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专练30等差数列及其前n项和授课提示：对应学生用书63页[基础强化]一、选择题1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝()A．6B．7C．8D．10答案：D解析：设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，∴

5a1＋5×42d＝24a1＋4×32d，a1＋d＋a1＋3d＝8，整理得3a1＋2d＝0，a1＋2d＝4，解得a1＝－2，d＝3.∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝52，S10＝15

，则a7＝()A．12B．1C．32D．2答案：A解析：设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得10（a1＋a10）2＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1

＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝52，所以a7＝12.故选A.3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12答案：B解析：设等差数列{an}的公差为

d，则33a1＋3×22d＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，得d＝－32a1，又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S

6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8答案：C解析：∵S6＝（a1＋a6）×62＝48，∴a1＋a6＝16，又a4＋a5＝24，∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，∴3d－d＝8，d＝4.5．等差数

列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为()A．13B．14C．15D．16答案：B解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以2a5＝22，即a5＝11.又因为S11＝（a1＋a11）×112＝2a6×112＝143

，解得11a6＝143，即a6＝13.所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，所以Sn＝（a1＋an）n2＝(n＋2)n.令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－

15(舍).故选B.6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为()A．－3B．－52C．－2D．－4答案：D解析：∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，∴a3＝－3，∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.

7．[2024·九省联考]记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝()A．120B．140C．160D．180答案：C解析：方法一a1＋2d＋a1＋6d＝6a1＋11d＝17，解得a1＝－5d＝2，∴S16＝16×(－5)＋

16×152×2＝160.方法二因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝（a1＋a16）×162＝8(a5＋a12)＝160.故选C.8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有

一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3

402块D．3339块答案：C解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋n（n－1）2×9]－[

9(n＋1)·n＋n（n－1）2×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋27×262×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3402(块).故选C.9．记Sn为等差数

列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n答案：A解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a

1＝－3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n2－4n.故选A.方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋

4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D.故选A.二、填空题10．记Sn为等差数列{an}的前n项

和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．答案：4解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4.

11．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则S20242024－S20232023的值为________．答案：2解析：由等差数列的前n项和Sn＝na1＋n（n－1）2d得Snn＝a1＋n－12d＝a1＋(n－1)d2，所以{Snn}仍是等差数列，其公差是

原等差数列公差的一半，所以S20242024－S20232023的值为2.12．[2024·新课标Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．答案：95解析

：方法一设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，∴2a1＋5d＝7，4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3.∴an＝3n－7，∴S10＝10（a1＋a10）2＝10×

（－4＋23）2＝95.方法二∵{an}为等差数列，且a3＋a4＝7，∴a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，∴a2＝－1，a5＝8.∴公差d＝8－（－1）3＝3，∴an＝a2＋(n－2)d＝－1＋3(n－2)＝3n－7，∴S10＝10（a1＋a10）2＝10×（－4

＋23）2＝95.[能力提升]13．[2024·北京师大二附中期中]《九章算术》是中国古代数学经典著作之一．全书分为九章，第六章“均输”有一问题“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各

多少？”其意思为：今有竹9节，下3节容量共4升，上4节容量共3升，使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？在这一问题中，从下部算起第5节容量是________升．答案：6766解析：记从下部算起第n节的容量为an升，由题意可知，数列{an}为等差数列，设其公差为d，则a1＋a

2＋a3＝3a1＋3d＝4，a6＋a7＋a8＋a9＝4a1＋26d＝3，解得a1＝9566，d＝－766．所以a5＝a1＋4d＝6766，即从下部算起第5节容量是6766升．14．(多选)已知等差数列{an}的公差为

d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是()A.d＝－2B．a1＝22C．a3＋a4＝30D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值答案：AC解析：对于A，易知3d＝a5－a2＝12－

18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，

所以当n＝10或n＝11时，Sn最大，所以选项D错误．故选AC.15．[2024·全国甲卷(理)]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝()A．72B．73C．－13D．－711答案：B解析：方法一设等差数列{an}的公差为d，∵

S5＝5a1＋10d，S10＝10a1＋45d，S5＝S10，∴5a1＋10d＝10a1＋45d，即a1＝－7d.∵a5＝a1＋4d＝1，∴d＝－13，∴a1＝－7d＝73.故选B.方法二∵S5＝S10，∴a6＋a7＋a8＋a9＋

a10＝0，∴5a8＝0，∴a8＝0.∵a5＝1，a8＝0，∴公差d＝－13，则a1＝a5－4d＝73，故选B.16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．答案：

－1，－78解析：方法一由于Sn＝7n＋n（n－1）2d＝d2n2＋7－d2n，设f(x)＝d2x2＋7－d2x，则其图象的对称轴为直线x＝12－7d.当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，故7.5＜12

－7d＜8.5，解得－1＜d＜－78.方法二由题意，得a8＞0，a9＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－78.