+=或2231104xyy+−−=或2210xy+−=或223131320xyxy+++−=16.1ln44−三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）证明：将

2sinsin3sinsinsinACACB+=+两边平方，得222sinsin2sinsin3sinsinsinACACACB++=+，即222sinsinsinsinsinACBAC+−=，由正弦定理可得222acbac+−=，所以2221cos22acb

Bac+−==，()0,πB，所以π3B=，所以2ππ3ACB+=−=，即2ACB=＋．（2）由343Sb==，解得4b=，且13sin4324SacBac===，所以16ac=．由余弦定理可得()

22222cos3bacacBacac=+−=+−，即()21648ac=+−，所以8ac+=．18．解：（1）证明：ABEF是平行四边形，//ABEF=，//ABCD，//EFCD，E是PC中点，2EFCD=，22CDAB==，2

BD=，45BDC=，BDBC⊥，PC⊥底面ABCD，PCBD⊥，PCBCC=，BD⊥平面PBC，BD平面PBD，平面PBD⊥平面PBC．（2）解：由（1）知22CDAB==，2PC=，1EFPE==，1122PEFSEFPE==，ADDC⊥，由PC⊥

底面ABCD，得ADPC⊥，AD⊥平面PCD，点A到平面PCD的距离为1，四棱锥PABEF−的体积：1112221323PABEFPAEFAPEFVVV−−−====．19.(1)由题意得3x=，1.9y=，()52110i

ixx=−=，5132.83iiixy==，()5211.41iiyy=−，()()5511532.83531.94.33iiiiiixxyyxyxy==−−=−=−=，∴4.330.9713.1621.41r．

因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)由（1）得()()()515214.330.433ˆ10iiiiixxyyxxb=====−−−，1.90.43330.61ˆˆ0aybx

=−=−=，所以y关于x的线性回归方程为0.43300ˆ.61yx=+，2022年对应的年份代码为7，代入0.43300ˆ.61yx=+，得0.43370.6013.632ˆy=+=，所以预测2022

年中国宠物市场规模为3.632千亿元．20．（1）解：因为21()ln2fxaxx=−定义域为()0,+，所以211()axfxaxxx−=−=，当1a=时，21()ln2fxxx=−，21()xfxx−=，令()0fx=得1x=当01x

时，()0fx，当1x时()0fx，所以()fx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以()fx的极小值为1(1)2f=，无极大值.（2）解：因为211()axfxaxxx−=−=，①若1a，当1,2x时()0fx

恒成立，所以()fx在1,2上单调递增要使方程()1fx=在1,2上有解，则()()1121ff即122ln21aa−得1ln222a+，因为1ln212+，所以12a.②若14a，当1,2x时()0

fx恒成立，所以()fx在1,2上单调递减，此时1()(1)28afxf=不符合条件.③若114a，当11xa时，()0fx，当12xa时()0fx，所以()fx在11a，上单调递减，在12a，上单调递增，此时1(1)22af=，11(1

)2ffa，要使方程()1fx=在[1,2]上有解，则需(2)2ln21fa=−，解得1ln22a+，所以1ln212a+.综上可知，a的取值范围为1ln2,22+21：解：（1）1::2:3:12ceabca==

=，设左焦点()1,0Fc−()()22120110PFc=−−+−=，解得1c=2,3ab==椭圆方程为22143xy+=（2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,AxyBxy，以AB为直径的圆过()2,0DDADB⊥即DADB⊥0DADB

=()()11222,,2,DAxyDBxy=−=−()()()121212121222240DADBxxyyxxxxyy=−−+=−+++=①联立直线与椭圆方程：223412ykxmxy=++=()()222348430kxmkxm+++−=()2121222438,4343mm

kxxxxkk−+=−=++()()()2212121212yykxmkxmkxxmkxxm=++=+++()22222222438312434343kmmkmkmkmkkk−−=−+=+++，代入到①()222222438312240434343mmkmkDADBkkk−−=

+++=+++22222412161612312043mmkkmkk−++++−=+()()22716407220mmkkmkmk++=++=27mk=−或2mk=−当27mk=−时，22:77lykxkkx=−=−

l恒过2,07当2mk=−时，():22lykxkkx=−=−l恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l恒过2,0722．解：（1）由1cossinxy=+=消得22(1)1xy−+=，即

2220xyx+−=将cosx=，siny=，222xy=+代入1C，2C得：1C的极坐标方程为2cos=，2C的极坐标方程为cos3sin1+=．（2）设直线l的极坐标方程为=，R，[,]6

3，联立方程可得2cosA=，1cos3sinB=+所以1||2coscos3sin3cos3sin23sin()||3OAOB+=++=+=+，又[,]63，则有2[,]323+，即3

sin()[,1]32+综上1||||OAOB+的取值范围为[3,23]23．证明：（1）∵a、b、c为正数，1abc++=，∴1111111(222)()2abcbcacabbcacab++=++++++++++1111[()(

)()]()2abbcacbcacab=++++++++++33111193()()()322abbcacbcacab+++=+++，∴11192bcacab+++++；（当且仅当13abc===时取等）（2）由333322ababa

bbcacbcacc+=；333322bcbcbcacabacaba+=；333322acacacbcabbcabb+=，将上述三个不等式相加得：333abcabbcacbcacabcab++++，又22abbcabbcbcaca+=,22b

cacbcaccabab+=,22abacabacacbcb+=，同理，将上述三个不等式相加得：abbcacabccab++++，而1abc++=，∴3331abcbcacab++≥，当且仅当13abc===时，等号

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