【文档说明】精品解析：北京市师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）.docx，共(15)页，625.692 KB，由小赞的店铺上传

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12021-2022学年度高二下期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1.若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为A.42nan=−B.24nan=+C.23nna=D.32nna=【1题答案】【答案】C【解析】【分析】061636==，1

183636==，2549636==，可以归纳出数列的通项公式．【详解】依题意，061636==，1183636==，2549636==，所以此数列的一个通项公式为-16323nnna

==，故选C．【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．2.设数列na的前n项和21nSn=+，则8a的值为（）A.15B.16C.17D.18【2题答案】【答案】A【解析】【分析】利用()12nnnaSSn−=−得出数列na的通项，然

后求解8a.【详解】由21nSn=+得，12a=，()2111nSn−=−+，所以()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，所以2,121,2nnann==−，故828115a=−=.故选：A.【点睛】本题考查数列通项公

式求解，较简单，利用()12nnnaSSn−=−求解即可.3.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则2330751CCC表示（）A.5件产品中有3件次品的概率B.5件产品中有2件次品的概率的2C.5

件产品中有2件正品的概率D.5件产品中至少有2件次品的概率【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据古典概率的计算方法，对选项进行逐一计算判断即可.【详解】选项A.5件产品中有3件次品的概率32307

51CCC,故选项A不正确.选项B.5件产品中有2件次品的概率2330751CCC,故选项B不正确.选项C.5件产品中有2件正品的概率3230751CCC,故选项C不正确.选项D.5件产品中至少有2件次品的概率32233731750CCCCC+,故选项D不正确

.故选：B4.将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A.18B.14C.38D.12【4题答案】【答案】C【解析】【分析】先求事件发生的总可能情况数，再求问题的事件发生情况数，两者

比值即为所求.【详解】抛掷硬币3次所有可能结果为32=8种，其中恰好出现2次正面向上的事件有23C3=种，据此可得恰好出现2次正面向上的概率为：3=8P.故选：C.5.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a13i,i=

1,2,3,则a的值为A.1B.913C.2713D.1113【5题答案】3【答案】C【解析】【分析】利用离散型随机变量分布列的性质计算即可.【详解】∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a•（13）i，i＝1，2，3，∴a23111333

++＝1，解得a＝2713．故选C．【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的运用，属于简单题．6.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()A.B.C.D.【6题答案】【答案】D【

解析】【详解】从导函数的图象可知两个函数在0x处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，最后就只有答案D了，可以

验证y=g(x)．7.若数列na满足12a=，()111nnnaana+++=−N，则该数列的前2022项的乘积是（）A.6−B.3−C.2D.1【7题答案】【答案】A4【解析】【分析】由111nnnaaa++=−，可进行递推得到12111nnnaaa++++=−，再将na与1na+

的关系带入即可得到21nnaa+=−，然后再递推一项即可得到数列na是周期为4的一个周期数列，然后计算2a，3a，4a，先计算1234···aaaa，然后再求前2022项的乘积即可.【详解】因为()111nnnaana+++=−N，所以121111

111111nnnnnnnnaaaaaaaa++++++−===−+−−−，则()421nnnaana+++=−=N，所以数列na是以12a=为首项，周期为4的一个周期数列，因为12a=，所以2

3a=−，312a=−，413a=，52,,a=L所以12341aaaa=，所以234202120212126aaaaaaaa=−=ggggLggg.故选：A.8.已知na是等比数列，则“24aa”是“na是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列na是等比数列，可假设12,2aq=−=−，则12342,4,8,16aaaa=−==−=，可知24aa，但数列na不是

递增数列，若数列na是递增数列，由定义可知，24aa，故“24aa”是“na是递增数列”的必要不充分条件5故选：B【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列的单调性，巧取特殊值，快速解决问题，属基础题.9.等比数列na中，12a=

，84a=，函数128()()()()fxxxaxaxa=−−−，则(0)f=A.62B.92C.122D.152【9题答案】【答案】C【解析】【分析】将函数看做x与()()()128xaxaxa−−−的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0

x=可求得()1280faaa=；根据等比数列性质可求得结果.详解】()()()()128fxxaxxaxa−−=−()()()()()()128128xaxaxaxaxaxaxx=+−−−−−−()()()(

)()()128128xxaxaxaxaxaxa−−−−−=+−()1280faaa=又18273645aaaaaaaa===()()441218082faa===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等

比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.若三个非零且互不相等的实数123,,xxx成等差数列且满足123112xxx+=,则称123,,xx

x成一个“等差数列”.已知集合{||100,}Mxxx=Z,则由M中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为A.25B.50C.51D.100【10题答案】【答案】B【解析】【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，3

12xx=−和2112xx=−，结合所给集合找出符合条件的数组有50组．【6【详解】由三个非零且互不相等的实数123,,xxx成等差数列且满足123112xxx+=，知2131232112xxxxxx=++=消去2

x，并整理得，1313(2)()0xxxx+−=所以13xx=（舍去），312xx=−，于是有2112xx=−．在集合100,MxxxZ=中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以1x必为2的被数，且1[50,50]x−，10x故这样的数组共5

0组．答案选B．【点睛】此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对象的本质特征，如本题中能构成“等差数列”的三个数的内在关系，312xx=−和2112xx=−，这种明确数量关系

（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的．这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类

问题．二、填空题（共5小题；共25分）11.已知函数2()42fxxx=−+，且0()2fx=，那么0x的值为_____．【11题答案】【答案】3【解析】【分析】求导得()24fxx=−，进而由0()2fx=可得结果.【详解】由2()42fxxx=−+得()

24fxx=−，则00()242fxx=−=，解得03x=.故答案为：3.12.已知等差数列na，14a=−，818a=−，则8S=______．【12题答案】【答案】-88【解析】7【分析】根据等差数列前n项求和公式1()2nnnSaa

=+直接计算即可.【详解】由题意得，等差数列{}na中18418aa=−=−，，所以8188()4(22)882Saa=+=−=−.故答案为：-88.13.已知等比数列na满足3432aa=且22a=，则1a=________.【13题答案】【答案】43【解析】【分析】由3432aa

=得32q=，再求出1a.【详解】因为3432aa=，所以4332aqa==.故由等比数列的通项公式得2124332aaq===.故答案为：4314.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只

能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【14题答案】【答案】45【解析】【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：()()()21304242336642235CCCCpXpXp

XCC==+==+=.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率

分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．815.有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学编号依次为：1，2，…，n，在游戏中，除规定第k位同学看到的像用数对()(),pqp

q（其中qpk−=）表示外，还规定：若编号为k的同学看到的像为(),pq，则编号为1k+的同学看到的像为(),qr，(),,pqrN，已知编号为1的同学看到的像为()4,5，则编号为5的同学看到的像是______，编

号为n的同学看到的像为______．【15题答案】【答案】①.(14,19)②.2288(,)22nnnn−+++【解析】【分析】由已知，设编号为n的同学看到的像为(),nnab，根据nnban−=和1nnba−=使用累加法先求解出na，然后再

计算nb，再令5n=，计算编号为5的同学看到的像即可完成求解.【详解】设编号为n的同学看到的像为(),nnab，由题意可得，nnban−=，所以111ba−=，222ba−=，L，nnban−=，且12ba=，2

3ba=，L，1nnba−=，所以112233112132431()()()()()()()()nnnnbabababaaaaaaaaa−−−−+−+−+−=−+−+−+−(1)123(1)()2nnnn−=++++−=N，又因为

14a=，所以28()2nnnan−=+N，而nnban−=，所以28()2nnnbn+=+N，所以当5n=时，25558142a−+==，25558192b++==，即编号为5的同学看到的像是(14,19)，编号为n的同学看到的像为2288(,)22nnnn−+++.故答案为：

(14,19)；2288(,)22nnnn−+++.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知函数lnyxx=.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x=处的切线方程.【16题答案】9【答案】（1）ln1yx=+；（2）1yx=−.

【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）因为lnyxx=，则1lnln1yxxxx=+=+；（2）所求切线斜率为1ln11k=+=，当1x=时，0y=，切点坐标为()1,0，因此，

函数lnyxx=的图象在点1x=处的切线方程为1yx=−.17.已知数列na，其前n项和为nS，满足_______请你从①11a=，14nnaa+=+；②21nnSa=−；③11a=，12nnaa++=中选择一个，补充在下

面的问题中并作答．（1）求数列na通项公式：（2）当100nS时，求n的最大值．【17题答案】【答案】（1）若选①.43nan=−；若选②.12nna-=；若选③.1na=（2）若选①.n的最大值为7；若选②.n的最大值为6；若选③.n的最大值为100【解析】【分析】（1）若选①可得

na是以1为首项，4为公差的等差数列，从而得出通项公式；若选②.先求出首项1a，然后由递推关系得出()122nnaan−=，从而可得na为等比数列，得出答案；若选③.由递推关系可得()112nnaan+−=，结合条件可得出

na为常数列，从而得出答案.（2）根据（1）中选择的条件得出的na通项公式，求出nS，结合100nS通过解不等式可得答案.【小问1详解】若选①.由14nnaa+=+，即14nnaa+−=，则na是以1为首项，4为公差等差数列.所以()()1114143naandnn=+−=

+−=−若选②.由21nnSa=−，则当1n=时，11121Saa=−=，则11a=当2n时，由21nnSa=−，则由1121nnSa−−=−的10两式相减可得：()122nnaan−=所以na是以1为首项公比为2的等比数列.则1112nnn

aaq−−==若选③.由12nnaa++=，则12nnaa−+=，所以()112nnaan+−=由212aa+=，则211aa==所以na为常数列，且1na=【小问2详解】若选①.()()11212nnnSnadnn−=+=−由100nS，即()21100nn

−，解得7n所以n的最大值为7.若选②.()111221112nnnnaqSq−−===−−−由100nS，即21100n−，解得6n所以n的最大值为6.若选③.由1na=，则nSn=由100nS，即100n，所以n的最大值为100.19.在某年

级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，X表示摸出红球的个数.（1）求X的分布列；(用数字作答)（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)【19题答案】【

答案】（1）分布列答案见解析.（2）12【解析】【分析】（1）由题意可知X可取的值为：0，1，2，3，由组合数公式分别求出其对应的概率，列出分布列即可；（2）至少摸到2个红球，则可以摸到2个红球或者摸到3个

红球，根据（1）中分布列读出，相加即可.11【详解】（1）X的取值为0，1，2，3，则(0)PX=3438114CC==，(1)PX=12443837CCC==，(2)PX=21443837CCC==，(3)PX=3438114CC==∴X的分布列为：X01

23P1143737114（2）中奖的概率为1(2)(2)(3)2PXPXPX==+==.【点睛】本题考查学生求简单随机事件的分布列问题，并能根据分布列求随机事件的概率，考查了学生运用组合数处理相关问题的概率，为容易题20.某种水果按照果径大小

可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率视为概率，从这100个

水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等

级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望()EX.【20题答案】.12【答案】（1）9

6625；（2）第一种方案；（3）详见解析【解析】【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的

方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.【详解

】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则()2011005PA==现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则1~4,5XB恰好抽到2个礼品果的概率为：()22244196

255625PXC===（2）设方案2的单价为，则单价的期望值为：()1342165488481618222420.61010101010E+++=+++==()20E从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3

）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3则()36310106CPXC===；()2164310112CCPX

C===；()12643103210CCPXC===；()343101330CPXC===X的分布列如下：X0123P1612310130()1131601236210305EX=+++=【点

睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.21.设函数()()1,fxaxa

bxb=++Z，曲线()yfx=在点()()22f,处的切线方程为3y=.（1）求()yfx=的解析式；的13（2）证明曲线()yfx=上任一点处的切线与直线1x=和直线yx=所围成的三角形的面积为定值．

【21题答案】【答案】（1）()11fxxx=+−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可得出关于a、b的方程组，结合a、b为整数可求得a、b的值，即可求得函数()fx的解析式；（2）在曲线()yfx=上任取一点1,1Pttt

+−，其中1t，利用导数求出切线()yfx=在xt=处的切线方程，求出该切线与直线1x=和直线yx=的交点坐标，并求出直线1x=和直线yx=的交点坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：因为()()1,fxaxa

bxb=++Z，则()()21fxaxb=−+，由已知可得()()()2120212232,Zfabfabab=−=+=+=+，解得11ab==−，因此，()11fxxx=+−.【小问2详解】证明：函数()11fxxx=+−的定义域为1xx，在曲线()yf

x=上任取一点1,1Pttt+−，其中1t，()()2111fxx=−−，所以，曲线()yfx=在xt=处的切线方程为()()211111ytxttt−+=−−−−，联立()()2111111ytxt

ttx−+=−−−−=可得111xtyt=+=−，14所以，直线1x=与切线()()211111ytxttt−+=−−−−交于点11,1tAt+−，联立()()211111ytxttty

x−+=−−−−=可得2121xtyt=−=−，所以，直线yx=与切线()()211111ytxttt−+=−−−−交于点()21,21Btt−−，直线yx=与直线1x=交于点()1,1C，则12

111tACtt+=−=−−，所以，112211212221ABCSACttt=−−=−=−△.23.已知项数为*,(2)mmmN的数列na满足条件：①()*1,2,,nanm=N；②12naaa；若数列nb满足

()12*(1,2,,)1nnmaaaabnmm+++−==−NLL，则称nb为数列na的“关联数列.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列na存在“关联数列”nb，证明：

()111,2,,1nnaamnm+−−=−；（3）已知数列na存在“关联数列”nb，且11a=，2049ma=，求数列na项数m的最小值与最大值.【23题答案】【答案】（1）存在关联数列：11，10，9，8，7，理由见详解；（2

）证明见详解；（3）m的最小值与最大值分别为2和33.【解析】【分析】（1）根据“关联数列”定义求解判断.（2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.（3）根据数列na和求“关联数列”nb的项的特征结合单调性分析出()212048m−，根据11204811mmaabbNmm−

−=−−=求解.15【详解】（1）因为***12345145545911,10,9515151bNbNbN−−−======−−−，**45451345178,7,5151bNbN−−====−−所以数列1，5，9，

13，17存在“关联数列”11，10，9，8，7.（2）因为数列na存在“关联数列”nb，所以12naaa，所以1101nnnnaabbm++−−=−，所以nb为递减数列，又因为nbN，所以111nnnnaabbNm++−−=−，所以11

1nnaam+−−，所以()111,2,,1nnaamnm+−−=−；（3）因为数列na存在“关联数列”nb，所以任意1ijm，1jiijaabbm−−=−，因为12,...mibbbbN，所以ijbNb−，11

204811mmaabbNmm−−=−−=，由（2）知11nnaam+−−，又()1213212...1mmmaaaaaamaa−=++−+−−−−，所以()212048m−，解得46m，因为20481Nm

−，所以233m，所以m的最小值与最大值分别为2和33.【点睛】本题主要考查数列新定义相关问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.