【文档说明】山东省东营市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(27)页，4.420 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3760c64482223a42bff402162dc96971.html

以下为本文档部分文字说明：

2022-2023学年第一学期期末教学质量调研高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知经过两点(),2m−和()3,2m的直线的倾斜角为3π4，则m的值为（）A.53−B.13

C.5−D.1−【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，根据过两点的斜率公式列式求解.【详解】因为直线的倾斜角为3π4，所以该直线的斜率为3πtan14=−.所以()()22133mmm−−=−−，解得5m=−.故选:C.2.中心在原点，焦点在x轴上

的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（）A.6B.5C.62D.52【答案】D【解析】【分析】由题意设双曲线方程为22221(0,0)xyabab−=，则其渐近线方程为byxa=，将(4,2)代入byxa=中可求出ba，从而由21cbeaa=

=+可求出离心率.【详解】由题意设双曲线方程为22221(0,0)xyabab−=，则其渐近线方程为byxa=，因为双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，所以42ba=，所以12ba=，所以离心率22151122==+=+=cb

eaa，故选：D3.在三棱锥OABC−中，G是ABC的重心，M是线段OG的中点，若AMxOAyOBzOC=++，则xyz++=（）A.12−B.14C.34−D.1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案.【详解】如图在三

棱锥OABC−中，连接AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，M是线段OG的中点，G是ABC的重心，则11121()2233122AMOAAGOAADOAAD=−+=−+=−+1111()()236122OAABACOAABAC=−++=−++11(

)26OAOBOAOCOA=−+−+−511666OAOBOC=−++,故511,,666xyz=−==，故12xyz++=−.故选：A4.在正方体1111ABCDABCD−中，,PQ分别为11,BCAB的中点，则异面直线PQ与11AC所成角的余弦值为（）A.223B

.13C.63D.33【答案】D【解析】【分析】根据线线平行可用几何法找到两异面直线所成的平面角，再利用锐角三角函数即可求解.【详解】取AB中点M,连接,QMMP,AC，不妨设正方体的棱长为2，由于,MP分别为,ABBC的中点，则//MPAC，又在正方体111

1ABCDABCD−中，易得11//ACAC，所以11//ACMP，故异面直线PQ与11AC所成角为QPM或其补角，因为1//QMAA，1AA⊥平面ABCD，所以QM⊥平面ABCD，又MP平面ABCD，故QMM

P⊥，所以在直角三角形QMP中，()2223cos322MPQPMQP===+，易知异面直线PQ与11AC所成角为锐角，所以其余弦值为33.故选：D..5.如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间

站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分.假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排

方案种数为（）A.14B.18C.30D.36【答案】B【解析】【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为411621CCC30=其中两名女航天员在一

个舱内的方案数为212421CCC12=所以满足条件的方案数为181230=−种.故选:B.6.已知点P为圆C：()()22114xy++−=上一点,()0,4A−，()6,0B，则PAPB+的最大值为（）

A.5B.7C.10D.14【答案】D【解析】【分析】设00(,)Pxy，表示出00(62),42PAPBxy+=−−−，继而得20022(32)()PAPBxy+=−++，将问题转化为圆()()22114xy++−=上的动点到(3,2)−的距离的最大值问题，可得答案.【详解】设00(,)P

xy，则()()2200114xy++−=，∵()0,4A−，()6,0B，∴00(4),PAxy=−−−，00(6,)PBxy=−−，则00(62),42PAPBxy+=−−−，故22220000(6242)2(32))()(PAPBxyxy+−++=−−=−+，

而2200()(23)xy+−+的几何意义为圆()()22114xy++−=上的动点到(3,2)−的距离，其最大值为22(31)(21)2527++−−+=+=，∴PAPB+的最大值为14，故选：D7.已知三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰三

角形，120BAC=，3BC=且球O的直径4SA=，则该三棱锥的体积SABCV−为（）A.26B.36C.12D.32【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理求出△ABC外接圆半径，利用勾股定理求出3OM=，进而得到23SH=，结合三棱锥体体积公式即可求解.【详解】由△

ABC是等腰三角形，120BAC=，3BC=,易得1ACAB==，如图，设△ABC外接圆圆心为M，则OM⊥平面ABC，作SH⊥平面ABC,又11312sin120232BCAMr====，122OASA==,故22413OMOAAM=−=−=，则23SH=，1113111233

3222SABCABCVSSH−===,故选：C.8.《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点()3,0F的距离和它到定直线l：253x=的距离的比是常数35．若某条直线

上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（）A.动点P的轨迹方程为221167xy+=B.动点P的轨迹与圆C：()2234xy−+=没有公共点C.直线1l：45100xy+−=为成双直线D.若直线ykx=与点P

的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，则121625kk=−【答案】CD【解析】【分析】根据题意先求出动点P的轨迹方程为椭圆，再借助判别式判断

直线1l、圆C与椭圆的位置关系即可；选项D直接计算12kk的值．【详解】解：设(),Pxy，则()22332553xyx−+=−，化简得2212516xy+=，故A错；联立()22221251634xyxy+=−+=消y得()2216316425xx−+−=，整理得2

3501750xx−+=，()250431750=−−>，故动点P的轨迹与圆C：()2234xy−+=有两个公共点，故B错；联立221251645100xyxy+=+−=消去y得2820750xx−−=，()22048750=−+>，故直线1l上存在这样的点P，所以直线

1l：45100xy+−=为成双直线，故C对；联立2212516xyykx+==消y整理得()221625400kx+=，解得12222020,16251625xxkk==−++，故1122222020,16251625kkykxy

kxkk====−++，不妨设222220202020,,,1625162516251625kkABkkkk−−++++，设()00,Mxy，故220012516xy+=，则1020121020,yyyykkxxxx−−==−−，102012

1020yyyykkxxxx−−=−−()()21212002121200yyyyyyxxxxxx−++=−++220220240016254001625kykxk−++=−++，将2200161625yx=−代入上式，220212202400161616162

525400251625kxkkkxk−+−+==−−++，故D对．故选：CD．【点睛】本题D的结论应当记住，也即2122bkka=−．当ab=时，121kk?-，此时动点P的轨迹为圆，而这个结论

是显然的，可以帮助我们记忆上述结论．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知,mn是两条不相同的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若

n=，m，则m与β相交B.若m⊥，m⊥，n，则n∥C.若⊥，m⊥，n⊥，则mn⊥D.若m⊥，n∥，∥，则mn⊥【答案】BCD【解析】【分析】对于A，判断m与可能相交也可能平行；对

于B，根据线面垂直以及面面平行的性质即可判断；对于C，根据平面的法向量可判断正误；对于D，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可判断正误.【详解】对于A,若n=，m，则m与可能相交也可能平行，错误；对于B，若m⊥，m⊥，则

∥，由于n，则n∥，正确；对于C，若m⊥，n⊥，则可在直线m上取向量m作为的法向量，在直线n上取向量n作为的法向量，因为⊥，故mn⊥，即有mn⊥，正确；对于D,由n∥，∥，可得n∥或n，由于m⊥，故mn⊥，正确，故选：BCD10.某高一学生想在物理、化学、生

物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（）A.若不选择政治，选法总数为25C种B.若物理和化学至少选一门，选法总数为1225CCC.若物理和历史不能同时选，选法总数为3164CC−

种D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121244(CCC)−种【答案】AC【解析】【分析】根据组合数性质判断A；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减

去物理和历史同时选的选法数，判断C；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A,若不选择政治，选法总数为3255CC=种,正确；对于B，若物理和化学选一门，选法总数为1224CC，若物理和化学都

选，则选法数有2124CC种，故物理和化学至少选一门，选法总数12212424CCCC16+=种，而1225CC20=，B错误；对于C,若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有36C种选法，减去物理和历史同时选选法数14

C，故选法总数为3164CC−种，C正确；对于D,当物理和化学中只选物理时，有23C种选法；当物理和化学中只选化学时，有24C种选法；当物理和化学中都选时，有13C种选法，故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为221343C+C+C=12种，而121244CCC8−=

，D错误，故选：AC11.已知抛物线2:2Cypx=()0p的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AF=，则以下结论正确的是A.4p=B.=D

FFAC.2BDBF=D.4BF=【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：为的分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物

线C的准线m交x轴于点P，则PFp=，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60，//AEx轴，60EAF=，由抛物线的定义可知，AEAF=，则AEF为等边三角形，60EFPAEF==，则30P

EF=，228AFEFPFp====，得4p=，A选项正确；2AEEFPF==，又//PFAE，F为AD的中点，则DFFA=，B选项正确；60DAE=，30ADE=，22BDBMBF==（抛物线定义），C选项正确；2BDBF=，118333BFDFAF===，

D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知在边长为2的菱形ABCD，60BAD=，AC与BD相交于点O，将△ABD沿BD折起来，使顶点A至点M的位

置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A.BDCM⊥B.当CDMV为等边三角形时，223MBCDV−=C.当DMBC⊥时，二面角MBDC−−的大小为60°D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°【答案】ABD【解析】【分析】通过证明BD⊥平面MOC可判断A；当CDM

V为等边三角形时，MBCD−是棱长为2的四面体,根据体积公式可判断B；DMBC⊥时，MBCD−是棱长为2的四面体，求解二面角MBDC−−可判断C；先找出线面角，然后考虑其正弦值范围即可判断D．【详解】对于A，因为四边形ABCD是菱形，依题易知,BDMOBDOC⊥

⊥，因为,,MOOCOMOOC=平面MOC,所以BD⊥平面MOC.又MC平面MOC，所以BDCM⊥，故选项A正确.对于B,当CDMV为等边三角形时，MBCD−是棱长为2的四面体，2132322BCDS=

=△，BCD△的外接圆半径为32232233=，故四面体MBCD−的高为h=−=222326233,所以126223333MBCDV−==,故选项B正确.对于C,取BC的中

点H，连接DH,MH，由DCDB=知：BCDH⊥，又BCDM⊥,,,DHDMDDHDM=平面DMH，所以BC⊥平面DMH.因为HM平面DMH，则BCHM⊥，于是2CMBM==，故MBCD−是棱长为2的四面

体.设二面角MBDC−−的大小为，由选项B的解析可得263tan223131222323h===,故60，故选项C错误.对于D,设点M在平面BCD射影为Q，则∠MDQ是直线DM与平面BCD所成角，则sin2MQMQMDQMD

==，易知3MQMO=，所以当MQ最大时，3MQ=，此时sinMDQ最大为32，则直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°．选项D正确．故选:ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线l：()130

axy+−−=与直线m：()2130xay+−−=互相平行，则=a______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据两直线方程，判断斜率存在，由题意可得1121aa+=−−，解出a后，验证是否符合题意，可得答案.【详解】由题意可知直线l：()130axy+−−=的斜率为1a

+，因为直线l：()130axy+−−=与直线m：()2130xay+−−=互相平行，故直线m：()2130xay+−−=的斜率存在，且为1,21021aa−−−，则1121aa+=−−，解得0a=或12a=−，当0a=时，直线l：30xy−−=与直线m：30xy−−=重合，不合题意，当1

2a=−时，直线l：260xy−−=与直线m：230xy−−=互相平行，故答案为：12−14.已知()()()()52501252111xaaxaxax+=+++++++，则3a=______．【答案】10【解析】【分析】()()55211xx+=++，根据二项式定理即可求解.【

详解】()()55211xx+=++，其二项展开式的通项为()15C1,0,1,2,3,4,5rrrTxr+=+=，3a是展开式()31x+的系数，令3r=，可得335C10a==.故答案为:10.15.已知直

线l：20kxyk+−+=，则圆2242110xxyy−+−−=截直线l所得的弦长的取值范围是______．【答案】26,8【解析】【分析】求出直线l所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.【详解】直线l的

方程即()()120kxy++−=，故直线l恒过定点()1,2M−.圆的标准方程为()()222116xy−+−=，圆心为()2,1，半径为4，因为()()2212211016−−+−=，所以()1,2M−在圆内，直线l恒与圆相交.圆心()2,1到点()1,2M−距离为

()()22211210++−=，则圆截直线l所得的弦长的最小值为2161026−=，最大值为直径的长度248=.所以圆截直线l所得的弦长的取值范围是26,8.故答案为:26,8.16.Cassini卵形线是由

法国天文家Jean—DominiqueCassini（1625—1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点1S，2S的距离的乘积等于常数2b．b是正常数，设1S，2S的距离为2a，如果ab，就得到一个没有自交点的卵形线；如果ab=，就得到一个双纽线；如果ab，就得到两个卵形线．若

()10,2S−，()20,2S．动点P满足124PSPS=．则动点P的轨迹C的方程为______：若A和A是轨迹C与y轴交点中距离最远的两点，则APA面积的最大值为______．【答案】①.222228()()0xyx

y+−=+②.22【解析】【分析】由题意可得2ab==，即可确定曲线形状，结合124PSPS=，可求得曲线方程；由此可求出A和A的坐标，利用曲线的对称性，可考虑P在第一象限内情况，要求APA面积的最大值，需

求的P点横坐标的最大值，利用换元法结合二次函数的性质即得.的【详解】由题意可得，224,4,2abab====，故动点P的轨迹为双纽线，设(,)Pxy，因为124PSPS=，所以2222(2)(2)4xy

xy+++−=，即222228()()0xyxy+−=+，所以动点P的轨迹C的方程为222228()()0xyxy+−=+；令0x=，可得2408yy−=，解得0y=或22y=,所以不妨设(0,22),(0,2

2)AA−，由对称性，故可考虑P在第一象限的情况，因为42AA=为定值，所以APA面积最大时，即点P的横坐标最大，又222228()()0xyxy+−=+即2224488(2)0xyxyy++−+=，所以22

2441yxy=−−++，令21ty=+，则221yt=−因为2][0,2y，所以[1,3]t，故22()342)1(ftttt=−−+=−+−，当2t=时，()ft取得最大值1，即2x的最大值为1，则x的最大值为1，所以APAS的最大值为1421222=，

故APA面积的最大值为22.故答案为：222228()()0xyxy+−=+；22.【点睛】难点点睛：求出曲线的方程，可判断曲线形状，由此求APA的面积的最大值时，根据曲线的对称性，考虑点P在第一象限内，要利用方程，采用换元法，结合二次函数的性质求得点p的横

坐标的最大值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.已知向量()1,0,1a=−，()1,2,0b=−（1）求a与()ab−的夹角；（2）若2ab+与atb−垂直，求实数t的值．【答案】（1

）π4（2）1【解析】【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.小问1详解】()1,0,1a=−，()1,2,0b=−，()2,2,1ab−=−，2a=，4413ab−=++=，令a与()ab−

的夹角为，则2012cos223aabaab=→→→→→→−++==−，则a与()ab−的夹角为π4.【小问2详解】()21,2,2ab+=−−，()1,2,1atbtt−=−−，又2ab+与at

b−垂直，()()20abatb+−=，即()()1122120tt−−−+−+=，解得1t=.18.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：

只有第5项的二项式系数最大；【条件③：所有项的二项式系数的和为256．问题：在()2*312Nnxnx−展开式中，（1）求n的值与展开式中各项．．系数之和；（2）这个展开式中是否存在有理项．．．？若

存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．【答案】（1）选三个中的任意一个，8n=；展开式中各项系数之和为1．（2）存在，展开式中有理项分别为161256Tx=；941792Tx=−；27112Tx=．【解析】【分析】（1）利用二项展开式的性质列方程即可求得n的值

，利用赋值法即可求得展开式中各项．．系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式，由x的幂次为整数列方程即可求得展开式中有理项.【小问1详解】选①，第3项与第7项的二项式系数相等，则26CCnn=，所以268n=+=；令1x=，则23881=11121−=，则展开

式中各项系数之和为1．选②，只有第5项的二项式系数最大，所以42n=，解得8n=；令1x=，则23881=11121−=，则展开式中各项系数之和为1．选③，所有项的二项式系数的和为256，则2256n=，解得：8n=．令1x=，则23881=11121−

=，则展开式中各项系数之和为1．【小问2详解】二项式2831(2)xx−展开式的通项公式为：()()171682833188C212CrrrrrrrrTxxx−−−−+=−=−．依题意可知，当0r=，3，6时，二项展开的项都是有理项．所以：当0r=时，

161256Tx=；当3r=时，941792Tx=−；当6r=时，27112Tx=．所以展开式中有理项分别为161256Tx=；941792Tx=−；27112Tx=．19.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，E为1A

A的中点，11AADAAB=．（1）求证：1AC∥平面EBD；（2）求证：BD⊥平面11AACC.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作1AI⊥平面ABCD于点I，作1AGAB⊥于点G，1A

KAD⊥于点K，连接,KlGl，需证明I在AC上，再证明1AIBD⊥，结合BDAC⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.【小问1详解】证明：如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，连接AC，交BD于O点，则O为AC的中点，连接EO，因为E为1AA的中点，故1E

OAC∥,因为EO平面EBD，1AC平面EBD，故1AC∥平面EBD；【小问2详解】证明：作1AI⊥平面ABCD于点I，作1AGAB⊥于点G，1AKAD⊥于点K，连接,KlGl，因为11AADAAB=

，11AAAA=,故1RtAGA≌1RtAKA△,所以11AGAK=,∵1AI⊥平面ABCD，,GIKI平面ABCD，∴11,AIKIAIGI⊥⊥,故1RtAIG≌1RtAIK,故GIKI=,又1AI⊥平面

ABCD，AB平面ABCD,故1AIAB⊥,又1AGAB⊥，11111,,AGAIAAGAI=平面1AGI,故AB⊥平面1AGI，GI平面1AGI，故ABGI⊥,同理可证ADKI⊥,结合GIKI=，可知I

在BAD的平分线上，即I在AC上，则1AI平面11AACC，而1AI⊥平面ABCD，BD平面ABCD,故1AIBD⊥,又底面ABCD是菱形，则BDAC⊥,11,,ACAIIACAI=平面11AACC，故BD⊥平面11AACC.20.已知圆C与圆M：()()2231

4xy−++=相外切，且圆心C与点()1,2P−关于直线l：250xy−+=对称．（1）求圆C的标准方程；（2）求经过点()2,4Q−圆C的切线的方程．【答案】（1）()()22129xy++−=（2）34100xy++=或2x=【解析】【分析】

（1）得到点()1,2P−在直线250xy−+=上，从而得到()1,2P−关于直线250xy−+=的对称点是其本身，确定圆心坐标，由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程；（2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程.【小问1详解】因为1225

0−−+=，故点()1,2P−在直线250xy−+=上，故点()1,2P−关于直线250xy−+=的对称点是其本身，故圆心坐标为()1,2C−，因为圆C与圆M：()()22314xy−++=相外切，设圆C的半径为r，所以()()2213212r−−++=+，解得：

3r=，故圆C的标准方程为()()22129xy++−=；【小问2详解】当切线斜率不存在时，即2x=，此时圆心()1,2C−到2x=的距离为3，等于半径，故满足相切关系，当切线斜率存在时，设为()42ykx+=−，则圆心()1,2C−到直线()42ykx+=−的距离224331kk++=+，解得：

34k=−，故切线方程为()3424yx+=−−，即34100xy++=，所以切线方程为34100xy++=或2x=.21.如图所示，在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADCD⊥，BCCD⊥，222ADCDBCa===(a为大于零的常数)，

PAD为等腰直角三角形，PAPD=，E为AD的中点，//PQBE，（1）求PQ的长，使得DQEC⊥；（2）在（1）的条件下，求二面角BAQD−−的大小.【答案】（1）a；（2）60.【解析】【分析】直线EA，EB，EP分别为x，y，z轴

建立空间直角坐标系Exyz−，（1）通过向量的数量积，转化求解PQ；（2）求出平面ABQ的法向量，平面ADQ的法向量，利用空间向量的数量积，求二面角BAQD−−的平面角的大小即可.【详解】平面PAD⊥平面ABCD，PAD为等腰直角三角形，PAPD=，E为AD的中点，PEAD⊥∴,PEBE⊥，由已知

可得//DCBE，ADCD⊥，BEAD⊥，令EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Exyz−，如图所示，则(),0,0Aa，(),0,0−Da，()0,,0Ba，(),,0Caa−，()0,0,Pa，由题可设()0,,Qta，（1）(),,DQata=，(),,

0ECaa=−，DQEC⊥，0DQEC=，即20aat−+=，ta=，于是()0,,Qaa，四边形PQBE为矩形，故PQa=.（2）设点F为AB中点，连结EF，QB⊥平面ABCD，QBEF⊥，而AEB△为等腰直角三角形，EFAB

⊥，EF⊥平面ABQ，EF为平面ABQ的一个法向量，而,,022aaEF=.设(),,nxyz=为平面ADQ的一个法向量，而()2,0,0DAa=，(),,DQaaa=，又00nDAnDQ==，200ax

axayaz=++=，即00xyz=+=，令1z=−，则1y=，0x=，()0,1,1n=−设二面角BAQD−−的平面角为，则212cos222anEFnEFa===二面角BAQD−−的平面角为60=.【点睛】本题的核心在考

查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,mn分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,mn互补或相等.求解时一定要注意

结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为2F，离心率为22，过2F的直线1l与椭圆C交于M，N两点，且当原点O到直线1l的距离最大时，222MF=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点O且垂直于直线1l的直线2l与椭圆C相交

于P，Q两点，记四边形PMQN的面积为S，求3SPQ的取值范围．【答案】（1）2212xy+=（2）22,164【解析】【分析】（1）由原点O到直线1l的距离最大时222MF=得a，b间的关系，由离心率公式得a，c间

的关系，再结合a，b，c间的关系求出a，b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）分直线1l的斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况讨论，前两种情况可直接求出3SPQ的值，第三种情况，先设直线方程，并联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系及弦长公式求

出MN，再根据OPMN⊥及两点间的距离公式求出2OP，进而求出3SPQ的表达式，利用函数的性质即可求解．【小问1详解】直线MN过定点2F，故当直线MNx⊥轴时，原点O到直线MN的距离最大，且最大值为2OF，将xc=代入椭圆方程得2bya=

，所以2222bMFa==①．因为椭圆的离心率为22，所以22ca=②．由①②及222abc=+，得2a=，1b=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=；【小问2详解】由（1）知，2F的坐标为()1,0．①当直线1l的斜率不存在时，2MN=，22PQ=，则2

S=，3216SPQ=．②当直线1l的斜率为0时，22MN=，2PQ=，则22S=，342SPQ=．③当直线1l的斜率存在且不为0时，设直线1l的方程为()()10ykxk=−，联立得()22112ykxxy=−+=，得()2222214220kx

kxk+−+−=，设()11,Mxy，()22,Nxy，则2122421kxxk+=+，21222221kxxk−=+，()()222222212122222214221414212121kkkMNkxxx

xkkkk+−=++−=+−=+++．设()00,Pxy，则001yxk=−，即00xky=−，代入椭圆方程得()202012kyy−+=，所以20222yk=+，则220222kxk=+，所以()2222002212kOPxyk

+=+=+．由对称性知2PQOP=，又12SMNPQ=，所以33221822MNPQMNMNSPQPQPQOP===．而()()()()()22222222222212322122322212221212212212kkkMNkkkkk

OPk+++++====++++++，又2211k+，所以2MNOP的取值范围是2,222，故3SPQ的取值范围是22,164．综上所述，3SPQ的取值范围是22,164．【

点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题常见解法，（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标

函数，再求这个函数的最值或范围．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com