【文档说明】山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试卷 含答案.doc，共(9)页，677.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第一学期高二第二次月考数学试题（理科）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数)2)(21(ii−+的虚部是A．4B．

i3C．i3−D．32．直线013=+−yx的倾斜角为A．6B．3C．65D．323．圆心为)1,2(−，半径为3的圆的方程为A．042422=−+−+yxyxB．022422=++−+yxyxC．042422=−−++yxyxD．022422=+−+

+yxyx4．设复数z满足:izi+=−2)2(，则在复平面内z对应的点位于A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.圆522=+yx在点)2,1(P处的切线方程为A．032=+−yxB．042=−+yxC．05

2=−+yxD．042=−−yx6.如图，矩形CBAO是水平放置的一个平面图形的直观图，其中cmAO6=，cmCO2=，则原图是A．菱形B．矩形C．正方形D．一般的平行四边形7．设直线1l:012=−−myx，2l:01)1(=+−−y

xm，则“2=m”是“21//ll”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．下列命题是真命题的是A．命题“若012=−x，则11=−=xx或”的否命题是：“若012=−x，则11−xx且

”B．若命题10002,:00nNnp，则10002,:00nNnpC．“2=a”是函数“xxfalog)(=在区间),0(+上为增函数”的充分不必要条件D．若命题:p若复数z满足Rz2,则Rz;命题:q若复数21,zz满足Rzz21

,则21zz=,则qp为真9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是A．50B．75C．5.25D．5.3710．设圆

5:221=+yxO与圆20)(:222=++ymxO相交于BA、两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是A．3B．4C．32D．811．已知直线042:1=−−+kykxl恒过点M,直线1:2−=xyl上有一动点P,点N的坐标为)6,4(，当PNPM+取得最小值时，点

P的坐标为A．)57,52(−−B．)512,517(C．)53,52(−D．)57,512(12．已知球O是正三棱锥ABCP−的外接球，3=AB,32=PA,点E在线段AC上，且AEAC3=,过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的

面积是A．2B．C．49D．47二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．用反证法证明命题“abRba,,可以被5整除，那么ba、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是．14．若直线0343:1

=++yxl与016:2=++myxl平行，则21ll与之间的距离为．15．设复数z满足524=−−iz，则z的最大值为．16．过点)0,2(引直线l与曲线21xy−=相交于BA、两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线

l的斜率等于．三、解答题：本大题共70分.17．(本题满分10分)写出满足下列条件的直线的方程．(1)经过点)2,3(A，且与直线032=−+yx垂直；(2)经过点)2,5(−B，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．1

8．(本题满分12分)(1)请用分析法证明：5876++++++aaaa；(2)请用数学归纳法证明：4)1()1(3212233333+=+−++++nnnn．19．(本题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP−中，⊥PA平面AB

CD，ADBC//，ADAB⊥，1==BCAB，2==APAD，E为PD的中点，F为PB的中点．(1)求证：//CE平面PAB；(2)求二面角FCEP−−的正弦值．20．(本题满分12分)已知圆C经过点)2,3(−A和)0,1(B,且圆心在直线01=++yx上．(1)求圆C

的标准方程；(2)直线l经过点)0,2(P，并且被圆C截得的弦长为32，求直线l的方程．21．(本题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD是平行四边形，2==ACAB，22=AD,2=PB,ACPB⊥.(1)求证：平面⊥PAB平面PAC；

(2)若=45PBA，试判断棱PA上是否存在点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为96？若存在，求出APAE的值；若不存在，请说明理由．22．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，已知动点P与两个定点)0,1(E,)0,2(−F的距离之比为21，记动点

P的运动轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点)0,1(E的直线l交曲线C于BA,两点，问在x轴上是否存在定点M,使得x轴平分AMB?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020—2021

学年第一学期高二第二次月考理科数学参考答案1---12DBADCACCDBBA13.ba、都不能被5整除14.2115.5316.33−17解:(1)因为直线032=−+yx的斜率为2−，…………………………………………………………1分所以所求直线的斜率为21，………………………

………………………………………………2分所以所求直线的方程为)3(212−=−xy，………………………………………………………4分即012=+−yx.……………………………………………………………………………………5分(2)当直线过原点时，设直线

的方程为kxy=，把点)2,5(−B代入可得，52−=k，…………………6分此时直线的方程为052=+yx.……………………………………………………………………………7分当直线不过原点时，设直线的方程为12=+bybx，把点)2,5(−B代入可得，21−=b，…………8分此时直线的方程为

012=++yx.…………………………………………………………………………9分综上可得，满足条件的直线方程为052=+yx或012=++yx.……………………………………10分18.证明：(1)要证：5876+++

+++aaaa………………………………………………1分只需证：22)58()76(++++++aaaa…………………………………………2分只需证：)5)(8(2132)7)(6(2132++++++++

aaaaaa只需证：)5)(8()7)(6(++++aaaa…………………………………………………4分只需证：4013421322++++aaaa只需证：4042……………………………………………………………………

…………5分而4042显然成立，所以原不等式得证.……………………………………………………6分(2)①当1=n时，左边=1，右边=1，等式成立.…………………………………………………………7分②假设当)(*Nkkn=时等

式成立，即4)1()1(3212233333+=+−++++kkkk,…………8分则当1+=kn时，4]1)1[()1(4)2()1()44(4)1()1(4)1()1(32122222232233333+++=++=+++=+++=++++++kkkkkkkkkkkk该等式成立…………

……………………………………………………………………………………11分根据①②,原等式成立.……………………………………………………………………………………12分19.解：(1)证明：取PA的中点G,连接BG,GE,因为G、E分别为P

A、PD的中点，所以GE//21AD,…………………………………………………2分又BC//21AD,所以GE//BC,所以四边形GECB为平行四边形，所以CE//BG,……………………4分又CE平面PAB,BG平面PAB，…………………………………

…………………………………5分所以CE//平面PAB.…………………………………………………………………………………………6分(2)解：以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,……………………………………………………………………………………………

…………………7分则P(0,0,2),C(1,1,0),E(0,1,1),F(21,0,1),)1,1,0(−=PE,)1,0,1(−=CE,)0,1,21(−=EF设平面PCE与平面CEF的法向量分别为),,(111zyxm=和),,(222zyxn

=，则==00CEmPEm,==00CEnEFn,可取)1,1,1(=m，)2,1,2(=n，………………………………………10分所以935,cos==nmnmnm，………………………………………………………………………11分设二面角FCEP−−为，则96

sin=，所以二面角FCEP−−的正弦值为96.………………………………………………………………12分20.解：(1)因为)0,1(),2,3(BA−,所以直线AB的斜率为1−=ABk,AB中点坐标为)1,2(−所以线段AB的垂直平分线的方程为：21−=

+xy，即03=−−yx………………………………2分联立=++=−−0103yxyx，得−==21yx所以圆心)2,1(−C，………………………………………………4分则半径长为2)22()13(22=+−+−==ACr,所以圆

C的方程为4)2()1(22=++−yx.………………………………………………………………6分(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2=x，此时圆心C到直线l的距离为1，直线l被圆C截得的弦长为32，符合题意.…………………………

………………………………………………8分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：)2(−=xky，则圆心到直线l的距离122+−=kkd，又24232d−=，所以1=d，43=k……………………………………………………………10分所以直线l的方程为0643=−−yx.……………………………………

………………………………11分综上所述，直线l的方程为2=x或0643=−−yx.…………………………………………………12分21.解：(1)222BCACAB=+,ACAB⊥,………………………………………………………………2分

又ACPB⊥,BPBAB=,PABAC平面⊥,…………………………………………………………5分又PACAC平面,PACPAB平面平面⊥……………………………………………………………6分(2)由(1)知PABAC平面⊥且ABCDAC平面,ABCDPAB平面平面⊥

,又ACAB⊥，以A为坐标原点，分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,……………………………………………………………………7分=45PBA，2=AP

,222ABBPAP=+,APBP⊥,则A(0,0,0),P(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),)1,0,1(=AP,)1,0,1(−=PB,)0,2,2(−=BC,设平面PBC的法向量为),,(zyxm=，则=

=00BCmPBm，得)1,1,1(=m，………………………………9分设]1,0[),,0,(==APAE,则),2,(−=+=AECACE,………………………………………10分42322,cos962+−==CEm，解得21=或47=(舍去)所以

存在点E,使得21=APAE时，直线CE与平面PBC所成角的正弦值为96.…………………………12分22.解：(1)设),(yxP,则21)2()1(2222=+++−yxyx，………………………………………………………………2分化简得：4)2(22=+−yx，所以曲线

C的方程为4)2(22=+−yx.……………………………………4分(2)当直线xAB⊥轴时，x轴平分AMB;…………………………………………………………………5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方

程为)1(−=xky，)0,(mM，),(11yxA，),(22yxB，…6分−==+−)1(4)2(22xkyyx，得0)42()1(2222=++−+kxkxk，016122+=k，14

22221++=+kkxx，12221+=kkxx，…………………………………………………………………………8分若x轴平分AMB,则BMAMkk−=,…………………………………………………………………………9分02211=−+−mxymxy，0)1()1(221

1=−−+−−mxxkmxxk，…………………………………………………………10分02))(1(22121=+++−mxxmxx，01)1(2)42)(1(22222=+++++−kkmkmk，024=−−m，2−=m，………………………………

…………………………………………………11分所以当)0,2(−M时，BMEAME=总成立，即x轴平分AMB.…………………………………12分