【文档说明】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题 【精准解析】.doc，共(24)页，2.064 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合()22,|2,,Axyxyxy=+NN，则A中元素的个数为（）A.4B.9C.8D.6【答案】A【解析】【分析】根据题中条件，分别讨论0x=和1x=

两种情况，即可得出结果.【详解】∵222xy+，xN，yN，当0x=时，0y=，1；当1x=时，0y=，1，所以共有4个元素，故选：A.【点睛】本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型.2

.若()12zii+=，则z的共轭复数的虚部是（）A.1i+B.i−C.－1D.1i−【答案】C【解析】【分析】由题意得21izi=+，然后根据复数的运算法则化简计算，然后确定其共轭复数虚部.【详解】因为()12zii+=，所以()(2i2i1i1i1i1i

1i)()z−===+++−，1zi=−，虚部为1−.故选：C.【点睛】本题考查复数的相关概念及化简计算，属于基础题.3.已知随机变量iX满足()1iiPXp==，()01,1,2iiPXpi==−=，若2121

1pp，则（）A.()()12EXEX，()()12DXDXB.()()12EXEX，()()12DXDXC.()()12EXEX，()()12DXDXD.()()12EXEX，()()12DXDX【答案】C【解析】

【分析】根据题目已知条件写出12,XX的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.【详解】依题意可知：1X01P11p−1p2X01P21p−2p由于21211pp，不妨设122

3,34pp==.故121223,,34EXEXEXEX==,121223,,916DXDXDXDX==，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4.设函数()()311log2,1

3,1xxxfxx−+−=，求()()325log15ff−+=（）A.16B.8C.15D.9【答案】D【解析】【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果【详解】33(25)1log[2(25)]1log27134f−=+−−=+=+=；

33log151log53(log15)335f−===3(25)(log15)459ff−+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基

础题5.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左焦点为F，离心率为2.若F到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（）A.22184xy−=B.22144xy−=C.22188xy−=D.22148xy−=【答案】B【解析】【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b，再根

据离心率221bea=+可解得a，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0Fc−，设双曲线的一条渐近线为byxa=，即0bxay−=，由点到线距离公式得：222bcbab==+，又22224122cabeaa+===+=，解得：2a=，所以双曲线的方程为：22144xy

−=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6.已知向量()1,3b→=，向量a→在b→方向上的投影为-4，若abb→→→+⊥，则实数的值为（）A.3B.12C.13D.23【答案】B【解析】【分析】由()1,3b→

=，根据向量模的方法求得b→，再根据a→在b→方向上的投影为-4，求得4abb→→→=−，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知()1,3b→=，则()22132b→=+=，∵a→在b→方向上的投影为4−，∴4ab

b→→→=−，则4abb→→→=−，又abb→→→+⊥，∴0abb→→→+=，即20abb→→→+=，即240bb→→−+=，则840−+=，解得：12=.故选：B.【点睛】本题考查平

面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7.在ABC中，()22sinsinsinsinsinBCABC−=−，则tanA=（）A.3B.12C.13D.33【答案】A【解析】【分析】运用正

弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sinsinsinsinsinBCABC+−=，故由正弦定理得222bcabc+−=，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，因为0180A，所以60A=，tan

3A=.故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A.32252++B.13C.2512++D.12252++【答案】D【解析】【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【

详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥PABCD−，四棱锥PABCD−的高为1，四边形ABCD是边长为1的正方形，则111122PCDS==△，151522PBCS==V，121222PABS==△，121222PADS==△，则四棱锥PABCD

−的侧面积为12252++，故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.9.已知，为锐角，4tan3=，()5cos5+=

−，则()tan-=（）A247−B.55−C.211−D.-2【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()+和tan2，变形2()−=−+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为，为锐角，所以(0)π+，.又因为5cos()5+=

−，所以sin()+=2251cos()5−+=，因此tan()2+=−.因为4tan3=，所以22tantan21tan==−247−，因此，tan2tan()2tantan21tan2tan()11()[()]

−+−=−+==−++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础

题.10.已知函数2112()cos(1)1()xxxxaeexfx−−+=−+++−−有唯一零点，则a=（）A.1B.13−C.13D.12【答案】D【解析】【分析】把函数等价转化为偶函数2()(ee)cos2ttgttat−=+++−，利用偶函数性质，()gt有唯一零点，由(0)0g=得

解.【详解】因为21(1)()(1)(ee)cos(1)2xxfxxax−−−=−+++−−，令1xt−=则2()(ee)cos2ttgttat−=+++−，因为函数()2112(1(s))co1xxxxaeefxx−−+=−+++−−有唯一零点，所以(

)gt也有唯一零点，且()gt为偶函数，图象关于y轴对称，由偶函数对称性得(0)0g=，所以2120a+−=，解得12a=，故选：D.【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.11.已知抛

物线2:4Cxy=的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线1l，2l，1l与C交于P，Q两点，2l与C交于M，N两点，设POQ△的面积为1S，MON△的面积为2S（O为坐标原点），则2212SS+的最小值

为（）A.10B.16C.14D.12【答案】B【解析】【分析】设1l：1ykx=+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k表示出21S和22S，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()Pxy，，22()Qx

y，，直线1l：1(0)ykxk=+，联立方程241xyykx==+，，消y得2440xkx−−=，因为216160k=+，所以124xxk+=，124xx=−，所以2221212||1()44(1)PQkxxxxk=++−=+，又原点O到直线1l

的距离为211dk=+，所以21S=24(1)k+，同理222141Sk=+，所以22212218416SSkk+=++≥，当且仅当“1k=”时取等号，故2212SS+的最小值

为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.12.已知3log4a=，2log3b=，0.2log0.09c=，则a，b，c的大小关系是（）A.bacB.abcC.

acbD.cab【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由对数函数的性质，确定a，b，c的大致范围，即可得出结果.【详解】因为33log42log2a==，24log32log3b==，0.20.2log0.092log0.3c==，3333320log2log8log93==，4

22113log3log3log22224==，23340.20.20.223log0.2log0.3log0.234==，即334log42log20,3a==，432log32b=，0.20.243log0.0

92log0.3,32c==，综上，acb.故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数的大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数x，y满足条件11yxxyx+，则2zyx=−的最

小值是________.【答案】2−【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11yxxyx+表示的平面区域如下，因为2zyx=−可

化为2yxz=+，则z表示直线2yxz=+在y轴上的截距，由图像可得，当直线2yxz=+过点()1,0A时，在y轴上的截距最小，即z最小；所以min022=−=−z当目标函数2yxz=+经过点(10)，时，z取得最小值2−.故答案为：2−.【点睛】本题主要

考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14.在522yxx−的展开式中，3xy的系数是________.【答案】80−【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】在522y

xx−的展开式中，通项公式为10315(2)rrrrrTCxy−+=−，令3r=，可得3xy的系数为80−.故答案为：80−【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15.在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，AB

AC=，π3BAC=，其外接球表面积为16π，则三棱锥PABC−的体积的最大值为________.【答案】83【解析】【分析】设ABC的外心为点O，外接球的球心为O，过点O作ODPA⊥于点D，令ABa=，PDDAOOh===，由

222DODPPO+=得22143ah+=，所以33(4)2PABCVhh−=−，利用导数求解体积的最大值.【详解】如图所示，令ABa=，PDDAOOh===，则BOAO==33DOa=，外接球表面积为16π，所以半径2r=，在RtPDO△中，222DODPPO+=，即22343a

h+=，即22143ah+=，得223(4)ah=−，所以体积21132334PABCABCVSPAah−==△2333(4)62ahhh==−，令33()(4)2fhhh=−(0)h，23()(43)2fhh=−，()fh在2303，上单调递增，在233

+，上单调递减，所以233h=时，PABCV−的最大值为23833f=.故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.16.已知函数()()()sin0fxx=+，π2，下述五个

结论：①若π5=，且()fx在0,2π有且仅有5个零点，则()fx在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若π4=，且()fx在0,2π有且仅有4个零点，则()fx在0,2π有且仅有3个极小值点；③若π5=，且

()fx在0,2π有且仅有5个零点，则()fx在π0,10上单调递增；④若π4=，且()fx在0,2π有且仅有4个零点，则的范围是1519,88；⑤若()fx的图象关于π4x=对称，π4x=−为它的一个零点，且在π5π,1836上单调，则的最大值

为11.其中所有正确结论的编号是________.【答案】①③④【解析】【分析】画出()fx的大致图象，即可判断①②；对于③，由题可得<1229510，当100πx，时，55105ππππx++，所以491051002ππππ+，故判断③；对于④，由4254π

πππ+≤得范围，故可判断④；对于⑤，由题知2()21πTkZk=+，又()fx在51836ππ，上单调，所以6πT≥，112k≤，将5k=，4k=代入验证即可.【详解】①若π5=，()fx在[02

]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，()fx在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4=，且()fx在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()fx在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误；③若π5=，由()fx在[02]π，上有5个零点，得242925

5πππ<≤，即<1229510，当100πx，时，55105ππππx++，所以491051002ππππ+，所以()fx在001π，上单调递增，故③正确；④若π4=，因为02xπ≤≤，∴02x

π≤≤，∴2444πππxπ++≤≤，因为()fx在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππ+≤，所以151988≤，所以④正确；⑤若()fx的图象关于π4x=对称，π4x=−为它的零点，则224πkTT

=+(kZ，T为周期)，得2()21πTkZk=+，又()fx在51836ππ，上单调，所以6πT≥，112k≤，又当5k=时，11=，π4=−，()fx在51836ππ，上

不单调；当4k=时，9=，π4=，()fx在51836ππ，上单调，满足题意，故的最大值为9，故⑤不正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与

运算求解能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等比数列na满足124aa+=，318aa−=，在公差不为0的等差数列nb，中，24b=，且1b，2b，4b成等比数列.（1）求数列na，nb的通项公式；

（2）记1122nnnTababab=+++，求nT.【答案】（1）13−=nna，2nbn=；（2）(21)312nnnT−+=.【解析】【分析】（1）设等比数列{}na的公比为q，结合条件求出1a和q，根据等比数列的通项公式，即可求出数列na的通项公

式；设等差数列{}nb的公差为d，结合条件，根据等比中项的性质即可求出1b和d，最后根据等差数列的通项公式，即可求出数列nb的通项公式；（2）由于1122nnnTababab=+++，利用错位相减法进行求和，即可得出结果.【详解】解

：（1）设等比数列{}na的公比为q，124aa+=，318aa−=，则1121148aaqaqa+=−=，，得11a=，3q=，所以13−=nna，设等差数列{}nb的公差为d，∵24b=，且1b，2b，4b成等比数列，221422()(2)bbbbdbd=

=−+，2d=，12b=，∴2nbn=.（2）1122nnnTababab=+++，12112343(2)3(22)3(2)knnnTknn−−−=+++++−+……，①21332343(2)3(

22)3(2)knnnTknn−=+++++−+……，②②−①得212122323233(2)nnnTn−=−−−−−+…，即2(21)31nnTn=−+，∴(21)312nnnT−+=.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比中项的性质和利用错位相减法求和，考查化简

运算能力.18.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量

x为12时特征量y的值；（3）设特征量x满足()2~,XN，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s，求()3.813.4PX.附：参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−

−=−−，()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$.参考数据：21.414，103.2=，3.21.8，若()2~,XN，则()68.26%PX−+=

，()2295.44%PX−+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y与x的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx=−+；12x=时，ˆ6.2y=；（3）0.8185.【解析】【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根

据最小二乘法，求出ˆb，ˆa，即可得出线性回归方程，从而可得预测值；（3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意得51135755iixx====，51145955iiyy====，5511()()5212

510889811757928iiiiiixxyyxyxy==−−=−=++++−=−，521()50iixx=−=，521()16iiyy=−=，因而相关系数12211()()2

870.99501652()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−−−===−−−.由于||0.99r很接近1，说明x，y线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于0r，故其关系为负

相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()niiiniixxyybxx==−−−===−−，∴ˆˆ9(0.56)712.92aybx=−=−−=，则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx=−+.当特征

量x为12时，可预测特征量ˆ0.561212.926.2y=−+=.（3）由（1）知，7x==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s==−+−+−+−+−=，得3.2，从而11(3.813.4)()(22)0.818522PXPXPX

=−++−+=.【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.19.如图所示，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAP

BPCAC====，O为AC的中点.（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30°，求三棱锥APMC−的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）1639.【解析】【分析】（1）连接OB，先证明OPAC⊥，再证明OPOB⊥，然后利用线面

垂直的判定定理证明PO⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，以OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，设(,2,0)(02)Maaa−，利用空间向量分别计算平面MPA的法向量n，取平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur，利用法向量夹角的余弦值为32求解

a的值，得出点M的位置，然后计算三棱锥APMC−的体积.【详解】（1）证明：因为4APCPAC===，O为AC的中点，所以OPAC⊥，且23OP=.如图，连接OB，因为22ABBCAC==，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC⊥，122OBAC==.则222O

POBPB+=，所以POOB⊥，由OPOB⊥，OPAC⊥，AC平面ABC，OB平面ABC，且ACOBO=,所以PO⊥平面ABC.（2）如图所示，以O为坐标原点，以OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

Oxyz−.由已知得(0,0,0)O，(2,0,0)B，(0,2,0)A−，(0,2,0)C，(0,0,23)P，(0,2,23)AP=，取平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur，设(,2,0)(

02)Maaa−，则(,4,0)AMaa=−，设平面PAM的法向量为(,,)nxyz=，由0APn=，0AMn=，得2230(4)0yzaxay+=+−=，，可取(3(4)na=−，3)aa−，，所以22223(4)cos,23(4)3aOBnaaa−=−++

.由已知可得3|cos,|2OB=n，所以22223|4|3=223(4)3aaaa−−++，解得4a=−(舍去)，43a=，则1141634233239APMCPAMCVV−−===，所以三棱锥APMC−的体积为1639.【点睛】本题考

查线面垂直的证明，考查利用空间向量方法解决二面角问题，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大.解决夹角问题时，平面法向量的计算是关键.20.已知函数()()2xfxeaxxR−=−，()()ln11gxx=+−.（1）当12a=−时，求函数()fx的最小

值；（2）若0x时，()()0fxgx−+，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）[1,)−+.【解析】【分析】（1）将12a=−代入，然后求导，利用导数分析函数()fx的单调性并确定其最小值；（2）若0x时，()(

)0fxgx−+，则2ln(1)10xeaxx+++−≥，令()2ln(1)1xhxeaxx=+++−，当1a−时，可证()0hx恒成立，则函数()hx在区间[0)+，上单调递增，则()(0)0hxh=成立；当1a−时，

令1()21xxeax=+++，求导可分析得到()0x，则()()hxx=在区间[0)+，上单调递增，由于(0)220a=+，则()()0hxx==在[0)+，上存在零点，设0()0hx=，则可得函数()hx

在区间0(0,)x上单调递减，所以0()(0)0hxh=（舍）.综上可得出a的取值范围.【详解】（1）当12a=−时，函数的解析式为()xfxex−=+，则()1xfxe−=−+，由()10xfex−=−+=，得0x=，当0x时，()0fx

，当0x时，()0fx，所以函数在区间(0)+，上单调递增，在区间(0)−，上单调递减，函数的最小值为0(0)01fe=+=.（2）若0x时，()()0fxgx−+≥，即2ln(1)10xeaxx+++−

≥(*)，令()2ln(1)1xhxeaxx=+++−，则1()21xhxeax=+++.①若1a−，由（1）知1xex−+≥，即e1xx−−，故e1xx+，111()2(1)22(1)2220111xhx

eaxaxaaxxx=+++++++=++++，∴函数()hx在区间[0)+，上单调递增，∴()(0)0hxh=，∴（*）式成立；②若1a−，令1()21xxeax=+++，则2221(

1)1()0(1)(1)xxxexexx+−=−=++≥，∴函数()x在区间[0)+，上单调递增，由于(0)220a=+，2111(2)212210121212aaeaaaaaa−−=++−++=+−−−≥

，故0(02)xa−，，使得0()0x=，则当00xx时，0()()0xx=，即()0hx，∴函数()hx在区间0(0)x，上单调递减，∴0()(0)0hxh=，即（*）式不恒成立.综上所述，实数

a的取值范围是[1,)−+.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查根据不等式恒成立问题求解参数的取值范围,难度较大.解答时，分类讨论得出原函数的单调性是解题的核心.21.已知椭圆()2222:10xyC

abab+=的离心率为12，且抛物线24yx=的焦点恰好是椭圆C的一个焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）与圆222xy+=相切的直线:lykxt=+交椭圆C于,MN两点，若椭圆上存在点P满足()()0OPOMON=+，O为坐标原点，求四边形OM

PN面积的取值范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）)2,6.【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,abc，进而得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切可求得2t的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MONS

S=△，可将所求面积整理为关于k的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，离心率为12，∴12ca=，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点，∴1c=，24a=，2223bac=−=，椭圆C的方程为22143xy+=.（2）∵

直线:lykxt=+与圆222xy+=相切，∴原点到直线l的距离为221tdrk===+，即()2221tk=+，∴22t.设()11Mxy，，()22Nxy，，()00Pxy，，由22143ykxtxy=++=，，消去y得：()2224384120kxktxt+++−=，∴12284

3ktxxk−+=+，212241243txxk−=+，∴()121226243tyykxxtk+=++=+，∵()OPOMON=+，∴0202843643ktxktyk−=+=+，又P在椭圆C上，∴2222864343143kttkk−++

+=，∴2432kt+=.设MN的中点为E，则()2OPOMONOE=+=，∴四边形OMPN的面积12222MONSSMNdMN===△()()()2222222644412432143kttk

kk−−+=++()222224346143ktkk−+=++()2222224343461243kktktk+−+=++()()22222222242134321461234322143kkkkkkkk−++++=

+=+++，令()2222111143243kfkkk+==−++，∵2433k+，∴()1132fk，∴26S，∴四边形OMPN面积的取值范围为)2,6.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，

涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2

B铅笔在答题卡上把所选題目的題号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如釆多做，则按所攽的第一題计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+

（t为参数，0π），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2413cos=+.（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为()1

,2，求直线l的极坐标方程.【答案】（1）l的普通方程为1x=或2tan(1)yx−=−；C的直角坐标方程为221416xy+=；（2）2cossin40+−=【解析】【分析】（1）分π2=和π2两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标

与直角坐标的互化公式，即可得出C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416xy+=，根据弦中点坐标，求出tan2=-，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程.【详解】（1）当

π2=时，l的普通方程为1x=；当π2时，l的普通方程为2tan(1)yx−=−，即(tan)2tan0xy−+−=.由2413cos=+，得2222223cos316xyx+=++=，即221416xy+=.（2）将1cos2sinxtyt=+

=+，，代入221416xy+=中，整理得22(13cos)(8cos4sin)80tt+++−=，依题意得120tt+=，即28cos4sin013cos+−=+，即8cos4sin0+=，得tan2=-，所以直线l的斜率为2−，直线

l的一般方程为240xy+−=，则直线l的极坐标方程为2cossin40+−=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.

23.设函数()213fxxx=++−的最小值为m，且()ftm=.（1）求m及t的值；（2）若正实数a，b，c满足1abcm+++=.证明：11123abc+++++.【答案】（1）1,4tm=−=；（2）证明见解析.【解析】【分

析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)−−上单减，(1,3),(3,)−+上单增，且是连续函数，求得在1t=−时取得最小值得解.（2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)xxfxxxxx−+−=

+−−，，，，，，则函数在(,1)−−上单减，(1,3),(3,)−+上单增，且是连续函数，所以在1t=−时取得最小值，()14fm−==.（2）证明：因为a，b，c均为正实数，14abc+++=，由柯西不等式，111(3)(1

11)32abcabc++++++++++=≤，即11123abc+++++，当且仅当1abc===时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.