【文档说明】湖南省名校联合体2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含解析.docx，共(16)页，1.112 MB，由小赞的店铺上传

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名校联考联合体2023年秋季高二年级第二次联考数学时量：120分钟满分：150分得分：____________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数z满足21iz=−，则z的虚部是A.1−B.1C

.i−D.i2.等差数列na中，420204aa+=，则na的前2023项和为A.1011B.2022C.4046D.80923.设1:12px≤≤；:1qaxa+≤≤，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是A.10,2B.10,2C.(1,0,2

−+D.()1,0,2−+4.下列说法正确的是A.过()11,xy，()22,xy两点的直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−B.过点()1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为30xy−+=C.点()1,0关

于直线yx=的对称点为()1,0−D.直线40xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是85.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pHlgH+=−，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为9H510+−=

摩尔/升，计算这种苏打水的pH值为（精确到0.001）（参考数据：lg20.301）A.6.602B.7.699C.8.301D.8.6996.已知实数x，0y且满足111xy+=，若不等式490xyt+−≥恒成立，则实数t的最大值为A.

9B.12C.16D.257.已知函数()()2e1,2,xxmfxxxm−=−+≥（mR），则A.存在实数mR，使函数()yfx=没有零点B.当20m−≤≤时，对12xx，都有()()()

()12120xxfxfx−−成立C.当0m=时，方程()0ffx=有4个不同的实数根D.当0m=时，方程()()0fxfx+−=有2个不同的实数根8.已知双曲线2222:1yxCab−=（0a，0b）的上下焦点分别为1F，2F，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂

线，垂足为D，若121MDFFMF−恒成立，则C的离心率的值可能为A.43B.53C.2D.73二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分.9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则A.该校高一学生总数为800B该校高

一学生中选考物化政组合的人数为96C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人10.圆221:20Qxyx+−=和圆222:240Qxyxy++−=的交点为A，B，则A.公共弦AB所在直线的方程

为0xy−=B.线段AB中垂线方程为10xy+−=C.公共弦AB的长为22D.P为圆1Q上一动点，则P到直线AB距离的最大值为2211.已知1e，2e，3e为同一平面内的单位向量，13ee⊥，2312ee=，且1e与2e的夹角为锐角，则A.1e与2e的夹角为6B.21331

22eee=−C.1223ee−=−D.233ee+=12.如图，已知点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的底面ABCD内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是A.过P、1B、1D三点的平面截正方体所得

的截面图形为三角形或四边形B.当点P到B、C、1D三点的距离相等时，三棱锥1PBCD−的外接球的面积为252C.若点P到直线AD的距离与点P到1BB的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分D.若点P到点A的距离是点P

到1BB的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为3选择题答题卡题号123456789101112得分答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1cos122x+=，则cos26x

+=__________.14.已知函数()fx的定义域为R，且函数()()21gxfxx=++为奇函数，若()31f=，则()()30ff−+=___________.15.已知动直线()()()cossin30xy+−=R与圆224xy+=相交于点A、B，点P

为直线:260lxy++=上的动点，则PAPB的最小值为________.16.已知O为坐标原点，直线与抛物线28xy=交于A，B两点，且OAOB⊥，点H为点O在直线AB上的射影，则点H到直线340xy++=的距离的最大值为_______

____.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）等差数列na满足411a=，72a=，前n项和为nS.（1）求数列na的通项公式；（2）求nS的最大值.18.（本小题满分12分）A

BC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC中点，设3sin2sin2bAaB=+−.（1）求B；（2）若ADC△的面积等于32，求ABC△的周长的最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，22ADPDCD===，3PB

=，点E为棱PC上的点，且BCDE⊥.（1）证明：ADPD⊥；（2）若2PECE=，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取

了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组)45,55，第二组)55,65，第三组)65,75，第四组)75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五

组的频率相同.（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的65%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组

的概率.21.（本小题满分12分）函数()fx和()gx的图象关于原点对称，且()22fxxx=−+.（1）求函数()gx的解析式；（2）解不等式()()1gxfxx−−≤；（3）若()()()1hxfxgx=−+在1,1−上是增函数，求实

数的取值范围.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx=与椭圆()222210xyabab+=交于点A，B（A在x轴上方），且433ABb=.设点A在x轴上的射影为N，三角形

OBN的面积为1（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q.①求证：直线OQ的斜率为定值；②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：

AFCE为定值.名校联考联合体2023年秋季高二年级第二次联考数学参考答案题号123456789101112答案BCADCDCAACABADABC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.B【解析】()()()21i21i1i

1i1iz+===+−−+，所以z的虚部为1.2.C【解析】数列na是等差数列，故12023420204aaaa+=+=，故()()1202342020202320232023404622aaaaS++===3.A【解析】若p是q的充分不必要条件，1211aa+≤≥且等号

不同时成立，解得102a≤≤.4.D【解析】对于A，当12xx=或12yy=时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误；对于B，当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为4yx=，故B不正确；对于C，设点()1,0关于直线

yx=的对称点为(),xy，则1,11,22yxyx=−−+=解得0,1,xy==即点()1,0关于直线yx=的对称点为()0,1，故C错误；对于D，直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为4−，所以直线40xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是14482−

=，故D正确.5.C【解析】由题意得苏打水的()()()9910pHlg510lg5lg10lg9lg10lg29lg280.30188.3012−−=−=−+=−+=−−+=++=.6.D【解析】即求49xy+的最小值.()119494494

91313225yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=≥，当且仅当94yxxy=，即52x=，53y=时，等号成立.因不等式490xyt+−≥恒成立，只需()min49xyt+≥，因此25t≤，故实数t的最大值为25.7.C【解析】对

于A：作出函数e1xy=−和244yxx=−−−的图象（如图所示），当0m时，函数()fx只有1个零点，当20m−≤时，函数()fx有2个零点，当2m−≤时，函数()fx只有1个零点，故A错误；对于B：当12xx，都有()()()()1

2120xxfxfx−−成立时，则函数()fx单调递增，而20m−≤时，函数()fx先增后减再增，当2m=−时，函数()fx不是增函数，B错误；对于C：0m=时，令()0ft=得12t=−，20t=，当()12fxt==−时，方程有两个解，当()20fxt==时，方程有两个解，所以方

程()0ffx=有4个不同的实数根，故C正确；对于D：当0m=时，方程()()0fxfx+−=的根为()()fxfx=−−的根，令()()hxfx=−−，作出()fx，()hx的图象，可得函数()fx与()hx有三个交点，其中包括0x=，即方程()()0fxfx+−=有三个根.8.A【

解析】如图，过点2F作渐近线的垂线，垂足为E，设122FFc=，则点2F到渐近线ayxb=的距离222bcEFbab==+.由双曲线的定义可得122MFMFa−=，故122MFMFa=+，所以122222MDMFMDMFaEFaba+=+++=+≥，即1MDMF+的最小值为2ab+，

因为121MDFFMF−恒成立，所以112MDMFFF+恒成立，即22abc+恒成立，所以，22bca−，即222448bcaac+−，即2222448cacaac−+−，所以，223580ca

ac+−，即23850ee−+，解得513e.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AC【解析】对于A，根据条形图可知：政史地人数为200，由扇形图知

：这个组合所占比例为25%，所以该校高一学生总数为20025%800=，A正确；对于B，根据条形图可知：生史地人数为160，所以它所占比例为160100%20%800=，所以物化地和物化政组合占比均为()135%25%20%210%−−−=，所以该校高一

学生中选考物化政组合的人数为80010%80=，B错误；对于C，该校高一学生中，选考历史的人数为200160360+=，选考物理的人数为800360440−=，44036080−=，所以C正确；对于D，因为生史地组合的人数

占比为160100%20%800=，所以用分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人，则生史地组合抽取2020%4=人，D错误.10.AB【解析】对于选项A，因为圆221:20Qxyx+−=，222:240Qxyxy++−=，两式作差可得

公共弦AB所在直线的方程为440xy−=，即0xy−=，故A正确；对于选项B，圆221:20Qxyx+−=的圆心为()1,0，1ABk=，则线段AB中垂线的斜率为1−，即线段AB中垂线方程为()011yx−=−−，整

理可得10xy+−=，故B正确；对于选项C，圆心()11,0Q到0xy−=的距离为()22102211d−==+−，又圆1Q的半径1r=，所以222122AB=−=，故C不正确；对于选项D，P为圆1Q上一动点，圆

心()11,0Q到0xy−=的距离为22d=，又圆1Q的半径1r=，所以P到直线AB距离的最大值为212+，故D错误.11.AD【解析】由题意可设()10,1e=，()31,0e=，()2,exy=，因为23

12ee=，2e为单位向量，所以2211021xyxy+=+=解得1,23,2xy==即213,22e=.又因为1e与2e的夹角为锐角，所以120ee，所以213,22e

=，因为1212123cos,2eeeeee==，所以1e与2e的夹角为6，所以A选项正确；因为2133122eee=+，所以B选项错误；因为122213012322ee−=−+−=−，所以C选项错误；因为22231310322ee

=+++=+，所以D选项正确.12.ABC【解析】对于A选项，若点P为点A（或点C），则截面为三角形，若为其它点则为四边形，故A对；对于B选项，满足条件的点为AD中点，设1BD中点为1O，

外接球球心为O，半径为R，可知P，O，1O三点共线（如右图），∴()2223RR−−=，得524R=，22542SR==，故B对；对于C选项，等价于点P到点B的距离等于点P到直线AD的距离，所以点P的轨迹为抛物线的一部分，故C对；对于D

选项，由2PAPB=，满足阿氏圆，故轨迹为一段圆弧，其半径为43，圆心角为3，圆弧长49=，故D错.三、填空题：本题共4小题，每小题5分﹐共20分.13.12−【解析】21cos2cos22cos1612

122xxx+=+=+−=−.14.22−【解析】已知函数()()21gxfxx=++为奇函数，则()()330gg+−=，即()()()()333103100ggf

f+−=++−+=，又()31f=，则()321f−=−.又()()0010gf=+=，()01f=−，故()()3022ff−+=−.15.2【解析】容易知道圆心O到动直线距离为定值3，所以设线段AB的中点为M，则3OM=，2AB=，点M在以O为

圆心，3为半径的圆上，2221PAPBPMMBPM=−=−，当OP⊥直线l时，min2633311MPOP=−=−=+，()()2min312PAPB=−=.16.8【解析】由题可知直线斜率存在，设直线:ABykxb=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立方程：28,,xyy

kxb==+整理得：2880xkxb−−=，264320kb=+，128xxk+=，128xxb=−.()()()()221212121212121OAOBxxyyxxkxbkxbkxxkbxxb=+=+++=++++=()()22218880kbkbk

bbb+−++=−=，得8b=或0b=（舍）.故直线:8ABykx=+，当0k=时，点()0,8H，点H到直线340xy++=的距离为08462++=；当0k时，直线1:OHyxk=−，又直线:8ABykx=+，消去k整理得：2280xyy+−=，即此时点H

的轨迹方程为()()224160xyx+−=，（或者利用直线过定点()0,8M结合MHOH⊥，得出点H的轨迹为以OM为直径的圆），点H到直线340xy++=距离的最大值为044482+++=，综合可知点H到直线340xy++=的距离的最大值为8.四、解答题：本题

共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）等差数列na满足411a=，72a=，设首项为1a，公差为d，则1131162adad+=+=，解得120,3,ad

==−所以233nan=−.（2）当7n≤时，2330nan=−，当8n≥时，0na，故nS的最大值为7S，又723372a=−=，所以72027772S+==.18.【解析】（1）因为3sin2sin2bAaB=+−.由正弦定理与诱导公式可

得()3sinsinsin2cosBAAB=+.显然sin0A，所以3sincos2BB−=，所以2sin26B−=，∵()0,B，所以62B−=，∴23B=.（2）依题意2ABCADCSS=△△，即334ac=，∴4ac=.所以24acac+

=≥，当且仅当2ac==时取等号.又由余弦定理得222222cos312bacacBacacac=+−=++=≥，∴23b≥.当且仅当2ac==时取等号.所以ABC△的周长最小值为423+.19.【解析】（1）由ABCD为矩形可知：BCCD⊥，又因为BCDE⊥，DECDD=，CD，D

E平面PCD，所以BC⊥平面PCD，又ADBC∥，所以AD⊥面PCD，又PD面PCD，故ADPD⊥.（2）由（1）可知BCPC⊥，2BCAD==，3PB=，所以5PC=，在PCD△中，222PCPDCD=+，所以PDCD⊥；

又PDAD⊥，CDADD=，CD，AD面ABCD，所以PD⊥面ABCD；故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.则()0,0,0C，()0,2,0B，()1,2,0A，()1,0,0D，()1,0,2P，又在PCD△中，2PECE=，则12,0,33E，22,0,33D

E=−，()1,0,2CP=，()0,2,0CB=.设面PBC法向量(),,nxyz=，则0,0,CBnCPn==即20,20,yxz=+=故()2,0,1n=−，设直线DE与面PBC所

成角为，则4231033sincos,210253DEn+===.20.【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7b++=，解得0.005b=，所以前两组的频率之和为10.70.3−=，即()100.3ab+=，所以0.025a=；（

2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在第三组，且为0.650.3651072.80.45−+；（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，这5人中

选出2人，所有情况有(),ab，(),ac，(),ad，(),ae，(),bc，(),bd，(),be，(),cd，(),ce，(),de共有10种情况，其中选出的两人来自同一组的有(),ab，(),ac，(),ad，(),bc，(),bd，(),cd，共6种情

况，故选出的两人来自同一组的概率为63105=.21.【解析】（1）设函数()yfx=的图象上任意一点()00,Qxy关于原点的对称点为(),Pxy，则000,20,2xxyy+=+=即00xxyy=−=−.∵点()00,Qxy在函数()yfx=的图象上，∴22

yxx−=−−，即22yxx=+，故()22gxxx=+.（2）由()()1gxfxx−−≤，可得221xx−≤，当1x≥时，2210xx−+≤，此时不等式无解.当1x时，2210xx+−≤，解得112x−≤≤.

因此，原不等式的解集为11,2−.（3）()()()21211hxxx=−++−+，①当1=−时，()41hxx=+在1,1−上是增函数，∴1=−.②当1−时，对称轴的方程

为11x−=+.ⅰ）当1−时，111−−+≤，解得1−.ⅱ）当1−时，111−+≥，解得10−≤.综上，0≤.22.【解析】（1）由题意，可设()()000,0Axxx，可得1AONOBNSS==△△，所以02x=，故011432223AOxABb=

==，即3b=；又椭圆经过()2,2A，即()()2222221ab+=，解得6a=；故所求椭圆的方程为：22163xy+=.（2）证明：设平行于AB的直线的方程为yxm=+，且0m，①联立22,1,63yxmxy=++=得到22342

60xmxm++−=，所以12223Qxxmx+==−，3QQmyxm=+=；故，直线OQ的斜率为13223QOQQmykmx===−−（定值）.②由题意可知()2,2A，:AByx=，1:2OQyx=−，联立方程组2212163yxxy=−+=得()2,1C−，()2,1D

−.设()00,Pxy，先考虑直线斜率都存在的情形：直线()002:222yAPyxx−−=−−，联立方程组：()00222212yyxxyx−−=−−=−得()()00000000222,322322xyyxExyxy−−−−−−，直线(

)001:122yPCyxx++=−−，联立方程组：()001122yyxxyx++=−−=得0000000022,33xyxyFyxyx+++−+−，则()()00000000322122222233xyxyAFyxyx−++−+=

−=+−+−，()()()00000000232212222151242322322xyxyCExyxy−++−−=+−=−−−−，所以()()()()200000032212210453322xyAFCEyxxy−++−==+−−−.当直线斜率不存在时结果仍然成立.AFC

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