【文档说明】四川省成华区某校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题答案.docx，共(11)页，708.589 KB，由小赞的店铺上传

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数学答案一、单选题12345678CDCDABDD8．已知函数()yfx=是R上的偶函数，对于Rx都有()()()63fxfxf+=+成立，且()42f−=−，当12,0,3xx，且12xx时，都有12

12()()0fxfxxx−−．则给出下列命题：①()20082=−f；②函数()yfx=图象的一条对称轴为6x=−；③函数()yfx=在9,6−−上为严格减函数；④方程()0fx=在9,9−上有4个根；其中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【详解

】①：对于任意Rx，都有()()()63fxfxf+=+成立，令3x=−，则()()()3633fff−+=−+，解得()30f−=，又因为()fx是R上的偶函数，所以𝑓(3)=0，所以()()6fxfx+=，所以函数()fx的周期为6，所以()()()200844

fff==−，又由()42f−=−，故()20082f=−；故①正确；②：由（1）知()fx的周期为6，又因为()fx是R上的偶函数，所以()()6fxfx+=−，而()fx的周期为6，所以()()66fxfx+=−+，()()6fxfx−=−−，所以：()()6

6fxfx−−=−+，所以直线6x=−是函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象的一条对称轴．故②正确；③：当12,0,3xx，且12xx时，都有1212()()0fxfxxx−−．所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在0,3上为严格增函数，因为()fx是R上的

偶函数，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在3,0−上为严格减函数，而()fx的周期为6，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在9,6−−上为严格减函数．故③正确；④：𝑓(3)=0，()fx的周期为6，所以()()()()93390fff

f−=−===，又()fx在3,3−先严格递减后严格递增，所以()fx在3,3−上除端点外不存在其他零点，所以()fx在[9,3)−−和(3,9]上各有一个零点，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在9,9−上有四个零点．故④正确；故选：D．二、多选题91011BCACDABD11．在

2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)Cypxp

=绕其顶点分别逆时针旋转90180270､､后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），,AB为C与其中两条曲线的交点，若1p=，则（）A．开口向上的抛物线的方程为212yx=B．|𝐴𝐵|=4C．直线xyt+=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D

．阴影区域的面积大于4【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2Cyx=，顶点在原点，焦点为11(,0)2F,将其逆时针旋转90后得到的抛物线开口向上，焦点为21(0,)2F，则其方程为22xy=，即2

12yx=，故A正确；对于B，根据A项分析，由2222yxxy==可解得，0x=或2x=，即2Ax=，代入可得2Ay=，由图象对称性，可得(2,2),(2,2)AB−,故4AB=，即B正确；对于C，如图，设直线xyt+=

与第一象限花瓣分别交于点,MN,由22yxtyx=−+=解得121211MMxttyt=+−+=+−，由22yxtxy=−+=解得，211121NNxtytt=+−=+−+,即得(121,211),(211,121)MtttNttt+−++

−+−+−+,则弦长为：2||2(2221)2|2221|MNtttt=+−+=+−+，由图知，直线xyt+=经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即在第一象限部分满足04t，不妨设21ut=+，则13u，且212ut−=，代

入得，2212||2|22||(2)1|22uMNuu−=+−=−−，（13u）由此函数的图象知，当2u=时，||MN取得最大值为22，即C错误；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值.如图，在抛物线21,(0)2yxx=上取一点P，使过点P

的切线与直线OA平行，由1yx==可得切点坐标为1(1,)2P,因:0OAlxy−=,则点P到直线OA的距离为12242d==，于是2212122242OPAS=+=,由图知，半个花瓣的面积必大于12，

故原图中的阴影部分面积必大于1842=，故D正确.故选：ABD.三、填空题12．12011lg125lg(31)864−−+−+=12.13．已知二次函数()2fxxbxc=++满足()()11fxfx+=−，则()1f−与()4f的大小关系是．【答案】()()14ff−1

4．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点,EF分别为棱1,ADBB的中点.点P为正方体表面上的动点，满足1APEF⊥.给出下列四个结论：①线段1AP长度的最大值为23；②存在点P，使得//DPEF；③存在点P，使得1BPDP=；④EPF是等腰三角形.其中，

所有正确结论的序号是．【答案】①③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,2,1,0,0,2,2,1,0,2,0,0,0,0,2,2,2AEFCDB，对①，由正方体性质知当P在C时，线段1

AP长度的最大值为23，此时()()12,2,2,1,2,1APEF=−−=，12420APEF=−+−=，所以1APEF⊥，即满足1APEF⊥，故①正确；对②，取正方形11BBCC的中心M，连接,DMMF，易知//,MFDEMFDE=，所以四边形DMFE为平行四边形，所以

//DMEF，故P运动到M处时，//DPEF，此时()1,2,1P，()11,2,1AP=−−，114120APEF=−+−=，即不满足1APEF⊥，综上不存在点P，使得//DPEF，故②错误；对③，设(),,Pxyz，则()

12,,2APxyz=−−，()1,2,1EF=，若存在，由1BPDP=，1APEF⊥可得方程组()()()2222222220222xyzxyzxyz−++−=−+−+−=++，化简可得243xyzxyz++=++=，解得

2,1xzy+==，显然当0,2,1xzy===时满足题意，即存在点P，使得1BPDP=，故③正确；对④，设(),,Pxyz，若PEPF=，则()()()()2222221221xyzxyz−++=−+

−+−，化简可得24xyz++=，由③知1APEF⊥时可得24xyz++=，所以不妨取0,1,2xyz===，此时()0,1,2P在正方体表面上，满足题意，故④正确.四、解答题15．（本小题13分）已知数

列na为公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，749=S，且2a，5a，14a成等比数列．(1)求na的通项公式；(2)若数列nnab+是公比为3的等比数列，且322b=，求nb的前n项和nT．【详解】（1）因为{𝑎𝑛}为等差数列，设公差为d，由749=S，得()

17477492aaa+==，47a=即137ad+=，…………2分由2a，5a，14a成等比数列得22514aaa=，()()()2772710ddd+=−+，化简()()()2772710ddd+

=−+得220dd−=，因为0d，所以2=d．…………5分所以()()*4421Nnaandnn=+−=−．…………6分（2）由21nan=−知11a=，35a=，…………7分又nnab+为公比是3的等比数列，322b=，所以()3311952227abab+=+=+=，即

11113abb+=+=，…………8分所以1333nnnnab−+==，…………9分()321nnbn=−−，()*Nn…………10分所以()123123333313521nnnTbbbbn=++++=++++−++++−…………12分

()()12313121331322nnnnn+−+−−=−=−−.…………13分16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为正方形、SA⊥平面ABCDMN，，分别为棱SBSC，的中点(1)证明：//MN平面SA

D;(2)若SAAD=，求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值【详解】（1）MN、分别为,SBSC的中点//MNBCABCD为正方形//BCAD…………3分//MNADMN平面,SADAD平

面SAD//MN平面SAD.…………7分（2）由题知SA⊥平面,ABCDABAD⊥建立如图所示的空间直角坚标系，2SAAD==设，则()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,

2,0SADBC,…………9分()()1,0,1,1,1,1MN,()0,2,2SD=−,()0,2,0AD=,()1,0,1AM=设平面ADNM的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)则200nADynAMxz===+=

,令1,x=则0,1yz==−,()1,0,1n=−…………12分设直线SD与平面ADNM所或的角为,21sincos,2222nSDnSDnSD====，所以直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为12.…………15分17.（本小题15分）为了调查

学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．(1)判断：是否有90%的把握认

为喜欢跑步与性别有关？(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．附：()()()()22()nadbca

bcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．0.100.050.005x2.7063.8417.879【详解】（1）由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，故喜欢跑

步的人有2000.6120=（人），不喜欢跑步的人有20012080−=（人）．…………3分喜欢跑步不喜欢跑步合计男生8060140女生402060合计12080200∴80a=，60b=，40c=，20d=，……5分()22200802040601.5872.7061208014060

−=，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．…………7分（2）按分层抽样，设女生x名，男生y名，8802060xy==，解得2x=，6y=，∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故X

0=，1，2．…………9分()032638CC50C14PX===，()122638CC151C28PX===，()212638CC32C28PX===，…………12分故X的分布为：X012P5141528

328∴()5153213012142828284EX=++==．…………15分18.(本小题满分17分)已知函数()lnfxaxx=−.(1)讨论()fx的单调性；(2)证明：当0a时，()1eaafx−.【详解】（1）由题函数定义域为()0,+，()1aaxfxxx−

=−=，…………1分故当0a时，()0fx恒成立，所以函数()fx在()0,+上单调递减；…………3分当0a时，()fx在()0,+上单调递减，令()0fxxa==，则()0,xa时，()0fx；(),xa

+时，()0fx，…………5分所以函数()fx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，综上，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，函数()fx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减.…………7分（2）由（

1）当0a时，函数()fx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，故()()lnffaaaxa=−在()0,+上恒成立，…………9分故证()()10eaafxa−证()0ln1e

aaaaaa−−>，…………10分即()0ln1ln10eeeeaaaaaaaaa−−+>，…………13分令()()ln10gxxxx=−+，…………15分则()()111

0xgxxxx−=−=，故当()0,1x时，()0gx；()1,x+时，()0gx，所以()gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，…………16分所以()()10gxg=在()0,+上恒成立，故0ln1eeaaaa−+，所

以当0a时，()1eaafx−.…………17分19．(本小题满分17分)已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为33．(1)求双曲线E的标准方程；(2)若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为CABD､､､，证明：A

CBD=；(3)求二元二次方程2231xy−=的正整数解()()*,,,nnnnnQxyxynN，可先找到初始解()11,xy，其中1x为所有解nx中的最小值，因为()()2212323231=+−=−，所以()12,1Q；因为()(

)22221(23)(23)743743734=+−=+−=−，所以()27,4Q；重复上述过程，因为(23)n+与(23)n−的展开式中，不含3的部分相等，含3的部分互为相反数，故可设()()221(23)(23)333nnnnnnnnxyxyxy=+−=

+−=−，所以(),nnnQxy．若方程E的正整数解为(),nnnQxy，且初始解()13,2Q，则1nnOQQ+△的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．【详解】（1）由题意222223322ababacab=+==+，解得22112a

b==，所以双曲线E的标准方程为22112yx−=；…………3分（2）由题意直线l的斜率不为0，设直线:lxmyt=+，因为直线l与E的右支交于两点，所以0t，联立2221xmytxy=+−=得()2222210mymtyt−++−=，所以222ABmtyym+=−−，且(

)22Δ4220mt=+−，即2222mt−，…………5分联立2220xmytxy=+−=得()222220mymtyt−++=，所以222CDmtyym−+=−，…………7分所以222CDABmtyyyym+=−=+−，即线段,ABCD的中点重合，所以ACBD=．…………10分

（3）由题意得方程2221xy−=的初始解为()3,2，则根据循环构造原理得2(322),2(322)nnnnnnxyxy+=+−=−，从而12(322)(322),(322)(322)24nnnnnnxy=++−=+−−，…………12分

记(),nnnOQxy=，则()111,nnnOQxy+++=，设1,nnOQOQ+的夹角为，则1nnOQQ+△的面积12221111sinsin22nnOQQnnnnSOQOQOQOQ+++==22

222111cos2nnnnOQOQOQOQ++=−()2221112nnnnOQOQOQOQ++=−()()()222221111111122nnnnnnnnnnnnxyxyxxyyxyxy++++++=++−+=−，…………14分令(322),(322),1nna

bab=+=−=，则()()()()()()1232232232232216nnOQQSabababab+=++−−−−++−