【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.6函数y=Asin（ωx φ） 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 含解析【高考】.docx，共(5)页，310.554 KB，由小赞的店铺上传

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-1-5.6.1匀速圆周运动的数学模型教学目的：（1）了解三角函数在实际生活中的简单应用；（2）学会利用三角函数解决实际生活中的现象.课型：新授课教学重点：三角函数的实际应用；教学难点：匀速圆周运动用三角函数来表示；教学过程：一、引入课题匀速圆周运动的数学模型问题：筒车是我国古

代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图5.6-2）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运

动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗?因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样

的关系？思考：如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过ts后，盛水筒M从点P运动到点P.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半

径r，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置0P以及所经过的时间t.下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型.如图5.6-3，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.设0t=时，盛水筒M位于点0P，以Ox为始边，0OP为终边的角为

q，经过ts后运动到点(,)Pxy.于是，以Ox为始边，OP为终边的角为t+，并且有-2-sin()yrt=+①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是sin()Hrth=++②函数②就是要建立的数学模型，只要将

它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质二、基础自测例1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为6sin(2)6st=+，那么单

摆来回摆动一次所需的时间为()A．2sB．sC．0.5sD．1s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，则21||Ts==，所以摆动一次所需时间为1s，故选D．例2一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，2AMBP

m==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过分钟，该吊舱P距离地面的高度为()htm，则()ht等于()-3-A.30sin()30122t−+B.30sin()3062t−+C.30sin()3262t−+D.30sin()62t−解析：过点作地面平

行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点.点A在圆O上逆时针运动的角速度是2126=，∴t秒转过的弧度数为6t，设6t=，当2时，2BOM=−，3030sin()2hOABM=+=+−，当2时，上述关系式也适合.故30

30sin()30sin()30262ht=+−=−+.-4-三、当堂检测1.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M、N间隔3分钟先后从单位圆上的一点P出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值

时，N运动的时间为（）A.37.5分钟B.40.5分钟C.49.5分钟D.52.5分钟解析：由题意，设质点N出发后经过x分钟，则有:sin()cos626Nyxx=−=−，sin[(3)]sin626Myxx=+−=，∴2sin()64MNyyx−=+

，令sin()164x+=，解得:()2642xk+=+，3122xk=+，0k=，1，2，3.∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间331237.52=+=(分钟).2.如图，一

只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8m，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点0P处.（1）试确定在时刻(min)t时蚂蚁距离地面的高度()hm；（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间

蚂蚁距离地面超过14m？-5-解析：（1）设在时刻(min)t时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为2126tt=，可知以Ox为始边，OP为终边的角为362t+，则P点的纵坐标为38sin()62t+，则38sin()10108cos626

htt=++=−，∴108cos(0)6htt=−.（2）1108cos14cos662htt=−−222()363ktkkZ++.因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令[0,12]t，∴48t.所以在蚂蚁绕圆环

爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．