【文档说明】重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.691 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第八中学高2024届高三下学期强化考试（四）数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合11,,,3663nnMxxnZNxxnZ==+==+，则下列关系正确的是（）A.MNB.

MN=C.NMD.MNZ=【答案】C【解析】【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.【详解】221,,,66nnMxxnNxxn++====ZZ，2n+表示整数，21n+表示奇数，

故NM，故A错误，B错误，C正确，而MN中的元素有分数，故D错误.故选：C．2.已知函数2()lg(45)fxxx=−−在(,)a+上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,)+B.[2,)+C.(5,)+D.

[5,)+【答案】D【解析】【分析】首先求出𝑓(𝑥)的定义域，然后求出2()lg(45)fxxx=−−的单调递增区间即可.【详解】由2450xx−−得5x或1x−所以𝑓(𝑥)的定义域为(),1(5,)−−

+因为245yxx=−−在(5,)+上单调递增所以2()lg(45)fxxx=−−在(5,)+上单调递增所以5a故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.3.假设,AB是两个事件，且()()0,0P

APB，则下列结论一定成立的是（）A.()()PABPBA∣B.()()()PABPAPB=C.()()PBAPAB=∣∣D.()()PBPBA=∣【答案】A【解析】【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.【

详解】对于A选项，由()()()PABPBAPA=，()01PA，可知()()PABPBA，故A正确；对于B选项，()()()PABPAPB=成立的条件为,AB是两个独立事件，故B错误；对于C选项，由()()()PABPBAPA=，(

)()()PABPABPB=，故当()()PAPB=时才有()()PBAPAB=，故C错误；对于D选项，若要()()()()PABPBPBAPA==成立，需要()()()PABPAPB=，即()()PBPBA=∣成立的条件为,AB是两个独立事件，故D错误.故选：

A．4.已知非零向量,,abc满足0abc++=，且1,2ab==，若a与b的夹角为75，则a与c的夹角为（）A.60oB.120C.135D.150【答案】C【解析】【分析】首先求出622c+=，进一步求得132

ac+=−，结合向量夹角公式即可求解.【详解】由题意abc+=−，所以()()21212cos30452ccab=−=+=+++2318436232222242++=+−==，注意到acb+=−，两边平方得2621222ac+++=

，解得843113422ac+−+==−，a与c的夹角的余弦值为1322cos,2262acacac+−===−+，注意到,0,πac，所以,135ac=.故选：C.5.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球所有取法可由(

)()11ab++的展开式1abab+++表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的

所有取法的是（）A.()()()2233111aaabc+++++B.()()()2323111abbbc+++++C.()()()3232111abbbc+++++D.()()()332111abcc++++【答案】A【解析】的【分析】分三步处理问题，

分别表示出取红球、篮球、黑球的表达式，相乘即可求得.【详解】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，则有231aaa+++；第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，只有31b+；第三步，从2

个有区别的黑球中取出若干个，则有()()()2111ccc++=+.根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：()()()2233111aaabc+++++.故选：A.6.设12log11a=，13log12b=，0.12log0.11c=，则（

）A.<<cabB.<<bcaC.bacD.abc【答案】D【解析】【分析】由对数函数性质知01a，0ba，1c，然后由基本不等式证明2lg11lg13(lg12)，再用作差法比较,ab大小后可得．【详解】由对

数函数性质知121212log1log11log12，即01a，同理01b，又0.120.12log0.11log0.12，即1c，2222lg11lg13lg143lg144lg11lg13()()()lg12222+==，所以(

)2lg11lg13lg12lg11lg120lg12lg13lg12lg13ab−−=−=，即ab，综上abc，故选：D．7.圆台上、下底面半径分别为,rR，作平行于底面的平面将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半

径为（）.A.32rR+B.3332rR+C.2232rRrR+D.2232rR+【答案】B【解析】【分析】设截面半径为x，上，下圆台的高分别为1h，2h，上，下圆台的体积分别为12,VV，则12hxrhRx−=

−，而21VV=，利用圆台体积公式建立方程，化简求解即可得到答案．【详解】设截面半径为x，上、下圆台的高分别为1h，2h，上，下圆台的体积分别为12,VV，则12hxrhRx−=−，又21VV=，则()()22222

111ππππππ33RxRxhxrrxh++=++，于是221222hRxRxxrxrxrhRx++−==++−，则3333Rxxr−=−，得3332xRr=+，故3332rRx+=.故选：B．8.设直线:10lxy+−

=，一束光线从原点O出发沿射线()0ykxx=≥向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若136MN=，则k的值为（）A.32B.23C.12D.13【答案】B【解析】【分析】根据光学的性质，根据

对称性可先求O关于直线l的对称点A，后求直线AP，可得M、N两点坐标，进而由136MN=可得k.【详解】如图，设点O关于直线l的对称点为()11,Axy，则()1111102211xyyx+−=

−=−得1111xy==，即()1,1A，由题意知()0ykxx=与直线l不平行，故1k−，由10ykxxy=+−=，得111xkkyk=+=+，即1,11kPkk

++，故直线AP的斜率为111111APkkkkk−++==−，直线AP的直线方程为：()111yxk−=−，令0y=得1xk=−，故()1,0Mk−，令0x=得11yk=−，故由对称性可得10,1Nk−，由136MN=得22113(1)13

6kk−+−=，即21113236kkkk+−+=，解得1136kk+=，得23k=或32k=，若32k=，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件．故23k=，故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设na是公比为q的无穷等比数列，下列关于na的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（）（注：其中n为大

于1的整数，nS为na的前n项和．）A.1S与2SB.2a与3SC.1a与naD.q与na【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据1S与2S可知21aqa=为唯一定值；对于B：根据题意可得232110Sqqa+−+=，结合一元二次方程分析判断；对于CD

：结合等比数列的通项公式分析判断.【详解】对于选项A：已知1S与2S，则11221aSaSS==−，可知21aqa=为唯一定值，即1S与2S为基本量，故A正确；对于选项B：已知2a与3S，则()212311aaqSaqq

==++，整理得232110Sqqa+−+=，令232140Sa=−−=，解得321Sa=−或323Sa=，当且仅当321Sa=−或323Sa=，关于q的方程232110Sqqa+−+=有唯一解，可知2a

与3S不为基本量，故B错误；对于选项C：已知1a与na：因为11nnaaq−=，虽然已知1a，也不能确定唯一的q值，例如131,4==aa，可知2q=，所以1a与na不为基本量，故C错误；对于选项D：已知q与na：则11nnaaq−=，则1a唯一确定，所以q

与na为基本量，故D正确；故选：AD.10.如图，角，()0π的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为AB的中点，则下列说法中正确的是（）A.N点的坐标为cos,sin22−

−B.cos2OM−=C.()1coscoscoscos222+−+=D.若+的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则CTARBS+【答案】BCD【解

析】【分析】利用三角函数定义可求得N点的坐标为cos,sin22++，可知A错误；易知||||coscos22OMOA−−==，B正确；求得M点横坐标coscos22Mx−+=，再利用中点坐标公式可得C正确；分别表示出各

线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确.【详解】由N为AB的中点，则122AONBONAOB−===，可得22xON−+=+=，由三角函数定义可得N点的坐标为cos,sin22++，故A错误；由OMAB⊥，可得||||co

scos22OMOA−−==，故B正确；易知coscoscos22MxOMxOM−+==，又因为(cos,sin)A，(cos,sin)B，M为线段AB的中点，则coscossinsin,22M++，所以1(coscos)coscoscoscos222

22−++−+==，故C正确；由0π易知线段sinAR=，sinBS=，则sinsincoscossin1sin1sins(insin)CT=+=+

+=+，所以CTARBS+，故D正确，故选：BCD．11.P为椭圆2222:1(0)xyabab+=上一点，12,FF为的左、右焦点，延长1PF，2PF交于A，B两点、在12PFF中，记12PFF=，21PFF=，若()sinsin2sin

+=+，则下列说法中正确的是（）A.12PFF面积的最大值为2bB.的离心率为12C.若12PFF与12AFF△的内切圆半径之比为3：1，则PAl的斜率为1D.1212||||6||||PFPFFAFB+=【答案】ACD【解析】【分析】在12PFF中由正弦定理结合条件可得

出e的值，由面积公式可判断面积的最值，设:PAlxmyc=−与椭圆方程联立得出韦达定理，利用等面积法结合韦达定理可判断选项C，作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，1F在左准线上的投影，设111PFFA=，222PFFB

=，利用椭圆的第二定义可判断选项D.【详解】如图，在12PFF中，由正弦定理，2112sinsinsin()PFPFFF==−−，则1212sinsinsin()PFPFFF+=++，即22sinsinsin()ac=++，所以sin()2sinsi

n2cea+===+，由()2222222bacccc=−=−=所以bc=，则12212||2PFFPScybbc==△，则12PFFS最大值为2b，故A正确，B错误；由题意可得，PAl的斜率不为0，设:PAlxmyc=

−，联立方程222222,0,xmycbxayab=−+−=得222222222()20bmaymcbybcab+−+−=，0恒成立，22222APmcbyybma+=+，4222APbyybma−=+，设12PFF

与12AFF△的内切圆半径分别为1r，2r，因为121112||(22)22PFFpScyacr==+△，122112(22)22AFFAScyacr==+，所以123PPAAryyryy==−=，即3pAyy=−，222222ApAmcbyyybma+=−=+，2222Amc

bybma=−+，22223pmcbybma=+，所以()422422222223Apbmcbyybmabma−==−++，即2222231mcbma=+，222222132aamcbc===−，所以1PAk=，C

正确；作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，1F在左准线上的投影，设111PFFA=，222PFFB=，11PFAFceaPDAE===，所以1PFPDe=，111AFPFAEee==，则21111121111111PFacPFPDGFPDGFPFaececPFPFFAGFE

Aaaeccce−−−−+====−−−−−∣∣-∣∣∣∣，得1121PFaec=−−，同理可得2221PFaec=−−，所以2121222()42()2(1)2261PFPFaaece

aecaecaece++++=−=−===−−−−，故D正确，故选：ACD．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线()2ln2fxmxx=+存在垂直于y轴的切线，则实数m的取值范围是____.【答案】(),0

−【解析】【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解.【详解】()()2122,02fxmxmxxxx=+=+，由题意曲线()2ln2fxmxx=+存在垂直于y轴的切线，所以120mxx+=在()0,+上有解，即212mx=−在()0,+上有解，而212yx=−在()

0,+上的值域为(),0−，则实数m的取值范围是(),0−.故答案为：(),0−.13.已知复数12,zz满足12123,25izzzz==+=−，则12zz−=______.【答案】33【解

析】【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知3ab==，()2,5ab+=−，求ab−.【详解】原题等价于3ab==，()2,5ab+=−，求ab−.222222292936ababab++−=+=+=，2||459ab+=+=，2||36927ab−=−=，33ab

−=.故答案为：33.14.已知二面角l−−为60º，AB，ABl⊥，A为垂足，CD，Cl，135ACD=，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______________.【答案】24【解析】【分析】首先作出二面角的平面角,然后再

构造出异面直线AB与CD所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案.【详解】如图所示:过D作DE⊥于E,DFl⊥于F,再过E作l的平行线与过C作l的垂线交于G,连接,EFDG,则DFE为二面角l−−的平面角,易知四边形EFCG为矩形.由ABl⊥知////ABEFCG,所以

DCG为AB与CD所成的角,设1EF=,因为DFE60=,则2,1DFCG==,又由条件知18013545DCF=−=,且DFl⊥,所以在Rt△DCF中,22DC=,所以在Rt△DCG中,12cos422CGDCGDC===.故答案为:24.【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面

角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()22cos2cos3,ACBbac−+==.求B与A.【答

案】ππ,33BA==【解析】【分析】由三角恒等变换以及正弦定理得3sin2B=，对B分类讨论即可得解.【详解】()()()2cos2cos2cos2cosπACBACB−+=−−−()()2cos2cosACAC=−−+()()2coscossinsin2cos

cossinsinACACACAC=+−−4sinsin3AC==，因为2bac=，所以23sinsinsin4BAC==，因为()0,πB，sin0B，所以3sin2B=，所以π3B=或2π3B=，当π3B=时，()12cos232AC−+

=，即()cos1AC−=，因为2π0,3A，所以2π2π2π2π2,3333ACAAA−=−−=−−，所以0AC−=，所以此时π3BAC===；当2π3B=时，()12cos232AC−+−=

，即()cos21AC−=，这与()cos1AC−矛盾，故2π3B=是不可能的，综上所述，满足题意的,BA为ππ,33BA==.16.一个盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性相等，用X表

示取出的3张卡片中的最大数字.（1）求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;（2）求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）130（2）133【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）X的所有可能取值为2,3,4,5，算出

对应的概率即可得分布列，进一步结合数学期望公式求解期望即可.【小问1详解】记抽取的3张卡片标有的数字为123,,Aaaa=，随机变量Y表示一次取出的3张卡片中的数字之和，则31iiYa==，令5Y

，结合题设，当1,1,2A=时，Y最小，且此时4Y=，当1,2,2A=时，Y最大，且此时5Y=，所求概率为21122222310CCCC221C12030P++===；【小问2详解】由题意记123max,,Xaaa=，则X的所有可能取值为2,3,

4,5，当2X=时，对应的A可能是：{}1,1,2，1,2,2，当3X=时，对应的A可能是：1,2,3，1,1,3，2,2,3，1,3,3，2,3,3当4X=时，对应的A可能是：1,1,4，

2,2,4，3,3,4，1,4,4，2,4,4，3,4,4，1,2,4,1,3,4,2,3,4，当5X=时，对应A可能是：1,1,5，2,2,5，3,3,5，4,4,5，1,5,5，2,

5,5，3,5,5，4,5,5,1,2,5,1,3,5，1,4,5，2,3,5，2,4,5，3,4,5，所有()21223102CC412C12030PX====，()1111222222310C

CC4CC8823C12015PX++====，()11112222223103CCC6CC241234C12010PX++====，()11112222223106CCC8CC481685C12015PX++====，所以随机变量X的分布列为：Xk=2345()PXk=130

215310815所以随机变量X的数学期望为()1238132345301510153EX=+++=.17.如图，在三棱锥PABC−中，6,22,2,,,,PBPCBCABABBCBPAPBC====⊥的中点分别为30,,,2DEOAD=，点F在AC上

，BFAO⊥.（1）证明://EF平面ADO；（2）证明:AO⊥平面BEF；（3）求二面角DAOC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）22−【解析】的【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）

的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答.（3）求出平面ADO与平面ACO法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】连接,DEOF，设AFtAC=，则()(1)BFBAAFBAtABBCtBAtBC=+=++=−+，12AOBAB

C=−+，因为BFAO⊥，ABBC⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BFAOtBAtBCBABCtBAtBCtt=−+−+=−+=−+=，解得12t=，则F为AC的中点，由,,,DEOF分别为,,,PBPABCAC的中点，于是11//,,//,22DEABDEAB

OFABOFAB==，即,//DEOFDEOF=，则四边形ODEF为平行四边形，所以//EFDO，又EF平面,ADODO平面ADO，所以//EF平面ADO；【小问2详解】因为,DO分别为,BPBC中点，

所以1//,2DOPCDOPC=，因为6PC=，所以62DO=，因为122BOBC==，2AB=，ABBO⊥，所以6AO=，的因为302AD=，所以222AOODAD+=，即AOOD⊥，因为//DOEF，所以AOEF⊥，又因为,,,AOBFEFBFFEFBF⊥=

平面BEF，所以AO⊥平面BEF；【小问3详解】因为ABBC⊥，过点B作z轴⊥平面BAC，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()2,0,0,,0,0,0,0,22,0,0,2,0ABCO，在BDA△中，2223154122cos

266222DBABDAPBADBAB+−+−===−，在PBA△中，22212cos64262146PAPBABPBABPBA=+−=+−−=，设(),,Pxyz，所以由1466PAPBPC===

可得：()()2222222222146226xyzxyzxyz−++=++=+−+=，可得：1,2,3xyz=−==，所以()1,2,3P−，则123,,222D−，所以123,,222E，()1,2,0F，()5232

,2,0,,,222AOAD=−=−设平面ADO的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1100nAOnAD==，得111112205230222xyxyz−+=−++=，令11x=，则

112,3yz==，所以()11,2,3n=，平面ACO的法向量为()30,0,1n=，所以13131332cos,2123nnnnnn===++，因为DAOC−−为钝角，故二面角DAOC−−的余弦值为22−.18.设函数()()()11,1xfxccxc=

+−+−且0c，设*,Nmn.（1）证明:函数()fx在区间(0,1)上存在唯一的极小值点；（2）证明:()11mccm++；（3）已知6n且11132nn−+，证明:()()34523nnnnnnn++++++.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3）证明

过程见解析【解析】【分析】（1）注意到总是有()()()l1n1xfxccc=++−在()0,1上单调递增，故只需证明()()()()()0ln10,11ln10fccfccc=+−=++−（对c进行分类讨论）即可；（2）由（1）中结论证明()fx在)1,+

上单调递增即可，从而由()()10fmf=即可得证；（3）原问题等价于3421333nnnnnnn+++++++，只需得到101133kknn−−++，然后结合

已知进行放缩即可得证.【小问1详解】()()()l1n1xfxccc=++−，当10c−时，011c+，()ln10c+，所以()fx在()0,1上单调递增，要证函数()fx在区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln10,11ln

10fccfccc=+−=++−，我们构造函数()()()()()()ln1,1ln1,10gccchccccc=+−=++−−，()()110,1011cgcccc−=−=−++，()

()()()ln111ln10,10hcccc=++−=+−，所以()gc()1,0−上单调递增，()hc在()1,0−上单调递减，所以()()00gcg=，()()00hch=，所以当10c−时，()fx在()0,1上单调递增

，()()()()()0ln10,11ln10fccfccc=+−=++−，所以存在唯一的()00,1x使得()00fx=，当()00,xx时，()0fx，当()0,1xx时，()0fx，此时()fx在

()00,x上单调递减，()fx在()0,1x上单调递增，()fx在()0,1上存在唯一极小值点0x；当0c时，11c+>，()ln10c+，所以()()()l1n1xfxccc=++−在()0,1上依然单调递增，要证函数()fx在

区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln10,11ln10fccfccc=+−=++−，我们构造函数()()()()()()ln1,1ln1,0gccchccccc=+−=++−，()(

)110,011cgcccc−=−=++，()()()()ln111ln10,0hcccc=++−=+，所以()gc在()0,+上单调递减，()hc在()0,+上单调递增，所以()()00gcg=，()()00hch=，所以当0c时，()fx在()

0,1上单调递增，()()()()()0ln10,11ln10fccfccc=+−=++−，所以存在唯一的()00,1x使得()00fx=，当()00,xx时，()0fx，当()0,1xx时，

()0fx，在此时()fx在()00,x上单调递减，()fx在()0,1x上单调递增，()fx在()0,1上存在唯一极小值点0x；根据上述分析可知，同理可证此时()fx在()0,1上存在唯一极小值点0x；综上所述，函数()fx在区间()0

,1上存在唯一极小值点；【小问2详解】由（1）中分析可知，()()()l1n1xfxccc=++−在()0,1上单调递增，所以当1x时，()()()()11ln10fxfccc=++−，所以()fx在)1,+上单调递增，注意到*Nm，所以()(

)()()0111mfccmfm=−++=，即()11mccm++，*Nm成立；【小问3详解】目标等价于3421333nnnnnnn+++++++，当6,n

mkn=时，在（2）中取()11,03cn=−−+，所以101133kknn−−++，于是()111111,1,2,,3332nknknkkknnnn−−=−=+++

，12121111111113332222nnnnnnnnn−+−++−+++=−+++，所以3421333nnnnnnn+

++++++，即()()34523nnnnnnn++++++.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()hx；（3）利用导数研究()hx的单调性或最值；的（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或

变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线()222210,0yxabab−=的上下焦点分别为()10,Fc，()20,Fc−.已知点(),5e和()0,2都在双曲线上，其中e为双曲线的离心率.（1）求双曲线的

方程;（2）设,AB是双曲线上位于y轴右方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P.(i)若122AFBF−=，求直线1AF的斜率；(ii)求证：12PFPF+是定值.【答案】（1）2212yx−=（2）(i)22；(ii)522【解析】【分析】（1）将点的坐标代入

双曲线的方程求解即可；（2）（I）构造平行四边形12FCFB，求出112AFCF−=，然后利用弦长公式求直线1AF的斜率即可；（II）利用三角形相似和双曲线的性质，将12PFPF+转化为1122211AFCF++，然后结合韦达定理求解即可.

【小问1详解】将点()0,2和(),5e代入双曲线方程得：22222251acaab=−=，结合222cab=+，化简得：222242abaa=−=，解得222,1ab==，双曲线的方程为2212yx−=．【小问

2详解】(i)设()()1122,,,,AxyBxyB关于原点对称点记为()33,Cxy，则3232,xxyy=−=−．因为112122122333,,FACFBFyyykkkxxx−++===，所以12CFBFkk=，又因为12//AFBF，所以12FABFkk=，即11FACFkk=，故1,

,AFC三点共线．又因为BC与12FF互相平分，所以四边形12FCFB为平行四边形，故12FCBF=，所以12112AFBFAFCF−=−=．由题意知，直线1AF斜率一定存在，设1AF的直线方程为3ykx=+，代入双曲线方程整理得：()2222310kxkx−++=，故313122231

,22kxxxxkk+=−=−−，直线1AF与双曲线上支有两个交点，所以1231020,xxk=−，解得2k．由弦长公式得()2222111313223111122kAFCFkxkxkxxkk−=+−+=++=+−=−，则422740kk+−=，且由图可知0

k，即()()222140kk−+=，代入解得22k=．(ii)因为12//AFBF，由相似三角形得1111222212PFAFBFAFBFPFBFAFAFBF=+=+，所以()()122111221212122222AFBFBFAFAFBFBFAFPFPF

AFBFAFBF+++++==++12112222221111AFBFAFCF=+=+++．因为()22221322211131321242211111112211112kkkxxAFCFxxxxkkkk−−−

−+=+===+++−．所以1225222222PFPF+=+=，故为定值．【点睛】关键点点睛：第二问(ii)的关键是将12PFPF+转化为1122211AFCF++，结合韦达定理即可顺利得解.