【文档说明】四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.315 MB，由小赞的店铺上传

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成都石室中学2022~2023学年度下期高2025届期末考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）第I卷选择题（满分60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点(),0a是函数πsin6yx=+

图象的一个对称中心，则a的值可以是（）A.π3B.π2C.π6−D.π3−【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.【详解】依题意可得ππ6ak+=，Zk，所以ππ6ak=−，Zk，当0k=时，π6a=−.故选：C2.复数

31()1zii−=+(i为虚数单位)，则其共轭复数z的虚部为（）A.1−B.i−C.1D.i【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z，得到z，即可求解.【详解】∵()()()2i11i2111iiiii2−−−===−++−,()3iiz=−=∴iz=−∴z

的虚部为1−故选：A3.已知,ab→→为单位向量，且(2)abb→→→−⊥，则2ab→→−=（）A.1B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】先根据(2)abb→→→−⊥得221abb→→→==，再根据向

量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,ab→→为单位向量，且(2)abb→→→−⊥，所以20abb→→→−=，所以221abb→→→==，所以22222443ababaabb→→→→→→→→−=−=−+=.故选：B.【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模

的计算，考查运算能力，是基础题.4.若π3cos45−=，则sin2=（）A.725B.15C.15−D.725−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】ππ3coscos445−=−=，

22ππ37cos22cos12144525−=−−=−=−，且ππcos2cos2sin242−=−=，故选：D.5.设m，n是两

条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥B.若mn∥，m⊥，n∥，则⊥C.若mn⊥，m∥，n∥，则∥D.若mn∥，m⊥，n⊥，则∥【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平

行的性质逐一判断即可.【详解】因为m⊥，n⊥，若m，n分别在直线,mn上为平面，的法向量，且mn⊥，故⊥，所以选项A说法正确；因为//mn，m⊥，所以n⊥，而//n，因此⊥，所以选项B说法正确；当时，如下图所示：也可以满足mn⊥，//m，//n，所

以选项C说法不正确；因为//mn，m⊥，所以n⊥，而n⊥，所以//，因此选项D说法正确，故选：C6.记函数()()πsin06fxx=+的最小正周期为T，若ππ42T，且()π3fxf

，则=（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】分析可知函数()fx的图象关于直线π3x=对称，可得出()31kk=+Z，再利用函数()fx的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值.【详解】对任意的xR，()π3fxf，则π3f

为函数()fx的最大值或最小值，故函数()fx的图象关于直线π3x=对称，故()ππππ362kk+=+Z，解得()31kk=+Z，又因为0且函数()fx的最小正周期T满足ππ42T，即π2ππ42，解得48

，故7=.故选：D.7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇

成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一

个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A.2530B.3016πC.3824πD.4350π【答案】A【解析】【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示

：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm23V==半球，()239141134mV==圆柱，()()22319911π30910πm3V=++=圆台，所以()34

86π1134π910π2530πmVVVV=++=++=半球圆柱圆台.故选:A.8.如图，在RtABC△中，90A=，2AB=，4AC=，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PBPC的最小值为（）A.0B.165−C.245−D.565−【答案】C【解析】【分

析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD为斜边BC上的高，则圆A的半径222445,24255416rADBC====+=+，设E为斜边BC的中点，,PAAE=，则0,π，因为455PA=，5AE=，则()()()21625PBPCPAABPAACPAPA

ABACPAAE=++=++=+16451625cos8cos555=+=+，故当π=时，PBPC的最小值为1624855−=−.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，

部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（）A.已知()1,3a=−，()2,6b=−，则a与b可以作为平面内所有向量的一组基底.B.已知()()1,3,0,1ab=−=，则a在b上的投影向量的坐标是()0,3−C.若两非零向量a，b满足abab+

=−，则ab⊥D.平面直角坐标系中，()1,1A，()3,2B，()4,0C，则ABC为锐角三角形【答案】AD【解析】【分析】利用基底定义判断选项A；利用向量数量积定义判断选项B；利用向量垂直充要条件判断选项C；利

用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A：已知()1,3a=−，()2,6b=−，则2ab=，则//ab，则a与b不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；选项B：a在b上的投影向量为()()2210310,1031abbb−==

−，，故B正确；选项C：若两非零向量a，b满足abab+=−，则22abab+=−即()()22abab+=−，整理得0ab=，则ab⊥，故C正确；选项D：平面直角坐标系中，()1,1A，()3,2B，()4,0C，则(2,1)BA=−−，(1,2)BC=−，则220

BABC=−+=，则BABC⊥，则ABC为直角三角形，故D错误；故选：AD.10.复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若12zz，则2212zzB.若20z，则1122zzzz=C.若32i

z=−+是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的一个根，则19pq+=D.若12i2z−，则点Z的集合所构成的图形的面积为π【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【

详解】对于A，令122i,1zz==,满足12zz,但2212zz,，故A错误；对于B,设1i,(,zabab=+R且不同时0)，()2i,zcdcd=+R12iizabzcd+=+()()()()iiiiabcdcdcd+−=+−()22iacbdbcadcd++−=+222

21()()acbdbcadcd=++−+()()2222221abcdcd=+++2222abcd+=+12zz=，故B正确；对于C，32iz=−+，且z是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的一个根,32iz

=−−也是关于x的方程20xpxq++=的另一个根,()()()32i32i,32i32ipq−++−−=−−+−−=解得6,13pq==，故19pq+=,故C正确,对于D,设i,,zabab=+R,则()()222i2i2zabab

−=+−=+−,故221(2)2ab+−,圆22(2)2xy+−=的面积为2π,圆22(2)1xy+−=的面积为π,故点Z的集合所构成的图形的面积为2πππ−=,故D正确.故选:BCD.11.ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且23a=，233ABACS=

，下列选项正确的是（）A.π3A=B.若ABC有两解，则b取值范围是()23,4C.若ABC为锐角三角形，则b取值范围是2,4D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3【答案】ABD【解析】【分析】根据向量运算结合

面积公式得到π3A=，A正确；根据sinbAab，代入数据则可判断B正确；确定ππ62B，计算()4sin2,4bB=，C错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D正确，得到答案.为【详解】对选项A：23

3ABACS=，故231cossin32cbAbcA=，故tan3A=，()0,πA，所以π3A=，故A正确；对选项B：若△ABC有两解，则sinbAab，即3232bb，则()23,4b，故B正确；对选项C：ABC为锐角三角形，则π02B，

ππ32ABB+=+，故ππ62B，则1sin12B，sinsinbaBA=，故()sin4sin2,4sinaBbBA==，故C错误；对选项D：若D为BC边上的中点，则()12ADABAC=+，故()()()2222221112cos444ADABACcbcAbbcbc=+=++=

++，又222222cos12abcbcAbcbc=+−=+−=，2212bcbc+=+，由基本不等式得22122bcbcbc+=+，当且仅当23bc==时等号成立，故12bc，所以()21112336942ADbcbcbc=++=++=，故3AD，正确

；故选：ABD.12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为棱11BC，1BB的中点，G为面对角线1AD上的一个动点，则（）A.三棱锥1BEFG−的体积为定值B.线段1AD上存在点G，使1AC⊥平面EFG

C.线段1AD上存在点G，使平面//EFG平面1ACDD.设直线FG与平面11ADDA所成角为，则sin的最大值为223【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐

标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADDA平面11BCCB，所以G到平面11BCCB的距离为定值，又1BEFS△为定值，所以三棱锥1GBEF−即三棱锥1BEFG−的体积为定值，故A正确．对于B,

如图所示,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,1DD为z轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A，()()2,2,0,0,0,0BD,()0,2,0C，()12,0,2A，()10,0,2D()(

)()10,2,2,1,2,2,2,2,1CEF，所以()12,2,2AC=−，()2,2,0AC=−，()12,0,2AD=−，()1,0,1EF=−设1DGDA=（01≤≤），则()2,0,2

G所以()21,2,22EG=−−−，()22,2,21FG=−−−1AC⊥平面EFG11ACEGACFG⊥⊥即()()()()()()()()221222220222222210

−−+−+−−=−−+−+−−=解之得14=当G为线段1AD上靠近D的四等分点时，1AC⊥平面EFG.故B正确对于C，设平面1ACD的法向量()1111,,nxyz=则1111111220220nACxynADxz=−+==−+=，取11

x=得()11,1,1n=设平面EFG法向量()2222,,nxyz=,则()()22222220212220nEFxznEGxyz=−==−−+−=取21x=,得21,,1243n=−,平面1ACD//

平面EFG12//nn设12nkn=,即()431,1,11,,12k−=,解得451,k==，01，不合题意线段1BC上不存在点G,使平面EFG//平面1BDC，故C错误．对于D，平面11ADDA的法向量为()0,1,0n=则22sin81

29FGnFGn==−+因为22398129842−+=−+92的所以22222sin3981292==−+所以sin的最大值为223．故D正确．故选：ABD第II卷非选择题（满分90分）三、填空

题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若角α的终边上有一点()1,4P−，则tan2=______．【答案】815【解析】【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【详解】由题意得4tan41−==−，故()()22242tan88tan21tan1161514−

−====−−−−.故答案为：81514.记ABC面积为3，60B=，223acac+=，则b=______.【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac=，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac==

=，所以224,12acac=+=，所以22212cos122482bacacB=+−=−=，解得22b=（负值舍去）.故答案为：22.15.如图，在三棱锥ABCD−中，1ABAC==，ABAC⊥，2AD=，AD⊥平面ABC，

E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为______.【答案】23【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得,,ADABAC两两垂直，从而将三棱锥ABCD−置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定

义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为AD⊥平面ABC，AB平面ABC，，AC平面ABC，所以ADAB⊥，ADAC⊥，又ABAC⊥，所以,,ADABAC两两垂直，将三棱锥ABCD−置于一个长方体中，如图所示，易知//BFAD，所以直线BE与AD所成

角即为BF与BE所成角为FBE（或其补角），由题意可知，2221321122BFBEFE===++=，，在FBE中，由余弦定理，得222222332222cos323222BFBEFEFBEBFBE+−+−===

，所以直线BE与AD所成角的余弦值为23.故答案为：23.16.在平面四边形ABCD中，ABAC⊥，3ACAB=，1ADCD==，则BD的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】设CAD=，利用三角函数函数得2cosAC=，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.【

详解】设CAD=，π0,2，则12cosACAD=，代入数据得2cosAC=，3ACAB=，2cos23cos33AB==，在ABD△中运用余弦定理得222π2cos2BDABADABAD

=+−+，即2224cos2312cos1sin33BD=++224cos2312cos1sin33=++41cos223sin21323+=++223545cos2sin2sin2333363=++=++π0,2，

ππ7π2,666+，所以当ππ262+=，即π6=时，2BD的最大值为3，则BD的最大值为3.故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题关键在于引角，设CAD=，再利用三角函数和余弦定理得到222π2cos2BDABADABAD=+−+

，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的17.已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=+的部分图象如图所示.（1）求()fx的解析式

；（2）将()fx的图像向右平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，得到()gx的图像，求()gx在区间π0,4上的值域.【答案】（1）()πsin26fxx=+（2）1,12−【解析】【分析】（1）根据给定

的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数()gx的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】依题意，由图像得1A=，12πππ2362T=−=，解得πT=，又0，则2π2π==，所以()()sin2fxx=+，因为点

π,16在()fx的图像上，则πsin13+=，所以ππ2π32k+=+，Zk，即π2π6k=+，Zk，而π2，则π6=，所以()πsin26fxx=+．【小问2详解】依题意，(

)ππππ2sin22sin46666gxfxxx=−=−+=−，因π0,4x，则ππ5π4666x−−，而函数sinyx=在ππ,62−上单调

递增，在π5π,26上单调递减，因此有π1sin4,162x−−，故()gx在π0,4上的值域为1,12−．18.已知()1fxmn=−，其中()3,2cosmx=，(

)()sin2,cosRnxxx=.（1）求()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()2fA=，2abc=，求11tantanBC+的值.【答案】（1）ππ

π,π36kk−+，Zk（2）233【解析】【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【小问1详解】()1(3,2cos)(sin2,cos)1f

xabxxx=−=−2π3sin22cos13sin2cos22sin26xxxxx=+−=+=+令πππ2π22π,Z262kxkk−++，得ππππ36kxk−+，Zk所以()fx的单调增区间为πππ,

π36kk−+，Zk．【小问2详解】∵()π2sin26fAA=+=，∴πsin16A+=，又()0,πA，ππ7π,666A+，∴ππ62A+=，∴π3A=，∵2a

bc=，则由正弦定理得2sinsinsinABC=．∴11coscossincoscossintantansinsinsinsinBCCBCBBCBCBC++=+=()2sinsinsin1123πs

insinsinsinsinsin3sin3BCAABCBCAA+======.19.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，2AD=，22DC=，四边形DCFE为梯形，//DECF，CDDE⊥，3DE=，6CF=，45ADE=，平面ADE⊥平面DCFE.

（1）求证：//AE平面BCF；（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；（3）求点F到平面ABCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）66（3）32【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理可得//AD平面BCF，//DE平面BCF，再由面面平行的判定定

理和性质定理可得答案；（2）作AODE⊥于O，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，AO⊥平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为ACO，求出正弦值即可；（3）由（2）得AO⊥平面CDEF，又FACDACDFVV−−=，可得答案．【小问1详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴/

/BCAD，BC平面BCF，AD平面BCF，所以//AD平面BCF，∵//DECF，CF平面BCF，DE平面BCF，所以//DE平面BCF，ADDED=，,ADDE平面ADE，∴平面//BCF平面A

DE，∵AE平面BCF，∴//AE平面BCF.【小问2详解】∵平面ADE⊥平面DCFE，平面ADE平面DCFEDE=，CDDE⊥，CD平面DCFE，CD\^平面ADE，AD平面ADE，CDAD⊥，()222222223ACADCD

=+=+=，作AODE⊥于O，分别连接,,ACAOCO，因为平面ADE⊥平面DCFE，平面ADE平面DCFEDE=，AO平面ADE，所以AO⊥平面CDEF，连结CO，所以直线AC与平面CDEF所成角为ACO，45ADE=，22ADAO==，所以26sin62

3AOACOAC===．直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为66；【小问3详解】连接DF由（2）得AO⊥平面CDEF，又FACDACDFVV−−=，所以距离CDFACDSAOdS=，又由已知可得116226222CDFSCFCD===，1222222ACDS==，2AO=，所以62

23222d==．20.为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC区域）进行分区改造.BNC区域为蔬菜种植区，CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC区域规划为学生自主栽培区.MNC的周围将筑起护栏.已知20mAC=，40mAB=，60BAC

=，30MCN=.（1）若10mAM=，求护栏长度（MNC的周长）；（2）学生自主栽培区MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】（1）()30103m+（2）有，()230023m

−【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得AMCM⊥，从而判断得ANC是正三角形，由此得解；（2）在ANC与ACM△中，利用正弦定理求得CN与CM关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMNS关于

的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【小问1详解】依题意，在AMC中，20mAC=，10mAM=，60BAC=，所以2222cos300CMAMACAMACA=+−=，则03m1CM=，222ACCMAM=+，即AMCM⊥，所以30ACM=，又30MCN=，故60AC

N=，所以ANC是正三角形，则20mCNANAC===，10mMNANAM=−=，所以护栏的长度（MNC的周长）为()30103mCMCNMN++=+.【小问2详解】学生自主栽培区MNC的面积有最小值()23002

3m−，理由如下：的设ACM=(060)，在ANC中，30MCN=，则()180603090ANC=−−+=−，由正弦定理得()20sin60sin90cosCNAC==−，得103cosCN=，在ACM△中，18060120CMA=−

−=−，由正弦定理得()sin60sin120CMAC=−，得()103sin120CM=−，所以()1300sin3024sin120cosCMNSCMCN==−()23003004sin120coscos120sincos2sincos23cos

==−+()300300sin23cos232sin2603==++++，所以当且仅当26090+=，即15=时，CMN的面积取得最小值为()23300020233m=−+﹒21.如图1，在ABC中，90C=，4AB=，2BC=，D是AC中点，作DEAB⊥于

E，将ADEV沿直线DE折起到PDE△所处的位置，连接PB，PC，如图2.（1）若342PB=，求证：PEBC⊥；（2）若二面角PDEA−−为锐角，且二面角PBCE−−的正切值为269，求PB的长.【

答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】（1）利用勾股定理推得BEPE⊥，从而利用线面垂直的判定定理证得PE⊥平面BCDE，由此得证；（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角PDEA−−与二面角PBCE−−的平面角，从而利用

勾股定理得到关于CGx=的方程，解之即可得解.【小问1详解】在图1中，90C=，4AB=，2BC=，D是AC中点，所以30A=，23AC=，则3AD=，3322AEAD==，52BE=，则32PEAE==，又342PB=，所以222

PEBEPB+=，则BEPE⊥，因为DEAB⊥，则PEDE⊥，又,,DEBEEDEBE=平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE，因为BC平面BCDE，所以PEBC⊥.【小问2详解】由题意知,DEBEDEPE⊥⊥，,PEEBEPE=

平面,PEBEB平面PEB，因而ED⊥平面PEB，则PEA为二面角PDEA−−的平面角（或补角），即PEA为锐角，又ED平面BCDE，因而平面PBE⊥平面BCDE.作PHBE⊥所在的直线于点H，如图

，又平面PBE平面BCDEBE=，PH平面PBE，所以PH⊥平面BCDE，因为BC平面BCDE，所以PHBC⊥，作HGBC⊥于点G，连接PG，又,,PHHGHPHHG=面PHG，故BC⊥面PHG，因为PG

面PHG，则BCPG⊥，所以PGH为二面角PBCE−−的平面角（或补角），设PGH=，则26tan9=，在ABC中，30A=，设304CGxx=，则32,2,422AHxHExHBx==−=−，因而22933264,3(

2)422PHxxxHGHBx=−−=−==−，在直角三角形PHG中，26tan9PHHG==，即2642693(2)xxx−=−，解得12x=或1611x=（舍去），此时2,3PHHB==，

从而2211PBPHHB=+=.22.在ABC中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边，请在①sinsinsinACbcBac−−=+；②sinsin2BCcaC+=两个条件中任选一个，解决以下问题：（1）求角A的大小；（2）如图，若ABC

为锐角三角形，且其面积为32，且12AMAC=，2ANNB=，线段BM与线段CN相交于点P，点G为ABC重心，求线段GP的取值范围.【答案】（1）π3A=（2）113,612【解析】【分析】（1

）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC作为平面内的一组基底表示出AG，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP，即可表示

GP，利用面积公式求出2bc=，再由三角形为锐角三角形求出b的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【小问1详解】若选①，因为sinsinsinACbcBac−−=+，由正弦定理可得，acbcbac−−=+，化简可得222abcbc=

+−，又因为2222cosabcbcA=+−，则1cos2A=，()0,πA，故π3A=.若选②，因为sinsin2BCcaC+=，由正弦定理可得，sinsinsinsin2ACAC−=，且sin0C，则c

os2sincos222AAA=，且cos02A，所以1sin22A=，其中π0,22A，所以π26A=，则π3A=.【小问2详解】由题意可得23ANAB=，12AMAC=，所以()222111333233AGABBGABBMABAMA

BABACABABAC=+=+=+−=+−=+，因为C、N、P三点共线，故设()()2113APANACABAC=+−=+−，同理M、B、P三点共线，故设()()1112APABAMABAC=+−=+−，则()231112=−=

−，解得3412==，所以1124AABAPC=+，则()11111112243361212GPAPAGABACABACABACABAC=−=+−+=−=−，因为13sin22ABCSbcA==，所以2bc=，又因为ABC为锐角三角形，当C

为锐角，则0ACBC，即()22102AACACACACABBbbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即22bcb=，所以1b；当B为锐角，则0ABCB，即()22102AABABABACABCcbc−==

−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则2cb，即22bb，所以02b；综上可得12b，又因为1212GPABAC=−，则()222222222216144|2444|4||424GPABACABABACAC

ABABACACcbcbbb=−=−+=−+=−+=−+，因为12b，则214b，且()164fxxx=−+在(1,4)上单调递减，()()113,44ff==，所以()()4,13fx，即()22216144||44,13GPbb=−+u

uur，所以113,612GP．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com