【文档说明】湖北省黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试数学试题答案.pdf，共(5)页，227.897 KB，由小赞的店铺上传

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第1页，共5页学科网（北京）股份有限公司2024年9月高三起点联考数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.𝐴2.𝐵3.𝐶4.𝐵5.𝐷6.𝐷7.𝐶8.𝐴二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分．9.𝐴𝐵𝐷10.𝐴𝐷11.ABD11.解析：A.𝑎=1时，𝑓′(𝑥)=6𝑥2−6𝑥=6𝑥(𝑥−1),𝑓(𝑥)在(−∞，0)递增，(0，1)递减，(1，+∞)递增，∴{𝑓(𝑥)极大值=

𝑓(0)=𝑏>0,𝑓(𝑥)极小值=𝑓(1)=𝑏−1<0,A正确；B.由（1）知：𝑓(𝑥)在(0，1)递减，当𝑥∈(0,𝜋)时，0<sin2𝑥<sin𝑥<1,B正确；C.因为𝑓(1−𝑥)=2−�

�(𝑥),所以𝑓(𝑥)关于(12，1)对称，则𝑓(12)=1,得2𝑏−𝑎=2,C错误；D.由题意知：𝑓′(𝑥0)=6𝑥02−6𝑥0+1−𝑎=0，①又由𝑓(𝑥0)=𝑓(𝑥1)化简得：(𝑥0−𝑥1)[2

(𝑥02+𝑥1𝑥0+𝑥12)−3(𝑥0+𝑥1)+(1−𝑎)]=0,因为𝑥0≠𝑥1,所以2(𝑥02+𝑥1𝑥0+𝑥12)−3(𝑥0+𝑥1)+(1−𝑎)=0，②①−②化简可得,D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.�

�≤213.−114.[34𝑒−5,23𝑒−4)14.解析：分析𝑓(𝑥)=sin𝑥−𝑥+1,可知函数𝑓(𝑥)单调递减，在(0，1)中心对称，得：𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=2,将不等式𝑓(�

�𝑥𝑒𝑥)+𝑓(−𝑎𝑒𝑥−𝑥+2)>2，变形得𝑓(𝑎𝑥𝑒𝑥)>𝑓(𝑎𝑒𝑥+𝑥−2),所以得𝑎𝑥𝑒𝑥<𝑎𝑒𝑥+𝑥−2,变形得：𝑎𝑒𝑥(𝑥−1)<(𝑥−2),𝑎(𝑥−1)

<(𝑥−2)𝑒𝑥,{#{QQABbYIAggiAAJBAABgCEwHqCAOQkBCCCQgGRFAEsAABQANABAA=}#}第2页，共5页学科网（北京）股份有限公司据图可得：{𝑎(4−

1)<(4−2)𝑒4𝑎(5−1)≥(5−2)𝑒5,解得𝑎∈[34𝑒−5,23𝑒−4).四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：(1)证明：因为𝑆𝑛=1−�

�𝑛,所以𝑆𝑛+1=1−𝑎𝑛+1,两式相减得：𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1,....................................3分所以数列{𝑎𝑛}为等比数列，公比𝑞=12,当𝑛=1时，𝑎1=1−𝑎1,所以𝑎

1=12..................4分所以𝑎𝑛=(12)𝑛..................5分（2）𝑆𝑛=1−𝑎𝑛,所以𝑆𝑛=1−(12)𝑛..................7分𝑆𝑛2=1+14𝑛−12𝑛−1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分�

�𝑛=𝑛+(14+142+⋯+14𝑛)−2(12+122+⋯+12𝑛)⋯⋯⋯11分=𝑛+12𝑛−1−13×4𝑛−53⋯⋯⋯⋯⋯13分16.解：(1)𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥·cos𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥=12sin2𝜔𝑥+1+co

s2𝜔𝑥2=12sin2𝜔𝑥+12cos2𝜔𝑥+12=√22sin(2𝜔𝑥+𝜋4)+12，....................................1分因为函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，所以𝑇

=2𝜋2𝜔=𝜋，即𝜔=1，....................................2分所以𝑓(𝑥)=√22sin(2𝑥+𝜋4)+12，............................

............................................3分令−𝜋2+2𝑘𝜋⩽2𝑥+𝜋4⩽𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，解得−3𝜋8+𝑘𝜋⩽𝑥⩽𝜋8+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为[−3𝜋8+𝑘𝜋,𝜋8+�

�𝜋](𝑘∈𝑍)，....................................5分令2𝑥+𝜋4=𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，解得𝑥=−𝜋8+𝑘2𝜋(𝑘∈𝑍)，所以𝑓(𝑥)的对称

中心为(−𝜋8+𝑘2𝜋,12)(𝑘∈𝑍);..................7分{#{QQABbYIAggiAAJBAABgCEwHqCAOQkBCCCQgGRFAEsAABQANABAA=}#}第3页，共5页

学科网（北京）股份有限公司(2)将函数𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋8个单位，再向下平移12个单位，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥−𝜋8)−12=√22sin[2(𝑥−𝜋8)+�

�4]+12−12=√22sin2𝑥，....................................9分所以函数𝑔(𝑥)的最小正周期为𝜋，..................10分由𝑥𝑛+1−𝑥𝑛=𝜋3(𝑛∈𝑁∗)知，𝑔(𝑥1)+𝑔(𝑥2)+𝑔(�

�3)=𝑔(𝑥4)+𝑔(𝑥5)+𝑔(𝑥6)=⋯=𝑔(𝑥2020)+𝑔(𝑥2021)+𝑔(𝑥2022),𝑔(𝑥1)+𝑔(𝑥2)+𝑔(𝑥3)=√22−√24−√24=0，.................

.13分所以𝑔(𝑥1)+𝑔(𝑥2)+⋯+𝑔(𝑥2024)=𝑔(𝑥2023)+𝑔(𝑥2024)=𝑔(𝑥1)+𝑔(𝑥2)=√24...................15分17.

解：(1)𝑓(𝑥)的定义域为(0，+∞),..................1分𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+32𝑥−(𝑎+3).............................................................

..2分由题意知：𝑓′(1)=𝑎−32=−1,所以𝑎=12.......................................................4分𝑓(1)=34−𝑎−3=−1+𝑏,𝑏=−74..

.......................................................................6分(2)𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+32𝑥−(𝑎+3)=(3𝑥−2𝑎)(𝑥−2)2�

�令𝑓′(𝑥)=0⟹𝑥1=2,𝑥2=23𝑎,........................................................................7分当𝑎≤0时，所以𝑓(𝑥)在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增；......

......................9分当0<𝑎<3时，0<𝑥2<𝑥1所以𝑓(𝑥)在(0,23𝑎)单调递增，(23𝑎,2)单调递减，(2,+∞)单调递增；..................11分当𝑎=3时，𝑥1=𝑥2=2,𝑓′(𝑥)≥0,𝑓(𝑥)在(0

,+∞)单调递增；..................13分当𝑎>3时，0<𝑥1=2<𝑥2=23𝑎,所以𝑓(𝑥)在(0,2)单调递增，(2,23𝑎)单调递减，(23𝑎,+∞)单调递增......................................

15分18.解：(1)1−cos𝐴sin𝐴=1−(1−2sin2𝐴2)2sin𝐴2cos𝐴2=2sin2𝐴22sin𝐴2cos𝐴2=tan𝐴2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分sin𝐴1+cos𝐴=2sin𝐴2cos𝐴21+(2cos2𝐴2−1)=2s

in𝐴2cos𝐴22cos2𝐴2=tan𝐴2,{#{QQABbYIAggiAAJBAABgCEwHqCAOQkBCCCQgGRFAEsAABQANABAA=}#}第4页，共5页学科网（北京）股份有限公司故tan𝐴2=1−cos𝐴sin�

�=sin𝐴1+cos𝐴.⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)(i)由题意设𝑏=𝑎𝑞,𝑐=𝑎𝑞2,由三角形三边关系知{𝑞>0𝑎+𝑎𝑞>𝑎𝑞2𝑎+𝑎𝑞2>𝑎𝑞𝑎𝑞+𝑎𝑞2>𝑎⋯⋯⋯⋯⋯8分解之得：𝑞∈(√5−12,√5+12).

...................................10分（ii）由(1)的结论可知tan𝐴2tan𝐶2=sin𝐴1+cos𝐴⋅1−cos𝐶sin𝐶=sin𝐴sin𝐶⋅1−cos𝐶1+cos𝐴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分=𝑎

𝑐⋅1−𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏1+𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=𝑎+𝑐−𝑏𝑎+𝑐+𝑏=𝑎+𝑎𝑞2−𝑎𝑞𝑎+𝑎𝑞2+𝑎𝑞⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分=1+𝑞2−𝑞1+𝑞2+𝑞=(1+𝑞2+𝑞

)−2𝑞1+𝑞2+𝑞=1−2𝑞1+𝑞2+𝑞⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分=1−2𝑞+1𝑞+1∈[13,3−√52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分故tan𝐴2tan𝐶2的取值范围为[13

,3−√52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分19.解：（1）当𝑥≥1时，|sin𝑥|<𝑥显然成立；当0<𝑥<1时，|sin𝑥|=sin𝑥.即证sin𝑥<𝑥，𝑥∈(0,1).※⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

分构造𝜑(𝑥)=𝑥−sin𝑥,𝑥∈(0,1).𝜑′(𝑥)=1−cos𝑥≥0.∴𝜑(𝑥)在(0,1)单调递增，𝜑(𝑥)>𝜑(0)=0,即※式成立综上：|sinx|<𝑥，𝑥>0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)当𝑎>

1时，ℎ(𝑥)=sin𝑥−𝑥𝑎,ℎ′(𝑥)=cos𝑥−𝑎𝑥𝑎−1,当𝑥∈(0,1)时，cos𝑥单调递减，𝑎𝑥𝑎−1单调递增，∴ℎ′(𝑥)在(0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分{#{QQABbYIAggiAAJ

BAABgCEwHqCAOQkBCCCQgGRFAEsAABQANABAA=}#}第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司又ℎ′(0)=1>0,ℎ′(1)=cos1−1<0,∴ℎ′(𝑥)=0在(0,1)存在唯

一零点，记为𝑥0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴ℎ(𝑥)在(0,𝑥0)单调递增，在(𝑥0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分∴ℎ(𝑥0)>ℎ(0)=0,证毕.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分(3)𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥

),𝑥>0,即sin𝑥∙sin1𝑥<𝑥𝑎,𝑥>0,若sin𝑥与sin1𝑥异号，显然成立，只考虑sin𝑥与sin1𝑥同号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分又𝑥=1时，sin21<1命题成立；𝑥>1时，𝑥𝑎>1≥sin𝑥∙sin1𝑥，命题成立

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分故只需考虑𝑥∈(0,1)时，sin𝑥∙sin1𝑥<𝑥𝑎,(𝑎>0)※※⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分若0<𝑎≤1，sin𝑥∙sin1𝑥=|sin𝑥|∙|sin1𝑥|≤|sin𝑥|<𝑥≤𝑥𝑎※※式成立（用（1）结论），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分若𝑎>1,

取𝑚∈𝑁∗,𝑚>1𝑥0,取𝑥1=1(2𝑚+12)𝜋∈(0,𝑥0),sin𝑥1∙sin1𝑥1=sin𝑥1sin(2𝑚+12)𝜋=sin𝑥1>𝑥1𝑎(由（2）结论),※※式

不成立，⋯⋯⋯⋯⋯16分综上：0<𝑎≤1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分{#{QQABbYIAggiAAJBAABgCEwHqCAOQkBCCCQgGRFAEsAABQANABAA=}#}