【文档说明】安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(19)页，1.596 MB，由管理员店铺上传

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合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i−−的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限2.若(1,),(1,3),(1,7)AmBmCm+−三点共线，则m=（）A.5−B.5C.0或5−D.0或53.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A8B.

4+43C.16D.8+834.已知复数()227636izmmm=−++−是纯虚数，则实数m的值为（）A.6B.1或6C.6−D.15.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，ABa=，ADb=，

则向量NM=（）A.16ab−B.16ab−C.16ab+D.16ab−−6.已知ABC和点M满足0MAMBMC++=.若存在实数m使得ABACmAM+=成立，则m=A.2B.3C.4D.57.已知ABC的面积为32，2AC=，60BAC=，则ACB=∠（）A30B

.60C.90D.150..8.在锐角ABC中，2BC=，sinsin3sinBCA+=，点D是BC边的中点，则AD的长度的取值范围是（）A.)8,9B.)22,3C.738,9D.7322,3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②

是圆台C.③是四面体D.④是棱柱10.已知复数12zz，，则下列结论中一定正确的是（）A.111zzz=B.若120zz=，则10z=或20z=C.1212zzzz=D.若12zz=，则2212zz=11.在ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边，下列叙述正确的是

（）A若45,2,3Aab===，则ABC有两解B.若coscosabBA=，则ABC为等腰三角形C.若ABC为锐角三角形，则sincosABD.若O是ABC所在平面内一点，且0||||||||ACABBCBAOAOBACABBCBA

−=−=，则点O为ABC的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a=，()2,1b=−，则b在a上投影向量的坐标为______.13.如图，为了测量山高BC，分别选择山下平地的A处和另一座

山的山顶M处为测量观测点.从A点测得M点的仰角45NAM=，C点的仰角30BAC=以及75MAC=，从M点测得45AMC=，已知山高506MN=米，则sinACM=________，山高BC=

________米..的14.在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则AMAN的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a=，(,1)bx=−.（1

）当()2abb−⊥时，求x的值；（2）当(8,1)c=−−，//()abc+，求向量a与b的夹角.16.如图，已知在直角梯形ABCD中，ADBC∥，2AD=，4AB=，5BC=，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求

形成的几何体的表面积与体积.17.已知复数z满足()1i2iz+=.（1）求z；（2）若z是方程()20,xaxbab++=RR的一个根，求ab+的值.18.在ABC中，已知545cos7ABAC

B===，，.（1）求sinA的值；（2）若AD是BAC的角平分线，求AD的长．19.已知12aa，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作11OAa=，22OAa=，以O为原点，分别以射线12OAOA、为xy、

轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12aa，确定的坐标系xOy称为基底12aa，坐标系xOy．当向量12aa，不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为12;Oaa，．对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基

本定理可知，存在唯一实数对()xy，，使得12OPxaya=+，则称实数对()xy，为点P在斜坐标系12Oaa；，中的坐标．今有斜坐标系12Oee；，（长度单位为米，如右图），且12121120eeee===，，，设()12OP=，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox上

距O点4米点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用12ee，，表示CD；②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N

点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．的合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i−−的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】复平面上复数1i−−对应点的坐标是(1,1)−−，在第三象限.故选：C2.若(1,),(1,3),(1,7)Am

BmCm+−三点共线，则m=（）A.5−B.5C.0或5−D.0或5【答案】D【解析】【分析】由题意可得//ABBC，再利用向量共线求解即可.【详解】因为(,3),(2,4)ABmmBCm=−=−，若(1,),(1,3),(1,7)AmBmCm+−三点共线，则//ABBC，所以42(3)m

mm=−−，解得0m=或5．故选：D.3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）的A.8B.4+43C.16D.8+83【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶

点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2OA=，所以22OB=，还原回原图形后，2OAOA==，242OBOB=

=，所以226ABOAOB=+=，所以原图形的周长为2(26)16+=．故选：C.4.已知复数()227636izmmm=−++−是纯虚数，则实数m的值为（）A.6B.1或6C.6−D.1【答案】D【解析】【分析】根据实部为零，虚

部不为零列式计算.【详解】由题意可得：2760mm−+=且2360m−，则1m=.故选：D.5.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，ABa=，ADb=，则向量NM=（

）A.16ab−B.16ab−C.16ab+D.16ab−−【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，所以211,322ANADBMBCAD===

，因为ABa=，ADb=，所以NMNAABBM=++12ANABAD=−++2132ADABAD=−++16ABAD=−16ab=−故选：B6.已知ABC和点M满足0MAMBMC++=.若存在实数m使得ABACmAM+=成立，则m=

A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为△ABC和点M满足0MAMBMC++=，所以0,33,MAMAACMAABABACMAAM++++=+=−=又ABACmAM+=，故m=3，选B．考点：本题

主要考查平面向量的线性运算，平面向量唯一分解式．点评：简单题，利用平面向量在同一基底下分解式唯一，通过向量的线性运算，从0MAMBMC++=出发，确定ABAC+．7.已知ABC面积为32，2AC=，60BAC=，则ACB=∠（）A.30B.

60C.90D.150【答案】A的【解析】【分析】根据面积公式求出AB，再根据余弦定理求出BC，最后根据正弦定理即可求解.【详解】根据三角形面积公式，1133sin22222ABCSABACBACAB=

==，∴AB=1，又根据余弦定理：2222cosBCABACABACBAC=+−11421232=+−=∴BC=3，根据正弦定理得：sinsinABBCACBBAC=，132sin32ACB==，1sin302ACBACB==

，或150∵三角形内角和为180°，∠BAC=60°∴排除∠ACB=150°∴∠ACB=30°故选：A8.在锐角ABC中，2BC=，sinsin3sinBCA+=，点D是BC边中点，则AD的长度的取值范围是（）A.)8,9B.)22,3C.738

,9D.7322,3【答案】D【解析】【分析】根据题意由正弦定理可得6bc+=，结合锐角三角形解得81033b，再根据()12ADABAC=+结合向量的运算律、余弦定理整理得()2238ADb=−+uuur，根

据二次函数的性质运算求解即可.【详解】设角,,ABC所对的边分别为,,abc，则2aBC==，的∵sinsin3sinBCA+=，由正弦定理可得36bca+==，即6cb=−，若ABC为锐角三角形，则()()()222222222222222640460460bcabbacbb

babcbb+−=+−−+−=+−−+−=+−−，解得81033b，又∵点D是BC边的中点，则()12ADABAC=+，可得()()()22222211122cos444ADABACABABACACbcbcA=+=++=++uuuruu

uruuuruuuruuuruuuruuur()()222222222211122222644244bcabcbcbcabbbc+−=++=+−=+−−()2261738bbb=−+=−+，注意到()()238fbb=−+开口向上，对称轴3b=，且

()8107338,339fff===，可得2738,9ADuuur，即AD的长度的取值范围是7322,3.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱【答案】CD【解析】【分析】由棱台、圆台、四面体、棱柱的定义进行判断即可.【

详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知复数12zz，，则下列结论中一定正确的是（）A.111zzz=B

.若120zz=，则10z=或20z=C.1212zzzz=D.若12zz=，则2212zz=【答案】BC【解析】【分析】设1izab=+，2izcd=+，,,,abcdR.求出共轭复数，代入化简整理，结合模运算，即可判断各项.【详解】设

1izab=+，2izcd=+，,,,abcdR.对于A项，因为1izab=−，所以()()222111iizzabababz=+−=+=，故A项错误；对于B项，()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++.因为，120zz=，所以

00acbdadbc−=+=，则()()2200acbdadbc−=+=，所以()()220acbdadbc−++=，展开有，22222222220acbdabcdadbcabcd+−+++=，整理可得

，()()22220abcd++=，所以220ab+=或220cd+=，所以，10z=或20z=，所以，10z=或20z=，故B项正确；对于C项，()()()12iiizzabcdacbdadbc=−−=−−+，又()()()12iiizzabcdacb

dadbc=++=−++，所以1212zzzz=，故C正确；对于D项，取12z=，213iz=+，显然122zz==.214z=，()2222113i223izz=+=−+，故D项错误.故选：BC.11.在ABC中，,,abc分别为,,ABC

的对边，下列叙述正确的是（）A.若45,2,3Aab===，则ABC有两解的B.若coscosabBA=，则ABC为等腰三角形C.若ABC为锐角三角形，则sincosABD.若O是ABC所在平面内一点，且0||

||||||ACABBCBAOAOBACABBCBA−=−=，则点O为ABC的内心【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由正弦定可得B有两个值，即可判断；对于B，由正弦定理可得sin2sin2AB=，进而得AB=或90AB

+=，即可判断；对于C，由ABC为锐角三角形，可得π2BA−，再由余弦函数单调性得sincosAB，即可判断；对于D，由0||||ACABOAACAB−=，,ACABACAB表示单位向量，且ACABACAB+与ACABACAB−相互垂直，则得OA与A

CABACAB+共线，进而得OA在A的角平分线上，同理可得OB在B的角平分线上，得O是三角形ABC的内心，即可判断.【详解】对于A，若45,2,3Aab===，则由正弦定理sinsinabAB=，可得23sin32sin22bABa===，所以60B=或120B

=，此时ABC有两解，故A正确；对于B，若coscosabBA=，则由正弦定理可得sinsincoscosABBA=，所以sincossincosAABB=,即sin2sin2AB=，所以有22AB=或22180AB+=，即AB=或90AB+=，则ABC为等腰或直

角三角形，故B不正确；对于C，若ABC为锐角三角形，则π2AB+，π2BA−，因为cosyx=在()0,π为减函数，所以πcoscossin2BAA−=，故C正确；对于D，ACACuuuruuur表示AC方向的单位向量，ABAB表示A

B方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，ACABACAB+与ACABACAB−相互垂直，的由于0ACABOAACAB−=，所以OA与ACABACAB−垂直，所以OA与ACAB

ACAB+共线，而ACABACAB+表示以,ACABACAB为邻边的菱形的对角线，所以OA在A的角平分线上，同理可得OB在B的角平分线上，所以O是三角形ABC的内心，故D选项正确.故选：ACD.三、

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a=，()2,1b=−，则b在a上的投影向量的坐标为______.【答案】11,22−−【解析】【分析】根据投影向量的定义求b在a上的投影

向量坐标即可.【详解】由b在a上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||abaaa−+==−−.故答案为：11,22−−13.如图，为了测量山高BC，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶M处为测量观测点.从A点测得M点的仰角45NAM=，C点的仰角3

0BAC=以及75MAC=，从M点测得45AMC=，已知山高506MN=米，则sinACM=________，山高BC=________米.【答案】①.32##132②.502【解析】【分析】在AMC中，由75MAC=，4

5AMC=可求出ACM，从而可求出sinACM，在RtAMN中，由已知条件求出AM，再在AMC中由正弦定理可求出AC，然后在RtABC△中求出BC.【详解】因为在AMC中，由75MAC=，45AMC=，所以180180754560ACMMACAMC

=−−=−−=，所以3sinsin602ACM==，在RtAMN中，45NAM=，506MN=，90ANM=，则由sinMNNAMAM=，得5061003sin22MNA

MNAM===，在AMC中，由正弦定理得sinsinACAMAMCACM=，即1003sin45sin60AC=，32100322AC=，得1002AC=，在RtABC△，1002AC=，30BAC=90ABC=，则

15022BCAC==,故答案为：32，50214.在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则AMAN的最小值是________．【答案】()821−【解析】【分

析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)MmNn，其中,0mn，则向量(2,),(,2)AMmANn==求得22AMANmn=+，再由BMDNMN+=，整理得2()40mnmn++−=，利用基本不等式，即可求解.【详解】由

题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)MmNn，其中,0mn，则向量(2,),(,2)AMmANn==，所以(2,)(,2)22ADANmnmn==+又由BMDNMN+=，则22(2)(2)mnmn+=−+−，

整理得2()40mnmn++−=，又由22()42()42mnmnmnmn+++−++−，设0tmn=+，整理得28160tt+−，解得442t−+，所以22882AMANmn=+−+，所以

AMAN的最小值为828−.故答案为：828−【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解

答问题的能力，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a=，(,1)bx=−.（1）当()2abb−⊥时，求x的值；（2）当(8,1)c=−−，//()abc+，求向量a与b的夹角.【答

案】（1）1x=或5x=（2）π4=【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求5x=，进而根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】向量(3,2)a=，(,1)bx=−，则()26,5abx−=−，由(

)2abb−⊥，可得()20abb−=，即()6510xx−−=，即2650xx−+=，解得1x=或5x=.【小问2详解】由(8,1),(,1)cbx=−−=−，(3,2)a=，则(8,2)bcx+=−−，由//()abc+，可得3(2)2(8)0x−−−=，解得

5x=，所以||13,||26ab==，352(1)13ab=+−=，132cos2||||1326abab===，又0,π，所以π4=.16.如图，已知在直角梯形ABCD中，ADBC∥，2AD=，

4AB=，5BC=，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.【答案】68S=表，140π3.【解析】【分析】首先得到的旋转体是圆台挖去一个半球，利用圆台和球的表面积和体积公式即可.【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.

在直角梯形ABCD中，过D点作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△DEC中，225CDCEDE=+=，所以214π28π2S==半球，()152π22π535π2S=+=圆台侧，25πS=圆台下底，∴8352568S=++=表.因为圆台的体积()()()22221π2π2π5π5

452π3V=++=，半球的体积311416π2π233V==，所以所求几何体的体积为1140π3VV−=.17.已知复数z满足()1i2iz+=.（1）求z；（2）若z是方程()20,xaxbab++=

RR的一个根，求ab+的值.【答案】（1）1iz=−（2）0ab+=【解析】【分析】（1）根据复数的除法得1iz=+，再利用共轭复数概念即可；（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出,ab，则得到ab+的值.【小问1详解】由()

1i2iz+=得：()()()()2i1i2ii1i1i1i1i1iz−===−=+++−，则1iz=−.【小问2详解】由（1）知：1iz=−，显然z是方程的另一根，()()21i1i2zzazzb+=−===+−=，解得：

22ab=−=，0ab+=.18.在ABC中，已知545cos7ABACB===，，.（1）求sinA的值；（2）若AD是BAC的角平分线，求AD的长．【答案】（1）265（2）8109【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC的长，再利用正弦定理求出sin

A（2）利用三角形的面积公式及面积关系ABCABDACDSSS=+，建立关于AD边的关系式求解即可得到答案【小问1详解】在ABC中，由余弦定理2222cosACABBCABBCB=+−整理得2740630BCBC−−=解得7BC=或

97BC=-由于0BC，所以7BC=因为(0,)B，所以sin0B，所以226sin1cos7BB=-=由正弦定理得：sinsinACBCBA=，故267sin267sin55BCBAAC´×===【小问2详解】设BAD=，ADx=由ABCABDACD

SSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin24sin+5sin222xxqqq创?创创创整理得20sin240cos9sin9xqqq==在ABC中，由余弦定理2221625491cos2405ABACBCAABAC+-+-===-×由2coscos22cos1A

qq==-得10cos5=则8109ADx==19.已知12aa，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作11OAa=，22OAa=，以O为原点，分别以射线12OAOA、为xy、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12aa，确定的坐标系xOy称为基底12aa，坐标

系xOy．当向量12aa，不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为12;Oaa，．对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()xy，，使得12OPxaya=+，则称实数对()xy，为点P在斜坐标系12Oaa；，中的坐标．今有斜坐标系12Oee；，（长度

单位为米，如右图），且12121120eeee===，，，设()12OP=，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的

方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用12ee，，表示CD；②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．【答案】（1）3（2）①1227ee+；②12小时后，两质点相距最短，最短距离为532米【解

析】【分析】（1）通过()2122OPee=+展开计算即可；（2）①通过12OCe=−以及27ODe=计算可得CD；②通过,OMON求得()()211343MNtete=+−−，再通过()()2211343MNtete=+−−展开计算求最值.【小问1详解】因为12121,120

eeee===，所以，12121cos1202eeee==−，又()1,2OP=，所以122eeOP=+．所以()222121122244523OPeeeeee=+=++=−=，即OP的大小为3；【小问2详解】①如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点O左边），且有12O

Ce=−，质点乙到达D点，且有27ODe=，故1227CDODOCee=−=+②t时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：()()1243,13OMteONte=−=+，则()()211343MNONOMtete=−=+−−

，所以两质点间的距离()()()()()()22221134313134343MNtetetttt=+−−=+++−+−221759921924ttt=−+=−+，因为0t，所以当12t=时．MN取得最小值为755342=，

所以12小时后，两质点相距最短，最短距离为532米．