【文档说明】【精准解析】湖南省永州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题.doc，共(21)页，1.879 MB，由小赞的店铺上传

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永州市2019年下期高二期末质量监测试卷数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.全卷满分150分，时量120分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.

4.全部答案在答题卡上完成，在本试题卷上作答无效，考试结来后，只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相

应的答题栏内）1.已知,abR，i是虚数单位，若ai−与2bi+互为共轭复数，则ab+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由条件利用共轭复数的定义求得,ab的值，即可得到+ab的值.【详解】因为ai−与2bi+互为共轭复数，则2,

1ab==，所以3ab+=，故选：D.【点睛】该题考查的是有关共轭复数的概念，属于基础题目.2.已知命题:pxR，sin1x„，则A.:pxR,sin1x…B.:pxR,sin1x…C.:px

R,sin1xD.:pxR,sin1x【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C．考点：全称

命题与特称命题的否定．3.已知向量(1,0,1),(1,1,)abk=−=，且ab⊥，则k的值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直，它们的数量积为0，，得到关于k的等量关系式，求得结果.【详解】因为ab⊥，所以0ab=，即1101(1)0k

++−=，解得1k=，故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于基础题目.4.已知函数2()2019fxax=+，且(1)4f=，则a的值为（）A.2019

B.2015C.2D.2【答案】C【解析】【分析】首先对函数求导，之后利用'(1)4f=得到a所满足的等量关系式，求解即可得结果.【详解】因为2()2019fxax=+，所以'()2fxax=，由'(1)4f=，得24a=，求得2a=，故选：C.【点睛】该

题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基础题目.5.设双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为2yx=，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析

】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为2yx=，所以2ba=，即2ba=，223caba=+=，所以该双曲线的离心率为3==cea，故选：B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知识点有

双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，属于简单题目.6.一质点做直线运动，经过t秒后的位移为3215432Sttt=−+，则速度为零的时刻是（）A.1秒末B.4秒末C.1秒与4秒末D.0秒与4秒末【答案】C【解析】【分析】求出位移S的导数即质

点运动的瞬时速度，令导数为0，求出t的值即得到速度为0的时刻.【详解】因为3215432Sttt=−+，所以2'54Stt=−+，令2540tt−+=，解得1t=或4t=，所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选：

C.【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.7.已知抛物线2yax=的焦点为10,4，则a的值为（）A.12B.1C.1−D.2【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的焦点坐标求

解即可.【详解】由2yax=可得21xya=，抛物线2yax=的焦点为10,4，所以1144a=，所以1a=，故选：B.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数，在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属

于基础题目.8.如图所示，在长方体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点．若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（）A.1122abc−++B.1122abc++C.1122abc−−+D.1122abc−+【答案】A【解

析】【分析】连接AC,BD交于点N,()11122BMBDNMADABAA=+=−+,代入整理即可【详解】由题,连接AC,BD交于点N,则()()11111122222BMBDNMADABAAbacabc=+=−+=−+=−++故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于

基础题9.若函数()xfxeax=−有大于零的极值点，则（）A.1aB.1aC.1ae−D.1ae−【答案】B【解析】【分析】'()xfxea=−，令0xea−=，得xae=，根据函数()xfxeax=−有大于零的极值点，可得e1x，即可得出结果.【详解】'()xfxea

=−，令0xea−=，得xae=，因为函数()xfxeax=−有大于零的极值点，所以1xae=，所以实数a的取值范围是1a，故选：B.【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参数的取值范围，属于简单题目.10.《九章算术》中，将底面为长

方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马PABCD−中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PDCDAD==，点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值（）A.33B.36C.63D.66【答案】D【解析】【分析】首先取DC中点F，连接EF，能够得到FEB

是PD与BE所成角，设出边长2PDCDADa===，利用勾股定理求得5,6BFaBEa==，在直角三角形中，求得6cos6FEB=，得到结果.【详解】取DC中点F，连接EF，因为E为PC中点，所以//EFPD，所以FEB是PD与BE

所成角，设2PDCDADa===，则22,5,56EFaBFaBEaaa===+=，所以6cos66EFaFEBBEa===，故选：D.【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余

弦值，属于简单题目.11.已知点P是椭圆221(0)1612xyxy+=上的动点，1F、2F为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是12FPF的角平分线上的一点，且10FMMP=，则||OM的取值范围是（）

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(2,23)【答案】A【解析】【分析】延长2PF与1FM交于点G，由条件判断1PFG为等腰三角形，OM为12FFG的中位线，故2122111=22222OMFGPFPFaPF=−=−，再根据2PF

的值域，求得OM的最值，从而得到结果.【详解】如图，延长2PF与1FM交于点G，则PM是12FPF的角平分线，由10FMMP=可得1FM与PM垂直，可得1PFG为等腰三角形，故M为1FG的中点，由于O为12FF的中点，则OM为12FFG的中位线，故21=2OM

FG，由于1PFPG=，所以212FGPFPF=−，所以12211=2222OMPFPFaPF−=−，问题转化为求2PF的最值，而2PF的最小值为ac−，2PF的最大值为ac+，即2PF的值域为[,]acac−+，故当2PFac=+或2PFac=−时，OM取得最大值为22211=2222()161

2222OMaPFaaccab−=−−==−=−=，当2PFa=时，P在y轴上，此时M与O重合，OM取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以OM的取值范围是(0,2)，故选：A.【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的

性质，属于较难题目.12.定义在0,2上的函数()fx，()fx是它的导函数，且恒有()()tanfxfxx成立，则（）A.3243ffB.(1)2sin16ffC.

264ffD.363ff【答案】A【解析】【分析】把给出的等式变形得到'()sin()cos0fxxfxx−，由此联想构造辅助函数()()sinfxgxx=，由其导函数的符号得到其在(0,)

2上为增函数，则()()63gg，整理后即可得到答案.【详解】因为(0,)2x，所以sin0,cos0xx，由()()tanfxfxx，得()cos'()sinfxxfxx，即'()sin()cos0fxxfxx−，令()(),(0

,)sin2fxgxxx=，则2'()sin()cos'()0sinfxxfxxgxx−=，所以函数()()sinfxgxx=在(0,)2x上为增函数，则()()43gg，即()()34sinsin43ff

，所以()()342322ff，即3243ff，()(1)6gg，即()(1)6sin1sin6ff，所以()(1)61sin12ff，即(1)2sin16ff，()()64g

g，即()()64sinsin64ff，所以()()641222ff，即2()46ff，()()63gg，即()()63sinsin63ff，所以()()631322ff

，即3()()63ff，故选：A.【点睛】该题考查的是有关通过构造新函数，根据题意利用导数的符号判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填入相应的答题栏内）13.已知复数(,)zabiabR

=+，其中i是虚数单位，若复数z在复平面内对应的点在直线1yx=−+上，则+ab的值等于_______.【答案】1【解析】【分析】复数(,)zabiabR=+，复数z在复平面内对应的点(,)ab在直线1yx=−+上，所以点的坐标满足直线的方程，有1ba=−+，从

而求得1ab+=，得到结果.【详解】复数(,)zabiabR=+，复数z在复平面内对应的点(,)ab在直线1yx=−+上，所以1ba=−+，所以1ab+=，故答案为：1.【点睛】该题考查的是有关复数的

问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点，点在直线上的条件，属于基础题目.14.与双曲线22271xy−=有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为_____.【答案】221167xy+=【解析】【分析】首先根据题中所给的

双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到3c=，再根据椭圆的长轴长，得到4a=，利用椭圆中,,abc的关系，求得27b=，进而得到椭圆的方程.【详解】因为椭圆与双曲线22271xy−=有相同的焦点(3,0)±，所以3c=，因为长轴长

为8，所以28,4aa==，所以2221697bac=−=−=，所以椭圆的方程为221167xy+=，故答案为：221167xy+=.【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标，椭圆中,,abc的关系，属于基础题目.

15.已知:11,:1xpaxaqe−+，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____.【答案】(,1]−−【解析】【分析】首先通过解不等式求得q，进而求得q对应的结果，之后将p是q的充分不必要条件，转化为两集合端点值间

的关系，列出关于a的不等式组求解.【详解】由e1x解得0x，所以:0qx，因为p是q的充分不必要条件，所以(1,1)aa−+(,0]−，所以有10a+，求得1a−，所以实数a的取值范围是(,1]−−，故答案为：(,1]−−.【点睛】该题考查

的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题目.16.已知抛物线22(0)ypxp=，直线l过焦点F且与抛物线交于M、N（点N在x轴的上方，点M在x轴的下方，）点E在x轴上且E在F右侧，若||||||NFEFNE==，

且MNE的面积为123，则p的值为__________.【答案】3【解析】【分析】首先根据题意，得到NFE为等边三角形，得到直线NF的倾斜角为3，设出直线MN的方程，与抛物线的方程联立，消元得到2233504pxpx−+=，解方程求得交点的横坐标，求得3222ppNFFEp==+=，83

pMN=，结合正三角形的特征，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果.【详解】根据题意，||||||NFEFNE==，所以NFE为等边三角形，所以直线NF的倾斜角为3，设直线MN的方程为3()2pyx=−，与22(0)ypxp=联立可得2233504pxpx−+=

，解得123,62pxxp==，所以3222ppNFFEp==+=，1283pMNxxp=++=，所以213843sin6021232433MNEppSMNFEp====，解得3p=，故答案为：3.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几何性质的

综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目.三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知2:[1,1],0pxxa−−，2000:,220qxRxaxa+++=（1）若p为

真命题，求a的取值范围；（2）若p为假命题，q为真命题，求a的取值范围.【答案】（1）(,0]−；（2）)2,+.【解析】【分析】（1）根据已知条件p是真命题，则只需函数的最小值大于等于0，据此可求得a的取值范围；（2）先求出简单命题为真命题时对应的参数的取

值范围，最后借助于两个命题的真假，得到对应的条件，最后求得结果.【详解】（1）∵21,1,0xxa−−2ax恒成立0a，所以a的取值范围是(,0]−；（2）∵q为真命题，2044(2)0aa−+△2a或1a−又p为假命题，

由（1）可得0a综上，a的范围为)2,+.【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目.18.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=

上的点(,1)Mm到焦点F的距离为2.（1）求,mp的值；（2）若0m，求过点M且与C只有一个公共点的直线方程.【答案】（1）2m=.2p=（2）1yx=−或2x=【解析】【分析】（1）可得抛物线的准线为2py=−，由点(,1)Mm到焦点的距离转化为其到准线的距

离，列出等式求得p的值，将点(,1)Mm的坐标代入抛物线方程求得m的值，得到结果；（2）当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率不存在时，写出方程，得到最后结果.【详

解】（1）由抛物线的定义得，122p+=，解得2p=，所以抛物线的方程为24xy=，代入点(,1)Mm，可解得2m=.（2）当斜率存在时，设过点(2,1)M的直线方程为1(2)ykx−=−，联立2421xyykxk==−+，消元得24840

xkxk−+−=，21632160kk=−+=△得1k=，所以直线方程为1yx=−当斜率不存在时，2x=所以过点M且与C只有一个公共点的直线方程为1yx=−或2x=【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关

系，考查学生的计算能力，属于中档题目.19.已知函数321()33fxxxxa=−−+.（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx有3个零点，求a的取值范围.【答案】（1）()fx在(,1)−−上单调递增；在(1,3)−上单调递减；在(3,)+上单

调递减（2）5(,9)3−【解析】【分析】（1）求导数()fx，在定义域内解不等式()0fx、()0fx可求得函数的单调区间；（2）由（1）可知()fx的单调性，求得()fx的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式

即可.【详解】（1）2()23fxxx=−−，令()0fx=，得1x=−或3可知，(,1)x−−时，()0fx；(1,3)x−时，()0fx；(3,)x+时，()0fx；故，()fx在(,1)−−上单调递增；在(1,3)−上单调递减；在(3,)+

上单调递减（2）令()0fx=，有32133axxx−=−−设321()33gxxxx=−−，2()23gxxx=−−，由（1）得()gx在(,1)−−上单调递增；在(1,3)−上单调递减；在(3,)+上单调递减5(1)3g−=，(3)

9g=−，结合()gx的图像可知，()ygx=与ya=−有3个交点，故593a−−所以a的范围为5(,9)3−.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将函数零点的个数转化为极值

的符号，最后确定参数的取值范围，属于简单题目.20.如图，在正方形ABCD中，,EF分别是,BCAD的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得60DFA=，设G为AF的中点.（1）求证：DG⊥平面ABEF；（2）求二面角CBFE−−的余弦值

.【答案】（1）见解析（2）21919【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得EF⊥平面ADF，从而得到EFDG⊥，再利用等边三角形的特征，得到AFDG⊥，之后利用线面垂直的判定定理证得DG⊥平面ABEF；（2）利用,,GAGQGD两两垂直，建立空间

直角坐标系，设4AB=，写出相应点的坐标，求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）∵,EF分别为正方形ABCD的边,BCAD的中点，∴,,EFDFEFAF⊥⊥又DF平面ADF，AF平面ADF，AFDFF

=，∴EF⊥平面ADF，∵DG平面ADF，∴EFDG⊥，∵AFDF=，60DFA=，∴ADF是等边三角形，∵G为AF的中点.，∴AFDG⊥.又,EFDG⊥，EF面ABEFAF面ABEF，EFAFF=，∴DG⊥平面ABEF.（2）设B

E中点为Q，连结GQ，则,,GAGQGD两两垂直，不妨设4AB=.以G为原点，以,,GAGQGD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则(0,0,0)G，(1,0,0)A，(1,4,0)B.(0,4,3)C，(1,0,0)F−.∴(1,0,0)GA=，(1,0,3)BC=−，(2,4,0)BF=−−

设平面BCF的法向量为(,,)nxyz=，则0300240nBCxznBFxy=−+==−−=，令2z=，得(23,3,2)n=−而(0,0,3)GD=为平面BEF的一个法向量∴23219cos,19193nGDnGDnGD===二面角CBFE

−−的余弦值为21919.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，二面角的余弦值的求解，属于中档题目.21.点(,)Pxy与定点(1,0)F的距离和它到直线:4lx=距离的比

是常数12.（1）求点P的轨迹方程；（2）记点P的轨迹为C，过F的直线l与曲线C交于点,MN，与抛物线24yx=交于点,AB，设(1,0)D−，记DMN与DAB面积分别是12,SS，求21SS的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）4,3+【解析

】【分析】（1）根据题意可得22(1)142xyx−+=−，化简即可求出；（2）当直线l的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l的斜率不存在的情况求出，最后

得到答案.【详解】（1）依题意有22(1)142xyx−+=−，化简得：223412xy+=，故1C的方程为22143xy+=.（2）依题意21ABSSMN=，①当l不垂直于x轴时，设l的方程是()()10ykxk=−，联立

()214ykxyx=−=，得()2222240kxkxk−++=，设()11,Axy，()22,Bxy，则212224kxxk++=，()2122412kABxxk+=++=；联立()22134120ykxxy=−+−=得：()22223484120kxkxk+−+−=，设()3

3,Mxy，()44,Nxy，则2342834kxxk+=+，234241234kxxk−=+，()()()222343421211434kMNkxxxxk+=++−=+，则2221234414,

333ABSkSMNkk+===++，②当l垂直于x轴时，易知AB4=，223bMNa==，此时1243ABSSMN==综上，21SS的取值范围是4,3+.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线

截得的弦长，属于较难题目.22.已知函数()2,()lnfxxgxx=−=.（1）求函数()ygx=在xe=处的切线方程；（2）若方程()()fxgx=在区间(,1),kkkN+上有实根，求k的值；（3）若不等式()

(1)[()()]xmxxfxgx−−−对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.【答案】（1）1yxe=（2）0k=或3（3）1,2,3.【解析】【分析】（1）由(e)g的值可得切点坐标，求出'()ge的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()ygx=在点x

e=处的切线方程；（2）令()()()hxfxgx=−，方程()()fxgx=有实根等价于()hx有零点，利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断()hx在()0,1和()3,4上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x

=时，不等式成立恒成立，当01x时，不等式化为ln1xxxmx+−，可得1mx，当1x时，不等式可化为ln1xxxmx+−，可得2mx，结合（2）结合三种情况，从而可得结果.【详解】（1）11(),()gxgexe==又因为()1

ge=，所以切线方程为1yxe=（2）记()()()ln2hxfxgxxx=−=−−，方程()()fxgx=有实根等价于()hx有零点，因为1()1hxx=−，当()0,1x时，()0hx；当()1,x+时，()0

hx，可知(1)1h=−为极小值，又因为22221111()ln20heeee=−−=所以，()hx在()0,1上存在一个零点1x，此时0k=又因为(3)3ln321ln30,(4)22ln20hh=−−=−=−，所以，()hx

在()3,4上存在一个零点2x，此时3k=综上，0k=或3（3）不等式()(1)()()xmxxfxgx−−−对任意正实数x恒成立，即()(1)(ln2)xmxxxx−−−−，0x恒成立，当

1x=时，上式显然成立，此时mR当01x时，上式化为ln1xxxmx+−，令ln()1xxxsxx+=−，则22ln2()()(1)(1)xxhxsxxx−−==−−，由（2）可知，函数()hx在()0,1上单减，且存在一个零点1x，此时111()ln20hxxx=−−=，即11ln

2xx=−，当1(0,)xx时，()0sx；1(,1)xx时，()0sx，所以()sx有极大值即最大值1111111111ln(2)()11xxxxxxsxxxx+−+===−−，于是1m

x当1x时，不等式化为ln1xxxmx+−，同理可得2mx综上可知，12xmx，又因为12(0,1),(3,4)xx，所以正整数m的取值集合为1,2,3.【点睛】该题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.求曲

线切线方程的一般步骤是：（1）求出()yfx=在0xx=处的导数，即()yfx=在点00(,())Pxfx处的切线斜率（当曲线()yfx=在P处的切线与y轴平行时，在P处导数不存在，切线方程为0xx=）；（2）由点斜式求得方程000'()()yyfxx

x−=−.