【文档说明】吉林省四平市普通高中2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(28)页，1.750 MB，由小赞的店铺上传

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四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答

题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修

第一册第二章~第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为224240xyxy−−++=，其圆心坐标是（）A(1,2)B.(1,2)−C.(2,1)−D.(1,2)−−2.已知直线经过()3,7A

，()2,8B两点，则该直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°3.已知直线3260xy−−=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A.22194xy+=B.22419xy+=C.2

2194yx+=D.22419yx+=4.已知抛物线C：216yx=的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，10PF=，过点P作y轴的垂线，垂足为P，则PF=（）A.25B.27C.45D.475.已知双曲线C：(

)222210,0xyabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点P是双曲线.C上的一点，2OPOF=，且1POF△的面积为4，则实数b=（）A.2B.2C.22D.46.已知圆C：2240x

yxmy+−−=上任意一点M关于直线21yx=−对称点N也在圆上.则实数m=（）A.4B.6C.6−D.4−7.已知抛物线C：22ypx=的焦点为()2,0F，过点()2,1M的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是AB

的中点，则直线AB的方程为（）A1yx=−B.47yx=−C.3yx=−+D.25yx=−+8.如图，A，B分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是

直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）A.33B.12C.32D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l过点()1,3，点()4,2A−，()2,2B

−到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）A.23110xy+−=B.3280xy+−=C.3230xy−+=D.2370xy−+=10.已知双曲线22:1812yxC−=，则下列说法正确的是（）的.A.双曲线C的实轴长为43B.双曲线C的焦距为45C.

双曲线C的离心率为102D.双曲线C的渐近线方程为62yx=11.已知椭圆C：2215xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点00(,)Pxy是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.12PFF△的周长为254+B.12PFF△的面积的最大值为2

C.若()1,0A，则PA最小值为51−D.004yx+的最小值为1111−12.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F到准线的距离为2，过y轴上异于坐标原点的任意一点P作抛物线C的一条切线，切点为

Q，且直线PQ的斜率存在，O为坐标原点.则（）A.2p=B.当线段PF的中点在抛物线C上时，点P的坐标为()0,22C.PFPQ⊥D.PQOFOPPF=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程

2221321xymm+=+表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______.14.已知圆221:6120Cxyxy+−−=和圆222:4530Cxyxy++−−=，则圆1C与圆2C的公共弦所在的直线方程为______.15.已知椭圆C：

221167xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上的一点，则()122PFPF+的最大值为______.16.已知双曲线2322100xyCabab−=：（，）的右焦点为F，离心率为102，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且AFBF

⊥，延长AF交双曲线C于另一点Q，则||||QFBQ=___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.的17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点

()1,3A−−和点()1,1B.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为5，求直线m的方程.18.已知点()2,0O、()6,0A−，动点(),Pxy满足3PAPO=.（1）求动点P的轨迹C的

方程；（2）已知圆Q的圆心为()(),0Qttt，且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围.19.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F关于抛物线C的准线的对称点为(9,0)P−．（1）

求抛物线C的方程；（2）过点F作斜率为4直线l，交抛物线C于A，B两点，求AB．20.已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab−=的一条渐近线方程为233yx=，焦距为27.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过(0,4)P的直线l交双曲线C于A，B两点，且O

AB的面积为245，求直线l的方程.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为33，且过点232,3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:1lykx=+与椭圆C交于A，B两点，点P是y轴上的一点，过点A作直线PB的垂线，垂足为M，是否存在定点P，使得PB

PM为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知点()13,5T−和点()25,21T−在双曲线()2222:10,0xyCabab−=上，双曲线C的左顶点为A，过点()2,0La且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于

P，Q两点，直线AP，AQ与圆222:Oxya+=分别交于M，N两点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设直线AP，AQ斜率分别为1k，2k，求12kk的值；（3）证明：直线MN过定点.的四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学B试题全卷满分15

0分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.

选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆的一般方程为224240xyxy−−++=，其圆心坐标是（）A.(1,2)B.(1,2)−C.(2,1)−D.(1,2)−−【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程即得

.【详解】因为圆220xyDxEyF++++=的圆心为,22DE−−，则圆224240xyxy−−++=圆心坐标是(2,1)−.故选：C．2.已知直线经过()3,7A，()2,8B两点，则该直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°【答案】C【解析】【分析】利用两点

间的斜率公式可求出其斜率为1−，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果.的【详解】易知,AB两点间的斜率87123ABk−==−−，设直线倾斜角为),0,π，由斜率与倾斜角之间的关系可得tan1=−，故该直线的倾斜角为135°.故选：

C.3.已知直线3260xy−−=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A.22194xy+=B.22419xy+=C.22194yx+=D.22419yx+=【答案】C【解析】【分析】求出直线3260xy−−=与两坐标轴的焦点为()0

,3−，()2,0.根据32−，可设椭圆的方程为22221yxab+=，求出,ab即可.【详解】令0x=，可得=3y−；令0y=，可得2x=.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3−，()2,0.因为32−，所以椭圆的焦点在y轴

上.设椭圆的方程为22221yxab+=，则3a=，2b=，所以椭圆的方程为22194yx+=.故选：C.4.已知抛物线C：216yx=的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，10PF=，过点P作y轴的垂线，垂足为P，则PF

=（）A.25B.27C.45D.47【答案】D【解析】分析】设00(,)Pxy，由抛物线定义，0104PFx==+，解出0x，代入抛物线方程，可求20y，再由两点间距离公式可求PF.【详解】由抛物线C：216yx=，得焦点()4,0F，设00(,)Pxy，

所以()00,Py，由0410PFx=+=，解得06x=，所以0021696yx==，所以220447PFy=+=.故选：D.5.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，2OPOF=，且1POF

△的面积为4，则实数b=（）A.2B.2C.22D.4【答案】C【解析】【分析】由21212OPOFFF==，得12PFF△为直角三角形，根据双曲线定义，再利用121121822PFFPOFSFSPFP===以及勾

股定理建立等量关系即可求解.【详解】因为1POF△的面积为4，所以12PFF△的面积为8.又2OPOF=，所以211212OPOFOFFF===，所以12PFF△为直角三角形，且12PFPF⊥.设1PFm=，2PFn=，【所以2mna−=，2224mnc+=，所以()()2

2222244222mnmncamnb+−−−===，所以122182PFFSmnb===△，又0b，所以22b=.故选：C.6.已知圆C：2240xyxmy+−−=上任意一点M关于直线21yx=−的对称点N也在圆上.则实数m=

（）A.4B.6C.6−D.4−【答案】B【解析】【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心.【详解】圆C：2240xyxmy+−−=的标准方程为()2222424mmxy−+−=+，要使得圆上任意一点M关于直线21yx=−的对称点N也在圆上，则直线21yx

=−经过圆心2,2m，即2212m=−，解得6m=，故选：B7.已知抛物线C：22ypx=的焦点为()2,0F，过点()2,1M的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是AB的中点，则直线AB的方程为（）A.1yx=−B.47yx=−C.3yx=−+D.25yx=−+【答案】B

【解析】【分析】先求出抛物线方程，再用点差法求出直线斜率，最后写出直线方程.【详解】因为抛物线焦点为()2,0F，所以4p=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2118yx=，2228yx=，所以()2212128yyxx−=−，易知12xx，所以()()1212128yyyyxx−+=

−，又122yy+=，所以12124yyxx−=−，所以直线AB的方程为()142yx−=−，即47yx=−，故选：B8.如图，A，B分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右顶点，点P在以AB为直径的

圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）A.33B.12C.32D.34【答案】C【解析】【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设()()1122,,PxyQxy、，易知()(),0,0AaBa−、，则(

)22222222222221baxxyyaba−+==，222222222222001AQBQyyybkkexaxaxaa−−===−=−+−−，又212121210010044AQBPBQBPyykkxaxa

yykkxaxa−−==−+−−−===−−，所以()2344112APBPAPBQkkkkee==−=−=.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分.9.已知直线l过点()1,3，点()4,2A−，()2,2B−到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）A.23110xy+−=B.3280xy+−=C3230xy−+=D.2370xy−+=【

答案】AC【解析】【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.【详解】当直线l与直线AB平行时，因为()222243ABk−−==−−−，所以直线l的方程为()2313yx−=−−，即23110xy+−=.当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为(

)1,0−，所以直线l的方程为310311yx−−=−−−，即3230xy−+=.综上所述，直线l的方程为23110xy+−=或3230xy−+=.故选：AC.10.已知双曲线22:1812yxC−=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的实轴长为43B.双曲线C的焦距为45C.双曲线C的离心率为1

02D.双曲线C的渐近线方程为62yx=【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．.【详解】双曲线22:1812yxC−=，则22,23,25abc===，双曲线C的

实轴长为242a=，故A错误；双曲线C的焦距为245c=，故B正确；双曲线C的离心率2510222cea===，故C正确；双曲线C的渐近线方程为63ayxxb==，故D错误．故选：BC．11.已知椭圆C：2215xy+=的左、

右焦点分别为1F，2F，点00(,)Pxy是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.12PFF△的周长为254+B.12PFF△的面积的最大值为2C.若()1,0A，则PA的最小值为51−D.004yx+的最小值为1111−【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由定义可得；选项B

，214FF=，数形结合当点P到12FF的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达PA，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用004yx+的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.【详解】选项A，由椭圆方程2215xy+=可

知，5,1,2abc===，所以12PFF△周长121222254lPFPFFFac=++=+=+，故A正确；选项B，因为点00(,)Pxy是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以001y，所以12PFF△的面积1212001222PFFS

FFyy==，当01y=，即01y=时，的即点P位于短轴端点时，12PFF△的面积最大，最大为2，故B正确；选项C，由()1,0A，点00(,)Pxy，且220015xy+=，因为()()2222200000453111

5544xPAxyxx=−+=−+−=−+，当054x=时，PA取最小值，且最小值为32，故C错误；选项D，004yx+的几何意义为00(,)Pxy与点(4,0)M−两点连线的斜率，设为k，由22(4),1,5ykxxy=++=得()2

22215408050kxkxk+++−=，()()()222224045180520(111)0kkkk=−+−=−，解得11111111k−，如图，当直线()4ykx=+与椭圆C相切时，m

in1111k=−，所以004yx+的最小值为1111−.故D正确.故选：ABD.12.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F到准线的距离为2，过y轴上异于坐标原点的任意一点P作抛物线C的一条切线，切点为Q，且直线PQ的斜率存在，O为坐标原点.则（）A.2

p=B.当线段PF的中点在抛物线C上时，点P的坐标为()0,22C.PFPQ⊥D.PQOFOPPF=【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：由焦点F到准线的距离为2即可验证；对于B选项：设点P的坐标为()0,m，根据

中点坐标公式以及线段PF的中点在抛物线C上即可验证；对于C选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为1−即可验证；对于D选项：表示出相应的线段长度即可验证.【详解】如下图所示：对于A选项：由题意焦点F的坐标以及准线方程分别为,0,22ppFx=−，所以

焦点F到准线的距离为222ppdp=−−==，因此A选项符合题意；对于B选项：由题意设点P的坐标为()0,m，又由A选项分析可知()1,0F，抛物线方程为2:4Cyx=，所以线段PF的中点坐标为1,22m，将其代入抛物线方程得21422m=，解得22m

=，此时点P的坐标为()0,22，因此B选项不符合题意；对于C选项：由题意设点P的坐标为()0,m，切线PQ的方程为()()0,0xtymt−=−，将其代入抛物线方程2:4Cyx=得()24ytym=−，整理得2440

ytytm−+=，所以()()244140ttm=−−=，因为0t，所以解得tm=，所以切线PQ的斜率为11PQktm==，又因为点P的坐标为()0,m，()1,0F，所以直线PF的斜率为001PFmkm−==−−，所以()11PQPFkkmm

=−=−，所以PFPQ⊥，因此C选项符合题意；对于D选项：由C选项分析可知2440ytytm−+=，又tm=，所以有()220ym−=，解得2ym=，将其代入切线PQ的方程()()0,0xtymt−=−，解得2xm=，所以切点Q的坐标为()2,2mm，又因为()0,Pm，()1,

0F，()0,0O，所以()()2222021PQmmmmm=−+−=+，101OF=−=，0OPmm=−=，()()2220101PFmm=−+−=+，所以22110PQOFOPPFmmmm−=+−+，即PQOFOPPF=，因此D选项符合题意.故选

：ACD.【点睛】关键点点睛：本题AB两选项常规验证即可，对于C选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为1−，对于D选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程2221321

xymm+=+表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______.【答案】()11,1,23−−+【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解.【详解】解：∵方

程2221321xymm+=+表示焦点在x轴上的椭圆，∴由2321210mmm++，解得：1123m−−或1m，∴实数m的取值范围是()11,1,23−−+.故答案为：()11,1,23−−+.14.已知圆221:61

20Cxyxy+−−=和圆222:4530Cxyxy++−−=，则圆1C与圆2C的公共弦所在的直线方程为______.【答案】10730xy+−=【解析】【分析】根据题意，利用两圆12,CC的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.【详解】由圆221:6120Cxyxy+−−=和圆

222:4530Cxyxy++−−=，两圆的方程相减，可得10730xy+−=，即圆1C与圆2C的公共弦所在的直线方程为10730xy+−=.故答案为：10730xy+−=.15.已知椭圆C：221167xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上的一点，则()122PFPF

+的最大值为______.【答案】25【解析】【分析】先根据定义得到1PF和2PF的关系，再利用均值不等式求最大值.【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以128PFPF+=，又由均值不等式可得()2121222252PFPFPFPF+++=，当且仅当122PFPF=+

，即15PF=，23PF=时等号成立，故答案为：2516.已知双曲线2322100xyCabab−=：（，）的右焦点为F，离心率为102，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且AFBF⊥，延长AF交双曲线C于另一点

Q，则||||QFBQ=___________.【答案】22【解析】【分析】在1RtFAF△中，由勾股定理可求得||AF、1||AF用含有a的代数式表示，在1RtFAQ△中，由勾股定理可求得||QF用含有a的代数式表示，在RtBFQ△中，由勾股定理

可求得||BQ可用含有a的代数式表示，进而求得结果.【详解】如图所示，∵221012cbeaa==+=，则2252ca=，2232ba=，由双曲线的对称性知：OAOB=，1OFOF=，又∵AFBF⊥，∴四边形1AFBF为矩形，设||0AFm=，则由双曲线的定义知：1||2AFam=+，在1R

tFAF△中，22211||||||FFAFAF=+，即：2224(2)camm=++，整理得：22230mama+−=，即：()(3)0mama−+=，∵0m，∴ma=，∴1||3AFa=设||0QFn=，则由双曲线的定义知：1||2QFan=+，在1RtFAQ△中，22211|||

|||FQAQAF=+，即：222(2)(3)()anaan+=++，解得：3na=，即：||3QFa=，又∵1||||3BFAFa==，∴在RtBFQ△中，22||||||32BQBFFQa=+=∴||32||232QFaBQa==故答案为：22.四、解

答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点()1,3A−−和点()1,1B.（1）求直线l方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为5，求直线m的方程.【答案】（

1）210xy−−=（2）240xy−+=或260xy−−=【解析】【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得；（2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求.【小问1详解】法一：由题意得直线l的斜率()(

)13211k−−==−−，故直线l的方程为()121yx−=−，即210xy−−=；法二：由两点式方程可得，113111yx−−=−−−−，化简得210xy−−=.【小问2详解】可设直线m的方程为20xyc−+=，由题

意得(1)55c−−=，解得4c=或6c=−，故直线m的方程为240xy−+=或260xy−−=.18.已知点()2,0O、()6,0A−，动点(),Pxy满足3PAPO=.（1）求动点P的轨迹C的方程；的（2）已知圆Q的圆心为()

(),0Qttt，且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围.【答案】（1）()2239xy−+=（2）(0,12【解析】【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹C的方程；（2）求出圆Q的方程，分析可知，圆Q与圆C有公共点，

根据圆与圆的位置关系可得出关于t的不等式，结合0t可得出实数t的取值范围.【小问1详解】解：由3PAPO=得229PAPO=，即()()2222692xyxy++=−+，整理得()2239xy−+=，故动点P的轨迹C的方程为()2239xy−+=.【小问2详解】解：∵点Q

的坐标为()(),0ttt且圆Q与y轴相切，∴圆Q的半径为t，∴圆Q的方程为()()222xtytt−+−=，∴圆Q与圆C两圆心的距离为()2223269CQtttt=−+=−+，∵圆Q与圆C有公共点，

∴33tCQt−+，即()()2222333tttt−−++，且0t，解得012t，所以实数t的取值范围是(0,12.19.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F关于抛物线C的准线的对称点为(9,0)P−．（1）

求抛物线C的方程；（2）过点F作斜率为4直线l，交抛物线C于A，B两点，求AB．【答案】（1）212yx=（2）514【解析】【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.【小

问1详解】该抛物线的焦点坐标为,02p，准线方程为2px=−，因为F关于抛物线C的准线的对称点为(9,0)P−，所以有()29612222ppppyx−−=−−−==；【小问2详解】直线

l的方程为()43yx=−，与抛物线方程联立，得()224342736012yxxxyx=−−+==，设()()1122,,,AxyBxy，因此有12274xx+=，则有()()12122751336644ABAFBFxxxx=+=−−+−−=++=+=【点睛】关键点睛：利用抛

物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键20.已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab−=的一条渐近线方程为233yx=，焦距为27.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若O为坐标原点

，过(0,4)P的直线l交双曲线C于A，B两点，且OAB的面积为245，求直线l的方程.【答案】（1）22143yx−=（2）4yx=+或2855445yx=+【解析】【分析】（1）根据233ab=，227c=，以及

222+=abc，求解即可；（2）设直线AB的方程为4ykx=+与椭圆联立，利用弦长公式表示||AB，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.【小问1详解】由题意得：233ab=，227c=，222+=abc，解得：7

c=，2a=，3b=，双曲线C的标准方程为22143yx−=．【小问2详解】由题意可知，直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为4ykx=+，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立方程组224143ykxyx=+−=，消去y整理得

22(3)463024kxxk++=−，则()221221222Δ24436(34)024343634340kkkxxkxxkk=−−−+=−=−−，2222221212222244||1()41412136343443kkA

Bkxxxxkkkkk−+=++−=+−−−−=+原点到直线AB的距离为241dk=+，所以22222242441121241422531344AOBkSABdkkkkk++==−−=++=，解得21k=或27645k=，故1,

k=或285545k=，故直线方程为4yx=+或2855445yx=+21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为33，且过点232,3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直

线:1lykx=+与椭圆C交于A，B两点，点P是y轴上的一点，过点A作直线PB的垂线，垂足为M，是否存在定点P，使得PBPM为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22164xy+=（2）存

在定点1(0,)4P，定值为6316−【解析】【分析】（1）根据题意得3,2acbc==，将点代入方程即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)PtAxyBxy，结合韦达定理得PBPMPBPA=222292(1)(312)23ttkk−+−+−=+，即可解决【小问1详解】由题知

，3,3,23cacbca===，所以椭圆C为2222132xycc+=，由点232,3在椭圆上得2242133cc+=解得22c=，故椭圆方程为22164xy+=【小问2详解】设1122(0,),(,),(,)PtAxyBxy，由2

21641xyykx+==+，得22222(23)690,3636(23)144720,kxkxkkk++−==++=+所以12122269,2323kxxxxkk+=−=−++，所以()PBPMPBPAAMPBPAPBAMPBPA=+=+=1122(,)

(,)xytxyt=−−1212(1)(1)xxkxtkxt=++−+−221212(1)(1)()(1)kxxktxxt=++−++−222296(1)()(1)()(1)2323kkkttkk=

+−+−−+−++222292(1)(312)23ttkk−+−+−=+，所以2231292(1)32tt−−+−=，解得14t=，所以存在定点1(0,)4P，使得PBPM为定值6316−.22.如图，已知点()13,5T−和点()25,21T−在双曲线()22

22:10,0xyCabab−=上，双曲线C的左顶点为A，过点()2,0La且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆222:Oxya+=分别交于M，N两点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设直线AP，AQ的

斜率分别为1k，2k，求12kk的值；（3）证明：直线MN过定点.【答案】（1）22144xy−=（2）13−（3）直线MN过定点(1,0),证明见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得,MN的坐标，猜

想MN过定点(1,0)，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【小问1详解】因为点()13,5T−和点()25,21T−在双曲线上，所以222295125211abab−=−=，解得2244ab==，所以双曲线C的标准方程为2214

4xy−=.【小问2详解】由题可知，直线l的斜率不等于零，故可设直线l的方程为4xmy=+，设1122(,),(,)PxyQxy，联立221444xyxmy−==+，整理得22(1)8120mymy−++=，若21m=，即1m=，直线l

的斜率为1，与渐近线yx=平行，此时直线l与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以21m，所以121222812,,11myyyymm−+==−−2212122228888()8111mmxxmyy

mmm−−−+=++=+=−−−，222221212122222123216164164()161111mmmmxxmyymyymmmm−−−−=+++=++=−−−−，因为(2,0)A−,所以12121212121222

2()4APAQyyyykkkkxxxxxx===+++++2222221212114161644363111mmmmmm−==−−−−−−++−−−，所以1213kk=−.【小问3详解】（i）当MNx⊥轴时，12

,kk=−且1213kk=−，所以1233,33kk==−，则()3:23APyx=+，联立()224323xyyx+==+，整理得221(2)43xx++=，即220xx+−=，解得2x=−

或1x=，当1x=时，3y=，所以(1,3)M，由于对称性，(1,3)N−，此时直线MN过定点(1,0)；（ii）当MN不垂直于x轴时，以下证明直线MN仍过定点设为(1,0)B，因为()1:2APykx=+，

所以联立()22142xyykx+==+，即2221(2)4xkx++=，所以2222111(1)4440kxkxk+++−=，解得2x=−或2121221kxk−+=+，当2121221kxk−+=+时，21112211224211kkykkk−+=+=++，所以21

12211224(,)11kkMkk−+++,同理，将上述过程中1k替换为2k可得2222222224(,)11kkNkk−+++，所以1211221121414223111BMkkkkkkk+==−+−+−+，222

2222222414223111BNkkkkkkk+==−+−+−+，因为1213kk=−，所以2113kk=−，所以211122222111443443131311313BNBMkkkkkkkkkk−−=====−+−−+−−+

，所以,,MNB三点共线，即此时直线MN恒过定点(1,0)，综上直线MN过定点(1,0).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com