【文档说明】专题04 巧求二次函数解析式-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）.docx，共(13)页，86.370 KB，由管理员店铺上传

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专题04巧求二次函数解析式一．一般式（共2小题）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．答案详解:（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，得：

{0=𝑎+𝑏+3−1=4𝑎+2𝑏+3，解得：{𝑎=1𝑏=−4，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x

＝2．2．抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．答案详解:（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c得：{4=𝑐3=𝑎+𝑏+𝑐4=𝑎−𝑏+�

�，解得{𝑎=−12𝑏=−12𝑐=4，∴y=−12x2−12x+4．（2）∵y=−12（x+12）2+338，∴x＞−12时，y随x增大而减小，x=−12时y取最大值338，x＝4时y取最小值，把x＝4代入y=−12x2−12x+4得y=−12×4

2−12×4+4＝﹣6．∴﹣6＜y≤338．二．交点式（共2小题）3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．当x＝4时，y＝3．答案详解:设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（

x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3，当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，故答案为3．4．抛物线y＝x2+bx+c，经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，则这条抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，它的对

称轴为x＝1．答案详解:抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3，抛物线的对称轴为直线x=−−22×1=1．故答案为y＝x2﹣2x﹣3，直线x＝1．三．顶点式（共4小题）5．一个二次函数图象的顶点坐标是

（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4答案详解:设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，则抛物线表达式为y＝a（x﹣

2）2+4，将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．故选：C．6．顶点为（3，1），形状与函数y=13x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为y=−𝟏𝟑x

2+2x﹣2．答案详解:设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，∵形状与函数y=13x2的图象相同且开口方向相反，∴a=−13，把a=−13，顶点（3，1）代入得：y=−13（x﹣3）2+1=−13x2+2x﹣2，故答案为：y=−13x2+2x﹣2．7．已知一个二次函数的

图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．答案详解:图象顶点坐标为（2，3），可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，又

∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝4，∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．8．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4）

，且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．答案详解:（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解

得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在

该函数的图象上．四．特殊法：巧用对称性（共4小题）9．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：y＝2x2﹣16x﹣34（答案不唯一）．答案详

解:设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，则其对称轴为直线x=−𝑏2𝑎=4，∵顶点到x轴的距离为2，额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，∵−�

�2𝑎=4，即：2b+c＝±2，故满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，当2b+c＝2时，则{𝑎=2𝑏=−16𝑐=34，设a＝2，当2b+c＝﹣2时，则{𝑎=2𝑏=−16𝑐=30，故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．故

答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．10．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是y＝2x2﹣8x+6．．答案详解:设所求抛物线是y＝ax2+bx+c，

根据题意得，{𝑎+𝑏+𝑐=09𝑎+3𝑏+𝑐=0𝑐=6，解得{𝑎=2𝑏=−8𝑐=6，故所求函数解析式是y＝2x2﹣8x+6．故答案是y＝2x2﹣8x+6．11．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．（1）求函数图象的顶点坐标．（2）求函数

的解析式．答案详解:（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵二次函数的最小值为﹣3，∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）

2﹣3，解得：a＝1，∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．12．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：x…﹣10123…y…30﹣10m…（1）观察表可求得m的值为3；（2）请求出这个二次函

数的表达式．答案详解:（1）函数的对称轴为：x＝1，根据函数的对称轴知，m＝3，故答案为：3；（2）函数的顶点坐标为（1，﹣1），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣1，将（2，0）代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y

＝（x﹣1）2﹣1．五．灵活运用（共4小题）13．根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．答案详解:（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴设抛物线的解

析式为：y＝a（x+1）2﹣1，∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，∴﹣3＝a（0+1）2﹣1，解得a＝﹣2．∴抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣1，即y＝﹣2x2﹣4x﹣3．（2）∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2），∴抛物线的对称轴为直线

x＝3，∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），设抛物线的解析式为y＝k（x﹣1）（x﹣5），则﹣2＝k（3﹣1）（3﹣5）解得k=12，∴抛物线解析式为y=12（x﹣1）（x﹣5），即y=12x2﹣3x+52．14．根据条件求二次函数的解析式：（

1）抛物线过（﹣1，﹣6）、（0，﹣2）和（2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3；（3）抛物线过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5）三点．答案详解:（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得{𝑎−𝑏+𝑐=−6𝑐=−24𝑎+2𝑏+

𝑐=3，解得{𝑎=−12𝑏=72𝑐=−2，所以抛物线解析式为y=−12x2+72x﹣2；（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣1，把（0，﹣3）代入得a（0+1）2﹣1＝﹣3，解得a＝﹣2，所以抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣1；（3）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）

，把（1，﹣5）代入得a×（1+1）×（1﹣3）＝﹣5，解得a=54，所以抛物线解析式为y=54（x+1）（x﹣3），即y=54x2−52x−154．15．已知二次函数的图象经过（﹣1，1）、（2，1）两点，且与x轴仅有一个交点

，求二次函数的解析式．答案详解:∵二次函数的图象经过（﹣1，1）、（2，1）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=12，∵二次函数的图象与x轴仅有一个交点，∴顶点的纵坐标为0，∴抛物线的顶点坐标为（12，0），设抛物线解析式为y＝a

（x−12）2，把（2，1）代入得94a＝1，解得a=49，∴二次函数的解析式为y=49（x−12）2，即y=49x2−49x+19．16．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜𝑚3时

，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．答案详解:（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，解得：𝑎=15

，∴函数y的表达式y=15x2+45x+35；（2）∵抛物线得对称轴为直线x=4𝑎−2𝑎=−2，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵𝑥＜𝑚3时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴𝑚3≤−2，即m

≤﹣6；（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3①当a＞0时，开口向上∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴𝑎=38；②当a＜0时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，𝑎=38或a＝﹣3．

六．活用图像，巧求解析式（共4小题）17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，当y＜3时，直接写

出x的取值范围．答案详解:（1）根据题意得{𝑎−𝑏+𝑐=0𝑐=3−𝑏2𝑎=1，解得，{𝑎=−1𝑏=2𝑐=3．∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标（1，4）．（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）

2+4，解得，x1＝0或x2＝2，∵y＜3，∴x＜0或x＞2．18．如图，二次函数y=−12𝑥2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣4）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对

称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．答案详解:（1）把A（2，0）、B（0，﹣4）代入y=−12𝑥2+bx+c，得：{−12×22+2𝑏+𝑐=0𝑐=−4，解得{𝑏=3𝑐=−4，∴这个二次函数的解析式为y=−12𝑥2+3x﹣4．

（2）∵该抛物线对称轴为直线x=−32×(−12)=3，∴点C的坐标为（3，0），∴AC＝OC﹣OA＝3﹣2＝1，∴S△ABC=12×AC×OB=12×1×4＝2．19．如图，已知二次函数y=12x2﹣x+c的图象经过

点P（﹣3，6）．（1）求该二次函数的表达式．（2）求该二次函数图象的顶点坐标．（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范围．答案详解:（1）把点P（﹣3，6）代入y=12x2﹣x+c中，

得：6=12×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，解得：c=−32，∴该二次函数的表达式为y=12x2﹣x−32；（2）y=12x2﹣x−32=12（x﹣1）2﹣2，∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）；（3）∵点Q到y轴的距离小于3，∴|m|＜3，∴﹣3＜m＜3，∵x＝﹣3时，y=12x2﹣x−32=

12×（﹣3）2﹣（﹣3）−32=6，x＝3时，y=12x2﹣x−32=12×32﹣3−32=0，又∵顶点坐标为（1，﹣2），∴﹣3＜m＜3时，n≥﹣2，∴﹣2≤n＜6．20．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c

的图象经过A（2，0），B（0，﹣8）两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）当2≤x≤5时，函数在点C处取得最大值，在点D处取得最小值，求△BCD的面积．答案详解:（1）将（2，0），（0，﹣8）代入y＝﹣x2+bx+c，得{

−4+2𝑏+𝑐=0𝑐=−8，解得{𝑏=6𝑐=−8，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣8．（2）∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，∴当x＝3时，函数取得最大值，且最大值为1，∴C

（3，1）．当x＝5时，函数在2≤x≤5的范围内取得最小值，最小值为﹣3，∴D（5，﹣3）．如图，连接BC，CD，BD，过点C作CM⊥x轴，交BD于点M．设直线BD的表达式为y＝kx+b，将（0，﹣8），（5，﹣3）代入y＝kx+b，得{𝑏=−85𝑘+𝑏=−3，解得{𝑘=

1𝑏=−8，∴直线BD的表达式为y＝x﹣8．∵CM⊥x轴，∴点M的横坐标为3，将x＝3代入y＝x﹣8，得y＝﹣5，∴M（3，﹣5），∴CM＝6，∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=12×5×6=15．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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