【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第36讲 数列求和（讲） Word版含解析.docx，共(10)页，721.228 KB，由管理员店铺上传

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第36讲数列求和（讲）思维导图知识梳理1．公式法(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝na1，q＝1，a1

(1－qn)1－q，q≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．几

种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前

n项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前

n项和即可用倒序相加法求解．[常用结论]常见的裂项技巧①1n(n＋1)＝1n－1n＋1.②1n(n＋2)＝121n－1n＋2.③1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1.④1n＋n＋1＝n＋1－n.⑤1n(n＋1)(n＋2)＝121

n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2).题型归纳题型1分组转化求和【例1-1】（2020春•昆明期末）已知数列{}na是公差不为零的等差数列，12a=，且1a，2a，4a成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2nannba=−，求数列{

}nb的前n项和nS．【分析】本题第（1）题先设等差数列{}na的公差为(0)dd，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列出关于公差d的一元二次方程，解出d的值，则可计算出数列{}na的通项公式；第（2）题先根据

第（1）题的结果计算出数列{}nb的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和nS．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{}na的公差为(0)dd，则22ad=+，423ad=+，1a，2a，4a成等比数列，2214aaa=，即2(2)2(23)dd+=+，整理，得220

dd−=，解得0d=（舍去），或2d=，22(1)2nann=+−=，*nN．（2）由（1）知，设222224nannnnbann=−=−=−，故12nnSbbb=+++12(214)(224)(

24)nn=−+−++−122(12)(444)nn=+++−+++(1)4(14)2214nnn+−=−−124433nnn+=++−．【跟踪训练1-1】（2020春•保定期末）已知数列{}na、{}nb满足

：1nnnaab+=+，{2}nb+为等比数列，且12b=，24a=，310a=．（1）试判断数列{}nb是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{}na的前n项和nS．【分析】（1）由已知数列递推式求出2b，结合数列{2}nb+为等比数列，求得首项

与公比，得到32b+，进一步求出3b，验证即可得到数列{}nb不是等差数列；（2）由（1）中的等比数列列出na的表达式，然后累加得数列{}na的通项，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）数列{}nb不是等差数列．理由如下：由1nnnaab+−=，且2

4a=，310a=，12b=，得2326baa=−=，又数列{2}nb+为等比数列，数列{2}nb+的首项为4，公比为2．2324216b+==，得314b=，显然21321216bbb=+=．故数列

{}nb不是等差数列；（2）结合（1）知，等比数列{2}nb+的首项为4，公比为2．故112422nnnb−++==，122nnb+=−．1nnnaab+−=，12b=，24a=，12a=，122(

2)nnnaan−−=−…．令2n=，，(1)n−．得22122aa−=−，33222aa−=−，122(2)nnnaan−−=−…，累加得232(222)2(1)(2)nnann−=+++−−…．2312(21)(2222)222222(2)21nnnn

annnn+−=++++−+=−+=−−…．又12a=满足上式，122nnan+=−．231(221)(222)(22)nnSn+=−+−++−231224(21)(1)(222)2(12)224212nnnnnnnn++−+=+++−+++=−=−

−−−．【跟踪训练1-2】（2020春•永州期末）已知等差数列{}na，等比数列{}nb满足：113ab==，4212ab==．（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；（2）求数列{}nnab+的前n项和nS．【分析】（1）利用已知条件求出等差数列{}na的公差为d，求出通项公式．求出等比数列

{}nb的公比为q，然后求解通项公式．（2）写出1334nnnabn−+=+，利用分组求和求解即可．【解答】解：（1）由113ab==，4212ab==，设等差数列{}na的公差为d，则41312aad=+=，所以3d=，所以33(1)3nann=+−=，设等比数列{}nb的公比

为q，由题2112bbq==，所以4q=．所以134nnb−=；（2）1334nnnabn−+=+，所以{}nnab+的前n项和为1212()()nnnSaaabbb=+++++++1(363)3(14164)nn−=++++++

++(33)(14)3214nnn+−=+−3(1)412nnn=++−．【名师指导】1．分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．2．分组转化法求和

的常见类型题型2裂项相消法求和【例2-1】（2020春•黔南州期末）已知等差数列{}na满足310a=，1417aa+=．（1）求{}na的通项公式；（2）设13nnnbaa+=，求数列{}nb的前n项和nS．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（

2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）设首项为1a，公差为d的等差数列，满足310a=，1417aa+=．所以3141017aaa=+=，解得143ad==，所以43(1)31nann=+−=+．（2）由（1）

得13113134nnnbaann+==−++，所以1211111111477103134434nnSbbbnnn=+++=−+−++−=−+++．【跟踪训练2-1】（2020•安宁区校级模拟）已知21nSnna=++

+是一个等差数列的前n项和，对于函数2()fxxax=−，若数列1()fn的前n项和为nT，则2020T的值为()A．20212022B．20182019C．20192020D．20202021【分析】利用等差数列的前n项和，求出a，化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解

数列的和即可．【解答】解：21nSnna=+++是一个等差数列的前n项和，可得10a+=，解得1a=−，所以函数2()fxxx=+，数列1()fn即21{}nn+，21111nnnn=−++，所以数列2

1{}nn+的前n项和为11111111112233411nTnnn=−+−+−++−=−++，则202012020120212021T=−=．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020春•成都期末）数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann=+，则99(S=)A．1B．1100C

．9899D．99100【分析】利用数列的递推关系式，通过裂项相消法求解数列的和即可．【解答】解：数列{}na的前n项和为nS，111(1)1nannnn==−++，所以：99111111991122399100100100S=−+−++−=−=．故选：D．

【名师指导】1.基本步骤2.裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.3.消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.题型3错位相减法求和【例3-1】（2020春•柳林县期末）已知数列

{}na的前n项和为nS，41(*)3nnSnN−=．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设21lognnba+=，求数列1{}nnba+的前n项和nT．【分析】（1）根据数列递推公式，即可求出通项公式；（2）根据错位相减法即可求出前n项和．【解答】解：（1）

由413nnS−=，得：当1n=时，111aS==；当2n…时，1114141()()433nnnnnnaSS−−−−−=−=−=．经检验当1n=时，也成立，所以14nna−=，（2）由（1）知14nna−=，故212loglog2nnnban+===．所以14

nnnban+=．1234142434444nnTn=+++++，①23414142434(1)44nnnTnn+=++++−+，②由①−②，得123114(41)34444444

1nnnnnTnn++−−=++++−=−−，所以1(31)449nnnT+−+=．【跟踪训练3-1】（2020春•黄冈期末）已知数列{}na满足24a=，12(2)nnaan−=+…，已知数列{}nb的前n项和为nS，

且满足1nnSb=−．（Ⅰ）求数列{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nnab的前n项和．【分析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】解：（Ⅰ）数

列{}na满足24a=，12(2)nnaan−=+…，所以12nnaa−−=（常数），当2n=时，解得12a=，所以数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列．所以2nan=．数列{}nb的前n项和为nS，且满足1nnSb

=−①当1n=时，解得112b=．当2n…时，111nnSb−−=−②①−②得1nnnbbb−=−，整理得112nnbb−=（常数），所以数列{}nb是以12为首项，12为公比的等比数列．所以12nnb=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得12()2nnnabn=，所以21112[12()()]222nnTn=+++③，23111112[1()2()()]2222nnTn+=+++④，③−④得：21111112[]22222nnnTn+=+++−，整理得14(24)2nnTn=−+．【跟踪训练3-

2】（2020春•成都期末）已知等差数列{}na的前n项和为nS，530S=，756S=；各项均为正数的等比数列{}nb满足1213bb=，23127bb=．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列{}nnab的前n

项和nT．【分析】（1）设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求．设等比数列{}nb的公比为(0)qq，由已知列首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2）把数列{}na和{}nb的

通项公式代入数列{}nnab，再由错位相减法求数列{}nnab的前n项和nT．【解答】解：（1）设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，由530S=，756S=，得11545302767562dada+=+=，解得122ad==．22(1)

2nann=+−=；设等比数列{}nb的公比为(0)qq，由1213bb=，23127bb=，得2123113127bqbq==，解得1113bq==．11()3nnb−=；（2）112233nnnn

nnab−−==．令1{}3nn−的前n项和为nR，则01211233333nnnR−=++++，23111231333333nnnnnR−−=+++++两式作差可得：212111133333nnnnR−=++++−11(1)32331322313nnnnn−+=−=−−，

1923443nnnR−+=−．则19232223nnnnTR−+==−．【名师指导】错位相减法求数列{an}的前n项和(1)适用条件若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn.(2)基本步骤(3)注意事项①在写出S

n与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；