【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题5.29 正方形与三垂直（巩固篇）（专项练习）.docx，共(42)页，854.735 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-37b98d36df60b0753cac8fc44f8b859c.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题5.29正方形与三垂直（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4,4)，点EF、分别在xy、轴的正半轴上，PEPF⊥，则四边形OEPF的面积为（）A．20B．16C．12D．82．如图，将n个边长都为2的正方形按如图

所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．nB．n－1C．（14）n－1D．14n3．如图，四边形AFDC是正方形，CEA和ABF都是直角，且E，A，B三点共线，4AB=，则图中阴影部分的面积

是（）A．12B．10C．8D．64．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AFDE⊥于点G，交BC于点F.若15AE=，5BE=，则AEG△的面积与四边形BFGE的面积之比是（）2A．13B．23C．34D．9165．如图，点()4,2M，点P在

射线OM上匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形OABC的面积为40时，点A的坐标是（）A．(39,1)−B．(38,2)−C．(37,3)−D．(6,2)−二、填空题6．如图，正方形ABC

D的边长为3，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AECF=，则四边形EBFD的面积为：______．7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，3CE=，若点F在正方形的某一边上，满足CFBE=，且CF与BE的交点为M．则CM=________

_．38．如图，直线l1//l2//l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_____．9．如图，在ABC中，90ACB=o，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连

接CE，则CE的长为______．10．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（﹣3，0），则点D的坐标是_____．11．如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的

面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．12．如图，正方形ABCD的四个顶点ABCD、、、分别在四条平行线1243llll、、、上．若4每两条相邻平行线间的距离都是1cm，则正方形ABC

D的面积为_________________2cm13．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH＝_____．14．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为()2,1−−点B坐标为________．1

5．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____．516．如图，四边形ABCD中ADAB=，90DABBCD==．则ACB=∠______．17．如

图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为______．18．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．19．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为

CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④+ABBNBM为定值2．一定成立的是_____．6三、解答题20．问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中∠ACB＝

90°，BC＝a．将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE．易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为212a．简单应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边

AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．21．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点

P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．（1）求证：PE＝PB；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；（3）

用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．722．探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：EFBCAMAB=；（3）如图3，四

边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM的值．23．如图所示，()3,4A−，四边形OABC为正方形，AB交y轴于D.求点D的坐标.24．如图所示，()2,0E−，()

0,4A，延长EA至D，使ADAE=，四边形ADCB为正方形，求CE的长.25．如图所示，()0,2A，()1,0D，以AD为边作正方形ABCD，求点B、C的坐标.826．如图所示，边长为2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30°，求B，C的坐标.27．如图，点E，F，G，H分别位于边长为

a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？28．如图所示，()1,0A−，()0,3

B，以AB为边作正方形ABCD，求C，D的坐标.910参考答案1．B【分析】过点P作PMOE⊥，PNOF⊥，证明△△OMEPNF，再根据面积计算即可；【详解】如图所示，过点P作PMOE⊥，PNOF⊥，∵点P的坐标为(4,4)，∴PM=PN，∵PEPF⊥，∴MPEEPNFPNEPN+=

+，∴=MPENPF，又∵PMEPNF=，∴()△△OMEPNFASA，∴四边形四边形△正方形4416OEPFONPEPMEONPMSSSS=+===．故答案选B．【点拨】本题主要考查了四边

形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键．2．B【分析】过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和，即可

求解．【详解】11如图作正方形边的垂线，由ASA可知同正方形中两三角形全等，利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是12214=，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()111nn−=−．故选：B．【点拨】本题考查

了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．3．C【分析】易证△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．【详解】∵四边形AFDC是正

方形∴AC=AF，∠FAC=90°∴∠CAE+∠FAB=90°又∵∠CAE+∠ACE=90°∴∠ACE=∠FAB又∵∠CEA=∠FBA=90°∴△AEC≌△FBA∴AB=EC=4∴图中阴影部分的面积=144=82故选C12【点拨】本题考查全等三角形的判定，掌握全等

三角形的判定条件是解题的关键．4．D【分析】首先证△AED≌△BFA，得S△ABF=S△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S△AGD=S四边形EGFB，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据

它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得面积比，由此得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=90∘，AB=DA；∵AFDE⊥，∴90AGEDGA==o∴EAGAEGEDAAEG+=+∴∠EAG=∠EDA,∴△AED≌△BFA(ASA)；∴ABFDAESS

=△△；∴ABFAEGDAEAEGSSSS−=−VVVV,即AGDEGFBSS=V四边形；∵∠EAG=∠EDA,∠AGE=∠DGA=90∘，∴△AEG∽△DAG；∴222159()()()15516AEGDAGSAEAESADAEEB====++VV∴AEG△的面积与四边

形BFGE的面积之比是916,故选D.【点拨】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质，能够发现AGDEGFBSS=V四边形是解答此题的关键.5．D【分析】13作ADx⊥轴于D，CEx⊥轴于E，根据M的坐标求得直线OM的斜率12，进

一步得出直线AC的斜率为2−，通过证得COEOAD△≌△，得出CEOD=，OEAD=，可设(,)Aab−，则(,)Cba，然后根据待定系数法求得直线AC的斜率为2abba+=−−，整理得13ba=，然后根据勾股定理得出222ADODOA+=，代值求解即可．【详解】解：作ADx⊥轴于D，CEx

⊥轴于E，设直线OM的解析式为ykx=，∵点(4,2)M∴12k=∵四边形ABCO是正方形，∴ACOM⊥∴直线AC的斜率为2−又∵OAOC=，90AOC=∴90AODCOE+=，90AODOAD+=∴COEOAD=又∵90CEOADO==∴()CO

EOADAAS△≌△∴CEOD=，OEAD=设(,)Aab−，则(,)Cba设直线AC的解析式为ymxn=+，∴amnbbmna+=−+=14解得：abmba+=−∴2abba+=−−整理得：13ba=∵正方形面积为40∴240OA=

∴在RtAOD△中，222ADODOA+=，即：221()403aa+=解得：6a=∴123ba==∴(6,2)A−故答案选B【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根

据直线AC的斜率列出方程是解题的关键．6．9【分析】根据SAS判断DAEDCF△△，从而得到四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积，计算即可；【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴ADDC=，90ADCF==，∵AECF=，∴()DAEDCFSAS△△，∴

四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积=23=9．15故答案是9．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．7．125或52【分析】分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长．【详解】解：分两

种情况：①如图1所示，当点F在AD上时，由CF=BE，CD=BC，∠BCE=∠CDF=90°可得，Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴∠DCF=∠CBE，又∵∠BCF+∠DCF=90°，∴∠BCF+∠CBE=90°，∴∠BM

C=90°，即CF⊥BE，∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，∴BE=5，∴CM=125BCCEBE=；②如图2所示，当点F在AB上时，16同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），∴BF=CE，又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，又

∵∠BCE=90°，∴四边形BCEF是矩形，∴CM=12BE=12×5=52．故答案为：125或52．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三

角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．8．25【分析】画出l1到l2，l2到l3的距离，分别交l2，l3于E，F，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再由勾股定理即可得出结论．【详解】解：过点A作AE⊥l

2，过点C作CF⊥l2，∴∠CBF+∠BCF=90°，四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，17∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AEBBFCABEBCFABBC===，∴△

ABE≌△BCF（AAS）∴BF=AE，∵l1∥l2∥l3，且l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，∴BF=AE=3，CF=4,∵BF2+CF2=BC2，∴BC2=42+32=25．故答案为：25．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的

求解方法．证得△ABE≌△BCF是解题的关键．9．17【分析】过E作EF⊥AC，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE＝AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到△AEF≌△B

AC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，由FA＋AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．【详解】过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，18∵四边形ABDE为正方形，∴∠BAE＝90°，AE＝AB

，∵∠EAF＋∠AEF＝90°，∠EAF＋∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠BAC，在△AEF和△BAC中，90FACBAEFBACAEAB====，∴△AEF≌△BAC（AAS），∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，在Rt△ECF中，EF＝8，F

C＝FA＋AC＝8＋7＝15，根据勾股定理得：CE＝22815+＝17．故答案为：17．【点拨】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（4，1）．【分析】过点D作DE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△DAE

，可得AE＝OB，DE＝OA，即可求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥y轴于E，∵∠BAO+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，19∴∠BAO＝∠ADE，在△ABO和△DAE中，90BAOADEAOBDEAABAD====，∴△

ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝OB，DE＝OA，∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∴点D的坐标为（4，1）．【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟记各性质并

作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．6【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方

形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．【详解】解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB

=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，20∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，ACBBEDCABEBDABBD＝＝＝，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴DE

2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SA

S”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．12．5【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DCF，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求

CD2得正方形的面积．【详解】解：过D点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，21∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED＝∠DFC＝90°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°．∴∠ADE＋∠CDF＝90°．又∵∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠

CDF＝∠DAE．在△ADE和△DCF中DEACFDEADCDFADDC===∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF＝DE＝1．∵DF＝2，∴CD2＝12＋22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为

：5．【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．13．262【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得DF的长，然后根据正方形的性质可以得到△DBF的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

，即可得到BH的长．【详解】解：延长DC交FE于点M，连接BD、BF，22∵正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，∴DM＝5，MF＝1，∠DMF＝90°，∴DF＝2251+＝26，∵BD、BF分别是正方形ABCD，BEFG的对角线，∴∠DBC=∠GBF=90，∴

∠DBF＝90°，∴△DBF是直角三角形，∵点H为DF的中点，∴BH＝12DF＝262，故答案为：262．【点拨】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．

()3,1−【分析】过点A作ADy⊥轴于D，过点C作CEx⊥轴，过点B作BFCE⊥交CE的延长线于F．先证明AODCOEBCF≌≌，得到1ADCEBF===，2ODOECF===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A作ADy⊥轴于D，过点C作CEx⊥轴，

过点B作BFCE⊥交CE的延长线于F．23()2,1C−−Q，2OE=，1CE=．Q四边形OABC是正方形，OAOCBC==．易求AODCOEBCF==．又90ODAOECF===Q∴AODCOEBCF≌≌，1ADCEBF=

==，2ODOECF===，点A的坐标为()1,2−，211EF=−=，点B到y轴的距离为123+=，点B的坐标为()3,1−．故答案为：()3,1−【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，

根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．15．5【分析】过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，只要证明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解决问题．【详解】解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K

，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．24∵∠CFB＝45°∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△A

GB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM

的中点，∴CH＝12GM，∴BG＝12GM，∵BM＝5，∴BG＝5，GM＝25，∴AG＝25，AB＝5，∴HF＝5，25∴CF＝5×2＝10，∴CM＝10，∵CK＝12CM＝12CF＝102，∴BK＝3102，∵在△BK

C和△CQD中，∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝3102，DQ＝CK＝102，∴QF＝CQ﹣CF＝3102﹣10＝102，∴

DQ＝QF＝102，∴DF＝102×2＝5．故答案为5．【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质是解题关键．16．45°【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，

易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．【详解】26解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，∴四边形A

ECF为矩形，∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（AAS），∴AE＝AF，∴矩形AECF为正方形，∴∠ACB＝45°；故答案为：4

5°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．17．()3,1−【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证

明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．27∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COE＝∠OAF，在

△COE和△OAF中，CEOAFOCOEOAFOCOA===，∴△COE≌△OAF，∴CE＝OF，OE＝AF，∵A（1，3），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝3，∴点C坐标()3,1−，故答案为：()3,1−．【点拨】本题考查全等三角形的判定

与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．13【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF

＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【详解】解：∵ABCD是正方形（已知），∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，28∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；∵BF⊥a于点

F，DE⊥a于点E，∴在Rt△AFB和Rt△AED中，∵90AFBDEAFBAEADABDA====，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．故答案为：13．【

点拨】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．19．①②③④【分析】如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°

，于是可判断①；由余角的性质可得∠HAM＝∠PMN，从而可利用AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可得MP＝AH，再根据正方形的性质即可判断②；如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和SAS可推得△RAN≌△

QAN，进而可得RN=QN，进一步即可判断③；如图3，作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，由题意易得四边形SMWB是正方形，进一步即可推出△AMS≌△NMW，可得AS＝NW，进而得AB＋BN＝2BW，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案．【详解】解：如图1，连接AC、AN，AC交

BD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°，∵∠AMN＝∠ABC＝90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，29∴∠

ANM＝∠NAM＝45°，∴AM＝MN，故①正确；∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°，∴∠HAM＝∠PMN，∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS），∴MP＝AH＝12AC＝12BD，故②正确；如图2，将

△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°，∴R、B、N三点在同一直线上，∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°，∴∠RAN=∠QAN=

45°，又∵AN=AN，∴△RAN≌△QAN（SAS），∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确；如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，∵点M是对角线BD上的点，30∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，∵∠AMN=∠SMW=90°，

∴∠AMS=∠NMW，又∵∠ASM=∠NWM=90°，∴△AMS≌△NMW（ASA），∴AS＝NW，∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW，∵BW：BM＝1∶2，∴222ABBNBM+==，故④正确．故答案为：①②③④．【点拨】本题是正方形的综合题，主要考查了正方

形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．20．△BCD的面积为212a．【分析】根据问题情景的解题思路，如下图2，根据旋转的

对应关系，可得△ABC≌△BDE（AAS），进而求出线段DE的长，根据三角形的面积公式计算即可.【详解】解：△BCD的面积为212a．理由如下：过点D作△BCD的BC边上的高DE．如图2，31∵边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴BA＝BD，∠ABD＝90°，∵∠A

BC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中ACBDBEADBEABBD===∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE＝BC＝a，∴△BCD的面积＝12BC•DE＝212a．【

点拨】本题主要考查了学生对新提出的问题情境的理解能力，学会和已有的知识（三角形全等）相结合是解答本题的关键.21．（1）见解析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．PF的长为定值2；（3）2PCPAEC=

+．理由见解析．【分析】（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△△BMPPNE即可求解．（2）如图，连接OB，通过证明△△OBPFPE，得到PF=OB，则PF为定值是2．（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA2PM=，PC2NC=，整理

可得结论．【详解】（1）证明：如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．32∵PB⊥PE，∴∠BPE＝90°，∴∠MPB+∠EPN＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝9

0°．∵AD∥MN，∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，∵∠MPB+∠MBP＝90°，∴∠EPN＝∠MBP．在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN＝CN，∴BM＝CN＝PN，∴△BMP≌△PNE（ASA

），∴PB＝PE．（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．理由：如图2，连接OB．∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，33∴∠AOB＝∠EFP＝90°，∴∠OBP+∠BPO＝90°．∴∠BPE＝90°，∴∠BPO+∠OPE＝90°，∴∠OB

P＝∠OPE．由（1）得PB＝PE，∴△OBP≌△FPE（AAS），∴PF＝OB．∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴222OB==．∴PF的长为定值2．（3）解：2PCPAEC=+．理由：如图1，∵∠BAC＝45°，

∴△AMP是等腰直角三角形，∴PA2PM=．由（1）知PM＝NE，∴PA2NE=．∵△PCN是等腰直角三角形，∴()PC2NC2NEEC2NE2ECPA2EC==+=+=+．【点拨】本题主要考查了四边形综合应用，

通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45．【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根

据相似三角形对应边成比例解题即可；（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题34即可；（3）过点D

作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结

合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．【详解】（1）证明∵四边形A

BCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴BNAM=BCAB（2）结论：EFAM=BCAB理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB

∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．35∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，∴BGAM

=BCAB，∴EFAM=BCAB（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，A

R=BS．∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：DNAM=BSAB∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴CDAD=SCRD，设SC=x，∴510

=xRD36∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵222CDDSSC=+，∴52=（10-2x）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴DNAM=BSAB=810=45【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩

形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．23．250,4D【解析】【分析】过点A作AEx⊥轴于E,利用勾股定理列式求出AO,然后解直角三角形求出AD、OD,即可求出点D的坐标.【详解】解:如图,过点A作AEx⊥轴于

E,(3,4)A−Q,3OE=,AE=4,2222345AOOEAE=+=+=,37在RtAOD△中,315tan544ADAOAOD===,425cos554ODAOAOD===,∴点250,4D.【点拨】本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,主要利

用了利用锐角三角函数解直角三角形,作辅助线构造成直角三角形是解题的关键.24．10【解析】【分析】作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．通过证明△AFD≌△EOA，△CDG≌△DAF，可证DG＝AF＝E

O＝2，GC＝DF＝AO＝4，从而求出点C与点E的坐标，然后根据勾股定理求解即可.【详解】正方形ABCD的中心如图：作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．∵DF∥y，∴∠ADF=∠EAO，∵AD＝AE，∠F=∠AOE

，∴△AFD≌△EOA，∵∠DGC=∠AFD,∠DCG=∠ADF,CD＝AD，∴△CDG≌△DAF,∴DG＝AF＝EO＝2，GC＝DF＝AO＝4,∴C为(2+4，4+(4-2))，即(6，6),E为(-2，0)，C为(6，6)3822[6(

2)]6643610CE=−−+=+=.【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.25．()2,3B；()3,1C【解析】【分析】过B作BE⊥y轴，过C作C

F⊥x轴，垂足分别为E、F，可证明△ABE≌△DAO≌△CDF，可求得OE、BE、CF、OF的长，可求得B、C的坐标．【详解】解：如图，过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD，∴∠BAE+∠DAO=∠D

AO+∠ADO=90°，∴∠BAE=∠ADO，在△ABE和△DAO中，BEAAODBAEADOABAD＝＝＝，，∴△ABE≌△DAO（AAS），同理可得△DAO≌△CDF，∵A（0，2），D（1，0），∴BE=DF=OA=2，AE=CF=OD=

1，∴OE=OA+AE=2+1=3，OF=OD+DF=1+2=3，∴B点坐标为（2，3），C点坐标为（3，2）．39【点拨】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得BE、AE、CF、OF的长是解题的关键．

26．()13,31B−+；()3,1C−【解析】【分析】本题只有O点在坐标轴上，且正方形在y轴的两侧（即y轴穿越了正方形），故须作AE⊥x轴于E，CN⊥x轴于N，BM⊥NC于M，只要证明△CON≌△OAE，同理证明△CON≌△BCM，得CN=OE=BM，O

N=AE=CM，求出OE、AE即可解决问题．【详解】解解；如图作AE⊥x轴于E，CN⊥x轴于N，BM⊥NC于M，在RT△AOE中，∵∠AOE=60°，AO=2，∴OE=1，AE=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AO=CO=BC，∠AOC=∠OCB=90°，∴∠CO

N+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠CON=∠OAE，在△CON和△OAE中，CNOAEOCONOAECOAO＝＝＝，∴△CON≌△OAE，同理△CON≌△BCM，∴CN=

OE=BM=1，ON=AE=CM=3，40∴点C坐标（-3，1），点B坐标（1-3，1+3）．【点拨】本题考查正方形的性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，当正方形的部分点在坐标轴上，且正方形在坐标轴的两侧时，往往过另

外的点向坐标轴（或已生成的垂线）作垂线，从而得到“三垂直”的基本图形，利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标.27．（1）x＝222；（2）当x＝12a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面

积最小，最小的面积为12a2．【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x，易证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；（2）利用二次函数的

性质即可求出面积的最小值．【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴GH＝GF，∠HGF＝90°，∴∠AGH+∠DGF＝90°，∵∠AGH+∠AHG＝90°，∴∠AHG＝∠DGF，在△AHG和△DGF中，90ADAHGD

GFGHGF====，∴△AHG≌△DGF（AAS），同理可证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE，∴AG＝DF＝CE＝BH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x∴EF2＝CF2+CE2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax

+a2，∴正方形EFGH的面积y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2，41当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3，解得：x＝222；（2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣12a）2+12a2，即：当x＝12a（即H在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最

小，最小的面积为12a2．【点拨】本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．28．()3,4C−；()4,1D−【解析】【分析】本题有A、B两个点都在坐标

轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C，D两点分别向坐标轴作垂线即可.作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，证明△BCE≌△ABO，得出对应边相等BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出

DF=OA=1，AF=BO=3，再求出OE、OF，即可得出结果．【详解】解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，如图所示：则∠CEB=∠AFD=90°，42∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB，∴∠2+∠3=90°

，∴∠1=∠2，在△BCE和△ABO中，1290CEBBOABCAB＝＝＝＝，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴BE=OA=1，CE=BO=3，同理得：DF=OA=1，AF=BO=3，∴OE=4，OF=4，∴C（-3，4），D（-4，1）．【点拨】

本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.