【文档说明】重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附中2023—2024学年度上期期中考试高三数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签

字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整，3、考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合223Axyxx=

=−++，集合exByy==，则AB=（）A.(0,1B.(0,3C.)1,−+D.)3,−+【答案】C【解析】【分析】根据偶次根号下大于等于零求解集合A，根据指数函数值域求解集合B，再利用并集运算求解即可.【详解】因为223

0xx−++，所以13x−，所以223131,3Axyxxxx==−++=−=−，又e0x，所以()e00,xByyyy====+，所以AB=)1,−+.故选：C.2.已知扇形的圆心角是60，半径为2，则扇形的面积为（）A.60B.120C.π3D.2

π3【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】因为扇形的圆心角是60，半径为2，则该扇形的面积为21π2π2233S==.故选：D.3.如图，正三棱柱111ABCABC-中，12ABAA=，M是11AB的中点，则异面直线1AC与BM所成

角的余弦值为（）A.62B.105C.63D.155【答案】B【解析】【分析】取AB中点N，连接1AN，CN，易证1//ANBM，所以1CAN（或其补角）即为1AC与BM所成角，在1ANC中即可求解

.【详解】取AB中点N，连接1AN，CN，在正三棱柱中，四边形11AABB为平行四边形，因为M，N分别是11AB，AB的中点，所以四边形1ANBM为平行四边形，所以1//ANBM，所以1CAN（或其补角）即

为1AC与BM所成角，设1AAa=，则2ABa=，在正三棱柱111ABCABC-中，因为N是AB的中点，所以3CNa=，12ANa=，15ACa=，所以22211CNANAC+=，故1CNAN⊥，在1RtANC中，111210cos55ANaCANACa===，

所以，异面直线1AC与BM所成角的余弦值为105.故选：B4.“tantanxy=”是“()2πZxykk=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.【详解】解：若tant

anxy=，则()πZxykk=+，故不充分；当π5π,22xy==时，tan,tanxy无意义，故不必要，故选：D5.若0a，0b，4ab+=，则下列结论正确的是（）A.2ab+B.228ab+C.()()221332

ab+++D.2263ab+【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项，利用基本不等式可判断B选项，利用二次函数的基本性质可判断CD选项.【详解】因为0a，0b，4ab+=，.的对于A选项，()224ababab+=++

，则2ab+，A错；对于B选项，42222222228ababab++===，当且仅当4abab+==时，即当2ab==时，等号成立，故228ab+，B对；对于C选项，()()()()222221314321250abaaaa+++=++−+=−+()22

33232a=−+，当且仅当3a=时，等号成立，C错；对于D选项，()()2222224448163443333aabaaaa+=+−=−+=−+，当且仅当3a=时，等号成立，D错.故选：B.6.正四棱锥PABCD−的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（）A.625π36B.62

5π18C.625π9D.25π6【答案】C【解析】【分析】根据正四棱锥和球的几何性质可以判断出球心在正四棱锥的高线上（或延长线上），最后根据勾股定理解出球的半径，最后利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】令正四棱锥PABCD−的底面棱长为a，根据题意可得213323a=，解得42a=

.设1PO是正四棱锥的高，O是正四棱锥的外接球的球心，则O在1PO上（或1PO的延长线上），则有13PO=，设球的半径为r，因此POOAr==，显然113OOPOrr=−=−（或者113OOrPOr=−=−），在正方形ABCD中，()()22114

24242OA=+=，由勾股定理可知：22222211254(3)6AOAOOOrrr=+=+−=，因此该四棱锥的外接球的表面积为26254ππ9r=.故选：C7.一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.

1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米.若该蛋糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（）（其中π3.14）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解

析】【分析】设蛋糕需要做n层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为12的等比数列，求出n层蛋糕的体积V，由0.6V求出n的范围即可．【详解】设蛋糕需要做(N*)nn层，则每层圆柱形蛋糕的底

面半径组成首项为1，公比为12的等比数列，每层圆柱形蛋糕的高都是0.1米，各层的体积也构成等比数列，所以这n层蛋糕的体积为211()12π10.10.2(1)π1212nnV−==−−，因为该蛋糕的体积至少为0.6立方米，所以10.2(1)π0.62n−，所以1312πn−，由于()

112nfn=−单调递增，且()()153140.938,50.9691632ff==，而30.955π，解得5n，*nN，所以蛋糕至少需要做的层数为5层．故选：C．8.设函数()()()elnxfxaxmaxx=−−（其中e为自然对数的底数），若

存在实数a使得()0fx恒成立，则实数m的取值范围是（）A.21,e+B.1,e+C.()2e,+D.21,e−【答案】A【解析】【分析】由题意可得eln()(0)xmxaaxx−−，令()lne,()xxmgx

hxxx==，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直线ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数()fx的定义域为(0,)+，由()0fx，得()(e)ln0xaxmaxx−−，所以eln

()(0)xmxaaxx−−，令lne(),()xxmgxhxxx==，由题意知，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大

值，由ln()(0)xgxxx=，得21ln()xgxx−=，所以当()0,ex时，()()0,gxgx单调递增，当(e,)x+时，()()0,gxgx单调递减，所以()maxlne1(e)eegxg===，()gx没有最小值，

由e()(0)xmhxxx=，得22eee(1)()xxxmxmmxhxxx−−==，当0m时，在()0,1x上()()0,hxhx单调递增，在(1,)x+上()()0,hxhx单调递减，所以()hx有最大值，

无最小值，不合题意，当0m时，在()0,1x上()()0,hxhx单调递减，在(1,)x+上()()0,hxhx单调递增，所以min)()(1ehxhm==，所以()()e1hg即1eem，所以21em，即m的取值范围为21(,)e+．故选：

A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数13i13iz−=++，其共轭复数为z，则下列叙述正确的是（）A.z对应的点在复平面的第四象限B.2z是一个纯虚

数C.2zz=D.izz=【答案】BCD【解析】【分析】先由复数的运算求出z，共轭复数的概念求出z，即可判断各选项的正误．【详解】由题意得：()()()()13i3i13i111i3i3i3iz−−−=+=+=−++−，对于A

项：1iz=+，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；对于B项：()221i2iz=+=为纯虚数，故B项正确；对于C项：()()·1i1i2zz=−+=，故C项正确；对于D项：()()()21i1ii1i1i1izz++===−−+，故D项正确；故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.

等比数列na的公比为q，则其前n项和为()111nnaqSq−=−B.已知na等差数列，若mnpq+=+（其中*Nmnpq,,,），则mnpqaaaa+=+为C.若数列na的通项公式为()121nann=+，则其前n项和56nSD.若数列na的

首项为1，其前n项和为nS，且22122nnSaana=+++，则21nan=【答案】BC【解析】【分析】由等比数列前n项和公式可得当1q时，()111nnaqSq−=−才成立，即A错误；利用等差数列性质可知B正确，将数列na通过放缩裂

项求和即可求得56nS，即C正确；根据na和nS的关系式可求得其通项公式，可得D错误.【详解】对于A，当公比1q=时，公式()111nnaqSq−=−不成立，只有当1q时，该式才成立，所以A错误；对于B

，设等差数列na的公差为d，首项为1a，则可得()()()1111122mnaaamdandamnd+=+−++−=++−，()()()1111122pqaaapdaqdapqd+=+−++−=++−，当mnpq+=+时，可得mnpqaaaa+=+，所以B正确；对于C，

易知()211122nannnn==++，当2n时，()221122221111112nannnnnnnn===−+−−−，所以可得1231111616111121513251131222nnSannnnaa=++

+++−+−−=+−=−+−，即可得C正确；对于D，由22122nnSaana=+++可得()22112121,2nnSaanan−−=+++−；两式相减可得21nnnSSna−−=，即2nnana=，可得0

,2nan=，所以1,10,2nnan==，即D错误.故选：BC11.下列说法中错误的有（）A.已知()1,2a=r，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B.已知向量()12,3e=−，213,24e=−

，则12,ee不能作为平面的一个基底C.若0a，abac=，则bc=D.O是ABC所在平面内一点，且满足0ABCABACBCABCOAOBOCABCABACBCABC+=+=+=，则O是ABC的内心【答案】AC【解析】【

分析】由向量夹角为锐角，根据数量关系即可求得A选项，由平面向量基本定理以及向量数量积的运算法则即可判断BC选项，由已知条件可以判断出点O在角平分线上，故可以判断出结论.【详解】对A选项，()1,2a=r，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，且a与ab+不共线，(1,2)ab

+=++，则12(2)0+++且2(1)2++，解得53−且0.故A选项错误；对B选项，124ee=，则12,ee不能作为平面的一个基底，故B选项正确；对C选项，因为向量,cos,cos,aba

cababacac==，所以不一定满足bc=，故C选项错误.对D选项，因为0ABCABACBCABCOAOBOCABCABACBCABC+=+=+=，由0ABCAOAABCA+=可知，

OA垂直与角A的外角平分线，所以点O在角A的平分线上，同理点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，所以O是ABC的内心.故D选项正确.故选：AC12.如图，已知矩形ABCD中，2AB=，3BC=.点E为线段C

D上一动点（不与点D重合），将ADEV沿AE向上翻折到APEV，连接PB，PC.设()02DExx=，二面角PAEB−−的大小为()0π，则下列说法正确的有（）A.若1x=，π2=，则3co

s4PAB=B.若1x=，则存在，使得PB⊥平面PAEC.若32x=，则直线PB与平面ABC所成角的正切值的最大值为34D.点A到平面PBC的距离的最大值为3，当且仅当2x=且3cos4=时取得该最大值【答案】AD【解析】【分析】根据翻折前后的几何关系，利

用面面垂直的性质定理，结合余弦定理求解选项A；利用线面垂直的判定定理、性质定理判断选项B；利用翻折前后的几何关系，结合线面角的定义求解选项C；利用几何关系，以及线面垂直的性质定理、判定定理求解选项D.【

详解】对A，取AE中点M，连接BM，PM，BE,则有222BECEBC=+=,且2AB=，所以BMAE⊥，又平面PAE⊥平面ABE，平面PAE平面ABEAE=，BM平面ABE,所以BM⊥平面PAE，PM平面PAE

，故BMPM⊥，3BM=，在直角三角形APE中，1131122PMAE==+=，所以()22312BP=+=，在ABP中，由余弦定理得：()2222323cos4223PAB+−==，A正确；对B，同选项A，知BMAE⊥，若

PB⊥平面PAE，且AE平面PAE,则PBAE⊥，且,,PBBMBPBBM=I平面PBM，所以⊥AE平面PBM，PM平面PBM，所以AEPM⊥，显然矛盾，B错误；对C，连接BD交AE于点F,因为几何关

系可知，EDFABF:△△,所以34EFDFEDAFBFAB===,又因为921437,342BDAE=+==+=,所以3373321,,77714DFBDEFAE====所以222DFEFDE+=,即BDAE⊥，则AEDF⊥，AE

PF⊥，,,DFPFFDFPF=I平面BDP,所以⊥AE平面BDP，AE平面ABE，所以平面BDP⊥平面ABE，故所求线面角为PBD.又点P在以F为圆心，PF为半径的圆上，从而当直线PB与圆F相切时，P

BD最大，故max3sin4PFDEPBDBFAB===，从而max7tan4PBD=，C错误；对D,点A到平面PBC的距离3AP=，等号成立当且仅当AP⊥平面PBC，因为,BPBC平面PBC，所以,APBPAPBC⊥

⊥,从而1BP=，且矩形ABCD中，,,,BCABABPBBABPB⊥=I平面PAB,所以BC⊥平面PAB，过P作PHAB⊥于点H.连接DH，在直角三角形PAB中，由等面积法可得，PAPBABPH=,所以32PH=,所以22

32AHAPPH=−=，因为以BC⊥平面PAB，PH平面PAB，PHBC⊥,,,ABBCBABBC=平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，由翻折知AEDH⊥，故DCADADAH=，解得2DC=，即2x=.又由二面角的面积射影知：3cos4AHE

AHCAHCAPEAPCADCSSSAHSSSAB=====△△△△△△,D正确；故选:AD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用翻折前后的几何关系，结合直线与平面、平面与平面的判定定理、性质定理证明相应的结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.13.等比数列na中，21a=，83a=，则5a=______________.【答案】3【解析】【分析】利用等比数列定义即可求得33q=，代入计算可得53a=.【详解】根据题意可得设等比数列na的公比为q，则

易知682aaq=，可得63q=，即33q=；而3523aaq==.故答案为：314.已知0π，ππ2，且1cos7=，()1cos3+=−，则cos=_____________.【答案】18621−−【解析】

【分析】先通过角所在象限求出()sin,sin+，再利用()coscos=+−展开计算即可.【详解】12π0π,coscos724==,2ππ43,sin1cos427=−=,ππππ,422，

3π3π42+，又()1cos3+=−当3ππ4+时，()21cos2−+−，121,32−−−，当3ππ2+时，()1cos0−+，()11,

03−−，()()222sin1cos3+=−−+=−，()()()coscoscoscossinsin=+−=+++112243186373721−−=−+−=.故答案为：18621−−.15.已知向量a，b，2a=，5b=，a与

b的夹角为2π3，则axb+的值最小时，实数x的值为____________.【答案】15##0.2【解析】【分析】根据向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】2222212425225251042axbaxbxabxxxx+=++

=++−=−+，由于221251042535xxx−+=−+，故当15x=时，此时225104axbxx+=−+取最小值3，故答案为：1516.已知函数()32fx+为奇函数，()fx的函数图象关于yx=对称，且当12x时，

()πsin2fxx=，则72f=______________.【答案】53−##213−【解析】【分析】根据函数的对称性可得()fx关于点()2,0对称，进而根据点1,2m关于yx=的对称点为1,2m，将1,2m

代入()πsin2fxx=即可求解.【详解】由()()3322fxfx−=−+，用x替换3x可得：()()22fxfx−=−+，所以()fx关于点()2,0对称，故7122ff=−

，设12fm=，由于()fx关于yx=对称，又当12x时，()πsin2fxx=，由于点1,2m关于yx=的对称点为1,2m，则1,2m在()πsin2fxx=上，故()()π1sin1222fmmm==，所以π5π

26m=，解得53m=，故7523f=−.故答案为：53−四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2cos,2sinaxx=，()2,3cosbx=，函数()fxab=.（1）求()f

x的解析式和单调递增区间；（2）若()fx是()fx的导函数，()()()1fxgxfx=−，ππ,63x，求函数()gx的值域.【答案】（1）()π12sin26fxx=++，()πππ,π36kkkZ骣琪-++?琪桫（2）()23,0−【解析】【分析】

（1）利用数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先求出()fx，即可得到()gx的解析式，再根据正切函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()2cos,2sinaxx=，()2,3cosbx=且()fxab

=，所以()22cos3sin2cos23sin21xxfxxx=+=++13π2cos2sin2112sin2226xxx=++=++，令πππ2π22π262kxk-+<+<+，()kZ，解得ππππ36kxk−++，()kZ，则函数()fx的单调增

区间为()πππ,π36kkkZ骣琪-++?琪桫；【小问2详解】∵()π12sin26fxx=++，∴()π4cos26fxx=+，∴()()()π2cos26π1sin26xfxgxfxx+==−+

，而ππ,63x，则ππ5π2266x+，所以πcos206x+，∴()2πtan26gxx=+，由ππ5π2266x+得π3tan263x+−，即2230πtan26x−

+.则函数()gx的值域为()23,0−.18.已知各项为正的数列na的首项为2，26a=，22211122nnnnnnnnaaaaaaaa+++++−=−−.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列na的前n项和nS，求数列28nnSa+−（其中*

Nn）前n项和的最小值.【答案】（1）42nan=−（2）最小值为-38【解析】【分析】（1）将原式进行因式分解，结合正项数列以及等差数列的概念及通项公式可解；（2）首先求出28nnSa+−的表达式，再结合二次函数的性质可得28nnSa+−前n项和的最

小值.【小问1详解】因为22211122nnnnnnnnaaaaaaaa+++++−=−−，所以有()()12120nnnnnaaaaa+++++−=，而0na，∴10nnaa++，所以2120nnn

aaa+++−=，则211121nnnnnnaaaaaaaa+++−−=−=−==−，又∵12a=，26a=，∴214aa−=，由等差数列定义知数列na是以2为首项，4为公差的等差数列.∴数列na的通项公式为42nan=−.【小问2详解】由（1）有2(1)=2+4=22nnnSnn

−，∴()()2282430253nnSannnn+−=+−=+−，令280nnSa+−，有4,5,6,n=；280nnSa+−，有1,2n=；280nnSa+−=，有3n=.所以28nnSa+−前n项和的最小值为()()()()21513

2252338+−++−=−，当且仅当2,3n=时取到.19.如图，在五面体ABCDEF中，面ADE⊥面ABCD，90ADC=，EFP面ABCD，2AEDEDC===，1EF=，3AB=，二面角ADCF−−的平面角为45.（1）求证：CD∥面

ABFE；（2）点P在线段AE上，且2APPE=，求二面角PFCB−−的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1442−【解析】【分析】（1）先通过线面平行的性质得CDEF∥，进而根据线面平行的判定

得结论；（2）取AD中点O，BC中点M，连结OE，OM，通过证明OA，OM，OE两两垂直来建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解面面角.【小问1详解】∵EFP面ABCD，又EF面CDEF，面ABCD面CDEFCD=，∴

CDEF∥.又CD面ABFE，EF面ABFE，∴CD∥面ABFE；【小问2详解】取AD中点O，BC中点M，连结OE，OM.∵面ADE⊥面ABCD，交线为AD，CD面ABCD，90ADC=，∴CD⊥

面ADE∴ADE是二面角ADCF−−的平面角.即45ADE=.∵EFP面ABCD，又EF面ABFE，面ABCD面ABFEAB=，∴ABEF∥.∴CDAB∥.又ABCD，∴四边形ABCD是梯形.∴OM是梯形ABCD的中位线.∴OMCD∥.∴OM⊥面ADE.∵AEDE=，O是AD中

点，∴OEAD⊥.以O为原点，OA，OM，OE为轴如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则()2,0,0A，()2,3,0B，()2,0,0D−，()2,2,0C−，()0,0,2E，()0,1,2F，()2,0,2

AE=−，()22,1,0CB=，()2,1,2CF=−，()2,1,2FA=−−，由23APAE=，()()2222,1,22,0,2,1,333FPFAAP=+=−−+−=−−.设面PCF的一个法向量为()111,,mxyz=，由mFP⊥，mCF⊥，得111111232022

0xyzxyz−−=−+=，取12y=，得12x=，11z=−，∴()2,2,1m=−.设面BCF的一个法向量为()222,,xnyz=，由nCB⊥，nCF⊥，得22222220220xyxyz+=−+=，取222y=，得21x=−，23z=，∴(

)1,22,3n=−.∴24314cos,42718mn−+−==−∴二面角PFCB−−的平面角的余弦值为1442−.20.已知ABC内角A、B、C的对边为a、b、c（其中bc），若3coscos2cosbAaBbcA+=+.（1）

求角A的大小；（2）若点D是边BC上的一点，3a=，2DCBD=，求AD的最大值.【答案】（1）60A=（2）max13AD=+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可求解1cos2A=，进而可求解，（2）根据余弦定理可得222326ADA

BAC=+−，进而根据正弦定理得()()2228sin4sin241cos221cos22AD=+−=−+−−，根据二倍角公式以及和差角公式，结合三角函数性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理得3sincossincoss

in2sincosBAABBCA+=+，2sincossinsin2sincosBACBCA+=+，即有()()2cos1sinsin0ABC−−=，∵bc，∴sinsinBC，则1cos2A=，而0180A，∴60A=.【小问2详解】由余弦定理有2222cosABADBD

ADBDADB=+−；2222cosACADDCADDCADC=+−，而3BC=，2DCBD=，∴1BD=，2DC=，又180ADBADC+=，所以222326ADABAC=+−.又由（1）∴60A=，3BC=，设ACD=，ABC=，则由正弦

定理有23sinAB=，23sinAC=，且120+=，所以()()2228sin4sin241cos221cos22AD=+−=−+−−()4cos22cos244cos22cos24024=−−+=−−−+()()4cos22cos1202423sin26042

34=−−++=−++，故max13AD=+，当75ACD=时取到.21.王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时

间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王

老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）（1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；的（2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开

始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求()EX；（3）已知今天（第一天）王老师选择乘

坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记nP为王老师第n天坐地铁去学校

的概率，求nP的通项公式.【答案】（1）0.15（2）()10553225EX=−（3）1225757nnP−=−+【解析】【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*1

9Nkk，()12355kPXk−==；()93105PX==，即可求出数学期望；(3)由题意：11P=，()1321155nnnnPPPP+=+−=−+，由递推关系求出数列的通项.【小问1详解】记事件A=“硬币正面向上”，事件B=“7：40-7：45到校”

则由题有()0.5PA=，()0.2PBA=，()0.1PBA=，故()()()()()0.50.20.50.10.15PBPAPBAPAPBA=+=+=.【小问2详解】X可取1，2，3，…，9，1

0，由题：对于()*19Nkk，()12355kPXk−==；()93105PX==，故()2892232323312391055555555EX=+++++，()2891032323232

331289105555555555EX=+++++，以上两式相减得：()28922232323235555555555EX=+++++

，故()1028910313333553513555522515EX−=+++++==−−.所以()10553225EX=

−.【小问3详解】由题意：11P=，()1321155nnnnPPPP+=+−=−+，则1525757nnPP+−=−−，这说明57nP−为以15277P−=为首项，25−为公比的等比数列.故1522775n

nP−−=−，所以1225757nnP−=−+.22.已知()()12e1xfxax−=−，其中0a.（1）求()fx在1x=处的切线方程；（2）若()310fxxxa+−在1,2+

上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）220axya+−=（2）(0,1【解析】【分析】（1）由导数的几何意义可得；（2）先取特殊值得不等式恒成立的必要条件，再证明充分性.利用1e1x−−与1x−的符号一致性，利用放缩法将不等式转化为三次不等式的证明，再利用主元变换，以

a为主元转化为二次不等式的证明即可.【小问1详解】()()()1112e12e2e2xxxfxaxaax−−−=−−=−故()12fa=−，又()10f=，故()fx在()1,0处的切线方程为：()021yax−=−−，即：220axya+−

=；【小问2详解】一方面，由()310fxxxa+−在1,2+上恒成立，则当1x=，有11(1)110faa+−=−，解得01a.另一方面，我们证明若01a，()310fxxxa+−在1,2x+上恒成

立.注意到当0a时，由10x−1e10x−−，10x−=1e10x−−=，10x−1e10x−−，则有()()()()12121e10xfxaxax−−−=−−恒成立，即()()21fxax−恒成立，故只需证()31

210axxxa−+−，其中(0,1a，1,2x+只需证()23210axxax−+−，将上式左边看作关于a的函数，令()()2321gaxaxax=−−+，下面证明：当(0,1a，1,2x+时，()0ga.①若1x=，则()10gaa

=−成立；②若1x，此时()300gx=，()()()()23121120gxxxxx=−−+=−+.又()ga为关于a的开口向下的二次函数，(0,1a，故()()()minmin0,10gagg，③若112x，此时()ga为关于a的开口

向上的二次函数，对称轴为()41xax=−（i）若对称轴()141xx−，又112x，解得415x，此时()ga在(0,1a单调递减，所以()()min1gag=，又由②知()()()212(1)1,0gxxg=−+，所以()()min10gag=（ii）若对称轴()14

1xx−，又112x，解得1425x，则有130210x−，注意到此时()()2321gaxaxax=−−+对应的判别式()()22322211818818028xxxxxxxx=−−=−+=−−故此时()0ga恒成立.综上，当(0,1a，1

,2x+时，()0ga.故a的取值范围为(0,1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com