【文档说明】湖南省娄底市娄星区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(20)页，2.433 MB，由小赞的店铺上传

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2021年上学期高二期中考试数学试题时量：120分钟满分：150分第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“xR，220xxm++”的否定是A.xR，220xxm++B.x

R，220xxm++C.xR，220xxm++D.xR，220xxm++2.复数21izi−=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某中

学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是A.5B.6C.7D.84已知π()0,，且3cos28cos5−=，则s

in=A.53B.23C.13D.595.若向量a，b满足||10,(2,1),5abab==−=，则a与b的夹角为A.90B.60C.45D.306.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上

可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（lg30.477）A.3710−B.36

10−C.3510−D.3410−7.函数()223,02ln,0xxxfxxx−−+=−，直线ym=与函数()fx的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a、b、c、d，则abcd的取值范围是A.

)0,4eB.()4,e+C.()443,ee−D.)40,e8.已知直线1l：310mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=相交于点P，线段AB是圆C：()()22114xy+++=的一条动弦，

且23AB=，点D是线段AB的中点.则PD的最大值为A.32B.82C.52D.421+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分.9.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D.从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%10.设椭圆22:12xCy+=的左右焦点为1F，2F，P是C上的动点，则下列结论正确的是A.1222PFPF+=

B.离心率62e=C.12PFF面积的最大值为2D.以线段12FF为直径的圆与直线20xy+−=相切11.记函数()sin23πfxx=−的图象为曲线F，则下列结论正确的是A.函数()fx的最小正周期为B.函数()fx在区间5,

1212−上单调递增C.曲线F关于直线12x=−对称D.将函数sin2yx=的图象向右平移3个单位长度，得到曲线F12.已知1a，01cb，下列不等式成立的是（）A.bcaaB.ccabba++

C.loglogbcaaD.bcbaca++三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知z是z的共轭复数，且满足()14iz+=(其中i是虚数单位)，则z=________.14.已知正方体ABCD-A1B1C

1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________15.已知等比数列na的前n项和为nS，若135aaa++＝21，468aaa++＝168，则8S＝________．16.已知函数21()21xxfx-=+，若正数a

，b满足(4)(9)0fafb+−=，则11ab+的最小值为______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.请考生在①1,cABC=的面积为34，②3bc=，③4A=这三个条件中任选一个，补充在下面问题横线处。问题：是否存在ABC，它

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinsinbBaCaAcC+=+，若问题中的三角形存在，求sinC的值；若问题中的三角形不存在，说明理由。18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，

我们控制住了疫情.接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元()0m满足41kxm=−+（k为常数），

如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品1224xx+元.（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的

促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60ABC=，PBPC=，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点.（1）证明：平面PAE⊥平面BCP.（2）若22PAABP

B==，二面角ABDF−−的余弦值为35，求PD与平面BDF所成角的正弦值.20.已知数列na的前n项和为nS，10a=，1nnSan+=−，*nN.（1）求证：数列1na+是等比数列；（2）设数列nb的

前n项和为nT，已知1nnnba=+，若不等式922nnTma−+对于*nN恒成立，求实数m的最大值.21.已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32yx=与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点2F，椭圆C

的另一个焦点是1F，且1294MFMF=.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆1F：()2211xy++=，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆1F外切，直线l是圆P和圆1F的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的

半径最长时，求三角形F1AB的面积.22.已知函数()()()22244xfxxxeaxeaR=−+−−.（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l过点（0，1-e），求实数a的值；（2）当a＞0时，若函数f（x）有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.202

1年上学期高二期中考试数学答案时量：120分钟满分：150分第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“xR，220xx

m++”的否定是（）A.xR，220xxm++B.xR，220xxm++C.xR，220xxm++D.xR，220xxm++【答案】C【解析】利用特称命题的否定是特称命题即可求解.【详解】由含有量词命题的否定可知：命题“xR，220xxm++”的否定是“x

R，220xxm++”.故选：C【点睛】本题主要考查了含有一个量词的命题的否定，2.复数21izi−=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【详解】∵2i11=22iiiz−=−=+，∴复数z在复平面内

对应的点为()2,1，在第一象限．选A．3.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是．A.5B.6C.7

D.8【答案】B【解析】【详解】试题分析：甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是89，所以，选B.考点：平均数，中位数4已知π()0,，且3cos28cos5−=，则sin=（）A.53B.23C.13D.59【答案】

A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos5−=，得26cos8cos80−−=，即23cos4cos40−−=，解得2cos3=−或cos2=（舍去），又

25(0,),sin1cos3=−=.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.若向量a，b满足||10,(2,1),5abab==−=，则a与b的夹角为（）A.90B

.60C.45D.30【答案】C【解析】【分析】先求出b，即可根据数量积的定义求出夹角.【详解】解：∵(2,1)b=−，∴22||(2)15b=−+=，又||10,5aab==，两向量的夹角的取值范围是，[0,]，∴52cos,2||||105ababab===.∴

a与b的夹角为45.故选：C.6.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析

得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（lg30.477）A.3710−B.3610−C.3510−D.3410−【答案】B【解析】【分析】根据题意，对36152310000取对数可得3613615

2523310000361352435.810000lglglglg=−=−−，即可得36135.85231010000−，分析选项即可得答案．【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.81

0000lglglglg=−=−−，即可得36135.85231010000−分析选项：B中3610−与其最接近，故选B.【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．7.函数()223,02ln,0xxxfxxx−−+=−，直线ym=与函数()fx的图象相交于

四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a、b、c、d，则abcd的取值范围是（）A.)0,4eB.()4,e+C.()443,ee−D.)40,e【答案】D【解析】作出函数()fx的图象，由图象得出

34m，推导出3abm=−，4cde=，进而可求得abcd的取值范围.【详解】函数()fx的图象如下图所示，直线ym=与函数()fx的图象相交于四个不同的点，当0x时，()()2223144fxxxx=−−+

=−++，由图象可知，实数m的范围是)3,4，由已知a、b为方程223xxm−−+=的两根，即方程2230xxm++−=的两根，所以3abm=−，c、d为方程2lnxm−=的两根，且20ced，则2lnln2cd−=−，

所以，4lnlnlncdcd=+=，4cde=，而)30,1abm=−，所以有())4430,abcdmee=−，故选：D.【点睛】本题考查函数零点代数式取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等

题.8.已知直线1l：310mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=相交于点P，线段AB是圆C：()()22114xy+++=的一条动弦，且23AB=，点D是线段AB的中点.则PD的最大值为（）A.32B.82C.52D.421+【答案】D【解析】根据条件可先判断出

12ll⊥并结合直线过定点确定出P的轨迹方程，再根据条件计算出CD的长度，结合图示说明何时PD有最大值并计算出最大值.【详解】由题意得圆C的圆心为()1,1−−，半径2r=，易知直线1l：310mxym−−+=恒过点()3,1M，直线2l：310xmym

+−−=恒过()1,3N，且12ll⊥，P的轨迹是以MN为直径的圆，点P的轨迹方程为()()22222xy−+−=，圆心为()2,2，半径为2，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：连接CD，由23AB=，易知()2431C

D=-=.22maxmax3321421PDPCCD=+=+++=+，此时,,PCD三点共线且C在线段PD上，故选：D.【点睛】本题考查和圆有关的轨迹问题，解答此类问题时作出图示能有效帮助分析问题，这类问题对学生的分析与作图能力要求较高，难度较难.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（）A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B.公共类电动汽车

充电桩保有量的中位数是25.7万台C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D.从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%【答案】ABC【解析】【分析】根据统计图表分别对选项A、B、C、D验证即可.【详解】私人类电动汽

车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，A错误；这5次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B错误；因为4.914.121.43044.723.025++++=，故C项错误，D项显然正确．故选：ABC.【点睛】本题考查统计图表与

用样本估计总体，涉及到中位数、平均数等知识，是一道基础题.10.设椭圆22:12xCy+=的左右焦点为1F，2F，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）A.1222PFPF+=B.离心率62e=C.12PFF面积的最大值为

2D.以线段12FF为直径的圆与直线20xy+−=相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得12PFF面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线20xy+−=的距离，与半径c

比较，由此判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知12222PFPFa+==，所以A选项正确.对于B选项，依题意2,1,1abc===，所以1222cea===，所以B选项不正确.对于C选项，1222FFc==，当P

为椭圆短轴顶点时，12PFF的面积取得最大值为1212cbcb==，所以C选项错误.对于D选项，线段12FF为直径的圆圆心为()0,0，半径为1c=，圆心到直线20xy+−=的距离为212=，也即圆心到直线的距离等于

半径，所以以线段12FF为直径的圆与直线20xy+−=相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.11.记函数()sin23πfxx=−的图象为曲

线F，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为B.函数()fx在区间5,1212−上单调递增C.曲线F关于直线12x=−对称D.将函数sin2yx=的图象向右平移3个单位长度，得到曲线F【答案】ABC【解析】【分析】

求出周期即可判断A；由222232kxk−+−+求出单调性可判断B；求出12f−即可判断C；求出sin2yx=平移后的解析式即可判断D.【详解】函数()fx的最小正周期为22=，故A选项正确；由2

22232kxk−+−+，解得()51212kxkk−++Z，所以函数()fx在区间5,1212−上单调递增，故B选项正确；由于sin2sin1121232f−=−−=−=−，所以直线12x=−

是曲线F的一条对称轴，故C选项正确：sin2yx=向右平移3个单位长度得到2sin2sin233yxx=−=−，故D选项错误.故选：ABC.12.已知1a，01cb，

下列不等式成立的是（）A.bcaaB.ccabba++C.loglogbcaaD.bcbaca++【答案】ACD【解析】【分析】利用指数函数xya=的单调性可判断A选项；利用作差法可判断B、D选项；利用换底公式以及不等式的性质可判断C选项.【详解】由1a，则函数xya=为R上的增函数

，01cbQ，可得bcaa，故A正确；由1a，01cb，()()()()()0cbabcaacbccabbabbabba+−+−+−==+++，则ccabba++，B错误；由1a，01c

b，1loglogbaab=，1loglogcaac=，则loglog0aacb，110loglogaabc，可得loglogbcaa，故C正确；由1a，01cb，()()()()()()()0bcacba

abcbcbacabacabaca+−+−−==++++++，则bcbaca++，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查代数式的大小比较，考查了作差法、函数单调性以及对数函数单调性的应用，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知z是z的共轭复数，且满足()1

4iz+=(其中i是虚数单位)，则z=________.【答案】22【解析】【分析】根据复数的除法运算得22zi=−，进而得22zi=+，再求模即可.【详解】44(1)221(1)(1)iziiii−===−++−，故22

zi=+，所以22z=.故答案为：22.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________【答案】13【解析】【分析】利用11ANMDDAMNVV−−=计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1

D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以11111112323ANMDDAMNVV−−===故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15.已知等比数列na的前n项和为nS，

若135aaa++＝21，468aaa++＝168，则8S＝________．【答案】255【解析】【分析】直接由条件求解首项和公比即可得解.【详解】等比数列na的前n项和为nS，135aaa++＝21，468aaa++＝168，

∴2411135711121168aaqaqaqaqaq++=++=，解得1a＝1，q＝2，∴()8811225512S−==−．故答案为：255.16.已知函数21()21xxfx-=+，若正数a，b满足(4)(9)0fa

fb+−=，则11ab+的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】先判断()fx是定义在R上的奇函数且单调递增，再化简得到49ab+=，最后求11ab+的最小值并判断等号成立即可.【详解】解：因为21()21xxfx-=+，所以()fx的定义域为R，关于原点对称，所以21122

1()()212121xxxxxxfxfx−−−−−−===−=−+++，则()fx的定义在R上的奇函数，因为212()12121xxxfx−==−++，所以()fx是定义在R上的增函数因为(4)(9)0fafb+−=，即(4)(9)(9)fafbfb=−−=−，则4

90ab+−=，即49ab+=因为a、b均为正数，所以11111114552199944abbababaababab+=++=+++=()当且仅当4baab=即23ba==时，等

号成立，所以11ab+的最小值为：1.故答案为：1.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断与应用、函数单调性的判断与应用、利用基本不等式“1”的妙用求最值，是中档题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①1c=，ABC的面积为34，②3bc=，③4A=这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinC的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinsinbBaCaAcC+=+，______？【答案】答案见解析.

【解析】【分析】先利用正弦定理化简sinsinsinsinbBaCaAcC+=+得到3B=.选择条件①：求出1a=，3C=，即得解；选择条件②：利用正弦定理求解；选择条件③：由4A=得512C=，即得解.【详

解】由sinsinsinsinbBaCaAcC+=+及正弦定理可得222bacac+=+，由余弦定理可得222221cos222acbbacbBacac+−+−===，又因为()0,B，所以3B=.选择条件①：因为1133sin2224ABCSacBa==

=△，所以1a=.又因为1ac==，3B=，所以ABC是等边三角形，所以3C=，所以3sin2C=.选择条件②：由正弦定理sinsinbcBC=，及3bc=得sinsin13sin23ccBCbc===.选择条件③：由4A=得512CAB=−−=，所以

526sinsinsinsincoscossin126464644C+==+=+=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查和角的正弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民

生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情.接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，

经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元()0m满足41kxm=−+（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品

需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品1224xx+元.（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）()163601ymmm=−−+

；（2）3万元.【解析】【分析】（1）根据题意，0m=时，2x=，求出2k=，由利润=销售收入−固定成本−投入成本−促销费用，即可求解.（2）由（1）的表达式，利用函数的单调性即可求解.【详解】解：()1由题意知，当0m=时，2(x=万件)，则24k=−，解得2k=，241xm=−+．因为每件

产品的销售价格为1224(xx+元)，所以2020年的利润()1224168163601xyxxmmmxm+=−−−=−−+．()2由（1）可知()163601ymmm=−−+，令11mt+=，所以16163737ytttt=−−=−+，由16yt

t=+在1,4上单调递减；在4,+上单调递增，所以16ytt=+在4t=取得最小值8，即3x=，所以163737829ytt=−+−=，所以83729y−+=，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面AB

CD为菱形，60ABC=，PBPC=，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点.（1）证明：平面PAE⊥平面BCP.（2）若22PAABPB==，二面角ABDF−−的余弦值为35，求PD与平面BD

F所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）210【解析】【分析】（1）由PEBCBCAE⊥⊥，得BC⊥平面PAE，进而可得证；（2）先证得PA⊥平面ABCD，设ACBDO=，以O为坐标原点，OB的方向为

x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−，分别计算平面BDF的法向量为n和PD，设PD与平面BDF所成角为，则sinnPDnPD=，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC，因为PBPC=，E为线段BC的中点，所以PEBC⊥.又ABBC=，60

ABC=，所以ABC为等边三角形，BCAE⊥.因为AEPEE=，所以BC⊥平面PAE，又BC平面BCP，所以平面PAE⊥平面BCP.（2）解：设ABPAa==，则2PBaPC==，因为222PAABPB+=，所以PAAB⊥，同理可证PAAC⊥，所以PA⊥

平面ABCD.如图，设ACBDO=，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−.易知FOA为二面角ABDF−−的平面角，所以3cos5FOA=，从而4tan3FOA=.由432A

Fa=，得23AFa=.又由20,,23aaF−，3,0,02Ba，知32,,223aaaBF=−−，20,,23aaOF=−.设平面BDF的法向量为(),,nxyz=，由nBF⊥，nOF⊥，得32022

32023aaaxyzaayz−−+=−+=，不妨设3z=，得()0,4,3n=.又0,,2aPa−，3,0,02Da−，所以3,,22aaPDa=−−.设PD与平面BDF所成角为，则222232sin1031544nPDaa

nPDaaa−===++.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关

点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知数列na的前n项和为nS，10a=，1nnSan+=−，*nN.（1）求证：数列1na+是等比数列；（2）设数列nb的前n项和为nT，已知

1nnnba=+，若不等式922nnTma−+对于*nN恒成立，求实数m的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）6116.【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−可得数列{}na的递推关系，121nnaa+=+，然后可证

明{1}na+是等比数列；（2）由（1）求出1na+，即得nb，利用错位相减法求得nT，不等式922nnTma−+对于*nN恒成立，转化为2542nnm−−恒成立，求出2542nn−−的最小值即可得结论．【详解】（1）由12

31nnaaaana++++++=，得12311nnaaaana−+++++−=（2n），两式相减得121nnaa+=+，所以()1121nnaa++=+（2n），因为10a=，所以111a+=，2111aa=+=，()21121aa+=+.所以1n

a+是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由1nnnba=+，又由（1）可知121nna−=−，得12nnnb−=，∴21231222nnnT−=++++，则23112322222nnnT=++++，两式相减得2311111121122222

222nnnnnnT−+−=+++++−=−，所以1242nnnT−+=−.由92nnTm−恒成立，即2542nnm−−恒成立，又1123252744222nnnnnn++−−−−−−=，

故当3n时，2542nn−−单调递减；当3n=时，323531428−−=；当4n时，2542nn−−单调递增；当4n=时，4245614216−−=；则2542nn−−的最

小值为6116，所以实数m的最大值是6116.【点睛】本题考查由nS求na，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．21已知椭

圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32yx=与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点2F，椭圆C的另一个焦点是1F，且1294MFMF=.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆1F：()2211xy++=，动圆

P的圆心P在椭圆C上并且与圆1F外切，直线l是圆P和圆1F的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F1AB的面积.【答案】（1）22143xy+=；（2）79【解析】【分析】（1）求出M点坐标，根据1294MFMF=可求

出c，M点坐标代入椭圆标准方程可求得答案；（2）由11214PFRPFPF=++=可得到2R=，当圆P的半径最长时，其方程为()2224xy−+=，l与x轴的交点为Q，由直线与圆相切得到直线的斜率，再根据弦长公式和三角形的面

积公式可得答案.【详解】（1）设椭圆方程22221xyab+=（0ab），点M在直线32yx=上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点()2,0Fc，则点3,2cMc.123392,0,224ccMFMFc=

−−−=.即29944c=，1c=，所以31,2M，又222219141abab+==+，解得2243ab==椭圆C的方程为22143xy+=.（2）设动圆P的半径为R，点P的坐标为(),xy，()11

,Axy，()22,Bxy，由已知11214PFRPFPF=++=，得()233212RPF=−−−=，当且仅当圆P的圆心为()2,0时，2R=.所以当圆P的半径最长时，其方程为()2224xy−+=，

因为直线l是圆P和圆1F的外公切线，所以直线l的倾斜角不为90且不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则121QPRQFr==，可求得()4,0Q−，设l：()4ykx=+，由l与圆1F相切得2311kk=+，解得24k=.当24k=时，将224yx=+代

入22143xy+=并整理得，27880xx+−=，解得1,24627x−=，所以2222121212122)218()()(1)(147ABxxyykxxxx=−+−=+−=+−=，当24k=−时，由图形的对称性可知187AB=.又点F1到直线l的距

离1=d，所以三角形F1AB的面积为79171821||21===dABS.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式和三角形的面积公式.22.已知函数()()()22

244xfxxxeaxeaR=−+−−.（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l过点（0，1-e），求实数a的值；（2）当a＞0时，若函数f（x）有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)1a=;(2)(),e+【解析】【

分析】（1）求出()fx，进而可求出()1f，()1f，求出()()1,1f与()0,1e−连线斜率，该斜率与()1f相等，从而可求出a；（2）结合导数，求出()fx的单调性及存在()0,ma，使得mmea=，由函数的零点情况可得(

)0fm，令()()()322440xxxxxeex=−+−+−，结合导数求出单调性，进而求出m的取值范围，即可求出a的取值范围.【详解】解：（1）()()()()22442442222xxxxfxxexxeaxxeaxxxea=−+−+−=−=−，(

)()11244feaeea=−+−−=−，()()12fea=−，则()()1,1f与()0,1e−连线斜率()()111212011efeeakeaea−−−−+===−−=−−−，则1a=；（2）由()()2xfxxxea=−,当0x时，由0a可得，0xxea

−，此时()0fx；当0x时，令()xgxxe=，则()()10xgxxe=+，则()gx在)0,+上为增函数，因为()00g=，()agaaea=，故存在()0,ma，使得()mgmmea==，当0xm时，0xxea−，则()0fx；当xm时，0xxea−，则(

)0fx，则函数()fx的增区间为()(),0,,m−+，减区间为()0,m；令()()()22440xhxxxex=−+，有()220xhxxe=，则()hx单调递增，有()4hx，又()()22120xh

xxe=−+，可得()04hx，有22240faeeaa−−−−=−，又由()040fe=−，故()fx在2,0a−上有且只有一个零点，因为()fx有且只有三个零点，必有()0fm

，即()()()2223244244mmmfmmmeamemmemee=−+−−=−+−−()322440mmmmee=−+−+−，令()()()322440xxxxxeex=−+−+−，有()()320xxxxe=−+，可得()x为减函数，由()10ee=−=，可

得()0fm时，1m>，有mamee=，当2exa+且xea时，有()22,lnaxexa−，()()()22224420fxaxxaxeaxe−+−−=−−，故当0a时，若()fx有且只有三个零点，则实数a的取值范围是(),e+

.【点睛】关键点睛:本题的关键是第二问中，运用导数求函数的单调性后，得出函数极小值的正负情况.