【文档说明】四川省泸县第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.497 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3ea5b22d8822de796302b55d4470edd8.html

以下为本文档部分文字说明：

泸县四中高2021级高三上学期开学考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数5i2i2iz−=+，则z=（）A.14i−B

.14i+C.512i−D.12i−【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数z，根据共轭复数的定义可得出复数z.【详解】由已知可得()()()5i2i2i12i2i14i2i2iz−=+=++=++−，因此，14iz=−.故选：A.2

.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A.64B.65C.64.5D.66【答案】B【解析】【分析】首先判断中位数位于)60,70之间，设中位数为x，依题意可得()0.0310600.040.5x+−=，解得即可.【详解】解：因

为()0.030.04100.70.5+=，所以中位数位于)60,70之间，设中位数为x，则()0.0310600.040.5x+−=，解得65x=，即中位数为65.故选：B3.11a成立的充要条件是（）A.1aB.a<0C.0aD.1a或a<0【答案】D【解析】

【分析】解分式不等式即可得解；【详解】解：因为11a，110a−，10aa−，即10aa−，解得1a或a<0，即()(),01,a−+，故11a成立的充要条件是“1a或a<0”.故选：D【点睛】本题考查分式不等式解法及充要条件的理解，属于基础题.4.

曲线()lnfxxx=+在1x=处的切线方程是（）A.1yx=−B.2yx=−C.21yx=−D.22yx=−【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．【详解】解：()fxxlnx=

+的导数为1()1fxx=+，()11121f=+=可得()fxxlnx=+在1x=处的切线斜率为2，切点为(1,1)，即有()fxxlnx=+在1x=处的切线方程为12(1)yx−=−，即为21yx=−．故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考

查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．的5.函数()2221xxfxx−−=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算()()34ff，排除A，得到答案.【详解】()2221xxfxx−−=−，函数定义域

为()()(),11,11,−−−+，()()22222211xxxxfxfxxx−−−−−==−=−−−，函数为奇函数，排除BD；()332226331364f−−==−−，()442221741416f−−==−−，故()()34ff，排除A.故选：C6.直线1axby

+=与圆22:1Oxy+=相交，则点(,)Mab与圆22:1Oxy+=的位置关系是（）A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到圆心到直线的距离为2211dab=+，求得221ab+，结合点与

圆的位置关系，即可求解.【详解】因为直线1axby+=与圆O：221xy+=相交，可得圆心到直线的距离为2211dab=+，解得221ab+，所以点(,)Mab在圆22:1Oxy+=外.故选：C.7.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂

，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研

究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n的值为10，则输出i的值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入10n=，1n=不成立

，n是偶数成立，则1052n==，011i=+=；1n=不成立，n是偶数不成立，则35116n=+=，112i=+=；1n=不成立，n是偶数成立，则1682n==，213i=+=；1n=不成立，n是偶数成立，则842n==，314i=+=；1n=不成立，n是偶数成立，则42

2n==，415i=+=；1n=不成立，n是偶数成立，则212n==，516i=+=；1n=成立，跳出循环，输出i的值为6.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.8.设,xy为正数，若1xy+=，则14xy+的最小值

为（）A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式，结合已知代数式的形式进行求解即可.【详解】0x，0y，则141414()1()()xyxyxyxy+=+=++=4414529yxyxxyxy++

++=，当且仅当4yxxy=，即2yx=时取等号.故选：B9.经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米地方测得信息素浓度y满足函数21lnln2KytxAt=−−+（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米

的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为12a的位置距释放处的距离为（）米．A.22B.2C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知数据可得ln4aKA=−+，再根据21lnln4224aKxA=−−+即可求出x值.【详解】由题知：当1

t=，2x=时，ya=，代入21lnln2KytxAt=−−+得：ln4aKA=−+，当4t=，12ya=时，的21lnln4224aKxA=−−+，即2lnln2ln24KaxA−=−−+，而ln4aKA=−+，解得：4x=或4−（舍）故选：D

.10.若0.3log0.4a=，0.31.2b=，2.1log0.9c=，则（）A.abcB.bcaC.acbD.bac【答案】D【解析】【分析】a用对数函数的单调性和0,1比较，b用指数函数的单

调性和1比较，c用对数函数的单调性和0比较，即可判断大小关系.【详解】因为00.31,所以0.3=logyx为减函数，所以0.30.30.3log1log0.4log0.3，即01a因为1.21,所以=1.2xy为增函数，所以0301.21.2．，即1b.因为

2.11,所以2.1=logyx为增函数，所以2.12.1log0.9log1，即0c，所以bac＞．故选：D11.在三棱柱111ABCABC-中，ABBCAC==，侧棱1AA⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最

小值为4，则该三棱柱的侧面积为（）A.63B.33C.32D.3【答案】B【解析】【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O、2O，则12OO的中点为O，.设球O的半径为R，则OAR=，设ABBC

ACa===，1AAh=，则212OOh=，2233323OAABa==，则在Rt△2OOA中，22222222111324323ROAOOOAhaha==+=+33ah=，当且仅当233ha=时，等号成立，所以2

3443SRah=球，所以4343ah=，所以3ah=，所以该三棱柱的侧面积为333ah=.故选：B.【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题12.若函数()()e1xfxaxb=+−+在区间1,12上有零点，则22ab+的最小值

为（）A.4e5B.2eC.12D.e【答案】A【解析】【分析】设t为函数()fx的零点，则()e10tatb+−+=，转化为(),ab在直线()1e0ttxy−++=上，根据22ab+表示点(),ab到原点的距离的平方，得到22222(1e)1ttab−++，

构造新函数()222)1e(1tgtt=−+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()()e1xfxaxb=+−+，设t为函数()fx在1,12上的零点，则()e10tatb+−+=，即()1e0ttab−++=，即点(),ab在直线()1e0tt

xy−++=上，又22ab+表示点(),ab到原点的距离的平方，则2222(1e)1tabt−++，即22222(1e)1ttab−++，令()222)1e(1tgtt=−+，则()()()()()()222222222

2e22e222e332222ttttttttgttttt−+−−−+==−+−+，因为22e0,330ttt−+，所以()0gt，()gt在1,12单调递增.所以()gt最小值为14e()25g=.故选：A【点睛】关键点点睛：设零点1,12t

有()e10tatb+−+=，换主元化为点(),ab在直线()1e0ttxy−++=上，结合22ab+的几何意义及点线距离公式得22222(1e)1ttab−++为关键.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分．13.已知向量()2,am=−，()1,3b=，且满足()abb+⊥rrr，则m=_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由已知(3,3)abm+=−，又()abb+⊥rrr，所以

()33(3)0abbm+=+−=rrr，4m=．故答案为：4.14.若实数x、y满足212xyxy+，则目标函数2zxy=−+的取值范围为______.【答案】[12]−，【解析】【分析】画出约束

条件的可行域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可求解．【详解】作出图象，如图所示阴影区域为可行域：作直线20xy−+=的平行线，因为2yxz=+，越往上移，z越大，越往下移，z越小，当目标函数经过可行域的(0,2)A时，目标函数2zxy=−+取得最大值2，目标

函数经过(1,1)B时，目标函数取得最小值1−．所以目标函数2zxy=−+的取值范围为[12]−，．故答案为：1,2−．【点睛】本题考查简单线性规划问题的解法应用，准确画出可行域是解题的关键，属于基础题．15.将某个圆

锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm，圆心角为2π3，则圆锥的体积是_________3cm.【答案】22π3【解析】【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为

r，高为h，则2π2π3,13rr==，223122h=−=，所以圆锥的体积为2122π122π33=3cm.故答案为：22π316.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点F到C的一条渐近线20yx+=的距离为23，则双曲线C的方程为_____

______________．【答案】221312xy−=【解析】【分析】根据条件求出a，b，c即可.【详解】∵渐近线的方程为2yx=−，2,2bbaa−=−=，又(),0Fc，由点到直线的距离公式知：22223,1521cc==+，222222

2,415,3,12abcaaab+=+===，∴双曲线C的方程为：221312xy−=；故答案为：221312xy−=.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考

题：共60分.17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间50,100，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100，制成如

图所示的频率分布直方图.（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在80,100内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.【答案】（1）73.

5（2）23【解析】【分析】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.【小问1详解】依题意可得：()0.0150.0250.0350.0

05101a++++=，解得：0.02a=，根据频率分布直方图知：每组的频率依次为0.15,0.2,0.35,0.25,0.05，则平均数的估计值为550.15650.2750.35850.25950.0573.5++++=，所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73

.5.【小问2详解】由题意可知：竞赛成绩在)80,90，90,100两个组的人数之比为5:1，若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为5165,6166==，分别记)80,90中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，90,100中所抽取的1人编号为

A，所以从6人中随机抽取2人的情况为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,A，()2,3，()2,4，()2,5，()2,A，()3,4，()3,5，()3,A，()4,5，()4,A，()5,A共15种结果，其中这2人来自同一组（记为事件M）的有

10种，则()102153PM==所以这2人来自不同组的概率为23.18.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探

究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边ABCDAD、、的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接ABCG、就得到了一个“刍甍”（如图2）.（1）若O是四边形EBCF对角线的交

点，求证：//AO平面GCF；（2）若2π3AEB=，求三棱锥ABEF−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）433.【解析】【分析】（1）线段CF中点为H，证明//AOHG即可；（2）利用等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】在图2中取线段CF中点H，连接OH

GH、，如图所示：由图1可知，四边形EBCF是矩形，且2CBEB=，∴O是线段BF与CE的中点，∴//OHBC且12OHBC=，图1中//AGEF且12AGEF=，而//EFBC且EFBC=.所以在图2中，//AGBC且12AGBC=，∴//AGOH且AGOH=，∴四边形

AOHG是平行四边形，则//AOHG，由于AO平面GCF，HG平面GCF，∴//AO平面GCF.【小问2详解】∵,EFAEEFBE⊥⊥，,AEBE面ABE，AEBEE=I，∴EF⊥面ABE，12π13sin2232322ABESA

EBE===△，所以114334333ABEFFABEABEVVSEF−−====△，即三棱锥ABEF−的体积为433.19.高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学

，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性关系.（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分

为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.

01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：回归直线的系数()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx==

==−−−==−−，ˆˆaybx=−，154900niiixy==，()5211000iixx=−=，()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++.()26.6350.01PK=，()210.

8280.001PK=.【答案】（Ⅰ）ˆ0.918yx=−，估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得ˆb与ˆa的值，可得y关于x的线性回归方程，取90

x=求得y值即可；（Ⅱ）由题意填写22列联表，求得2K的值，结合临界值表得结论．【详解】解：（Ⅰ）1(140130120110100)1205x=++++=，1(110901008070)905y=++++=．515222221()()2020100010(1

0)(10)(20)(20)900ˆ0.92010(10)(20)1000()iiiiixxyybxx==−−+++−−+−−====++−+−−，ˆˆ900.912018aybx=−=−=−．y关于x的线性回归方程为ˆ0.918yx=−，取90x=，得ˆ0.9901

863y=−=．估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）由题意填写22列联表：物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计3624602260(2418612)106.63536243

030K−==，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．20.已知()ln,()1axxxx==+

（1）若()()()fxxx=+的单调递减区间是1,22，求实数a的值（2）若()()()gxxx=+，且对任意(1212,,,02xxxx，都有()()12121gxgxxx−−−，求实数a的取值范围【答案】（1）92a=（2）,227+【解析】【分析】

（1）根据()fx的单调递减区间是1,22得到()fx在()0,+上的解集为1,22，然后求a即可；（2）根据()()12121gxgxxx−−−得到()()hxgxx=+是(0,2]上的

递减函数，然后分(0,1x和(1,2x两种情况求解即可.【小问1详解】由题意得()ln1afxxx=++，则()()()22211xaxfxxx+−+=+，因为()fx的单调递减区间是1,22

，所以()()()222101xaxfxxx+−+=+在()0,+上的解集为1,22，所以()1222a−−=+，解得92a=.【小问2详解】设2102xx，()()()()1211221

21gxgxgxxgxxxx−−++−，令()()hxgxx=+，则()hx是(0,2]上的递减函数，当(0,1x时，()ln1ahxxxx=−+++，()2101hxaxxx+−−，函数211

yxxx=+−−是(0,1上的增函数，故11110a+−−=，当(1,2x时，()ln1ahxxxx=+++，()21023hxaxxxx++++，函数2123yxxxx=++++是(1,

2上增函数，故127442322a++++=，所以实数a的取值范围是27,2+.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率12e=，短轴长为23．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点()1,1P的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线34

yx=−相交于点Q，如果AQAP=，QBPB=，那么+是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）245．【解析】【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程；（

2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求．【小问1详解】由题意得222312bcaabc===+，解得24a=，23b=，故椭圆C的方程为22143xy+=；【小问2详解】当直线l斜率不存

在时，31,2A，31,2B−，31,4Q−，()1,1P,则90,4AQ=−，10,2AP=−，30,4QB=−，50,2PB=−

，的此时92AQAP=，310QBPB=，93242105+=+=；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为()11ykx=−+，联立()1134ykxyx=−+=−可得4433,4343kkQkk−−++，设()1

1,Axy，()22,Bxy，联立2213412ykxkxy=+−+=可得()()222234884880kxkkxkk++−+−−=，则21228834kkxxk−+=+，212248834kkxxk−−=+，

因为AQAP=，QBPB=，所以111Qxxx−=−，221Qxxx−=−，所以()()()()()21121212122268816244816241555QQxxxxxxxxkkkkxxxx−−−+++−−−−

−+====−++−−，【点睛】圆锥曲线中的范围或最值以及定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在平面直角坐标系xOy中，设曲线1C的参数方程为132312xtyt=+=−+（

t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C的极坐标方程为()cos0aa=．（1）求曲线1C的普通方程；（2）若曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，求实数a的值．【答案】（1

）340xy−−=（2）()1023a=−【解析】【分析】（1）曲线1C的参数方程消去参数即可求出曲线1C的普通方程；（2）首先曲线2C的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线2C是圆，要使曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，圆心到

直线的距离12dr=−，求解方程即可.【小问1详解】由已知得()23tx=−代入312yt=−+，消去参数t得曲线1C的普通方程为340xy−−=．【小问2详解】由曲线2C的极坐标方程cosa=得2cosa=，又222xy=+，cosx=，siny=，所以22xyax+=，

即22222aaxy−+=，所以曲线2C是圆心为,02a，半径等于2a的圆．因为曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，所以圆心,02a到直线340xy−−=的距离122ad=−，即()()2234122231

aa−−=+−，解得()1023a=−．（选修4-5不等式选讲）23.已知()11fxx=−+，()(),3123,3fxxFxxx=−．（1）解不等式()23fxx+；（2）若方程()Fxa=有一个解，求实数a的取值范围．【答案】（1）1,3−+

；（2）()(),13,−+.【解析】【分析】（1）对x分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;（2）2,1(),13123,3xxFxxxxx−=−.作出函

数()Fx的图象，当直线ya=与函数()yFx=的图象有一个公共点时，方程()Fxa=有一个解，由图可得结果.【详解】（1）不等式()23fxx+，即为1123xx−++.当1x时，即化为1123xx−++，得3x−，此时不等式的

解集为1x，当1x时，即化为(1)123xx−−++，解得13x−，此时不等式的解集为113x−.综上，不等式()23fxx+的解集为1,3−+.（2）11,3()123,3xxFx

xx−+=−,即2,1(),13123,3xxFxxxxx−=−.作出函数()Fx的图象如图所示，当直线ya=与函数()yFx=的图象有一个公共点时，方程()Fxa=有一个解，所以1a或3a.所以实数a取值范围是()(),13,−+.的获得更多资源请扫码加入享

学资源网微信公众号www.xiangxue100.com