【文档说明】福建省福州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，823.917 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3b780f3a9ee43b94457b9a4015d9fd8f.html

以下为本文档部分文字说明：

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共８小题，每小题5分，共４０分。1．已知全集((0,4,2,4UUABACB===，则集合B=（）A．(,2−B．(),2−C．(0,2D．()

0,22．某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系：150yx=−+，2210yx=−，当12yy=时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万

件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（）A．6百元B．8百元C．9百元D．18百元3．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．x=|x|B．x≥2xC．

x>-xD．x>1x−4．已知函数2943,0()2log9,0xxxfxxx+=+−，则函数(())yffx=的零点所在区间为（）A．(1,0)−B．73,2C．7,42D．(4,5)5．设函数()2,11,1xaxfxxx

−=+，若()1f是𝑓(𝑥)的最小值，则实数a的取值范围为（）A．)1,2−B．1,0−C．1,2D．)1,+6．已知函数()fx的定义域为R，且()()()()0fxyfxyfxfy++−−=，()11f−=，则（）A．()00f=B．()fx为奇函数

C．()81f=−D．()fx的周期为37．函数()(),fxgx的定义域均为R，且()()()()4488fxgxgxfx+−=−−=，，()gx关于4x=对称，()48g=，则()1812mfm=的值为（）A．24−B．32−C．34−D．4

0−8．已知函数()()()lg2240fxxaxaa=+−−+，若有且仅有两个整数1x、2x使得()10fx，()20fx，则a的取值范围是（）A．(0,2lg3−B．(2lg3,2lg2

−−C．(2lg2,2−D．(2lg3,2−二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共１８分。9．下列命题正确的是（）A．“1a”是“21a”的充分不必要条件B．“MN”是“lgMlgN”的必要不

充分条件C．命题“2,10xRx+”的否定是“xR，使得210x+”D．设函数()fx的导数为()fx，则“0()0fx=”是“()fx在0xx=处取得极值”的充要条件10．若函数()fx的定义域为R，且()()2()()fxyfx

yfxfy++−=，(2)1f=−，则（）A．(0)0f=B．()fx为偶函数C．()fx的图象关于点(1)0，对称D．301()1ifi==−11．已知函数()yfx=是R上的奇函数，对于任意xR，都有(4)()(2)fxfxf+=+成立，当)0,

2x时，()21=−xfx，给出下列结论，其中正确的是（）A．(2)0f=B．点(4,0)是函数()yfx=的图象的一个对称中心C．函数()yfx=在[6,2]−−上单调递增D．函数()yfx=在[6,6]−上有3个零点三、填空题：本大题共３

小题，没小题５分，共15分。12．设函数()()xxfxeaeaR−=+，若()fx为奇函数，则a=.13．422log30.532314964log3log2225627−−−++=14．设m为实数，若22250{()|30}{(

)|25}0xyxyxxyRxyxymxy−+−++，，、，，则m的最大值是．四、解答题：本题共５小题，共77分。15．（本题13分）阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0xxfxxxx+=−+„

，（1）求f（－2）与f（2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝①．因为2＞0，所以f（2）＝②．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3，而且f（0）＝3，所以f(x)在(,0]−上的最大值为③．又因为x

＞0时，有22()2(1)11fxxxx=−+=−−+„，而且④，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，f(x)的最大值为⑤．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出

你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．（－2）＋3＝1B．2(2)2(2)8−−+−=−②A．2＋3＝5B．22220−+=③A．3B．0④A．f（1）＝1B．f（1）＝0⑤A．1B．316．（本

题15分）如图，某小区要在一个直角边长为30m的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABCV，花园为矩形DEFG．根据规划需要，花园的顶点F在三角形的斜边BC上，边DG在三角形的直角边AC上，顶点G到点C的距离是顶点D到点A

的距离的2倍．(1)设花园的面积为S（单位：2m），AD的长为x（单位：m），写出S关于x的函数解析式；(2)当AD的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．17．（本题15分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：0x时，21()21xxfx-=+.(1)求()fx的表达式；

(2)若关于x的不等式()2(23)10faxfax++−恒成立，求a的取值范围.18．（本题17分）已知0,abacd≥≥≥，且abcd≥．（1）请给出,,,abcd的一组值，使得2()abcd++≥成立；（2）证明不等式abcd++≥恒成立

．19．（本题17分）对于非负整数集合S（非空），若对任意,xyS，或者xyS+，或者xyS−，则称S为一个好集合．以下记S为S的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S=的好集合

．（同时说明理由）（3）若好集合S满足2019S=，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学参考答案1．C【分析】集合运算可得()=IUUBCACB，即可求出结果【详解】(0,4]AB=，(2,4]=

IUACB所以()(0,2]==IUUBCACB故选：C2．C【分析】求出封城前的平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x为5021020xxx−+=−=，平衡需求

量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014xx=−+=，223621023xx=−=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3．D【详解】分析：x表示不超过x的

最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设1.5x=，1x=，1.5x=，21.5x=，10.5x−=，排除A、B，设1.5x=−，2x=−，1.5x−=，排除C．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4．B【解析】当0x„时，()43(()

)43430xfxffx+=+=+=无解，此时，(())yffx=无零点；当0x时，根据()fx为增函数，且(3)0f=可得函数(())yffx=的零点为3()2log12xgxx=+−的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x„时

，()430xfx=+，()43(())43430xfxffx+=+=+=无解，此时，(())yffx=无零点；当0x时，293()2log92log9xxfxxx=+−=+−为增函数，且(3)0f=.令(())0(3

)ffxf==，得3()2log93xfxx=+−=，即32log120xx+−=，令3()2log12xgxx=+−，则函数(())yffx=的零点就是3()2log12xgxx=+−的零点，因为()3332log31230g=+−=−，72377()2log1222g=+−3782lo

g1202=+−，所以函数(())yffx=的零点所在区间为73,2.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据解析式判断函数的单调性，属于中档题.5．C【分析】

由1x，求得()fx的范围；再求得||()2xafx−=的单调性，讨论1a，1a…时函数()fx在1x„的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1xaxfxxx−=+„，若1x，可

得()12fxx=+，由()1f是()fx的最小值，由于||()2xafx−=可得在xa单调递增，在xa单调递减，若1a，1x„，则()fx在xa=处取得最小值，不符题意；若1a…，1x„，则()fx在1x=处取得最小值，且122a−„，解得12

a剟，综上可得a的范围是[1，2]．故选：C．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6．C【分析】令0xy==，则得(0)2f=，再令0x=即可得到奇偶性，再令1y=−则得到其周期性，最后

根据其周期性和奇偶性则得到()8f的值.【详解】令0xy==，得()()22000ff−=得(0)0f=或(0)2f=，当(0)0f=时，令0y=得()0fx=不合题意，故(0)2f=，所以A错误；令0x=得()()fyf

y=−，且()fx的定义域为R，故()fx为偶函数，所以B错误；令1y=−，得(1)(1)()fxfxfx−++=，所以()(2)(1)fxfxfx++=+，所以(2)(1)fxfx+=−−，则(3)()fxfx+=−，则()(6)

(3)fxfxfx+=−+=，所以()fx的周期为6，所以D错误；令1xy==，得2(2)(0)(1)fff+=，因为()()111ff−==所以(2)1f=−，所以()(8)21ff==−，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利

用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7．C【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44fxgx+−=①，()()88gxfx−−=②，对于②式有：()()88gxfx+−=③，由①+③有：()()8412gxgx++−

=，即()()1212gxgx+−=④，又()gx关于4x=对称，所以()()8gxgx=−⑤，由④⑤有：()()81212gxgx−+−=，即()()81212gxgx+++=，()()4812gxgx+++=，两式相减得：()()1240gxgx+−+=，即()()124gxgx

+=+，即()()8gxgx+=，因为函数()gx的定义域为R，所以()gx的周期为8，又()48g=，所以()()()412208ggg====，由④式()()1212gxgx+−=有：()66g=，所以()()()614226ggg====，由()48g=，()()1212gxgx+−=有：

()84g=，所以()()()816244ggg====，由⑤式()()8gxgx=−有：()()266gg==，又()()8gxgx+=，所以()()1026gg==，由②式()()88gxfx−−=有：()()88fxgx=+−，所以()()()()

()()()18122436101244818mfmfffggg==+++=+++−()686446881834=+++++−=−，故A，B，D错误.故选：C.8．A【分析】由题意可知，满足不等式()lg224xaxa−+−的解中有且只有两个整数，即函数lgyx=在直线()224

yaxa=−+−上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg33224aaa−−+−以及0a，由此可得出实数a的取值范围.【详解】由()()lg2240fxxaxa=+−−+，得

()lg224xaxa−+−.由题意可知，满足不等式()lg224xaxa−+−的解中有且只有两个整数，即函数lgyx=在直线()224yaxa=−+−上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422

yaxaax=−+−=−−，该直线过定点()2,0.要使得函数lgyx=在直线()224yaxa=−+−上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg33224aaa−−+−，即22lg3aa−，解得2lg3a−，又0a，所以，02lg3

a−，因此，实数a的取值范围是(0,2lg3−.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.9．AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由

全称命题的否定是→，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A选项中，211aa，但211aa或1a−，故A正确；B选项中，当0MN时有lgMlgN，而lgMlgN必有0MN，

故B正确；C选项中，否定命题为“xR，使得210x+”，故C错误；D选项中，0()0fx=不一定有()fx在0xx=处取得极值，而()fx在0xx=处取得极值则0()0fx=，故D错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特

称量词命题的否定，属于简单题.10．BCD【分析】对于A，令2,0xy==,可得(0)1f=；对于B，令0,xyx==，可得()()fxfx=−，即可判断；对于C，令1xy==得𝑓(1)=0，再令1,xyx=

=即可判断；对于D，根据条件可得()()2fxfx=−−,继而()()2fxfx=−+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A，令2,0xy==，则()()()22220fff=，因为(2)1f=−，所以()220f−=−，则(0)1f=，故A错误；对于B

，令0,xyx==，则()()()2(0)()2fxfxffxfx+−==，则()()fxfx=−，故B正确；对于C，令1xy==得，()()()220210fff+==，所以𝑓(1)=0，令1,xy

x==得，(1)(1)2(1)()0fxfxffx++−==，则()fx的图象关于点(1)0，对称，故C正确；对于D，由(1)(1)0fxfx++−=得()()2fxfx=−−，又()()fxfx=−，所以

()()2fxfx−=−−，则()()2fxfx=−+，()()24fxfx+=−+，所以()()4fxfx=+，则函数()fx的周期为4，又𝑓(1)=0，(2)1f=−，则()()()3310fff=−==，()()401ff==

，则𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=0，所以()()301()12701ififf==++=−，故D正确，故选：BCD.11．AB【分析】由(4)()(2)fxfxf+=+，赋值2x=−，可得(4)()fxfx+=，故A正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B正确；作出函

数图象，可得CD不正确.【详解】在(4)()(2)fxfxf+=+中，令2x=−，得(2)0f−=，又函数()yfx=是R上的奇函数，所以(2)(2)0ff=−=，(4)()fxfx+=，故()yfx=是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()fx的对称中心，所以(4,0)也是函数()yfx

=的图象的一个对称中心，故A、B正确；作出函数()fx的部分图象如图所示，易知函数()yfx=在[6,2]−−上不具单调性，故C不正确；函数()yfx=在[6,6]−上有7个零点，故D不正确.故选：AB【点

睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.12．-1【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()xxfxeae−=+为奇函数，则()()fxfx−=−，即()xxxx

aeaeee−−+=−+，即()()10xxeae−++=对任意的x恒成立，则10a+=，得1a=−.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13．1−【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232lo

g3494122563−−++=42log379121616−++131=−+1=−．故答案为：1−.14．43【分析】设()250{,|30,,}0xyMxyxxyRmxy−+=−+

，()22{,|25}Nxyxy=+，将两个点集用平面区域表示，因为MN，故M表示的平面区域在N的内部，根据这一条件得出m的最大值．【详解】解：设()250{,|30,,}0xyMxyxxyRmxy−+=−+，()22{,|25}Nxyxy=+，显然点集N表示以

原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集M是二元一次不等式组25030,,0xyxxyRmxy−+−+表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界250xy−+=交圆2225xy+=于点()()3,4,5,0AC−，边界ymx=−恒过原点，要求m的最

大值，故直线ymx=−必须单调递减，因为MN，所以当ymx=−过图中B点时，m取得最大，联立方程组22325xxy=+=，解得()3,4B−，故4030m−−−=−，即max43m=．【点睛】本题表面上考查了集合的运算问题，实质是考查了二元一次不等组表示的平面区域和二元二次不

等式对应平面区域的画法，还考查了动态分析问题的能力，属于中等偏难题．15．（1）①A；②B；（2）③A；④A；⑤B．【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0xxfxxxx+=−+„，（1）因为20−，所

以()2231f−=−+=，因为20，所以()222220f=−+=（2）因为0x时，有()33fxx=+，而且()03f=，所以()fx在(,0]−上的最大值为3．又因为0x时，有22()2(1)11fxxxx=−+=−−+„，而且()11f=，所以()fx在(0,+

∞)上的最大值为1．综上，()fx的最大值为3．16．(1)()()2303,010Sxxx=−(2)当AD的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为1502m.【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【详解】（1）,ADx=则2CGGFx==

，302303GDxxx=−−=−，所以()()2303,010SGDGFxxx==−（2）()()()233032223033303150332xxSxxxx+−=−=−=，当且仅当3303xx=−，即5

x=时等号成立，故当AD的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为1502m.17．(1)21()21xxfx-=+(2)(4,0−【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()fx在R上单调递增，然后再

结合()fx是定义在R上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【详解】（1）设0x，则0x−，因为0x时，21()21xxfx-=+，所以()21122112xxxxfx−−−−−==++又因

为()fx是定义在R上的奇函数，即()()12211221xxxxfxfx−−=−−=−=++所以当0x时，21()21xxfx-=+综上，()fx的表达式为21()21xxfx-=+（2）由（1）可知，212()12121xxxfx−==−++，设在R上任

取两个自变量12,xx，令12xx则()()121222112121−=−−−++xxfxfx()()()1221212222221212121xxxxxx−=−=++++因为12xx，则12220xx−，所以(

)()()()12120fxfxfxfx−所以函数()fx在R上单调递增.即()()22(23)10(23)1faxfaxfaxfax++−+−−，由()fx是定义在R上的奇函数，可得()()2211faxfax−−−=即()21(23)fa

xfax−+，由函数()fx在R上单调递增，可得22231240axaxaxax+−−−恒成立，当0a=时，即40−，满足；当0a时，即20Δ4160aaa=+，解得40a-<<综上，a的取值范围为(4,0−18．（1）2,1,1,1abcd====−

（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由acd≥≥可得()()0acad−−≥,整理可得2()acdcda++≥,两边同除a可得cdacda++≥,再由abcd≥可得cd

ba≥,两边同时加a可得cdabaa++,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1abcd====−（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a,因为acd≥≥,所以()()0acad−−≥.所以2()0acda

cd−++≥,即2()acdcda++≥.因为0ab,所以cdacda++≥,因为abcd≥,所以cdba≥,所以cdabacda+++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19．（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,

}bcbc+；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设,,,Sabcd=，其中abcd，由0S知0a=；由0dcS−可知dcc−=或dcb−=，

分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n=，则21Sn=+，设1220,,,,nSxxx=，由归纳推理可求得()1iximin=，从而得到22nMxnm==，从而得到S，可知存在元素m满足题意.【详解】（

1）0，0,1，0,2，0,1,2．（2）设,,,Sabcd=，其中abcd，则由题意：ddS+，故0S，即0a=，考虑,cd，可知：0dcS−，dcc−=或dcb−=，若dcc−=，则考虑,bc，2cbccd+=，cbS−，则cbb−=，

,,2,4Sabbb=，但此时3b，5bS，不满足题意；若dcb−=，此时0,,,Sbcbc=+，满足题意，{0,,,}Sbcbc=+，其中,bc为相异正整数．（3）记1009n=，则21Sn=+，首先，

0S，设1220,,,,nSxxx=，其中1220nxmxxM==，分别考虑M和其他任一元素ix，由题意可得：iMx−也在S中，而212210,nnMxMxMxM−−−−−，()2

1iniMxxin−−=，2nMx=，对于1ijn，考虑2nix−，2njx−，其和大于M，故其差22ninjjixxxxS−−−=−，特别的，21xxS−，2122xxm==，由31xxS−，且1313xxxx−，3213xxxm=+=，以此类推：()1ixim

in=，22nMxnm==，此时()0,,2,,,1,,2Snmnmnmnm=+，故S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．