【文档说明】北京市第二中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，741.246 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3cee1317bd33dcf48d4db0c9d624ff51.html

以下为本文档部分文字说明：

北京二中2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试试卷数学必修第一册一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.已知集合A=

2xx,B={−2,0,1,2},则AB=()A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}【答案】A【解析】【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：222,xx，−因此AB=2,0,1,

2(2,2)0,1−−=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.设a，b，cR，且ab，则（）A.acbcB.11abC.22abD.33ab【答案】D【解析】【详

解】当0c=时，选项A错误；当1,2ab==−时，选项B错误；当2,2ab==−时，选项C错误；∵函数3yx=在R上单调递增，∴当ab时，33ab．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用

特殊值验证的方法更简便．3.函数()1212fxxx=−+−的定义域为（）A.)0,2B.()2,+C.()1,22,2+D.()(),22,−+【答案】C【解析】【分析】根据被开方数非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由21020xx−−

，解得x≥12且x≠2．∴函数()1212fxxx=−+−的定义域为()1,22,2+．故选：C.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.4.设全集U=R，集合2230Axxx=−−，10Bxx=−，则图中阴

影部分所表示的集合为（）A.1xx−或3xB.1xx−或3xC.1xxD.1xx−【答案】D【解析】【分析】根据图可知，阴影表示AB的补集，即可根据集合交并补的定义求解.【详解】由2230Axxx=−−可得𝐴={𝑥|−1<

𝑥<3}，101Bxxxx=−=，故𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥>−1}，进而()1ABxx=−Rð.故选：D5.已知0x，则12xx+−有（）是A.最大值0B.最小值0C.最大值-2D.最小值-2【答案】B

【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】0x>，112220xxxx+−−=，当且仅当1xx=，即1x=时等号成立，即12xx+−有最小值为0.故选：B.6.设xR，则“250xx−”是“|1|1x−”的A.充分而不必要条件B.必要

而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x推不出11x−；由11x−能推出05x，故“250xx−”是“|1

|1x−”必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．7.若集合2{|60}Axxx=+−，2{|0}3xBxx+=−，则AB等于A.(3,3)−B.(2,2)−C.[2,2)−D.[2,3)−【答案】C【解析

】的【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}Axxx=+−，2{|0}3xBxx+=−解不等式,可得{|32}Axx=−，{|23}Bxx=−所以){|32}{|23}

2,2ABxxxx=−−=−所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.8.已知p：210x−，q：110mxmm−+（），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A.

03mB.03mC.3mD.3m【答案】A【解析】【分析】将p是q的必要不充分条件转化为BA，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【详解】设210Axx=−，𝐵={𝑥|1−𝑚≤𝑥≤1+𝑚}，因为p是q的必要不充分条件，所以BA

，所以012110mmm−−+，解得03m，当3m=时，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤4}，成立，所以03m.故选：A.9.已知0,0xy，且141xy+=，则xy+的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】【分析】由题意得1

4()xyxyxy+=++，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0xy，且141xy+=，所以1444()5529yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，

当且仅当4yxxy=，即3,6xy==时取等号，所以xy+的最小值为9，故选：D10.若关于x的不等式20axbxc++的解集是()2,3−，则关于x的不等式250bxaxc++的解集是（）A.()2,3B.()(),23,−+C

.()1,6−D.()(),16,−−+【答案】B【解析】【分析】由题意可得0a，且方程20axbxc++=的根为2,3−，利用韦达定理求出,bc，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】因为关于x的不等式20axbxc++的解集是()2,3−，所以0

a，且方程20axbxc++=的根为2,3−，故23,23bcaa−+=−−=，则0ba=−，60ca=−，故不等式250bxaxc++等价于2560axaxa−+−，即2560xx−+，解得2x或3x，所以关于x的不等式250bxaxc++的

解集是()(),23,−+.故选：B.11.若“xR，使得不等式23208kxkx++成立”是假命题，则实数k的取值范围为（）A.0kB.03kC.30k−D.30k−【答案】A【解析】【分析】由“xR，使得不等式23208kxkx++成

立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可.【详解】由“xR，使得不等式23208kxkx++成立”是假命题，则其否命题为真命题，即“xR，使得不等式23208kxkx++成立”是真命题，即xR，使得不等式23208kxkx++

恒成立，当0k=时，308恒成立，当0k时，要使xR，不等式23208kxkx++恒成立，则{𝑘>0Δ=𝑘2−4×2𝑘×38<0，解得03k，综上知0k，故选：A12.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有

一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,xxxx，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,yyyy,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)ii=次，每次转动90，记(1,2,3,4)iTi=为转

动i次后各区域内两数乘积之和，例如112233441Txyxyxyxy=+++.若1234++0xxxx+，1234+++0yyyy，则以下结论正确的是A.1234,,,TTTT中至少有一个为正数B.1234,,,TTT

T中至少有一个为负数C.1234,,,TTTT中至多有一个为正数D.1234,,,TTTT中至多有一个为负数【答案】A【解析】【详解】根据题意可知：（1234?1234+++++xxxxyyyy+）（）>0,又（1234?1234+++++xxxxyyyy+）（）去

掉括号即得：22121314xyxyxyxy+++22222324+xyxyxyxy+++22333334+xyxyxyxy+++22444344+xyxyxyxy+++=1234TTTT+++>0,所以可知

1234,,,TTTT中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白1234,,,TTTT所表达的意思，然后容易发现（1234?1234+++++xxxxyyyy+）（）=1234TTTT+++>0从而得出结论二、填空题（本大题共6小题

，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13.命题“230x,xx−+R”的否定是___________【答案】2000,30xRxx−+【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题.【详解】2xR,xx30−+否定是：2000xR,xx30−+【点睛】全称命

题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14.若函数,0()31,0xxfxxx−=+，则15ff−=_________.【答案】25−##0.4−.【解析】【分析】本题考查了分段函数的函

数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.根据定义域首先求出1255f−=，然后求25f即为结果.详解】∵函数,0()31,0xxfxxx−=+，∴1255f−=，【∴122555fff−=

=−，故填：25−.15.已知集合2,1A=−，2Bxax==，若ABB=，则实数a值集合为______．【答案】0,1,2−【解析】【分析】由ABB=得到BA，则2,1A=−的子集有，2−，1，2,1−，分别求

解即可.【详解】因为ABB=，故BA；则2,1A=−的子集有，2−，1，2,1−，当B=时，显然有0a=；当2B=−时，221aa−==−；当1B=，122aa==；当2,1B=−，a不存在，所以实数a的集合为0,1,2−；故答案为0,1,2

−．16.若()1,x+，则131yxx=+−的最小值是_____．【答案】323+【解析】【分析】由已知可知()11y3x3x13x1x1=+=−++−−，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x1，()11y3x3x13x1x1=+=−++−−

()123x13233x1−+=+−，（当且仅当313x=+取等号）故答案为233+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．17.一般地，把ba−称为区间(),ab的“长度”已知关于x的不等式220xkxk

−+有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________．【答案】)(1,08,9−【解析】【分析】不等式220xkxk−+有实数解等价于220xkxk−+=有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解.【详解】不等

式220xkxk−+有实数解等价于220xkxk−+=有两个不相等的实数根，则()280kk=−−，解得：8k或0k设220xkxk−+=的两根为1x，2x，不妨令12xx，则12xxk+=，122xxk=由题意得：()22212112483xxxxxxkk−=+−=−，解

得：19k−，结合8k或0k，所以实数k的取值范围为)(1,08,9−故答案为：)(1,08,9−18.设A是非空数集，若对任意,xyA，都有,xyAxyA+，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若12,AA具有性质

P，且12AA，则12AA具有性质P；③若12,AA具有性质P，则12AA具有性质P；④若A具有性质P，且AR，则RAð不具有性质P.其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】举特

例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合0,1A=具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；对于②，取12,xyAA，则1xA，2xA，1yA，2yA，又12,AA具有性质P，11,x

yAxyA+，22,xyAxyA+，1212,xyxyAAAA+，所以12AA具有性质P，故②正确；对于③，取1|2,AxxkkZ==，2|3,AxxkkZ==，12A，23

A，但1223AA+，故③错误；对于④，若A具有性质P，且AR，假设RAð也具有性质P，设0A，在RAð中任取一个,0xx，此时可证得xA−，否则若RxA−ð，由于RAð也具有性质P，则()0RxxA+−=ð，与0A

矛盾，故xA−，由于A具有性质P，RAð也具有性质P，所以()22,RxAxA−ð，而()22xx−=，这与RAA=ð矛盾，故当0A且A具有性质P时，则RAð不具有性质P，同理当0RAð时，也可

以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.已知函数

()2fxxaxb=−+的图象过点()1,0A和()2,0B.（1）求函数()fx的解析式；（2）若函数()()2fxgxx+=，当0x时，求()gx的最小值.【答案】（1）()232fxxx=−+（2）1【解析】【分析】（1）代入()1,0A和()2

,0B即可求解；（2）由（1）得到()gx，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：10420abab−+=−+=解得：32ab==，所以函数()fx的解析式为()232fxxx=−+.【小问2详解】由（

1）可得()()243fxgxxxx+==+−因为0x，所以443231xxxx+−−=，当且仅当2x=时，取到等号，所以()gx的最小值为1.20.已知函数()()224gxxkxkk=−+−

R.（1）当5k=时，求不等式()0gx的解集；（2）当2x时，关于x的不等式()9gx−恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）(),23,−+（2）(,10−【解析】【分析】（1）把5k=代入()()224gxxkxkk=−+−

R，解不等式2560xx−+即可；（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求ℎ(𝑥)=𝑥2+5𝑥−2(𝑥>2)的最小值即可.【小问1详解】当5k=时，()256gxxx=−+，则

不等式()0gx，即()()2560230xxxx−+−−，解得2x，或3x，因此当5k=时，不等式()0gx的解集为(),23,−+.【小问2详解】当2x时，关于x的不等式()9gx−恒成立，即当2x时，关于x的不等式

()2249gxxkxk=−+−−恒成立，在2x时，252xkx+−恒成立，令ℎ(𝑥)=𝑥2+5𝑥−2(𝑥>2)，令2,0txt=−，则2xt=+，故ℎ(𝑥)=𝑥2+5𝑥−2(𝑥>2)⇔𝑦=(𝑡+

2)2+5𝑡(𝑡>0)，又()2225499942410tttytttttt++++===+++=，当且仅当9tt=，即3t=时等号成立，故当3t=，即5x=时，()()min510hxh==，因此可得10k，即当2x时，关于x的不等式()9gx−恒成立，k的取值范围

为(,10−.21.已知p：232x−，q：()224400xxaa−+−，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】)8,+【解析】【分析】分别求出条件p，q，由题意可得出2,10−⫋2,2aa−+，解不等式即可得出答案.【详解】由232x−

可得：3232x−−，则210x−，由𝑥2−4𝑥+4−𝑎2≤0(𝑎>0)可得：()()220xaxa−−−+，因为0a，所以22aa+−，解得：22axa−+，因为q是p的必要不充分条件，所以2,10−⫋2,2aa−+，所以

{2−𝑎≤−22+𝑎≥10𝑎>0且不能同时取等，解得：8a.所以实数a的取值范围为：)8,+22.已知关于x的不等式()2330axax−++的解集为A.（1）若3A，求实数a的取值范围；（2）当0a时，集合A中有且仅有两个整数，求实数a取值范围；的（3）若集合112Bxx

x=或，满足AB=，求实数a的值.【答案】（1）1a（2）32a−−（3）14a=【解析】【分析】（1）因为3A，所以将3x=代入不等式不成立；（2）当0a时，二次函数2(3)3yaxax=−

++开口向下，要使集合A中有且仅有两个整数，需要分析函数的零点和取值情况；（3）AB=意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【小问1详解】因为3A，所以当3x=时，2(3)30axax−++.将3x=代入得93(3)30aa

−++，即93930aa−−+，解得1a.【小问2详解】由2(3)30axax−++，因式分解得(3)(1)0axx−−，因为0a，所以31a，不等式的解为31xa.因为集合A中有且仅有两个整数，这两

个整数只能是1−，0.所以321a−−，当32a−时，23a−，解得32a−；当31a−时，3a−，解得3a−.所以32a−−.【小问3详解】因为{|1Bxx=或12}x，AB=，由2(3)30axax−++

，因式分解得(3)(1)0axx−−.因为AB=，所以方程2(3)30axax−++=的两个根为1和12.将12x=代入方程2(3)30axax−++=得14412(3)30aa−++=，144123630aa−−+=，即132330a−=，13233a=，解得14a=.23.设k是正整

数，A是*N的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有||xyk−，则称A具有性质()Pk．（1）试判断集合{1,2,3,4}B=和{1,4,7,10}C=是否具有性质(2)P？并说明理由．（2）若1212,,,{1,2,,20}Aaaa=．证明：A不可能具

有性质(3)P．（3）若{1,2,,2023}A且A具有性质(4)P和(7)P．求A中元素个数的最大值．【答案】（1）B不具有性质(2)P，C具有性质(2)P，理由见解析（2）证明见解析（3）920【解析】【分析】（1）根据定义判断,BC是否具有性

质()2P即可；（2）将1,2,,20分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A，由此可得集合A中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的

集合A.【小问1详解】因为1,2,3,4B=，又1N,2N,3N,4N，但422−=，所以集合B不具有性质()2P，因为1,4,7,10C=，又1N,4N,7N,10N，但413,716,1019,743,1046,1073−=−

=−=−=−=−=，所以集合C具有性质()2P.【小问2详解】将集合1,2,,20中的元素分为如下11个集合，1,4,2,5,3,6,7,10,8,11,9,12,13,16,1

4,17,15,18,19,20，所以从集合1,2,,20中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A不可能具有性质()

3P.【小问3详解】先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1,2,3,11例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.①5,6,7同时选，因为具有性质(4)P和(7)P，所以选5则不选1,9；选6则不选2,10

；选7则不选3,11；则只剩4,8.故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3,11

中属于集合A的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8

}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.由上述①②

③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有1845920=个.

给出如下选取方法：从1,2,3,11中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.为此时集合A的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；；2014,20

17,2019,2020,2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义

去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.