【文档说明】北京市丰台区第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，988.347 KB，由小赞的店铺上传

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2024北京丰台二中高三10月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共10题，每小题4分）1.已知集合()(){

|210}Axxx=+−Z，2,1B=−−，那么AB=（）A.2,1,0,1−−B.2,1,0−−C.2,1−−D.1−【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A，再根

据并集的定义求解AB.【详解】由()(){|210}Axxx=+−Z，得1,0A=−，结合2,1B=−−，可知2,1,0AB=−−.故选：B.2.设复数z满足()22izi−=+，则z在复平面内所对应点位

于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定z在复平面内对应的点所在象限．【详解】由()()()()2223434222555iiiiiiizi++++====+−−+，则z在复平面内所对应

的点的坐标为34,55，位于第一象限．故选：A．3.已知角的终边经过点()2,1P−，则cos=（）A.55B.55−C.255D.255−【答案】C【解析】的【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即

可求出结果.【详解】因为角的终边经过点()2,1P−，所以22225cos52(1)==+−，故选：C.4.下列函数中，既是偶函数又在()0,+单调递增的函数是（）A.lnyx=B.3xy−=C.21yx=−+D.1yx=+【答案】D【解析】【分析】分析各选项中函

数的定义域、奇偶性、在()0,+上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数lnyx=定义域是()0,+，不是偶函数，A错误；对于B，当0x时，函数3331−−===xxxy在()0,+上单调递减，B错误.对于C，函数21yx=−+在()0,+上单调递减，C错误；对于D，函数

()1fxx=+定义域为R，()()11fxxxfx−=−+=+=，故()1fxx=+是偶函数，当0x时，()1fxx=+在()0,+上单调递增，D正确；故选：D5.设0.434log0.4,log3,3abc===，则（）A.acbB.bcaC.abc

D.bac【答案】C【解析】【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得a、b、c范围，即可得解.【详解】由33log0.4log10a==，444log1log3log4b=，即01b，0.40133c==，故abc.故选：C.6.如图，在ABCV中，点D是BC边的中点

，3ADGD=，则用向量AB，AC表示BG为（）A.2133BGABAC=−+uuuuruuruuurB.1233BGABAC=−+uuuruuuruuurC.2133BGABAC=−uuuruuuruuurD.2133BGABAC=+uuuruuuruuur【

答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3ADGD=，故23AGAD=，则()2212133233BCGBABABAAGADABAABAC=+=+=++=−+.故选：A7.若函数()()πsin0,0,02fxAxA=+

的部分图象如图所示，则的值是（）A.π3B.π6C.π4D.π12【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03，即可求得最小正周期T，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.【详解】由图可知()2π0,3fmf

m==−，所以π,03是()fx的一个对称中心，由图象可得最小正周期T满足：1πππ2362T=−−=，则2ππT==，又0，所以2=，则由图象可得π2π6k−+=，Zk，所以ππ3k=+

，Zk，又π02，所以π3=.故选：A.8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1℃，空气的温度是0℃．那么mint后物体的温（单位：℃）可由公式()010kte−=+−求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10

℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为(ln31.10,ln71.95)（）A.0.25B.0.25−C.0.89D.0.89−【答案】A【解析】【分析】【详解】由题意可知：()010kte−=+−当1

46=，010=，1t=时，38=，代入公式得：()38104610ke−=+−即287369ke−==，则7ln2ln3ln72.201.950.259k=−=−=−=.故选：A.【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于

简单题.9.设na是公比为()1qq−的无穷等比数列，nS为其前n项和，10a，则“0q”是“nS存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】

假设0q，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解.【详解】若0q，由10a，则1110nnnnSSaaq++−==，故nS必有最小值11Sa=，故“0q”是“nS存在最小值”的充分条件；当11a=，12q=−时，

有1112221133212nnnS−−==−−−−，则nS有最小值2222113322S=−−=，故“0q”不是“nS存在最小值”的必要条件；即“0q”是“nS存在最小值”的充分而不必要条件.故选：A.

10.已知函数()fx的定义域为R，存在常数()0tt，使得对任意xR，都有()()fxtfx+=，当)0,xt时，()2tfxx=−．若()fx在区间()3,4上单调递减，则t的最小值为（）A.3B.83C.2D.85【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性和

绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数()0tt，使得对任意xR，都有()()fxtfx+=，所以函数的周期为t，当)0,xt时，函数()2tfxx=−在[0,)2t单调递减，所以当0x时，

函数()2tfxx=−在()(21)[,)N2ntntn+上单调递减，因为()fx在区间()3,4上单调递减，所以有()338321834221nttntnttn++，故选：B【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函

数的单调性是解题的关键.二、填空题（共5题，每题5分）11.函数()()lg311xfxx+=−的定义域是____________．【答案】1,13−【解析】【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解.【详解】要使函数()()lg311xf

xx+=−有意义，当且仅当3101010xxx+−−，解得113−x，所以函数()()lg311xfxx+=−的定义域是1,13−.故答案为：1,13−.12.数列{}na是公差为2−的等差数列，记{}na的前n项和为nS，

且134,,aaa成等比数列，则1a=_______；nS=_______.【答案】①.8②.29nn−+【解析】【分析】由等比数列的性质得2314aaa=，解出1a的值，再结合等差数列的前n项和公式可得结果.【详解】因为数列{}na是公差为2−的等差数列，134,,aaa成等比数列

，所以2314aaa=，即()()211146aaa−=−，解得18a=；所以()()218292nnnnnnS−=+−=−+，故答案为：8，29nn−+.13.已知菱形ABCD的边长为2，60BAD=，2BCBP=，则APBD=_____

____________.【答案】1−【解析】【分析】利用向量的线性运算得到12APABAD=+uuuruuuruuur，BDADAB=−，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果.【详解】因2BCBP=，所以12APABBPABAD=+=+，又BDADAB=−，所以

22111()()222APBDABADADABABADABAD=+−=−+，又菱形ABCD的边长为2，60BAD=，所以1π122cos441232APBD=−+=−，故答案为：1−.14.设函数()πsin(0)4f

xx=+①给出一个的值，使得()fx的图像向右平移π6后得到的函数()gx的图像关于原点对称，=______；②若()fx在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则的取值范围是______．【答案】①.32（答案不唯一）②.711

,44【解析】【分析】根据变换法则得()ππsin46gxx=+−，则πππ,46kk−=Z，取0k=计算即可，确定πππ,π444x++，根据零点个数得到π2ππ3π4+，解得答案.【详解】由题

意可得()ππππsinsin6446gxxx=−+=+−，因为()gx的图像关于原点对称，所以πππ,46kk−=Z，即36,2kk=−Z，当0k=时，32=；为若𝑥∈(0,π)，则πππ,π444x++，

()fx有且仅有两个零点，则π2ππ3π4+，解得71144，故的取值范围为711,44.故答案为：32（答案不唯一）；711,4415.已知函数22,()2,xaxafxxaxxa+=+给出下列四个结论：①当12a=−时，()fx存在最小值；②当0

a=时，()fx存在唯一的零点；③()fx的零点个数为()ga，则函数()ga的值域为0,1,2,3；④当1a时，对任意1x，2xR，1212()()22xxfxfxf++.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】①根据指数

函数、二次函数性质求()fx最值判断；②由函数零点概念求解零点判断；③讨论0a、0a=、0a，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值4a=，得到(3)12,(4)48,(5)65fff===即可判断.【详解】①当12a

=−时，2112,22()1,2xxfxxxx−−=−−，当12x−时，()fx在1,2−−上单调递增，故()fx的值域为121,22−−；当21x−时，()fx在

11,22−上单调递减，()fx在1,2+上单调递增，1124f=−，故()fx的值域为1,4−+；由1124−−知，()fx无最小值，故①错误；②当0a

=时，22,0(),0xxfxxx=，令()0fx=得0x=，所以()fx有唯一的零点0，故②正确；③2xya=+至多一个零点，22yxax=+至多有两个零点，当0a时，若),xa+，则由220xax+=，可得0x=或2xa=−，故()fx恒有

两个零点；(),xa−时，若20aa+，则()fx存在一个零点；若20aa+，()fx不存在零点，所以0a时，()fx零点个数可能为2或3个；若0a=，则22,0(),0xxfxxx=，此时20x，即(,0)−上无零点，而200xx==，故(

)fx有一个零点，即(0)1g=；若0a，则22,()2,xaxafxxaxxa+=+，此时(,)a−上20xa+，无零点，),xa+时，220xax+=也无解，故()fx无零点，即()0ga=；综上，()ga的值域为0,1,2,3，故③正确；④当4a=时，2

24,4()8,4xxfxxxx+=+，则(3)12,(4)48,(5)65fff===，所以(3)(5)772(4)96fff+==，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质

，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.三、解答题（共6道题）16.已知π,π2，且4sin5=.（1）求πtan4−的值；（2）求2sin2cos1cos2−+的值.【答案】（1）7（2）116−【解析】【分析】（1）利用同角三角函数平方和商数关系可求得

tan，根据两角和差正切公式可求得结果；（2）利用二倍角正弦公式化简所求式子为正余弦的齐次式，由此可配凑成关于tan的式子来求解.【小问1详解】π,π2，4sin5=，23cos1sin5=−−=−，sin4tancos3

==−，4π1tantanπ34tan7π441tantan143−−−−===+−.【小问2详解】由（1）知：4tan3=−，22281sin2cos2sincoscos2tan11131cos22cos226−−−−−====−+.17.已知等比

数列na满足123aa+=，4524aa+=．（1）求na的通项公式；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列nb的前n项和nS．条件①：设221lognnba−=；条件②：设2nnban=+．【答案】（

1）12nna−=；（2）选择条件①，2nSnn=−；选择条件②，221nnSnn=++−.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于首项与公比的方程，解出方程组即可求出通项；（2）若选择条件①，利用等差数列的前n项和公式求和，若选择条件②

，利用分组法求和.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，则12134451(1)3()24aaaqaaaqq+=+=+=+=，解得112aq==，所以12nna−=；（2）选择条件①：222212loglog22

2nnnban−−===−，所以20222nnSnnn+−==−；选择条件②：1222nnnbann−=+=+，所以21(12)2221122nnnnSnnn−+=+=++−−.18.已知函数()21sin3sinco

s2fxxxx=+−．（1）求()fx的最小正周期及单调递增区间；（2）求()fx在区间π0,2上的最值，并求出此时对应的x的值；（3）若()()gxfxm=+在区间π0,2上有两个零点，

直接写出m的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为πππ,π,Z63kkk−++；（2）0x=时最小值为12−；π3x=时最大值为1；（3）112m−−.【解析】【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质

求最小正周期和递增区间；（2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可；（3）问题化为()fx与ym=−在区间π0,2上有两个交点，数形结合求参数范围.【小问1详解】因为()1cos231sin2222xfxx−=+−31sin2cos222

xx=−πsin26x=−，所以()fx最小正周期为2ππ2T==，又sinyx=增区间为ππ2π,2π,Z22kkk−++，令πππ2π22π,Z262kxkk−+−+得：ππππ,Z63kxkk−++，所以(

)fx单调递增区间为πππ,π,Z63kkk−++．【小问2详解】因为π02x，所以ππ5π2666x−−．当ππ266x−=−，即0x=时，()fx取最小值12−；当ππ262x−=，即π3x=时，()fx取最大值1

．【小问3详解】由题意，()fx与ym=−在区间π0,2上有两个交点，而()fx在π0,2上图象如下：由图知：112m−，即112m−−.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD

所成角为45，底面ABCD为直角梯形，90,2,1ABCBADADPABC=====.（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；（3）N为AD中点，线段PC上否存在

动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为13.的是【答案】（1）36（2）66（3）答案见解析【解析】【分析】（1）证明出PAAB⊥，PAAD⊥，ABAD⊥，建立的空间直角坐标系Oxyz−，求得向量()1,0,1PB=−，平面PCD的一个法向量为()1,1,2m=，结合向量的夹角公式，

即可求解；（2）由平面PBA的一个法向量()10,1,02nAD==，和平面PCD的一个法向量为()1,1,2m=，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）设(),0,1PMPC=，则(),,1M−，则可得平面BMN的一个法向量

(1,1,21)p=−−−，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，则可得到点P到平面BMN距离的范围，即可得到最大值.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，且,ABAD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，又因为90BAD=，所以ABAD⊥，因为PB与底面所成角

为45，所以45PBA=，故1ABPA==，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立的空间直角坐标系Oxyz−，如图所示，因为2AD=，1PABC==，可得()100B，，，()0,2,0

D，()001P，，，()110C，，，所以()1,0,1PB=−，()1,1,1PC=−，()0,2,1PD=−，的设平面PCD的一个法向量为()mxyz=，，，可得020mPCxyzmPDyz=+−==−=，取2z=，则1,1xy==，可

得()1,1,2m=，设PB与平面PCD所成的角为，则1023sincos,662mPBmPBmPB+−====，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为36.【小问2详解】根据题意，平面PBA的一个法向量()10,1,02nAD==，

由（1）知，平面PCD的一个法向量为()1,1,2m=，则()()1,1,20,1,016cos,6114116mnmnmn====++，所以平面PBA与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为66.【小问3详解】因为N为AD中点，所

以(0,1,0)N，设(),0,1PMPC=，(),,Mstr，则()(),,,,1str−=−，解得,,1str===−，故(),,1M−，∴(1,1,0),(1,,1)BNBM=−=−−，设平面BMN的法向量为(,,

)pabc=，则()()0110pBNabpBMabc=−+==−++−=，令1a=−，则1,21bc=−=−，即(1,1,21)p=−−−，∵(1,0,1)BP=−uur，∴点

P到平面BMN距离为22168311386BPpdp===−+−+，当()0,1时，则()11,+，∴221114223863333−+=−+，当143

=时取等号，则60,2d，综上，点P到平面BMN距离的取值范围的最大值为62.20.已知二次函数()fx满足()()2fxfx−=，且该函数的图象经过点()2,3−，在x轴上截得的线段长为4，设𝑔(𝑥)=𝑓(�

�)−𝑎𝑥.（1）求()fx的解析式；（2）求函数()gx在区间[0,2]上的最小值；（3）设函数()1932xxhx+=−−，若对于任意10,2x，总存在20,2x，使得()()12hxgx成立，求a的取值范围.【答案】（1）()223f

xxx=−−（2）答案见解析（3）)52,−+【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据2a−，22a−，2a分类讨论求解即可；（3）由题意()()minminhxgx，利用换元法求解函数()hx的最小值，结

合（2）中()gx的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为()()2=fxfx−，则()fx的图象关于直线1x=对称且在x轴上截得的线段长为4，()fx的图象与x轴的交点分别为()1,0−，()3,0，所以设()(

)()()130fxaxxa=+−.该函数的图象经过点()2,3−，解得1a=，所以()223fxxx=−−.【小问2详解】因为()()223gxxax=−+−，其对称轴方程为22ax+=，当202a+，即2a−时，()min03yg==−.当2

022a+，即22a−时，()2min22324aayg++==−当222a+，即2a时，()min223yga==−−综上所述，当2a−时，min3y=−，当22a−时，()2mi

n234ay+=−−，当2a时，min23ya=−−.【小问3详解】若对于任意10,2x，总存在20,2x，使得()()12hxgx成立，等价于()()minminhxgx函

数()()2213179323332324xxxxxhx+=−−=−−=−−，因为0,2x，所以139x，所以当332x=时，()hx取得最小值174−当2a−时，()()minminhxgx，所以1734−−，不成立当22a

−时，()()minminhxgx，所以()2217344a+−−−，解得25a−−或52a−，所以522a−当2a时，()()minminhxgx，所以17234a−−−

，解得58a，所以2a综上所述，a的取值范围是)52,−+.【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题.21.已知12:,,,kQaaa为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的{1,2,,}nm，在Q中存在12,,,,(0)ii

iijaaaaj+++，使得12iiiijaaaan+++++++=，则称Q为m−连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,kQaaa为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若12:,,,kQaaa为20−连续

可表数列，且1220kaaa+++，求证：7k．【答案】（1）是5−连续可表数列；不是6−连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k不符

合，再列举一个4k=合题即可；（3）5k时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k=时，由12620aaa+++可知里面必然有负数，再确定负数只能是1−，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】21a=，12a=，123aa+=，34a=，235aa+=，

所以Q是5−连续可表数列；易知，不存在,ij使得16iiijaaa+++++=，所以Q不是6−连续可表数列．【小问2详解】若3k,设为:Q,,abc,则至多,,,,,abbcabcabc++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k=时,数列:1,4,1,2Q，满足11a=，42a=，343aa+

=，24a=，125aa+=，1236aaa++=，2347aaa++=，12348aaaa+++=，min4k=．【小问3详解】12:,,,kQaaa，若ij=最多有k种，若ij，最多有2Ck种，所以最多有()21C2k

kkk++=种，若5k，则12,,,kaaa…至多可表()551152+=个数，矛盾,从而若7k<,则6k=，,,,,,abcdef至多可表6(61)212+=个数，而20abcdef+++++，所以其中有负的，从而,,,,,abcdef可表1~20及那个负数（恰21个），

这表明~af中仅一个负的，没有0，且这个负的在~af中绝对值最小，同时~af中没有两数相同,设那个负数为(1)mm−，则所有数之和125415mmmmm++++++−=+，415191mm+=，{,,,,,}{1,

2,3,4,5,6}abcdef=−，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=−+（仅一种方式），1−与2相邻，若1−不在两端,则",1,2,__,__,__"x−形式，若6x=，则56(1)=+−（有2种结果相同，方式矛盾），6x，同理5,4,3x，故1−

在一端，不妨为"1,2,,,,"ABCD−形式，若3A=,则523=+（有2种结果相同，矛盾），4A=同理不行，5A=，则6125=−++（有2种结果相同，矛盾），从而6A=，由于7126=−++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,

4−，①或1,2,6,4,5,3−，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k，当7k=时，数列1,2,4,5,8,2,1−−满足题意，7k．【点睛】关键点睛，先理

解题意，是否为m−可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问3k时，通过和值可能个数否定3k；第三问先通过和值的可能个数否定5k，再验证6k=时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}−的一个排序，可验证这组

数不合题．