【文档说明】重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附中2023—2024学年度上期期中考试高三数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅

笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整，3、考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每

小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合223Axyxx==−++，集合exByy==，则AB=（）A.(0,1B.(0,3C.)1,−+D.)3,−+【答案】C【解析】【分析】根据偶次根号下大于等于零求解集合A，根据指数函数

值域求解集合B，再利用并集运算求解即可.【详解】因为2230xx−++，所以13x−，所以223131,3Axyxxxx==−++=−=−，又e0x，所以()e00,xByyyy====+，所以AB=)1,−+.故选：C.2.已知扇形的圆心角是60，半径

为2，则扇形的面积为（）A.60B.120C.π3D.2π3【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】因为扇形的圆心角是60，半径为2，则该扇形的面积为21π2π2233S==.故选：D.3.如图，正三棱柱111ABCABC-中，12ABAA=，M是11A

B的中点，则异面直线1AC与BM所成角的余弦值为（）A.62B.105C.63D.155【答案】B【解析】【分析】取AB中点N，连接1AN，CN，易证1//ANBM，所以1CAN（或其补角）即为1AC与BM所成角，在1ANC中即可求解.【详解】取AB中点N，连接1AN，CN，在正三棱柱中，四

边形11AABB为平行四边形，因为M，N分别是11AB，AB的中点，所以四边形1ANBM为平行四边形，所以1//ANBM，所以1CAN（或其补角）即为1AC与BM所成角，设1AAa=，则2ABa=，在正三棱柱111ABCABC-中，因为N是AB的中点，所以3CNa=，12ANa=，

15ACa=，所以22211CNANAC+=，故1CNAN⊥，在1RtANC中，111210cos55ANaCANACa===，所以，异面直线1AC与BM所成角的余弦值为105.故选：B4.“tantanxy=”是“()

2πZxykk=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.【详解】解：若tantanxy=，则()πZxykk=+，故不充分；当π5π,22xy==时，tan,ta

nxy无意义，故不必要，故选：D5.若0a，0b，4ab+=，则下列结论正确的是（）A.2ab+B.228ab+C.()()221332ab+++D.2263ab+【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项，利用基本不等式可

判断B选项，利用二次函数的基本性质可判断CD选项.【详解】因为0a，0b，4ab+=，.的对于A选项，()224ababab+=++，则2ab+，A错；对于B选项，42222222228ababab++===，当且仅当4abab+==时，即当2

ab==时，等号成立，故228ab+，B对；对于C选项，()()()()222221314321250abaaaa+++=++−+=−+()2233232a=−+，当且仅当3a=时，等号成立，C错；对于D选项，()()2222224448163443333aabaaaa+=+−=−+=

−+，当且仅当3a=时，等号成立，D错.故选：B.6.正四棱锥PABCD−的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（）A.625π36B.625π18C.625π9D.25π6【答案】C【解析】【分析】根据正四棱锥和球的几何性质可以判断出

球心在正四棱锥的高线上（或延长线上），最后根据勾股定理解出球的半径，最后利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】令正四棱锥PABCD−的底面棱长为a，根据题意可得213323a=，解得42a=.设1PO是正四棱锥的高，O是正四棱锥的外接球的球心，则O在1PO上（或1P

O的延长线上），则有13PO=，设球的半径为r，因此POOAr==，显然113OOPOrr=−=−（或者113OOrPOr=−=−），在正方形ABCD中，()()2211424242OA=+=，由勾股定理可知：22222211254(3)6AOAOOOrrr=+=

+−=，因此该四棱锥的外接球的表面积为26254ππ9r=.故选：C7.一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米.若该蛋

糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（）（其中π3.14）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】设蛋糕需要做n层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为12的等比数列，求出n层蛋糕的体积V，由0.6V求出n的范围即可．【详解】设蛋糕需

要做(N*)nn层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为12的等比数列，每层圆柱形蛋糕的高都是0.1米，各层的体积也构成等比数列，所以这n层蛋糕的体积为211()12π10.10.2(1)π1212n

nV−==−−，因为该蛋糕的体积至少为0.6立方米，所以10.2(1)π0.62n−，所以1312πn−，由于()112nfn=−单调递增，且()()153140.938,50.9691632ff=

=，而30.955π，解得5n，*nN，所以蛋糕至少需要做的层数为5层．故选：C．8.设函数()()()elnxfxaxmaxx=−−（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得()0fx恒成立，则实

数m的取值范围是（）A.21,e+B.1,e+C.()2e,+D.21,e−【答案】A【解析】【分析】由题意可得eln()(0)xmxaaxx−−，令()lne,()xxmgxhxxx==

，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直线ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数()fx的定义域为(0,)+，由()0fx，得()(e)ln0xaxmaxx−−，所以eln()(0)xmxaaxx−−，令l

ne(),()xxmgxhxxx==，由题意知，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由ln()(0)xgxxx

=，得21ln()xgxx−=，所以当()0,ex时，()()0,gxgx单调递增，当(e,)x+时，()()0,gxgx单调递减，所以()maxlne1(e)eegxg===，()gx没有最小值，由e()(0

)xmhxxx=，得22eee(1)()xxxmxmmxhxxx−−==，当0m时，在()0,1x上()()0,hxhx单调递增，在(1,)x+上()()0,hxhx单调递减，所以()hx有最大值，无最小值，不合题意，当0m时，在()

0,1x上()()0,hxhx单调递减，在(1,)x+上()()0,hxhx单调递增，所以min)()(1ehxhm==，所以()()e1hg即1eem，所以21em，即m的取值范围为21(,)e+．故选：

A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数13i13iz−=++，其共轭复数为z，则下列叙述正确的是（）A.z对应的点在复平面的

第四象限B.2z是一个纯虚数C.2zz=D.izz=【答案】BCD【解析】【分析】先由复数的运算求出z，共轭复数的概念求出z，即可判断各选项的正误．【详解】由题意得：()()()()13i3i13i111i3i3i3iz−−−=+=+=−++−，对于A项：

1iz=+，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；对于B项：()221i2iz=+=为纯虚数，故B项正确；对于C项：()()·1i1i2zz=−+=，故C项正确；对于D项：()()()21i1ii1i1i1izz++===−−+，故D项正确；故

选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.等比数列na的公比为q，则其前n项和为()111nnaqSq−=−B.已知na等差数列，若mnpq+=+（其中*Nmnpq,,,），则mnpqaaaa+=+为C.若数列na的通项公式为()121nann=+，则其前n项和56nSD.

若数列na的首项为1，其前n项和为nS，且22122nnSaana=+++，则21nan=【答案】BC【解析】【分析】由等比数列前n项和公式可得当1q时，()111nnaqSq−=−才成立，即A错误；利用等差数列性质可知B正确，将数列

na通过放缩裂项求和即可求得56nS，即C正确；根据na和nS的关系式可求得其通项公式，可得D错误.【详解】对于A，当公比1q=时，公式()111nnaqSq−=−不成立，只有当1q时，该式才成立，所以A错误；对于B，设等差数列na的公差为

d，首项为1a，则可得()()()1111122mnaaamdandamnd+=+−++−=++−，()()()1111122pqaaapdaqdapqd+=+−++−=++−，当mnpq+=+时，可得mnpqaaaa+=+，所以B正确；对于C，易知()211122nannnn==++，当2n

时，()221122221111112nannnnnnnn===−+−−−，所以可得1231111616111121513251131222nnSannnnaa=+++++−+−−=+−=−+−，即可得C正确；对于D，由

22122nnSaana=+++可得()22112121,2nnSaanan−−=+++−；两式相减可得21nnnSSna−−=，即2nnana=，可得0,2nan=，所以1,10,2nnan==，即D错误.故选：BC11.下列说法中

错误的有（）A.已知()1,2a=r，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B.已知向量()12,3e=−，213,24e=−，则12,ee不能作为平面的一个基底C.若0a，abac=，则bc=D.O是ABC所在平面

内一点，且满足0ABCABACBCABCOAOBOCABCABACBCABC+=+=+=，则O是ABC的内心【答案】AC【解析】【分析】由向量夹角为锐角，

根据数量关系即可求得A选项，由平面向量基本定理以及向量数量积的运算法则即可判断BC选项，由已知条件可以判断出点O在角平分线上，故可以判断出结论.【详解】对A选项，()1,2a=r，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，且a与ab+不共线，(1,2)ab+=++，则12(2)

0+++且2(1)2++，解得53−且0.故A选项错误；对B选项，124ee=，则12,ee不能作为平面的一个基底，故B选项正确；对C选项，因为向量,cos,cos,abacababacac==，所以不一定满足bc=，故C选项错误.

对D选项，因为0ABCABACBCABCOAOBOCABCABACBCABC+=+=+=，由0ABCAOAABCA+=可知，OA垂直与角A的外角平分线，所以点O在角A的平分线上，同理点O在角B的

平分线上，点O在角C的平分线上，所以O是ABC的内心.故D选项正确.故选：AC12.如图，已知矩形ABCD中，2AB=，3BC=.点E为线段CD上一动点（不与点D重合），将ADEV沿AE向上翻折到APEV，连接PB，PC

.设()02DExx=，二面角PAEB−−的大小为()0π，则下列说法正确的有（）A.若1x=，π2=，则3cos4PAB=B.若1x=，则存在，使得PB⊥平面PAEC.若32x=，则直线PB与平面ABC所成角的正切值的最大值为34D.点A到平面PBC的距离

的最大值为3，当且仅当2x=且3cos4=时取得该最大值【答案】AD【解析】【分析】根据翻折前后的几何关系，利用面面垂直的性质定理，结合余弦定理求解选项A；利用线面垂直的判定定理、性质定理判断选项B；利用翻折前后的几何关系，结合线面角的定义求

解选项C；利用几何关系，以及线面垂直的性质定理、判定定理求解选项D.【详解】对A，取AE中点M，连接BM，PM，BE,则有222BECEBC=+=,且2AB=，所以BMAE⊥，又平面PAE⊥平面ABE，平面PAE平面ABEAE=，BM平面ABE,所以BM⊥平面PAE，PM平面PAE，故BMPM

⊥，3BM=，在直角三角形APE中，1131122PMAE==+=，所以()22312BP=+=，在ABP中，由余弦定理得：()2222323cos4223PAB+−==，A正确；对B，同选项A，知BMAE⊥，若PB⊥平面PAE，且

AE平面PAE,则PBAE⊥，且,,PBBMBPBBM=I平面PBM，所以⊥AE平面PBM，PM平面PBM，所以AEPM⊥，显然矛盾，B错误；对C，连接BD交AE于点F,因为几何关系可知，EDFABF:△△,所以34EFDFEDAFBFAB=

==,又因为921437,342BDAE=+==+=,所以3373321,,77714DFBDEFAE====所以222DFEFDE+=,即BDAE⊥，则AEDF⊥，AEPF⊥，,,DFPFFDFPF=I平面BDP,所以⊥AE平面BD

P，AE平面ABE，所以平面BDP⊥平面ABE，故所求线面角为PBD.又点P在以F为圆心，PF为半径的圆上，从而当直线PB与圆F相切时，PBD最大，故max3sin4PFDEPBDBFAB===，从而max7tan4PBD=，C错误；对D,点A到平面PBC的距离3AP=，等号成立当且

仅当AP⊥平面PBC，因为,BPBC平面PBC，所以,APBPAPBC⊥⊥,从而1BP=，且矩形ABCD中，,,,BCABABPBBABPB⊥=I平面PAB,所以BC⊥平面PAB，过P作PHAB⊥于点H.连接DH

，在直角三角形PAB中，由等面积法可得，PAPBABPH=,所以32PH=,所以2232AHAPPH=−=，因为以BC⊥平面PAB，PH平面PAB，PHBC⊥,,,ABBCBABBC=平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，由翻折知AEDH⊥，故DCADADAH=，

解得2DC=，即2x=.又由二面角的面积射影知：3cos4AHEAHCAHCAPEAPCADCSSSAHSSSAB=====△△△△△△,D正确；故选:AD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用翻折前后的几何关系，结合直线与平面、平面与平面的判定定理

、性质定理证明相应的结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等比数列na中，21a=，83a=，则5a=______________.【答案】3【解析】【分析】利用等比数列定义即可求得33q=，代入计算可得53a=.【详解】根据题意可得设等比数列na的公

比为q，则易知682aaq=，可得63q=，即33q=；而3523aaq==.故答案为：314.已知0π，ππ2，且1cos7=，()1cos3+=−，则cos=_____________.

【答案】18621−−【解析】【分析】先通过角所在象限求出()sin,sin+，再利用()coscos=+−展开计算即可.【详解】12π0π,coscos724==,2ππ43,sin1

cos427=−=,ππππ,422，3π3π42+，又()1cos3+=−当3ππ4+时，()21cos2−+−，121,32−−−，当3ππ2

+时，()1cos0−+，()11,03−−，()()222sin1cos3+=−−+=−，()()()coscoscoscossinsin=+−=+++1

12243186373721−−=−+−=.故答案为：18621−−.15.已知向量a，b，2a=，5b=，a与b的夹角为2π3，则axb+的值最小时，实数x的值为____________.【答案】15##0.2【解析】【分析

】根据向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】2222212425225251042axbaxbxabxxxx+=++=++−=−+，由于221251042535xxx−+=−+，故当15x=时，此时225104axbxx+=−+取最小值3，故答案为：1

516.已知函数()32fx+为奇函数，()fx的函数图象关于yx=对称，且当12x时，()πsin2fxx=，则72f=______________.【答案】53−##213−【解析】【分析】根据函数的对称性可得()fx关于点()2,

0对称，进而根据点1,2m关于yx=的对称点为1,2m，将1,2m代入()πsin2fxx=即可求解.【详解】由()()3322fxfx−=−+，用x替换3x可得：()()22f

xfx−=−+，所以()fx关于点()2,0对称，故7122ff=−，设12fm=，由于()fx关于yx=对称，又当12x时，()πsin2fxx=，由于点1,2m关于yx=的对称点为

1,2m，则1,2m在()πsin2fxx=上，故()()π1sin1222fmmm==，所以π5π26m=，解得53m=，故7523f=−.故答案为：53−四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知

向量()2cos,2sinaxx=，()2,3cosbx=，函数()fxab=.（1）求()fx的解析式和单调递增区间；（2）若()fx是()fx的导函数，()()()1fxgxfx=−，ππ,63x，求函数()gx的值域.【答案】（1）()π12sin26fxx=++

，()πππ,π36kkkZ骣琪-++?琪桫（2）()23,0−【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先求出()fx，即可得到()gx的解析式，再根据正切函数的性质计算可得.【小问1详解】因为

()2cos,2sinaxx=，()2,3cosbx=且()fxab=，所以()22cos3sin2cos23sin21xxfxxx=+=++13π2cos2sin2112sin2226xxx=++=++

，令πππ2π22π262kxk-+<+<+，()kZ，解得ππππ36kxk−++，()kZ，则函数()fx的单调增区间为()πππ,π36kkkZ骣琪-++?琪桫；【小问2详解】∵()π12sin26fxx

=++，∴()π4cos26fxx=+，∴()()()π2cos26π1sin26xfxgxfxx+==−+，而ππ,63x，则ππ5π2266x+，所以πcos206x+，∴(

)2πtan26gxx=+，由ππ5π2266x+得π3tan263x+−，即2230πtan26x−+.则函数()gx的值域为()23,0−.18.已知各项为正的数列na的首项为

2，26a=，22211122nnnnnnnnaaaaaaaa+++++−=−−.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列na的前n项和nS，求数列28nnSa+−（其中*Nn）前n项和的最小值.【答案】（1）42nan=−（2）最小值为-38【解析】【分析】

（1）将原式进行因式分解，结合正项数列以及等差数列的概念及通项公式可解；（2）首先求出28nnSa+−的表达式，再结合二次函数的性质可得28nnSa+−前n项和的最小值.【小问1详解】因为22211122nnnnnnnnaaaaaaaa+++++−=

−−，所以有()()12120nnnnnaaaaa+++++−=，而0na，∴10nnaa++，所以2120nnnaaa+++−=，则211121nnnnnnaaaaaaaa+++−−=−=−==−，又∵12a=，26a=，∴214aa−=，由等差数列定义知数列na是以

2为首项，4为公差的等差数列.∴数列na的通项公式为42nan=−.【小问2详解】由（1）有2(1)=2+4=22nnnSnn−，∴()()2282430253nnSannnn+−=+−=+−，令280nnSa+−，有4,5,6,

n=；280nnSa+−，有1,2n=；280nnSa+−=，有3n=.所以28nnSa+−前n项和的最小值为()()()()215132252338+−++−=−，当且仅当2,3n=时取到.19.如图，在五面体ABCDEF中，面AD

E⊥面ABCD，90ADC=，EFP面ABCD，2AEDEDC===，1EF=，3AB=，二面角ADCF−−的平面角为45.（1）求证：CD∥面ABFE；（2）点P在线段AE上，且2APPE=，求二面角PFCB−−的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见

解析（2）1442−【解析】【分析】（1）先通过线面平行的性质得CDEF∥，进而根据线面平行的判定得结论；（2）取AD中点O，BC中点M，连结OE，OM，通过证明OA，OM，OE两两垂直来建立空间直角坐标系，然

后利用向量法求解面面角.【小问1详解】∵EFP面ABCD，又EF面CDEF，面ABCD面CDEFCD=，∴CDEF∥.又CD面ABFE，EF面ABFE，∴CD∥面ABFE；【小问2详解】取AD中点O，BC中点M，连结OE

，OM.∵面ADE⊥面ABCD，交线为AD，CD面ABCD，90ADC=，∴CD⊥面ADE∴ADE是二面角ADCF−−的平面角.即45ADE=.∵EFP面ABCD，又EF面ABFE，面ABCD面ABFEAB=，

∴ABEF∥.∴CDAB∥.又ABCD，∴四边形ABCD是梯形.∴OM是梯形ABCD的中位线.∴OMCD∥.∴OM⊥面ADE.∵AEDE=，O是AD中点，∴OEAD⊥.以O为原点，OA，OM，OE为轴如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则()2,0,0A，()2,3,0B，()2,

0,0D−，()2,2,0C−，()0,0,2E，()0,1,2F，()2,0,2AE=−，()22,1,0CB=，()2,1,2CF=−，()2,1,2FA=−−，由23APAE=，()()2222,1,22,0,2,1,333FPFAAP=+=−−+−=−−

.设面PCF的一个法向量为()111,,mxyz=，由mFP⊥，mCF⊥，得1111112320220xyzxyz−−=−+=，取12y=，得12x=，11z=−，∴()2,2,1m=−.设

面BCF的一个法向量为()222,,xnyz=，由nCB⊥，nCF⊥，得22222220220xyxyz+=−+=，取222y=，得21x=−，23z=，∴()1,22,3n=−.∴24314cos,42718mn

−+−==−∴二面角PFCB−−的平面角的余弦值为1442−.20.已知ABC内角A、B、C的对边为a、b、c（其中bc），若3coscos2cosbAaBbcA+=+.（1）求角A的大小；（2）若点D是边BC上的一点，3a=，2DCBD

=，求AD的最大值.【答案】（1）60A=（2）max13AD=+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可求解1cos2A=，进而可求解，（2）根据余弦定理可得222326ADABAC=+−，进而根据正弦定理得()()2228sin4sin241cos2

21cos22AD=+−=−+−−，根据二倍角公式以及和差角公式，结合三角函数性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理得3sincossincossin2sincosBAABBCA+=+，2sincossinsi

n2sincosBACBCA+=+，即有()()2cos1sinsin0ABC−−=，∵bc，∴sinsinBC，则1cos2A=，而0180A，∴60A=.【小问2详解】由余弦定理有2222cosABADBDADBDADB=+−；222

2cosACADDCADDCADC=+−，而3BC=，2DCBD=，∴1BD=，2DC=，又180ADBADC+=，所以222326ADABAC=+−.又由（1）∴60A=，3BC=，设ACD=，ABC=，则由正弦定

理有23sinAB=，23sinAC=，且120+=，所以()()2228sin4sin241cos221cos22AD=+−=−+−−()4cos22cos244cos22cos24024=−−+=−−−

+()()4cos22cos1202423sin2604234=−−++=−++，故max13AD=+，当75ACD=时取到.21.王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年

积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.

20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）（1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定

乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；的（2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天

他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求()EX；（3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始

，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天

他都会乘坐地铁去学校.记nP为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求nP的通项公式.【答案】（1）0.15（2）()10553225EX=−（3）1225757nnP−=−+【解析】【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X可取1，

2，3，…，9，10，由题：对于()*19Nkk，()12355kPXk−==；()93105PX==，即可求出数学期望；(3)由题意：11P=，()1321155nnnnPPPP+=+−=−+，由递推关系求出数列的通项.【小问1详解】记事件A=

“硬币正面向上”，事件B=“7：40-7：45到校”则由题有()0.5PA=，()0.2PBA=，()0.1PBA=，故()()()()()0.50.20.50.10.15PBPAPBAPAPBA=+=+=.【小问2详解】X可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19Nkk，(

)12355kPXk−==；()93105PX==，故()2892232323312391055555555EX=+++++，()2891032323232331289105555

555555EX=+++++，以上两式相减得：()28922232323235555555555EX=+++

++，故()1028910313333553513555522515EX−=+++++==−−.所以()10553225EX=−.【小问3详解】由题意：11P=，()1

321155nnnnPPPP+=+−=−+，则1525757nnPP+−=−−，这说明57nP−为以15277P−=为首项，25−为公比的等比数列.故1522775nnP−−=−，所以1225757nnP−=−+.2

2.已知()()12e1xfxax−=−，其中0a.（1）求()fx在1x=处的切线方程；（2）若()310fxxxa+−在1,2+上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）220axya+−=（2）(0,1【解析】【分析】（1）由导数的几何意义可得；（2）先

取特殊值得不等式恒成立的必要条件，再证明充分性.利用1e1x−−与1x−的符号一致性，利用放缩法将不等式转化为三次不等式的证明，再利用主元变换，以a为主元转化为二次不等式的证明即可.【小问1详解】()()()1112e12e2e2xxxfxaxaax−−−=−−

=−故()12fa=−，又()10f=，故()fx在()1,0处的切线方程为：()021yax−=−−，即：220axya+−=；【小问2详解】一方面，由()310fxxxa+−在1,2+上恒成立，则当1x=，

有11(1)110faa+−=−，解得01a.另一方面，我们证明若01a，()310fxxxa+−在1,2x+上恒成立.注意到当0a时，由10x−1e10x−−，10

x−=1e10x−−=，10x−1e10x−−，则有()()()()12121e10xfxaxax−−−=−−恒成立，即()()21fxax−恒成立，故只需证()31210axxxa−+−

，其中(0,1a，1,2x+只需证()23210axxax−+−，将上式左边看作关于a的函数，令()()2321gaxaxax=−−+，下面证明：当(0,1a，1,2x+时，(

)0ga.①若1x=，则()10gaa=−成立；②若1x，此时()300gx=，()()()()23121120gxxxxx=−−+=−+.又()ga为关于a的开口向下的二次函数，(0,1a，故()()()

minmin0,10gagg，③若112x，此时()ga为关于a的开口向上的二次函数，对称轴为()41xax=−（i）若对称轴()141xx−，又112x，解得415x，此时()ga在(0,1a单调递减，所以()()min1gag=，又由②知()()()212(1)1

,0gxxg=−+，所以()()min10gag=（ii）若对称轴()141xx−，又112x，解得1425x，则有130210x−，注意到此时()()2321gaxaxax=−−+对应的判别式()()22322211818818028xxxxxxxx=−−=−+=

−−故此时()0ga恒成立.综上，当(0,1a，1,2x+时，()0ga.故a的取值范围为(0,1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com