【文档说明】北京师范大学附属实验中学2023届高三上学期期中数学试题（解析版）.docx，共(21)页，962.598 KB，由小赞的店铺上传

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北京师范大学附属实验中学2022-2023学年度高三年级第一学期期中数学练习试卷试卷说明：1.本试卷共4页，3道大答题，21道小题2.本试卷考试时间为120分钟；总分为150分；3.本试卷共有三道大题，21道

小题；所有题目答案一律写在答随卡上.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U=R，|0Axx=，|1Bxx=

，则集合()UBA=ð（）A.0xx∣B.{0}xx∣C.1xx∣D.{1}xx∣【答案】C【解析】【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为全集U=R，|0Axx=，|1Bxx=，所以|0UAxx=ð，()|1UAxxB=ð；故选：C

2.已知向量()(),2,2,1amb==−.若ab⊥，则m的值为（）A.4B.1C.4−D.1−【答案】B【解析】【分析】利用0ab=，即可求出m【详解】由ab⊥得，220abm=−=，解得1m=故选：

B3.命题“0x，使得21x”的否定为（）A.0x，使得21xB.0x，使得21xC.0x，都有21xD.0x，都有21x【答案】D【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称

量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0x，使得21x”的否定为“0x，都有21x”故选：D4.关于x的不等式22280xaxa−−的解集为()12,xx，且2115xx−=，则a的值为（）A.152B.152C.52D.52【答案】D【

解析】【分析】根据22112122(())4xxxxxx−=+−以及韦达定理即可求解.【详解】因为关于x的不等式22280xaxa−−的解集为()12,,xx12,xx是方程22280xaxa−−=的两个不同的实数根，且224320aa=+，212122,8xxaxxa+==−，2

115xx−=，()22221212154432xxxxaa=+−=+，221536a=，解得52a=故选：D.5.下列函数中，是奇函数且在区间()0,+上为增函数的是（）A.2lnyx=B.3yx=C.1yxx=−D.tanyx=【答案

】C【解析】【分析】由对数函数、幂函数和正切函数奇偶性和单调性直接判断各个选项即可.【详解】对于A，∵2lnyx=定义域为()0,+，不关于原点对称，所以lnyx=为非奇非偶函数，A错误；对于B，因为3yx=定义域为R，且

()333xxx−=−=，3yx=为偶函数；B错误；对于C，∵1yxx=−定义域为()()00−，，+，()()11xxxx−−=−−−，所以1yxx=−为奇函数，又函数yx=在()0,+单调递增，函数1yx=在()0,+上单调递减，所以函数1yxx=−在(

)0,+上单调递增，C正确；对于D，tanyx=定义域为,Z2xxkk+，()tantanxx−=−，tanyx=为奇函数；又tantan20==，所以函数tanyx=在在区间()0,+上不是增函数，D错误

.故选：C.6.设函数()322xfxx−=−则其零点所在的区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】B【解析】【分析】分别计算()0f，()1f，()2f，()3f，()4f，根据零点存在定理结合函数的单调性，得到答案.【详解】函数()3

22xfxx−=−，所以()040f=−，()110f=−，()270f=，()53302f=，()255404f=，又()2332122xxfxxx−−=−=−，因为函数3yx=在(),−+上

为单调递增，函数212xy−=在(),−+上单调递减，所以函数()2312xfxx−=−在(),−+上单调递增，结合零点存在定理，可知()fx的零点所在区间为()1,2.故选：B.7.若等差数列na满足7

897100,0aaaaa+++，则当na的前n项和的最大时，n的值为（）A.7B.8C.9D.8或9【答案】B【解析】【分析】首先明确当na的前n项和的最大时,0na,10na+；再根据等差数列

的下标性质，找出满足上述条件的n的值即可.【详解】因为789830aaaa++=，所以80a，因为710890aaaa+=+，所以90a，所以当na的前n项和的最大时，n的值为8.故选：B.8.设xR，则“260xx+−”是“11x−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充

分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式与绝对值不等式，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由260xx+−，即()()320xx+-?，解得32x−，由11x−，即111x−−，解得02

x，记3,2A=−，()0,2B=，因为BA，即由260xx+−推不出11x−，由11x−推得出260xx+−，所以“260xx+−”是“11x−”的必要而不充分条件；故选：B9.函数()

()cos0,2fxx=+的图象如图所示，为了得到sinyx=的图象，只需把()yfx=的图象上所有点（）A.向右平移6个单位长度B.向右平移12个单位长度C.向左平移6个长度单位D.向左平移12

个长度单位【答案】A【解析】【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法则求解即可.【详解】由图可知周期满足7πππ41234T=−=，故πT=，

∴2π2T==，2,32ππkkZ+=+，2，∴π6=−，即()ππcos2sin263fxxx=−=+，所以将()πsin26fxx=+向右平移π6个单位，得到sin2yx=.故选：A.【点睛】由图象求三角函数解

析的方法：利用最值求出A,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求，是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.10.在直角坐标系xOy中，对于点(

,)xy，定义变换：将点(,)xy变换为点(,)ab，使得tan,tan,xayb==其中ππ,(,)22ab−.这样变换就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线.则四个函数12(0)yxx=，22(0)yxx=，3ln(1)yxx=，4e(0)xyx=在坐标系xOy

内的图像，变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是（）A.②，③，①，④B.③，②，④，①C.②，③，④，①D.③，②，①，④【答案】C【解析】【分析】用,xy表示出,ab，根据tantanxayb==，通过正切函数的单调性，判断出b在图像上的变

化，进而判断出答案.【详解】解：由tantanxayb==，对于4exy=(0)x，显然，41y，根据正切函数的性质，4b，4y对应的图像为①；对于3ln(1)yxx=，tan1xa=，故4a，3y对应的图像为④；对于1y和2y

，当02x时，22xx，故此时，12yy，转换后，当02a时，必有对应的12tantanbb，1y∴对应的图像为②，2y对应的图像为③．故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11已知πtan24x+=

，则tanx=__________．【答案】13【解析】.【详解】∵πtantanπtan14tan2π41tan1tantan4xxxxx+++===−−，∴可得1tan3x=，故答案为13．12.在复平面中，复数13i1iz+=−对应的点的坐标是__________

.【答案】()1,2-【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义求出所对应的坐标.【详解】解：()()()()213i1i13i1i3i3i12i1i1i1i2z++++++====−+−−+，所以复数13i1i

z+=−在复平面内对应的点为()1,2-；故答案为：()1,2-13.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则ACBD−=____________．【答案】3【解析】【分析】利用ABCDEF是正六边形，

且边长为1，得到3ACBD==，AC与DB的夹角为120，利用平面向量的数量积运算得到ACDB，利用平面向量的数量积求ACBD−即可.【详解】因为ABCDEF是正六边形，且边长为1，则120,90,30ABCBCDABDBAC====,所以3ACBD==，且A

C与DB的夹角为120，因此13cos12033()22ACDBACDB==−=−．()2ACBDACDBACDB−=+=+222ACACDBDB=++332332=+−+=故答案为：

3.14.已知数列na中，22a=，若对任意的*Nm，都有mnmnaaa+=+，那么4a=__________；132021242022aaaaaa+++=+++__________.【答案】①.4②.10111012【解析】【分析】令1mn==，求出1a，令

1m=，即可得到11nnaa+−=，从而得到数列{}na是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出{}na的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】解：数列{}na中，22a=，对任意的*Nm，都有mnmnaaa+=+，令1mn==，1111aaa+=+，

解得11a=，令1m=，所以111nnnaaaa+=+=+，即11nnaa+−=，数列{}na是首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1nann=+−=，44a=，所以()()132021242022120211011135...

..202110112220221011246.....202210122aaaaaa++++++++===++++++++．故答案为：4；10111012．15.已知正项数列na满足()()()*1111Nnnaan++−=，则下列说法正

确的有__________.①若12a=，则*N,2nna=；②若12a，则数列na中有无穷多项大于2；③存在10a，使数列na是单调递增数列；④存在实数()0,1M，使211nnnn

aaMaa+++−−.【答案】①②④【解析】【分析】化简得出1111nnaa+=++，根据递推数列的性质，逐个选项进行计算即可求解.【详解】化简得，1111nnaa+=++，对于①，12a=，则211221a=+=+，因此，1

232naaaa=====，故①正确；对于②，当102a<<，则211112121aa=++−=+，321112121aa=++−=+，可知，当n为偶数时，2na；当12a时，则211112121aa=+

+−=+，321112121aa=++−=+，可知当n为奇数时，2na，故12a，则数列na中有无穷多项大于2，故②正确；对于③，由1111nnaa+=++和21111nnaa++=++，作差可得，1211(1)(1)nnnnnnaaaaaa++++−−=

++，整理得，()()21111(1)(1)nnnnnnaaaaaa++++−=++−由1(1)(1)0nnaa+++，可得，()211()0nnnnaaaa+++−−，若21nnaa++，则1nnaa+，若21nnaa++，则1nnaa+，故数列na是不具有单调性，故③

错误；对于④，1111nnaa+=++，当1nnaa+=时，有111nnaa=++，此时，2na=，显然，211nnnnaaMaa+++−−恒成立；若1nnaa+，由上知，1211(1)(1)nnnnnnaaaaaa++++−−=++，可得，211

11(1)(1)nnnnnnaaaaaa++++−=++−，又na为正项数列，可得，211111(1)(1)nnnnnnaaaaaa++++−=−++，即存在()0,1M，使211nnnnaaMaa+

++−−，故④正确；故答案为：①②④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知函数()3cos22sincos3fxxxx=−−.（1）求()0f的值并求()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）求

证：当,44x−时，恒有()12fx−.【答案】（1）()302f=，最小正周期为，单调递增区间为5,1212kk−++，Zk；（2）证明见解析.【解析】【分析】（

1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin23fxx=+，由此可求()0f，利用周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性结论求单调递增区间；（2）由ππ44x−得52636x−+，即可得()fx的值域，进而判断()12

fx−是否成立.【小问1详解】因为()3cos22sincos3fxxxx=−−，化简可得()3cos2cossin2sin2sincos33fxxxxx=+−所以33()cos2sin2sin222fxxxx=+−13sin2cos2sin2223x

xx=+=+，所以()30sin32f==，()fx的最小正周期22T==.令222232kxk−+++，Zk，解得51212kxk−++，Zk，∴单调递增区间为5,1212kk−++

，Zk.【小问2详解】由ππ44x−，知：52636x−+，则有()fx的值域为1[,1]2−，∴1sin232x+−，即当,44x−时，()12fx−，所以当,4

4x−时，恒有()12fx−.17.等差数列na中，首项11a=，且2342,,2aaa+−成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nnaa+的前n项和(N)nSn．【答案】（

1）21nan=−（2）21nnSn=+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出d，进而得出数列na的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前n项和为和(N)nSn.【小问1详解】因为2342,,2aaa+−成等比数列，

所以()()232422aaa=+−即()()()21112232adadad+=+++−，解得2d=，所以21nan=−；【小问2详解】因为12231111nnnSaaaaaa+=+++L，()11113352121nSnn=+++−+

（），111111123352121nSnn=−+−++−−+，11122121nnSnn=−=++．18.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscos2cosaBbAcB+=，（1）求B；（2）从以下条件中选择两个，使三角形存在且唯一确定，并

求ABC面积.①2cos2A=−；②3b=；③ABC的周长为9.【答案】（1）3B=（2）934【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cosB，即可得解；（2）若选①即可确定34A=

，推出矛盾，则只能选择②③，利用余弦定理及完全平方公式求出ac、22ac+，即可求出a、c，再根据面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为coscos2cosaBbAcB+=，由正弦定理可得sincossincos2s

incosABBACB+=，所以()sin2sincosABCB+=，又()()sinsinsinABCC+=−=，即sin2sincosCCB=，又sin0C，所以12cosB=，即1cos2B=，又(0,)B

，所以3B=；【小问2详解】解：若选①2cos2A=−，由20,3A，所以A不存在，则ABC不存在，故不能选①；所以只有一种情况②③，即3b=，9ABCC=，所以6ac+=，由余弦定理2222cosbacacB=+

−，即229acac=+−，又22362acac=++，的所以9ac=、2218ac=+，所以()22220acacac−=+−=，即3ac==，此时三角形存在且唯一确定，所以11393sin92224ABCSacB===△.19.已知函数()()214x

afxxx+=，且()15f=.（1）求实数a的值，并求函数()fx的最大值和最小值；（2）函数()()122gxkxx=−−，若对任意11,4x，总存在02,2x−，使得()()01gxfx=成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）4a=，()fx的最大值为5，最小值为4；（2）)(3,,3+−−【解析】【分析】（1）根据()15f=求出4a=，得到()fx的解析式，求导，利用导函数求出函数的最值；（2）转化为

()1gxkx=−在22x−上的值域包含()fx在1,4上的值域问题，结合第一问求出的()fx在1,4上的值域，对实数k进行分类讨论，列出不等式组，求出实数k的取值范围.【小问1详解】()115fa=+=，解得：4a=，所以()244x

fxxxx+==+，14x，()()()222241xxfxxx−+=−=，当)1,2x时，()0fx，当(2,4x时，()0fx¢>，故()fx在2x=处取得极小值，也是最小值，且()2224f=+=又()()41154ff==+=，所以函数()fx的最大值为5

，最小值为4；【小问2详解】若对任意11,4x，总存在02,2x−，使得()()01gxfx=成立，.只需()1gxkx=−在22x−上的值域包含()fx在1,4上的值域，由（1）知：()fx在1,4上的值域为4,5，显然当0k=

时，()()122gxx=−−不满足要求，当0k时，()()122gxkxx=−−单调递增，故()()22142215gkgk−=−−=−，结合0k，解得：3k，当0k时，()()1

22gxkxx=−−单调递减，故()()22152214gkgk−=−−=−，结合0k，解得：3k−，综上：实数k的取值范围为)(3,,3+−−.20.已知函数()exfxax=−，其中1a−.（1）当1a=时，求()fx在点()()0,0f处的切线方程；（

2）讨论()fx的单调性；（3）设()()gxfxx=−，求()gx的最小值()ha，并求()ha的最大值.【答案】（1）1y=；（2）当10a−时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在()ln,

a+上单调递增，在(),lna−上单调递减；（3）()()()()11ln1haaaa=+−++，()ha的最大值为1.【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，进而求出切线方程；（2）先求定义域，再求导，分10a−与

0a两种情况，求出函数单调性；（3）得到()()e1xxxga=−+，求导得到其单调性，从而确定最小值()()()()11ln1haaaa=+−++，再构造()ln,0uxxxxx=−，求出其最大值，从而确定()ha

的最大值.【小问1详解】当1a=时，()exfxx=−，()00e01f=−=，的()e1xfx=−，故()00e10f=−=，所以()fx在点()()0,0f处的切线方程为1y=；【小问2详解】()exfxax=−定义域为R，()exfxa=−，

当10a−时，()e0xfxa=−恒成立，此时()exfxax=−在R上单调递增；当0a时，令()e0xfxa=−，解得：lnxa，令()e0xfxa=−，解得：lnxa，所以()exfxax=−在()ln,a+上单调递增，在(),lna−上单调递减；

综上：当10a−时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在()ln,a+上单调递增，在(),lna−上单调递减；【小问3详解】()()e1xxxga=−+定义域为R，()()e1xgxa=−+，因为1a−，所以令()()e10xgxa=−+，解得：()l

n1xa+，令()()e10xgxa=−+，解得：()ln1xa+，所以()gx在()ln1xa=+处取得最小值，最小值为()()()()()()()ln1e1ln111ln1ahaaaaaa+=−++=+−++，构造()ln,0uxxxxx=−，

()1ln1lnuxxx=−−=−，令()0ux，解得：01x，令()0ux，解得：1x，所以()lnuxxxx=−在1x=处取得极大值，也是最大值，且()11ln11u=−=，所以()()()()11ln1haaaa=+−++在0a=处取得最大值

，最大值为1.【点睛】利用导函数求解函数的最值是一种重要的方法，通常思路利用导函数得到函数的单调性，从而得的到函数的极值和最值情况，过程中可能需要对参数进行分类讨论.21.设p为实数，定义p−生成数列

()nap和其特征数列()nbp如下：（i）1()0ap=；（ii）()11()()()1,2,nnnapapbpnn+=+=，其中()1,(),()1,2,1,()nnnappbpnapp==−.（1）直接写出1−生成数列的前4项；（2）判断以下三个命题的真假并说明理由；①对任

意实数0p，都有()(2)2()1,2,nnapapn==；②对任意实数0p，都有()()()1,2,nnapapn−=−=；③存在自然数()pqpq､和正整数N，对任意自然数nN，有()()nnapaqC−=，其中C为常数.（

3）从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数,pp−生成数列()nap存在无穷递增子列.【答案】（1）1(1)0a=；21(1)a=；31(1)2a=；4

5(1)6a=（2）命题①为假命题；命题②为假命题；命题③为真命题（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意将1p=代入数列计算即可；（2）将命题当作条件代入进行证明，根据最终结论判断是否与原命题相悖判断真假；（3）根据数列特性可以判断数列实际就是将1111

1...234n，，，，，根据条件进行相加或相减，可得出存在()()iiapapp=，11()()iiapappi++=，211()()+1iiapappii+−+=的数列关系，再结合无穷递增子列概念进行证明.【小问1详解】1(1)0a=，因为1

(1)1a，所以11(1)b=;211(1)(1)(1)011aab=+=+=，因为2(1)1a，所以21(1)b=−;()3221(1)(1)(1111)2122aab=+=−=+，因为3(1)1a，所以31(1)b=;4331151(1)(1)(1)323

6aab=+==+.【小问2详解】①由题可知()11(2)(2)(2)1,2,nnnapapbpnn+=+=，()112()2()2()1,2,nnnapapbpnn+=+=假设对任意实数0p，都有()(2)2()1,2,nnapa

pn==，则(2)()2nnbpbp=，又已知()1,(2)2,(2)1,2,1,(2)2nnnappbpnapp==−，()1,(),()1,2,1,()nnnappbpnapp==−所以()2,(),2()1,2,2,()nnnappbpnapp==−，很明

显(2)()2nnbpbp，假设不成立.故命题①为假命题；②由题可知()11()()()1,2,nnnapapbpnn+−=−+−=，()11()()()1,2,nnnapapbpnn+−=−+−=假设对任意实数0p，都

有()()()1,2,nnapapn−=−=，则()()nnbpbp=−−又已知：()()()()1,(),1,(),()1,2,()1,2,1,()1,()nnapapnnnnnnappappbpnbpnappapp−=−−−−==→−==−−−−

()1,(),()1,2,1,()nnnappbpnapp−−==，当()napp=时()1nbp−=−，1()nbp−=，()()nnbpbp=−−，假设不成立故命题②为假命题③假设命题③成立，则()11()()()1,2,nnnapapbpnn+=+=，()11()()()1,2,

nnnaqaqbqnn+=+=111()()()()()()nnnnnnapaqapaqbpbqn++−−=+−因为()()nnapaqC−=，所以11()()nnapaqC++−=，即()()nnbpbq=所以只需证明存在自然数()pqpq､和正整数N，对任意自然数nN

，有()()nnbpbq=，即当()napp时，()naqq；()napp时，()naqq根据题意()111231()()()()()(11...23)1,2,nnapapbpbpbpbpnn+++=++=+若存在一个p使得(

)()1,2,1nbpn==，即存在()()1,2,nappn=恒成立则1111...21()3napn+++++=，但可知()nap单调递增，故不存在这样的p；故存在()1,2,ii=，使得()iapp，1()ia

pp+，2()iapp+…同理存在()1,2,mm=，使得()maqq，1()maqq+，2()maqq+…不妨假设pq，则mi，欲证明对任意自然数nN，有()()nnbpbq=，只需证明：221111()()...341miapappiimm++=+−+−+++存在即可，即证明

mi−为偶数当1p=，3i=；2q=，3m=时符合题意即有自然数1、3和正整数=3N，对任意自然数3n，有1(3)(1)4nnaa−=故存在自然数()pqpq､和正整数N，对任意自然数nN，有()()nnapaqC−=，其中C为常数

故命题③为真命题【小问3详解】由③可知，有正整数i，使得()iapp，1()iapp+，2()iapp+此时()()iiapapp=，11()()iiapappi++=，211()()+1iiapappii+−+=211()()01iiapapii+−−+=故,pp−生成数

列()nap存在无穷递增子列：24+2()()()...()iiiinapapapap++，，，，【点睛】方法点睛：对于新型数列，首先要了解数列的特性①抽象特性：此列特性可近似的将数列当作函数分析列式，例如(2)中的证明，将()nap

当作函数列式分析。②计算特性：此类特性若复杂一般只需要考生找规律而非实际计算，例如此数列实际就是将11111...234n，，，，，根据条件进行相加相减而已.寻找新型数列特性主要考查考生归纳总结规律的能力和抽象

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