【文档说明】湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，918.035 KB，由小赞的店铺上传

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株洲市二中2023年下学期高一年级期中考试试卷数学试题命题人：金晶审题人：邓丽花时量：120分钟分值：150分一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.已知集合|24,{|3}AxxBxx==，则AB=（

）A.{|34}xxB.{|4}xxC.|23xxD.{|2}xx【答案】A【解析】【分析】应用集合的交运算求AB即可.【详解】由题设AB=|24{|3}{|34}xxxxxx=.故选：A2.已知幂函数()fxx

=的图象经过点13,27，则=（）A.2−B.3−C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义代入计算可得3=−.【详解】将点13,27代入可得1327=，解得3=−.故选：B3.函数()eexxfx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.

【答案】D【解析】【分析】B选项的不是函数图象，故排除，再结合特殊值排除AC选项.【详解】先排除B选项，因为不是函数图象；()000ee2f−=+=，排除AC选项.故选：D4.已知()()44log3log1xx+，则x的取值范围为（）A.1,2+B.1,2−C.

11,22−D.10,2【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性和定义域分析求解.【详解】因为4logyx=在定义域()0,+内单调递增，若()()44log3log1xx+，则031+xx，解得102x，所以x的取值范围为10,2

.故选：D.5.已知()fx是定义在R上的偶函数，且在(,0−上是增函数，设()4log7af=，()()042log3,0.2bfcf==，则,,abc的大小关系是（）A.bacB.<bcaC.cbaD.abc【答案】A【解析】【详解】根据指、对数函数

单调性可得420400.21log7log3，结合偶函数的性质分析判断.【分析】因为222411log7log7log7log32==，即421log7log3，又因为0400.2100.2=，即0400.21

，可得420400.21log7log3，由题意可知：()fx在)0,+上单调递减，所以bac.故选：A.6.“函数()afxx=在()0,+上单调递减”是“函数()()41gxxax=−+是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充

分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解函数()fx和()gx符合条件的a的取值，即可得出结论.【详解】由题意，在()afxx=中，当函数在()0,+上单调递减时，a<0，在()()41gxxax=−+中，函数是偶函数，∴()()()

()()()()()4411gxxaxgxxaxgxgx−=−−+−=−+=−，解得：1a=−，∴“函数()afxx=在()0,+上单调递减”是“函数()()41gxxax=−+是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇

宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】【详解】试题分析：设36180310MxN==，两边取对数，36136180803lglglg3

lg10361lg38093.2810x==−=−=，所以93.2810x=，即MN最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与

对数运算的关系，难点是令36180310x=，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含logloglogaaaMNMN+=，logloglogaaaMMNN−=，loglognaaMnM=.8.定义域为R的函数()fx满足：当)0

,1x时，()3xfxx=−，且对任意的实数x，均有()()11fxfx++=，记321log2,log3ab==则()()()2fabfafa++=（）A.23B.3133log23−C.363log2−D.32log23+【答案】D【解析】【分析】根据函数在)0,1上的解析式以及

()()11fxfx++=，将,,2abaa的范围利用表达式化到)0,1上代入计算即可得出结果.【详解】由132221log2,loglog3log33ab−====−可得()32log2log31ab=−

=−，所以()()1fabf=−，由()()11fxfx++=可得()()011ff−+=，即()()()01101300ff−=−=−−=，所以()()10fabf=−=；易知333log10log2log31a===<<，可得)0,1a，所以()3log23333

log22log2afaa=−=−=−；显然()()()3333322log2log4o4o433loglg1lg3faffff====++，又()()11fxfx++=可得3341log1log433ff=−+；显然340log13<<，

所以3log333333434141log1log13log41loglo34444413333glog33ff=−=−−=−+−+−++=−=；可得()()()3

3333422202log2loglog22loglog223343fabfafa=++=+−−+=+−+.故选：D二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5

分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速，观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（）A.服了药物后心率会

马上恢复正常B.服药后初期药物起效速度会加快C.所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）D.欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次【答案】BCD【解析】【分析】根据图象逐项分析判断.【详解】对于选项A：由图可知：服药2个小时后心率会恢复正常，故A错误；对

于选项B：服药后初期心率下降速度增大，即药物起效速度会加快，故B正确；对于选项C：当0,15t时，图象是下降的，所以所服药物约15个小时后失效，故C正确；对于选项D：因为心率在正常范围内的时长为22小时，所以欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次，故D正确；故选：BCD.10.下列

不等式的解集为R的是（）A.26110xx++B.2330xx−−C.220xx−−+D.22550xx++【答案】ACD【解析】【分析】分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断，结合一元二次函

数图象即可得出结论.【详解】对于A，易知方程26110xx++=的判别式264110=−<，即对应的整个二次函数图象都在x轴上方，所以解集为R，即A正确；对于B，易知方程2330xx−−=的判别式2

3430=+>，由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；对于C，易知方程220xx−+−=的判别式21420=−<，即对应的整个二次函数图象都在x轴下方，所以解集为R，即C正确；对于D，易知不等式22550xx++可化为()250x+，显然该式恒成立，

即解集为R，即D正确；故选：ACD11.下面结论正确的是（）A.若12x，则1221xx+−最小值是3B.函数54xyx+=+的最小值是2C.0,0xy且2xy+=，则31xyx++的最小值是3D.函数521,22xyxx−=

的值域是52,24【答案】ACD【解析】【分析】对于A，易知210x−，利用基本不等式即可得1x=时1221xx+−取到最小值为3，即A正确；易知51444xyxxx+==++++，显然等号不成立，即可知B错误；对于C，由2xy+=可知311

133xyxyx+=−++++，由基本不等式中“1”的妙用即可求得当31,22xy==时31xyx++的最小值是3,可知C正确；对于D，利用换元法并由基本不等式结合1,22x即可求得其值域是52,24，即D正确.的【详解】对于A，若12x，可得210x−，则()111

221122113212121xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当12121xx−=−时，即1x=时等号成立，此时最小值为3，即A正确；对于B，由5411142424444xxyxxxxxx+++===

+++=++++，当且仅当144xx+=+时，等号成立，显然等号不成立，因此B错误；对于C，由2xy+=可得2xy=−，所以()13333131123111113313xyxyxyxyxyxyyxy

+=+=+=−++=−++++−−−++++++()()3131131333162133131yyxxxyxy++=+++−+−=++；当且仅当()3131yxxy+=+时，即31,22

xy==时，等号成立；即C正确；对于D，令252,,222xtt−=，则可得225tx+=，当2,222t时，25555522242222tyttttt====++，当且仅当2t=时，等号成立；又易知25222,2tt+

，所以5522522ytt==+，即可得52,24y，即D正确；故选：ACD12.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在0,1上的黎曼函数()1,

,,0,01pxxpqqqRxxxx====为有理数且其中为既约的正整数为无理数或或，关于黎曼函数()Rx（0,1x），下列说法正确的是（）A.()Rxx=的解集为11110,,,,,2345B.()Rx的值域为10,2C.12Rx

+为偶函数D.()Rxx【答案】ACD【解析】【分析】由黎曼函数的定义一一分析即可.【详解】依题意当x无理数（0,1x）时()Rxx=无解，当x为有理数（()0,1x）时，即pxq=，q为大于1的正整数，p、q为既约的正整数，则方程()Rxx=，解得1xq=，q为大于1的

正整数，当0x=时()Rxx=，解得0x=，当1x=时()Rxx=无解，所以方程()Rxx=的解集为11110,,,,,2345，故A正确；因为210,112，但是不存在正整数q，使得1211q=，故B错误；若x为0,1上的无理数，则1x−也为无理

数，此时()()1RxRx=−，若1x=，则10x−=，此时()()1RxRx=−，若x为()0,1上的有理数，则1x−也为有理数，此时()()1RxRx=−，综上可得0,1x，有()()1RxRx=−，所以()Rx

关于12x=对称，即1122RxRx+=−，则12Rx+为偶函数，故C正确；由0,1x，若x为无理数时()0Rx=，此时()Rxx，若0x=或1x=时()0Rx=，此时(

)Rxx，若x为有理数（0x且1x），即pxq=，q为大于1的正整数，p、q为既约的正整数，为则()1pRxqq=，所以()Rxx，故D正确；故选：ACD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数1xya=−（0a且1a）的图像一定过点____________.【答案】()0,0【解析】【分析】根据指数函数的性质计算可得.【详解】函数1xya=−（0a且1a），令0x=可得010ya=−=，即函数恒过点()0,0.故答案为

：()0,014.函数()31log3yx=−的定义域为__________.【答案】(3,4)(4,)+【解析】【分析】由对数式与分式有意义建立不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则330log(3)0xx−

−，解得3x，且4x，故函数()31log3yx=−的定义域为(3,4)(4,)+.故答案为：(3,4)(4,)+15.记1232023A=，那么23420231111loglogloglogAAAA++++=_____

_____.【答案】1【解析】【分析】利用换底公式以及对数运算法则计算可得结果为1.【详解】根据对数运算法则可知23420233420231111log2logloglogloglogloglogAAAAAAAA++++=++++()l341logg202o23AAA===；故

答案为：116.求“方程34155xx+=的解”有如下解题思路：构造函数()yfx=.其表达式为()3455xxfx=+，易知函数()yfx=在R上是减函数，且()21f=

，故原方程存唯一解2x=.类比上述解题思路，不等式63223(23)xxxx−−+−的解集为__________.【答案】()(),13,−−+【解析】【分析】类比题目构造函数过程，对不等式63223(23)xxxx−−+−进行整理

变形为()()3223(23)23xxxx++++，由其结果特征，构造函数()3gxxx=+，根据函数单调性，求解不等式.【详解】设()3gxxx=+，易知函数()gx在R上是增函数，不等式63223(23)xxxx−−+−变形为()623(23)23xxxx++++，即()()3

223(23)23xxxx++++，即()()223gxgx+，所以223xx+即2230xx−−，解得3x或1x−，所以原不等式的解集为()(),13,−−+.故答案为：()(),13,−−+.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解

答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.求值：（1）130.25046482(2021)27+−−；（2）2lg25lg2lg50(lg2)++【答案】（1）73（2）2【解析】【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数的运算性质

化简求值即可.（2）根据对数的运算性质化简求值即可【小问1详解】11331330.250444644482(2021)22121273337+−−+−=+−==【小问2详

解】()()2lg25lg2lg50(lg2)lg5lg2lg50lg22lg5lg222++++=+==18.已知函数xyba=是指数函数.（1）该指数函数的图象经过点()3,8，求函数的表达式；（2）

解关于x的不等式：3341xaa−；【答案】（1）2xy=（2）当01a时，1,3−；当1a时，1,3+【解析】【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式.(2)分别讨论01a和1a，结合指数函数的单调性求解.【小问1详解】

因为函数xyba=是指数函数，且图象经过点()3,8，所以318ba==，即2,1ab==，函数的解析式为2xy=；【小问2详解】将1b=带入不等式可得.33431=xaaa−−，当01a

时，xya=为减函数，则343x−−，解得13x，解集为1,3−当1a时，xya=为增函数，则343x−−，解得13x，解集为1,3+19.已知函数()()()22log2log1fxxx=−−.（1）当2,8

x时，求该函数的值域；（2）若()2logfxmx对于4,16x恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）1,24−（2）(,0−【解析】【分析】（1）由2,8x，可得2log1,3

x，利用换元法可转化为求()232,1,3ftttt=−+的值域，利用二次函数性质可得其值域为1,24−；（2）将原不等式转化成23tmt−+对于2,4t恒成立，利用对勾函数单调性即可得0m.【小问1详解】由对数函数单调性可知，当2,8x时，2lo

g1,3x，令2log,1,3xtt=，即可得()232,1,3ftttt=−+，由二次函数性质可知当32t=时，()min14ft=−，当3t=时，()max2ft=；因此可得当2,8x时，该函数的值域为

1,24−.【小问2详解】当4,16x时，可得2log2,4x，原不等式可化为232ttmt−+对于2,4t恒成立，即可得23tmt−+对于2,4t恒成立，易知

函数23ytt=−+2,4t上单调递增，所以min22302y=−+=，因此只需min0ym=即可，得0m；即m的取值范围是(,0−.20.近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一

流水平.设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位：km/s），初始速度为0v（单位：km/s），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：0ln1Mvvm=++，其中是火箭

发动机喷流相对火箭的速度.假设00km/sv=，25tm=.（参考数据：16.73e261.56，ln804.382）.（1）若3km/s=，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km/s）时，求相应的M；（精确到小数点后一

位）（2）如果希望火箭飞行速度达到16.7km/s，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问的最小值为多少？（精确到小数点后一位）【答案】（1）6514.0t（2）3.8【解析】【分析】（1）根据题意可得3ln125Mv=+，令16.7v=运算求解；（2）根据题

意可得25ln25Mv+=，令16.7v=整理可得()16.7ln25ln25M+=+，解不等式()ln25ln2000M+即可得结果【小问1详解】由题意可得：3ln125Mv=+，在.令3ln116

.725Mv=+=，则16.7325e16514.0M=−（t），故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km/s）时，相应的M为6514.0t.【小问2详解】由题意可得：25ln1ln2525M

Mv+=+=，令25ln16.725Mv+==，则()16.7ln25ln25ln2000M+=+，∴16.716.83.8ln2000ln25ln80=−，故的最小

值为3.8.【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒

建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．21.设函数()(0xxfxkaaa−=−且()1,R),akfx是定义域为R的奇函数.（1）求k的值：（2）已知3a

=，若3log2,2x，使()()2223xfxfx−+成立.请求出最大的整数.【答案】（1）1k=（2）9【解析】【分析】（1）利用奇函数性质可求得1k=；（2）由3a=可得()33xxfx−=−，将

不等式化简可得()()233233xxxx−−−+−，利用换元法可得2380,,29ttt+能成立，利用函数单调性即可得出的最大整数取值为9=.【小问1详解】根据题意可知()010fk=−=，解得1k=；此时()xxfxaa−=−，经检验()fx满足()()

()()xxxxfxaaaafx−−−−−=−=−−=−，即()fx为奇函数，所以1k=.【小问2详解】由3a=可得()33xxfx−=−，则不等式()()2223xfxfx−+可化为()222332333xx

xxx−−−−+−，即()223333xxxx−−+−，可得()()233233xxxx−−−+−，易知函数33xxy−=−在3log2,2x单调递增，令38033,29xxt−=−，所以2tt+，易知

2tt+在380,29t上单调递增，即可知2173281,6360tt+，根据题意可知32819.11360，即可知的最大整数取值为9=.22.已知函数()(0xfxaa=且1)a，其反函数为()ygx=.

（1）若2a=，求()gx的解析式；（2）若函数()31kygfx=+−值域为R，求实数k的取值范围；（3）定义：若函数()fx与()gx在区间,,()abab上均有定义，且,xab，

恒有()()1fxgx−，则称函数()fx与()gx是,ab上的“粗略逼近函数”.若函数()3gxa−和1gxa−是2,3aa++上的“粗略逼近函数”，求实数a的最大值.【答案】22.()2log(0=gxxa且1)a.23.(,0−24.957

12−【解析】【分析】（1）根据指、对数函数互为反函数分析求解；（2）根据题意可知()3131==+−+−xkkayfx的值域包含()0,+，结合指数函数性质分析求解；（3）根据对数函数的真数大于0分析可得01a，根据题意结合对数函数单调性可得()()13axaxaa−−在

2,3aa++上恒成立，结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】由题意可知：()log(0agxxa=且1)a，若2a=，则()2log(0=gxxa且1)a.【小问2详解】若函数()31ky

gfx=+−值域为R，可知()3131==+−+−xkkayfx的值域包含()0,+，因为0xa，则3131+−−xkka，即31xkya=+−的值域为()31,−+k，可得310k−，即31

k，解得0k，所以实数k的取值范围实数k的取值范围(,0−.【小问3详解】因为()log(0agxxa=且1)a的定义域为()0,+，且2,3xaa++，对于1gxa−，可知10xa−，成立，对于()3gxa

−，可知()23220+−=−aaa，解得01a，又因为()()()()113log3loglog3−−=−−=−−−−aaagxagxaxaxaxaxa，函数()3gxa−和1gxa−是2,3aa++上的“粗略逼近函数”，

则()()()13log31−−=−−−agxagxaxaxa，即()()1log31−−−axaxa，且01a，logayx=在定义域内单调递减，可得()()13axaxaa−−在2,3aa++上

恒成立，又因为()()22343=−−=−+yxaxaxaa开口向上，对称轴22xaa=+，可知2243=−+yxaa在2,3aa++上上单调递增，可得()()()()2321333aaaaaaaaaa+−+−+−+−，解得957012a−，所以实数a的最大值为95

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