【文档说明】重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.197 MB，由小赞的店铺上传

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重庆一中高2025届高二上期数学试题卷2023.9注意事项；1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试

用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.椭圆221925xy+=与椭圆()2219925xymmm+=−−的（）A.长轴相等B.短轴相等C.焦距相等D.长轴、短轴、焦距均不相等【答案】C【解析】【分析】分

别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断．【详解】椭圆221925xy+=即221259yx+=，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为22598−=；椭圆()2219925xymmm+=−−即221259yxmm+=−−，因为2590mm−−，则此椭圆的长轴长为225m−，短轴长

为29m−，焦距为()()22598mm−−−=,故两个椭圆焦距相等．故选：C．2.若方程221259xymm+=−+表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A.()9,25−B.()()9,88,25−C.()8,25D.()8,+【答案】B的【解析】

【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得m的取值范围.【详解】依题意，方程221259xymm+=−+表示椭圆，则25090925mmmm−++−，解得98m−或825m，即实数m的取值范围是()()9,88,25−.故选：B3.椭圆221

123xy+=的一个焦点为1F，点P在椭圆上且在第一象限，如果线段1PF的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）追A.34B.32C.22D.34【答案】A【解析】【分析】根据题意确定1F的位置，然后利用代入法进行求解即可

.【详解】由222222112,33123xyabcab+====−=，因为点P在椭圆上且在第一象限，如果线段1PF的中点M在y轴上，所以1F是左焦点，坐标为(3,0)−，设()(),0,0Pxyxy，因为线段1PF的中

点M在y轴上，所以3x=，代入椭圆方程221123xy+=中，得29311232yy+==，或32y=−舍去，因为线段1PF的中点是M，所以点M的纵坐标是34，故选：A4.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间

几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆()222210xyabab+=的蒙日圆方程为2222xyab+=+.若圆()()2239xyb−+−=与椭圆2213xy

+=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A.3B.4C.5D.25【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到蒙日圆的方程为224xy+=，结合圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意得，椭圆2213xy+=的蒙

日圆的半径1312r=+=，所以椭圆2213xy+=的蒙日圆的方程为：224xy+=，因为圆()()2239xyb−+−=与椭圆2213xy+=的蒙日圆有且仅有一个公共点，可得两圆外切，所以22323b+=+，解得4b=.故选：B.5.设1F、2F分别是椭圆

2214xy+=的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则12QFQF的最小值为（）A.2B.1C.1−D.2−【答案】D【解析】【分析】设点(),Qxy，则22x−，且2214xy=−，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得12QFQF的最小值.

【详解】在椭圆2214xy+=中，2a=，1b=，223cab=−=，则()13,0F−，()23,0F，设点(),Qxy，则22x−，且2214xy=−，则204x，所以，()13,QFxy=−−−，()

23,QFxy=−−，所以，()()()2222212333134xQFQFxxyxyx=−−−++−=+−=+−−2324x=−，所以当0x=时，12QFQF取最小值2−，故选：D6.已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为2223

xyy+=−+，直线l过点(1,0)且与直线10xy−+=垂直.若直线l与圆C交于AB、两点，则OAB的面积为A.1B.2C.2D.22【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵圆C的方程为2223xyy+=−+，即()2214xy++=，∴圆C的圆心为()0,1C−，

半径为2.∵直线l过点(1,0)且与直线10xy−+=垂直∴直线:10lxy+−=.∴圆心C到直线l的距离01122d−−==.∴直线l被圆C截得的弦长22224222ABrd=−=−=，又∵坐标原点O到AB的距离为001222d+−==，∴OAB的面积为112221222SAB

d===.考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=（其中512−=）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为22221(0)xyabab+=，，若以原点O为圆心，短轴长为直径作,OP为黄金椭圆上除顶

点外任意一点，过P作O的两条切线，切点分别为,AB，直线AB与,xy轴分别交于,MN两点，则2222||||baOMON+=（）A.1B.C.−D.1−【答案】A【解析】【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为()00,Px

y，从而得出四点所在圆的方程为()()000xxxyyy−+−=，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为()00,Pxy，则该圆的方程为：()()000xxxyyy−+−=，将两圆方程：222xyb+

=与22000xxxyyy−+−=相减，得切点所在直线方程为200:ABlxxyyb+=，解得2200,00,bbMNxy，，因为2200221xyab+=，所以2222222222200442244222200121=.||||151bxaybabaababbOM

ONbbbxy++=+=====−−故选：A8.设椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为F，椭圆C上的两点,AB关于原点对称，且满足0FAFB=，2FBFAFB，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A.20

,2B.25,23C.22,32D.2,12【答案】B【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F，连接AF，BF，利用椭圆对称性结合0FAFB=，推出2ABFFc==，设AF

n=，AFm=，推出22mnb=，继而令mtn=，推得2212cttb+=，从而求得,,abc的关系式，求得答案.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F，连接AF，BF，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0FAFB=，即FA⊥FB，所以四边形AFBF为矩形，

所以2ABFFc==，设AFn=，AFm=，在RtABF中，BFn=，2mna+=，2224mnc+=，可得22mnb=，所以22222mnmncnmmnb++==，令mtn=，得2212cttb+=．又2FBFAFB，得1,2mtn=，所以221252,2

cttb+=，所以2251,4cb，结合222cab=−，所以2241,92ba，所以2215,29ca轾Î犏犏臌，所以25,23ca轾犏Î犏臌，即椭圆C的离心率的取值范围为25,23

，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知P是椭圆22:143yxC+=上的一点，12,FF是椭圆C的两个焦点，则下列

结论正确的是（）A.椭圆C的短轴长为23B.12,FF的坐标为()()1,0,1,0−C.椭圆C的离心率为12D.存在点P，使得12π2FPF=【答案】AC【解析】【分析】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据,bc的大小关系可判断D的正误.【详解】椭圆

的焦点在y轴上，2,3,1abc===，则短轴长为223b=，A正确；12,FF坐标为()0,1，B错误；离心率为12cea==，C正确；因为bc，故以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆没有交点，故不存在点P，使得12π2FPF=，D错误，故选：AC.10.阿基米德在他的著

作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的面积为21π，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积的为

949−，记椭圆C的两个焦点分别为12,FF，则1PF的值不可能为（）A.4B.7C.10D.14【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出关于,,abc的方程，求得,,abc，然后由1acPFca−+即可得到结果.【详解】依题意，得2221949abba=

−=−，解得7,3ab==，则22210cab=−=，故172102107acPFca−=−+=+，故选：D．11.设点A，1F，2F的坐标分别为()1,1−，()1,0−，()1,0，动点(),Pxy满足：()()2222114xyxy+++−

+=，给出下列四个命题：①点P的轨迹方程为22143xy+=；②25PAPF+；③存在4个点P，使得1PAFV的面积为32；④11PAPF+.则正确命题的有（）A.①B.②C.③D.④【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义可得(),Pxy的轨迹为以1

2,FF为焦点的椭圆可判断①；结合椭圆的定义以及共线即可判断②④,由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④.【详解】对于①，由()()2222114xyxy+++−+=得121242AFAFFF+==,所以点P

的轨迹为以12,FF为焦点的椭圆，且2224ca==，，12ca==，，223bac=−=，故点(),Pxy的轨迹方程为22143xy+=，①正确；对于②④，当将=1x−代入椭圆方程中得11143+，所以点()1,1A−在

椭圆内，所以21122415PAPFPAaPFaAF+=+−+=+=，当且仅当P运动到1P即11PF与x轴垂直时等号成立，12224PAPFPAaPFPAPF+=+−=+−，由于22255PAPFAFPAPF−

−−，所以124451PAPFPAPF+=+−−，当且仅当P运动到2F时等号成立，故②错误④正确；对于③，11111222PAFhSAFhh===，其中h为点P到直线1AF的距离，若1322PAFhS==,3h=，由于当点P

为椭圆的右顶点时，此时h取最大值3，故满足条件的点P只有一个，③错误，故选：AD.12.已知()11,Pxy，()22,Qxy是椭圆229144xy+=上两个不同点，且满足121292xxyy+=−，则下列说法正确的是（）A.1122233233xyxy+−++−的最大值为625+B.1122

233233xyxy+−++−的最小值为35−C.11223535xyxy−++−+的最大值为210255+D.11223535xyxy−++−+的最小值为1022−【答案】AD【解析】【分析】设,3xmyn==，设1122(,),(,)CmnDmn，可得11(,)OCmn=，22(

,)ODmn=,可得CD、两点均在圆224mn+=的圆上，且2π3COD=，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得112223323355xyxy+−+−+及1122353522xyxy−+−++的最值，可得答案.【详解】由229144xy+=，可得2294xy+=，又

()11,Pxy，()22,Qxy是椭圆2294xy+=上两个不同点,可得2222112294,94xyxy+=+=，设,3xmyn==，则224mn+=，设1122(,),(,)CmnDmn,O为坐标原点，可得11

(,)OCmn=，22(,)ODmn=,可得222211224,4mnmn+=+=，且12122mmnn+=−，所以2OCOD=−，1cos,2OCODOCODOCOD==−，又,0,πOCOD，可得CD、两点均在圆224mn+=的圆上，且2π3COD=，设CD的中点为E，则

π2cos13OE==,根据点到直线的距离公式可知：1122112252332332323555xyxymnmn+−+−+−+−+=+为点CD、两点到直线230xy+−=的距离12dd、之和，设E到直线230xy+−=的距离3d，由题可知圆心到直线230xy+−=的距离为2335

21−=+，则12333622()2(1)2555dddEO=+=+=++，12333622()2(1)2555dddEO=−=−=−+可得12dd+最大值为625+，12dd+的最小值为625−；的可得1122122332335()

xyxydd+−++−=+，可得1122233233xyxy+−++−的最大值为65(2)2565+=+，最小值为625−，故A正确，B错误；同理，112211222353555222xyxymnmn−+−+−+−++=+为点CD、两点到直线50xy−+=的距离45dd、之和，设E

到直线50xy−+=的距离6d，由题可知圆心到直线50xy−+=的距离为255211=+，则456522(1)5222ddd=+=++，456522(1)5222ddd=−=−+，可得11224535352()xyxydd−++−+=+，可得11222

33233xyxy+−++−的最大值为1022+，最小值为1022−，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已

知椭圆2244xky+=的一个焦点坐标是()0,1，则实数k的值是________.【答案】2【解析】【分析】化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆2244xky+=，可

得2244yxk+=，因为椭圆的一个焦点坐标为()0,1，可得41k且411k−=，解得2k=.故答案为：2.14.过点(3，－5)，且与椭圆221259yx+=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【答案】221204yx+=【解析】【分析

】由题设条件设出椭圆方程22221yxab+=，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆221259yx+=的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为22221yxab+=(a＞b＞0)，于是得a2-b2

=16，又点(3，－5)在所求椭圆上，即22531ab+=，联立两个方程得2253116bb+=+，即222()8480bb+−=，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为221204yx+=.故答案为：221204yx+=15.设1F，2F

分别是椭圆C的左，右焦点，过点1F的直线交椭圆C于M，N两点，若113MFFN=，且24cos5MNF=，则椭圆C的离心率为_________.【答案】22##122【解析】【分析】如图，设1FNx=，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3ax=，后在12NFF△由余弦定理

可得122FFa=，即可得答案.【详解】如图，设1FNx=，则13MFx=，4MNx=.又由椭圆定义可得2223,2MFaxFNax=−=−.则在2MNF中，由余弦定理可得:()()()222222222162234425825MNNFMFxaxaxMNNFxax+−+−−−==−(

)222288410101681868253xaxaxaxaxxxaxxxax+=+=−==−.则125,33aaFNNF==，则在12NFF△由余弦定理可得：2222121212255422299335aaaaFFFNFNFNFNa

=+−=+−=.又1222222cFFcacea====.故答案为：2216.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点M是椭圆C上任意一点，且12MFMF的取值范围为2,3.当点M不在

x轴上时，设12MFF△的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为__________.【答案】23【解析】【分析】由12MFMF的取值范围为2,3可求出,,abc，由正弦定理可得1sinn=，再由焦点三角形的等面积法可得tan2m=，所以21

2cos2mn=，求出(0,60,即可得出答案.【详解】()()222212111MFMFMOOFMOOFMOOFMOc=+−=−=−，maxmin,MOaMOb==，所以222212,MFMFbcac−−，所以222223bcac−=−=，解得：2224,3,

1abc===，设121122,FMFMFrMFr===，，由正弦定理可得：1212=sinsinsinFFcnn==，()()2222221212121212121222442cos222rrcrrrrcbrrrrrrrr+−+−−−===，可得：

2122cos1brr=+，又因为212221222sincos1sin22sintan3tan2cos1222cos2MFFSrrbbb=====+，设内切圆的圆心为A，所以()()21212112121122322MFF

AFFAFMAMFSSSSFFMFMFmacmm=++=++=+=，所以3tan3tan22mm==，所以2tan12sin2cos2mn==，又因为当M在短轴的端点时，最大，此时12122MFMFFF===，

60=，((0,60,0,302，所以3cos,122，故当3cos22=时，mn取得最大值为123324=.故答案为：23四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

）17.已知点P是椭圆22221xyab+=（0ab）上的一点，1F，2F分别是椭圆左右两个焦点，若12FPF3=，且焦点三角形的面积为33，又椭圆的长轴是短轴的2倍.（1）求出椭圆的方程；（2）若

12FPF为钝角，求出点P横坐标的取值范围．【答案】（1）221369xy+=（2）()26,26−【解析】【分析】（1）根据椭圆焦点三角形面积公式可构造方程求得b，由长短轴的倍数关系可求得a，从而得

到椭圆方程；（2）设()00,Pxy，由12FPF为钝角可得120PFPF，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由椭圆焦点三角形面积公式得：2tan336b=，解得：3b=又椭圆长轴是短轴的2倍，即24ab=6a=椭圆的方程为：221369xy+=（2）设(

)00,Pxy，则22001369xy+=又椭圆焦点()133,0F−，()233,0F()10033,PFxy=−−−，()20033,PFxy=−−12FPF为钝角221200270PFPFxy=−+，即220027xy+22009274xx+−，解得：02626x−P点

横坐标的取值范围为()26,26−【点睛】本题考查椭圆方程的求解、由向量夹角大小求解参数范围的问题；关键是能够将角为钝角转化为向量数量积小于零的关系，从而构造不等式求得结果.18.已知直线1l：x+y-4=0，2l：x-y+2=0和直线3l：ax-y+1-4a=0.（1）若存在一个三角形，它的三

条边所在的直线分别是1l，2l，3l，求实数a的取值范围；（2）若直线l经过1l和2l的交点，且点()1,2M−到l的距离为2，试求直线l的方程.【答案】（1）23a−且1a（2）x=1或34150xy+−=【解析】【分析】（1）求

得1l与2l的交点A的坐标，然后由直线3l不过点A，不与直线12,ll平行求得a的范围；（2）考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程．【小问1详解】由4020xyxy+−=−+=可得：13

xy==，∴1l和2l的交点A的坐标为()1,3.当3l过点A时，231403aaa−+−==−，此时不存在三角形满足题意，为满足题意，必有23a−，当31ll∥或32ll∥时，由于1l的斜率为-1，2l的斜率为1，3l的斜率为a，∴a=1或a=-1，此时也不存在三角

形满足题意，为满足题意，必有1a，综上可知：23a−且1a.【小问2详解】直线l经过1l和2l的交点()1,3A，当lx⊥轴时，l的方程为：x=1，点()1,2M−到l的距离为2，符合题意；当l与x轴不垂直时，设l的方程为：3(1)ykx−=−，即30kxyk−+−=，由于点(

)1,2M−到l的距离为2，所以2213241kkk−+==−+，此时l的方程为：34150xy+−=，综上可知，直线l的方程为：x=1或34150xy+−=.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos3sinabAAc++=．（1）求角

C；（2）若c=4，△ABC的面积为43，求a，b．【答案】（1）π3C=（2）a=b=4【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果；（2）根据三角形面积得16ab=，再结合余弦定理可求出结果.【小问1详解】依题意由

cos3sinabAAc++=得cos3sin0cAcAab+−−=，根据正弦定理得sincos3sinsinsinsin0CACAAB+−−=，则()sincos3sinsinsinsin0CAC

AAAC+−−+=，则sincos3sinsinsinsincoscossin0CACAAACAC+−−−=，所以3sinsinsinsincos0CAAAC−−=，由于0πA，所以sin0A，所以3sin1cos0CC−−=，所以312(sincos)122CC

−=，则π2sin16C−=，由于0πC，则π3C=．【小问2详解】由题意：13sin4324ABCSabCab===△，所以ab=16．又由余弦定理2222coscababC=+−以及c=4，得2216abab+−=，所以2232ab+=，所以2()32216

0ab−=−=，所以a=b=4．20.如图，在三棱台111ABCABC-中，若1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，12ABACAA===，111AC=，N为AB中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）．（1）若M为BC的中点，求

证：1//AN平面1CMA；（2）是否存在点M，使得平面1CMA与平面11ACCA所成角的余弦值为66？若存在，求出BM长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，223BM=【解析】【分析】（1）取AB中点N，易证得四边形11MNAC为平行四边形，得到11//ANCM，

由线面平行的判定可证得结论；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设()01BMBC=，根据面面角向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.【小问1详解】分别取AB中点N，连接MN，则MN为ABC的中位线，//MNAC，112MNAC==，又111AC=，11//ACAC，1

1//MNAC，11MNAC=，四边形11MNAC为平行四边形，11//ANCM，又1AN平面1CMA，1CM平面1CMA，1//AN平面1CMA.【小问2详解】以A为坐标原点，1,,ABACAA正方向为,,xyz轴可建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，的则()

0,0,0A，()2,0,0B，()0,2,0C，()10,1,2C，()10,1,2AC=，()2,2,0BC=−，()2,0,0AB=，设()01BMBC=，则()2,2,0BM=−，()22,2,0AMABBM=+=−，令平面1CMA的法向量为(),,nxyz=，则

()1202220ACnyzAMnxy=+==−+=，令2x=，则22y=−，1z=−，()2,22,1n=−−；又平面11ACCA的一个法向量()1,0,0m=，()()22226cos,64

411mnmnmn===+−+−，解得：13=或1=−（舍），13BMBC=，12233BMBC==，即BM的长为223.21.已知在平面直角坐标系xOy中，()0,1A，()0,4B，平面内动点P满足2PAPB=．（1）求点P的

轨迹方程；（2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．【答案】（1）224xy

+=（2）()10Q，．【解析】【分析】(1)设点(),Pxy为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；(2)设()()4,0Ett，联立直线CE的方程和曲线的方程求点M的坐标，联立直线DE的方程和曲线的方程求点N的

坐标，求直线MN的方程，确定其与x轴的交点坐标即可.【小问1详解】设点(),Pxy为曲线上任意一点，因为2PAPB=，()0,1A，()0,4B，则22222(1)(4)xyxy+−=+−，化简得224xy+=．【小

问2详解】由题意得()2,0C−，()2,0D，设()()4,0Ett，则直线CE的方程为()26tyx=+，直线DE的方程为()22tyx=−，联立()22264tyxxy=++=，，得22

22364440363636tttxx+++−=，则224236Mtxt−=−+，即2272236Mtxt−=+，()2242636MMttyxt=+=+，所以22272224,.3636ttMtt−++联立()222,24,tyxxy=−+=得22224404tx

txt+−+−=，则22424Ntxt+=+，即22284Ntxt−=+，()28224NNttyxt−=−=+，所以222288.44ttNtt−−++，①当23t时，直线MN的斜率22222222

4883647222812364MNtttttkttttt−−++==−−−−++，则直线MN的方程为222288284124tttyxttt−−−=−+−+，即()28112tyxt=−−，所以()10Q，，②当23t=时，直线MN垂直于x轴，方程为1x=

，也过定点()10Q，．综上，直线MN恒过定点()10Q，．【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高.22.如图，已知半圆C1：()2220xyby+=与

x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：22221yxab+=()0,0yab的上焦点为F，并且ABF△是面积为3的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．（1）求实数a、b的值；（2）直线l：2yx=与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T

（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；（3）设点()0,Kt()Rt，P是曲线Γ上任意一点，求PK的最小值．【答案】（1）2,1ab==（2）3222+（3）2min1,031,03232,2tttPKttt+

=−−【解析】【分析】（1）根据等边ABF△的面积公式列方程求出b，再计算a；（2）分别求出点N、M的坐标，计算|MN，求出点S、T到直线MN的最大距离，计算四边形MSNT的面积最大值；（3）

讨论t的取值范围，写出PK的表达式，从而求出minPK的解析式．【小问1详解】如图1所示，由等边ABF△的面积为3，所以2334ABFSAB==，解得2244ABb==，所以1b=，又223ab−=，解得24a=，即2a=；【小问2详解】如图2所示，设点N在半圆上，且在第三象限内，M在半椭

圆上，且在第一象限内，由()222104yxyxy=+=，解得623,33M，由()22210yxxyy=+=，解得36,33N−；所以2226323331633

MN+++==+；设S在半圆上，且在第二象限，()cos,2sinS，S到直线MN距离为d，|2cos2sin|22sinarctan23d−==−，则max2d=，T到直线MN的最大距离为1，

所以四边形MSNT的面积最大值为()()()max12113221212222SMNdd+=+=++=；【小问3详解】如图3所示，当0t时，min1PKKEt==+；的当0t时，设(,)Pxy是半椭圆2C上的点，由221(0)

4yxy+=得[0,2]y.此时22()PKxyt=+−2222334121()14433tytytyt=−++=−−+若302t，则4023t，PK在4(0,]3t上单调递减，在4[,2]3

t上单调递增，故当43ty=时,2min13tPK=−；若32t，则423t，PK在[0,2]上单调递减，故当2y=时，22min324124PKttt=−++=−；综上所述，2min1,031,03232,2tttPKttt+=−−.获得

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