【文档说明】重庆市杨家坪中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.523 MB，由小赞的店铺上传

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杨家坪中学高2024届高二下第一次月考数学试卷一、单选题1.若数列na满足12a=，11nnaa+−=，则数列na的通项公式为na=（）A.21n+B.1n+C.n1−D.3n−+【答案】B【解析】【分析

】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为11nnaa+−=，所以数列na是等差数列，公差为1，所以()()112111naandnn=+−=+−=+.故选：B2.已知函数()lnmfxxx=+，若0(12)(1)lim2xf

xfx→+−=−，则m=（）A.1−B.2−C.3−D.5−【答案】B【解析】【分析】求出()11mfxmxx−=+，再利用导数的定义可得()11f=−，进而代入()fx求解即可【详解】因为()lnmfxxx=+，则()11mfxmxx−=+，所

以()()()()()00121121lim2lim2122xxfxffxffxx→→+−+−===−，故()11f=−，故11+=−m，解得2m=−故选：B.3.等比数列na的前n项和

23nnSm=+，则m=（）A.2−B.2C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】116aSm==+，当2n时，1143nnnnaSS−−=−=，因为na是等比数列，所以11436m−=+，得2

m=−，所以A正确.故选：A4.若函数()331fxxkx=−+在区间()1,+上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.(),1−B.(,1−C.)1,−+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】利用函数()fx在区间(1,)+上的导函数

为非负数，列不等式，解不等式即可求得k的取值范围.【详解】由题意得，22()333()0fxxkxk=−=−在区间(1,)+上恒成立，即2kx在区间(1,)+上恒成立，又函数2yx=在(1,)+上单调递增，得21x，所以1k，即实数k的取值范围是(,1]−.故选：B5.在数列

na中，12,123,1nnnnnaaaaa+=−，若125a=，则2023a=（）A.15B.25C.45D.85【答案】D【解析】【分析】根据递推关系，求出数列的项，根据数列的周期性求解.详解】1215a=，214215aa==，328

215aa==，4312315aa=−=，54225aa==，L，可以看出四个循环一次，故202345053385aaa+===．故选：D6.已知函数2()ln(1)fxaxx=++，在区间(2,3)内任取两个实数1x，2x，且12xx，若不等式.【12

12()()1fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围为（）A.)9,−+B.)7,−+C.)9,+D.)7,+【答案】A【解析】【分析】将()()12121fxfxxx−−恒成立转化为()fx的导函数大于1在()2,3上恒成立，即()

()max112axx+−，然后求最值即可.【详解】因为2()ln(1)fxaxx=++，所以10x+，即1x−，因为()()12121fxfxxx−−恒成立，所以函数()fx在()2,3上任意两点连线的斜率大于1，则()fx的导函数大于1在()2,3上恒成立

，所以()211fxaxx=++，整理得()()112axx+−，所以()()max112axx+−，因为二次函数()()211221yxxxx=+−=−−+开口向下，对称轴为14x=−，所以221yxx=−−+在()2,3上

单调递减，所以()()211229a+−=−.故选：A.7.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得lnyx=在1x=处的切线方程

为1yx=−，再把1.01x=代入切线方程，即得ln1.010.01，类比上述方式，则4000e（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根据题意，设()xfxe=，求出切线，以直代曲计算即可.【详

解】设()xfxe=，可得()exfx=，(0)1,(0)1ff==，曲线exy=在点(0,1)处的切线对应的函数为()1ygxx==+，因为14000与0之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，14000400011

1ee11.00025400040004000fg===+=，故选：A8.已知函数()()25exfxxx=+−，若函数()()()()222gxfxafxa=−−−恰有5个

零点，则a的取值范围是（）A.()3e,0−B.470,eC.473e,e−D.()0,3e【答案】B【解析】【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研

究函数的大致图象进行求解判断.【详解】函数()gx恰有5个零点等价于关于x的方程()()()2220fxafxa−−−=有5个不同的实根．由()()()2220fxafxa−−−=，得()fxa=或()2fx=−

．因为()()25exfxxx=+−，所以()()234exfxxx=+−()()41exxx=+−，由()0fx¢>，得<4x−或1x，由()0fx，得41x−，则()fx在(),4−−和()1,+上单调递增，在()4,1−上单调递减．因为(

)474ef−=，()13ef=−，当x→+时，()fx→+，当x→−时，()0fx→，所以可画出()fx的大致图象：由图可知()2fx=−有2个不同的实根，则()fxa=有3个不同的实根，故470,ea，故

A，C，D错误.故选：B.二、多选题9.下列正确的是（）A.1(ln7)7=B.数列na的通项公式为(1)nann=+，则110是该数列的第10项C.数列2021−，0，4与数列4，0，2021−是同一个数列D.若函数()gx是偶函数

，则导函数()gx—定是奇函数【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式可判断A；根据数列的通项公式求解可判断B；根据数列的定义可判断C；根据奇偶函数的定义结合复合函数求导，可判断D.【详解】对于A，(ln7)0=，故A错误；对于B，令(1)110

nann=+=，解得10n=或11n=−（舍去），即110是数列na第10项，B正确；对于C，数列2021−，0，4与数列4，0，2021−中数字的排列顺序不同，故不是同一个数列，C错误；对于D，函数()gx偶函数，函数定义域关于原点对称，的是则()()gxgx−=，故()()

gxgx−−=，即()()gxgx−=−，故导函数()gx—定是奇函数，D正确，故选：BD10.等差数列na的前n项和记为nS，若10a，1020SS=，则成立的是（）A.0dB.160a

C.nS的最大值是15SD.当且仅当0nS时，32n=【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的性质得到15160aa+=，再结合10a得到0d，即可判断A选项；根据0d和15160aa+=得到1

60a，nS的最大值为15S，即可判断BC选项；根据160a和等差中项的性质得到310S，即可判断D选项.【详解】因为1020SS=，所以1112200aaa+++=，即151612290aaad+=+=

，又10a，所以0d，故A错；因为0d，所以数列na为递减数列，又15160aa+=，所以150a，160a，nS的最大值为15S，故BC正确；()1313116313102aaSa+==，故D错.故选：BC.11.若函数()33fxxx=−在()2

,6aa−上有最小值，则实数a的值可能是（）.A.2−B.1−C.0D.1【答案】ABC【解析】【分析】利用导数研究函数的性质可得1x=为函数的极小值点，=1x−为极大值点.根据题意可知函数的极小值点必在区间()2,6aa−内，即216aa−且()()1faf，解不等式组

即可.【详解】令()2330fxx=−=，解得1x=，所以当(,1)(1,)x−−+时()0fx，当(1,1)x−时()0fx，所以1x=为函数的极小值点，=1x−为函数的极大值点.因为函数()fx在区间()2,

6aa−上有最小值，所以函数()fx的极小值点必在区间()2,6aa−内，即实数a满足216aa−，且()()3312aaffa=−=−.由216aa−，解得51a−.不等()3312aaf−=

−，即3320aa−+，有()31310aa−−−，()()2120aaa−+−，所以()()2120aa−+，即2a−.故实数a的取值范围是)2,1−.故选：ABC.12.已知函数()21exxxfx+−=，则下列结论正确的是

（）A.函数()fx只有两个极值点B.方程()fxk=有且只有两个实根，则k的取值范围为e0k−C.方程()()1ffx=−共有4个根D.若),xt+，()2max5efx=，则t的最大值为2【答案】ACD【解析】【

分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断A；分析函数()fx的性质，借助图象判断B；结合图象和函数的零点判断C；由25(2)ef=结合取最大值的x值区间判断D作答.【详解】对于A，对()fx求导得：22(1)(2)()eexxxxxxf

x−−+−=−=−，当1x−或2x时，()0fx，当12x−时，()0fx，即函数()fx在(,1)−−，(2,)+上单调递减，在(1,2)−上单调递增，因此，函数()fx在=1x−处取得极小值(1)ef−=−，在2x

=处取得极大值25(2)ef=，故选项A正确；对于B，由选项A知，作出曲线()yfx=及直线yk=，如图，要使方程()fxk=有且只有两个实根，观察图象得当e0k−时，直线yk=与曲线()yfx=有2个交点，所以方程()fxk

=有且只有两个实根，则k的取值范围为e0k−，故选项B错误；对于C，由()0fx=得：210xx+−=，解得152x−=，令()fxt=，则()1ft=−，结合图象方程()1ft=−有两解，11512t

−−−，20t=，所以1()fxt=或2()fxt=，因为152e+，所以15e2−−−，所以方程1()fxt=有两解；又因为20t=，结合图象可知：2()fxt=也有两解，综上：方程()()1ffx=−共有4个根，故选项

C正确；对于D，因为25(2)ef=，而函数()fx在(2,)+上单调递减，因此当[,)xt+时，max25()efx=，当且仅当()252,emtfm=，所以t的最大值为2，故选项D正确.故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=

0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13.已知等比数列{}na中，2854aaa

=，等差数列{}nb中，465bba+=，则数列{}nb的前9项和9S等于___________【答案】18【解析】【分析】由等比数列性质可得2825aaa=，求得54a=，得到464bb+=，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}na中，

满足2854aaa=，由等比数列的性质可得2825aaa=，即2554aa=，所以54a=，又由465bba+=，所以464bb+=所以数列{}nb的前9项和194699()9()9418222bbbbS++====，故答案为：18.14.滑县木版画是河南安阳最传统的手工

艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调

研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量()fx（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式()()290fxx=−，其中3090x，则当A系列木版画销售价格定为_____

_____元/套时，月利润最大．【答案】50【解析】【分析】根据题意可得月利润为()()()()2903,030,90gxxxx=−−，求导，利用导数判断函数单调性，进而可求最值点.【详解】设A系列木版画的月利润为()gx，则()()

()()()2309030gxfxxxx=−=−−，3090x，可得()()()()()()2290309039050gxxxxxx=−−+−=−−，令()0gx=，则50x=，的当()30,50x时，()0gx，当()50,90x时，

()0gx，()gx在()30,50上单调递增，()gx在()50,90上单调递减，所以当50x=时，利润()gx取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．故答案为：50.15.设函数()

fx在R上存在导数()fx，对于任意的实数x，有()()22fxfxx+−=，当(),0x−时，()42fxx+，若()()2422fmfmmm+++−，则实数m的取值范围是__________.【答案】((),12,−−+【解

析】【分析】借鉴积分思想，可设()()24gxfxxx=+−，结合()()22fxfxx+−=，易证()gx为过原点的奇函数和减函数，分别列出()2gm+和()gm，将()()24fmfm+++整体代换

，对参数m进行分类讨论即可求解.【详解】可设()()24gxfxxx=+−①，则()()42gxfxx=+−，因为当(),0x−时，()42fxx+，即()()420gxfxx=+−，()gx在(),0−上单减，()()24gxfxxx−=−−−②，联立①②可得(

)()()()220gxgxfxfxx+−=+−−=，()00g=，所以()gx在R上单减，为奇函数.()()()()()222242224gmfmmmfmm+=+++−+=++−③，()()24gmfmmm=+−④，联立③④可得()()()

()222442gmgmfmfmmm++=++++−，即()()()()224224fmfmgmgmmm+++=+++−，所以()()()()2242242222fmfmgmgmmmmmmm++++++−−−，显然2m，当m>2时，

原不等式等价于()()20gmgm++，即()()2gmgm+−，所以2mm+−，解得1m−，故m>2；当2m时，原不等式等价于()()20gmgm++，即()()2gmgm+−，所以2mm+−，解得1m−，故1m−，综上所述，实数m的取值

范围是((),12,−−+故答案为：((),12,−−+16.若数列nt满足()()1nnnnftttft+=−，则称该数列为“切线-零点数列”，已知函数2()fxxpxq=++有两个零点1、2，数列nx为“切线-零点数列”，设数列na满足12a=，2ln

1nnnxax−=−，2nx，数列na的前n项和为nS，则2023S=________．【答案】202422−【解析】【分析】根据二次函数()fx的零点可求得,pq的值，求出()fx，推导出数列na为等比数列，确定该数列的首项和公比

，进而可求得2023S.【详解】因为2()fxxpxq=++有两个零点1、2，由韦达定理可得1212pq+=−=，解得32pq=−=，所以()232fxxx=−+，()23fxx=−，由题意可得2213222323nnnnnnnxxx

xxxx+−+−=−=−−，所以()()222122212222234421211123nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx++−−−−−−+===−−−+−−−，又因为2ln1nnnxax−=−，所以11122ln2ln211nnnnnnxxaaxx+++−−===−−，又

12a=，所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列，所以()2023202420232122212S−==−−，故答案为：202422−【点睛】本题的关键点在于由21223nnnxxx+−=−得到()()21

212211nnnnxxxx++−−=−−，再证明数列na是首项为2，公比为2的等比数列.四、解答题17.已知函数2()(2)lnafxxaxx=−+−，且()fx在点(1,(1))f处的切线l与210xy++=

平行．（1）求切线l的方程；（2）求函数()fx的单调区间和极值点．【答案】（1）250xy+−=（2）增区间()2,+，减区间()0,2，极小值点为2，无极大值点【解析】【分析】（1）求导，然后通过(1)2f=−列方程求出a的值，代入()f

x求出(1)f，利用点斜式可求出切线l的方程；（2）令()0fx，()0fx求出单调区间，根据单调区间可得极值点.【小问1详解】由已知222()1aafxxx+=−+，()fx在点(1,(1))f处的切线l与

210xy++=平行，()(1)1222faa=−++=−，解得1a=−，2()lnfxxxx=−+，(1)1ln123f=−+=切线l的方程为()321yx−=−−，即250xy+−=；【小问2详解】由（1）得222122()1,

0xxfxxxxx−−=−−=，令()0fx，得2x，令()0fx，得02x，函数()fx的单调增区间为()2,+，单调减区间为()0,2，极小值点为2，无极大值点.18.已知正项数列na和

,nnbS为数列na的前n项和，且满足242nnnSaa=+，()*22lognnabnN=（1）分别求数列na和nb的通项公式；（2）将数列na中与数列nb相同的项剔除后，按从条到大的顺序构

成数列nc，记数列nc的前n项和为nT，求100T．【答案】（1）2nan=，2nnb=；（2）11302．【解析】【分析】（1）由242nnnSaa=+，利用1(2)nnnaSSn−=−得出数列{}na的递推式，得数列{}na是等差数列，求得1a后可得通项公式

，再计算出nb；（2）先看数列{}na中前100项内有多少项是{}nb中的项，从而可以确定{}nc中前100项的最后一项是{}na中的第几项，其中含有{}nb中的多少项，从而求得100T．【详解】（1）因为242nnnSaa=+，所以2n时，211142

nnnSaa−−−=+，两式相减得2211422nnnnnaaaaa−−=−+−，11()(2)0nnnnaaaa−−+−−=，因为0na，所以12nnaa−−=，又211142aaa=+，10a，所以12a=，所以22(1)2nann=+−

=，222lognnb=，2nnb=；（2）100200a=，又72128=，82256=，因此100107214ca==，所以710012107127107(2214)2(12)()()11302212Taaabbb+−=+++−+++=−=−．【点睛】易错点睛：本题

考查由nS求数列的通项公式，考查分组求和法．在应用公式1nnnaSS−=−求na时要注意2n，即不包含1a，需另外计算1a，同样如果求得的是递推式，也要确认递推式是否是从1a开始的，否则需要要验证含有1a的项是否符合表达式．19.如图，在四

棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60BCD=，PDCD=，E为CD的中点.（1）求证：平面PBE⊥平面PCD；（2）若2AB=，求二面角BPCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）

根据线面垂直的性质定理得PDBE⊥，再根据等腰三角形三线合一得BECD⊥，最后利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，根据二面角的空间向量求法即可得到答案.

【小问1详解】∵PD⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴PDBE⊥，∵四边形ABCD为菱形，60BCD=，∴BDC是正三角形，∵E为CD的中点，∴BECD⊥，又PDCDD=，PD平面PCD，CD平面PCD，∴BE⊥平面PCD，又

BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PCD.【小问2详解】取AB的中点F，连接DF，易知ABD△为正三角形，DFAB⊥，//DCAB，DCDF⊥，∵PD⊥平面ABCD，,DFDC平面ABCD，,PDDFPDDC⊥⊥则DF、

DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DF、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()3,1,0B，()0,2,0C，()002P,,，∴()3,1,2PB=−，()0,2,2P

C=−，设平面PBC的一个法向量为(),,mxyz=，则0mPB=，0mPC=，即320220xyzyz+−=−=，令3z=，得()133m=,,，平面PCD的一个法向量为()1,0,0n=r，∴7cos,1771mnmnmn===，显然二面角BPCD−−的平面角为

锐角，∴二面角BPCD−−的余弦值为77.20.在数列na中，19a=，1312nnaa+=+.（1）证明：数列6na−为等比数列；（2）求数列nna的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析；（2）2*2272333,N443nnnSn

nn−+=++−【解析】【分析】（1）对1312nnaa+=+变形，代入16na+−中化简，由等比数列的概念即可证明；（2）由（1）得出na的通项公式，代入nna中，整体利用分组求和，分组后差比相乘部分利用错位

相减，即可求得nna的前n项和nS.【小问1详解】证明：由1312nnaa+=+，得1123nnaa++=，即()11261666333nnnnaaaa++−−=−==−，又163a−=，所以60na−，所以数列6na−是

以3为首项，13为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）可知，12116333nnna−−−==，所以2163nna−=+，故263nnnnan−=+，设数列6n的前n项和为nP，数列23n

n−的前n项和为nT.所以数列nna的前n项和nnnSTP=+，所以()()216126332nnnPnnn+=+++==+，10211112333nnTn−−=+++，①0111111123333nnTn−

=+++，②由①-②得10121211111333333nnnTn−−−=++++−，所以1239112723

12233443nnnnnTn−−+=−−=−，故数列nna的前n项和22272333443nnnnnSTPnn−+=+=++−.21.已知椭圆()222210xy

abab+=经过()0,2A，()3,1B−−两点．（1）求椭圆上的动点T到()1,0N的最短距离；（2）直线AB与x轴交于点(),0Mm，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线xm=于P，Q两点．求证：PMMQ为定值．

【答案】（1）142（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆方程，再利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；(2)首先利用直线AB的方程求出m=-2，再分别利用AC，BD的方程与椭圆方程联立方程组得出P，Q坐标，即可化简得到.【小问1详解】

把()0,2A、()3,1B−−两点坐标代入22221xyab+=得：2222041911abab+=+=，即23a=，2b=，即椭圆方程为：221124xy+=．设(),Txy，则点T到()1,0N的距离222222(1

)(1)4(1)25,123xdxyxxx=−+=−+−=−+因为2323x−，所以当32x=时，d有最小值，且min29314253422d=−+=，所以动点T到()1,0N的最短距离为142．【小问2详解】如图，因为211

03ABk+==+，所以直线AB的方程为：20xy−+=．取0y=得，2m=−，显然直线CD的斜率存在，设其方程为：()()21,0ykxkk=+，()11,Cxy，()22,Dxy，联立方程组：22(2)1124ykxxy=++=得：()2222131212120kxkxk++

+−=，所以21221213kxxk−+=+，2122121213kxxk−=+，记直线AC的方程为：1122yyxx−−=，令2x=−得：()()112222,kxPx−+−．记直线BD的方程为：2211(3)3yy

xx++=++，令2x=−得：()()22122,3kxQx−+−+，()()()()()()()112121222222231223pQkxyxxPMxkxQMyxxx−+++===−+++()22122121212121121212122412224122131312

122213kkxxxxxxkkkxxxxk−−+++++++++==−+++()()221221121221311212213kkxkkx−++==−++故PMQM为定值，定值为1．22.已知函数()()5ln4

fxkxxkkR=+−．（1）求函数()fx的单调区间和最大值；（2）设函数()()1gxfxkxx=−+有两个零点12,xx，证明：122xx+．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值

；（2）利用极值点偏移直接求解.【小问1详解】函数()()5ln4fxkxxkk=+−R的定义域是()()10,,fxkx+=+.当0k时，()0fx¢>恒成立，故()fx在()0,+上单调递增，无最大值；当0k时，令()0fx¢>，得10xk−；令()0fx

，得1xk−，所以()fx的单调递增区间为10,k−，单调递减区间为1,−+k，max111515()lnln144fxfkkkkkkk=−=−+−−=−−−

．【小问2详解】()()115ln4gxfxkxxkxx=−+=+−，因为12,xx为()gx的两个零点，所以()()120gxgx==，不妨设12xx．因为()21xgxx−=，所以()gx在()0

,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以1201xx．又证明212xx+等价于证明212xx−，又因为()1221,1,xxgx−在()1,+上单调递增，因此证明原不等式等价于证明()()2

12gxgx−，即要证明()()112gxgx−，即要证明()()111111515lnln201424xkxkxxx+−+−−−，即()()1111111lnln20012xxxxx+−−−−恒成立．令()(

)11lnln2(01)2hxxxxxx=+−−−−，则()2222211114(1)0(2)2(2)xhxxxxxxx−−=−+−+=−−−，所以()hx在()0,1上为减函数，所以()()11ln11ln10hxh=+−−=，即()()11lnln202

hxxxxx=+−−−−在()0,1x时恒成立，因此不等式()11111515lnln2424xkxkxx+−+−−−恒成立，即122xx+．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的

工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（

3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数证明不等式．