【文档说明】黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学2022-2023学年高二上学期第二次月考 数学 答案.docx，共(17)页，1.062 MB，由envi的店铺上传

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2022-2023上学期阿城一中高二学年第二次月考数学试卷考试时间：120分钟满分150分一、单选题（每题5分，8小题，合计40分）1.已知数列na的通项公式为()1112nna−+−=，*Nn，则该数列的前4项依次为（）A.1，0，1，0B.0，1，0，1C.0，2，0，2D.

2，0，2，0【答案】A【解析】【分析】根据数列na的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，1234111111111,0,1,02222aaaa+−+−========.故选：A2.直线1l，2l的斜率1k，2k是关于k的方程2230kkb−−=的两根，若12ll⊥，则b=

（）A.1−B.1C.2D.2−【答案】C【解析】【分析】利用根与系数的关系和两直线垂直列方程，即可求得.【详解】因为1k，2k是关于k的方程2230kkb−−=的两根，所以122kkb=−.又12ll⊥，所以121kk=−，所以12b−=−，解得：b=2

.故选：C3.若圆2220xyxF+−+=和圆22240xyxEy+++−=的公共弦所在的直线方程是10xy−+=，则（）.A.4E=−，8F=B.4E=，8F=−C.4E=−，8F=−D.4E=，8F=

【答案】C【解析】【分析】两圆相减后的方程就是两圆公共弦所在直线的方程，然后再比较系数求,EF的值.【详解】222220240xyxFxyxEy+−+=+++−=①②−②①可得440xEyF+−−=，即4044EFxy++−=，由两圆的公共弦所在的直线方程为10xy−+=，得144

14EF=−+−=，解得48EF=−=−.故选：C【点睛】本题考查根据两圆方程求公共弦所在直线方程，重点考查计算能力，属于基础题型.4.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界

上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A.83B.23C.43D.4【答案】C【解析】分析】由图形可得椭圆的,ab值，由222abc=+求得2c的值

即可得到答案.【详解】因为椭圆的28,24ab==，所以4,2ab==，因为222abc=+，所以21223cc==，则243c=.故选：C【点睛】本题考查椭圆的焦距，考查对椭圆方程的理解，属于基础题，求解时注意求的是焦距，而不是半焦距.【5.已知在一个二面角的棱上有两个点A

、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，5AB=，3AC=，4BD=，52CD=，则这个二面角的度数为（）A.30B.45C.90D.150【答案】C【解析】【分析】设这个二面角的度数为，由题意得CDCAABBD=++，从

而得到cos，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为，由题意得CDCAABBD=++，22222||||cos()CDCAABBDCABD=+++−，2(5)92516234cos2=++−，解得cos0=，∴90=，∴这个二面角的度数为9

0，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.6.在各项均为正数的等比数列{}na中，13a=，9234aaaa=，则公比q的值为（）A.2B.3C.2D.3【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质和通项公式将已知等式的两边

都用首项和公比表达，由首项不为零，得到关于q的方程，求得q的值，并结合各项都是正数，取q的正值即为所求.【详解】由9234aaaa=得393aa=，得83611aqaq=，则2219qa==，3q=，又∵{}na的各项均为正数，∴3q=，故选：D.【点睛】本题

考查等比数列的通项公式和性质，难度较易，关键是利用等比数列的性质和通项公式将已知等式的两边都表示为首项和公比的表达式，并注意等比数列个项都是正值的条件.7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题

：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.150尺C.90尺D.180尺【答案】C【解析】【详解】已知等差数列

13030305,1,(15)90,2naaaS===+=，选C.8.以意大利数学家莱昂纳多•斐波那契命名的数列na满足：121aa==，21nnnaaa++=+，设其前n项和为nS，则100S=（）A.1011a+B.

1021a−C.1031a−D.1041a+【答案】B【解析】【分析】根据递推关系式21nnnaaa++=+求得正确答案.【详解】121aa==，21nnnaaa++=+，1001234100Saaaaa=+++++212341001aaaaaa=+++++

+−32341001aaaaa=+++++−4341001aaaa=++++−5451001aaaa=++++−……10110010211aaa=+−=−.故选：B二、多选题（每题5分，4小题，合计20分）9.已知直线l的一个方向向量为(),1,3am=r，平面的一个法向量为(

)2,,1bn=−r，则（）A.若//l，则23mn−=B.若l⊥，则23mn−=C.若//l，则20mn+=D.若l⊥，则20mn+=【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.【详解】若//l，则ab⊥

，即有0ab=，即230mn−++=，即有23mn−=，故A正确，C错误；若l⊥，则//ab，即有ba=，可得2,,13mn−===，解得11,6,33mn==−=，则2220mn+=−+=，故B错误，D正确．故选：AD10.关于双曲线24x-216y=1，下

列说法正确的有（）A.实轴长为4B.焦点为（23，0）C.右焦点到一条渐近线的距离为4D.离心率为5【答案】AC【解析】【分析】求得,,abc，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意2,4,41625abc===+=，所以实轴长24a=，A选项正确.焦点()2

5,0，B选项错误.右焦点()25,0到渐近线20xy−=距离为4545=，C选项正确.离心率2552ca==，D选项错误.故选：AC11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2

021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列为的na，其前n项和为nS，则下面对该数列描述正确的是（）A.11a=B.333S=C.437aa−=D.共有202项【答案】AB【解析】【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式

进行逐一判断即可.【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31，L2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列，所以109nan=−，所以11a=，因此选项A正确；31313210332S=

+=，因此选项B正确；4310aa−=，所以选项C不正确；1092021n−，∴203n．∴共有203项，所以选项D不正确，故选：AB12.已知抛物线24xy=的焦点为F，()04,My在抛物线上，延长MF交抛物线于点N

，抛物线准线与y轴交于点Q，则下列叙述正确的是（）A.6MF=B.点N的坐标为11,4−C.94QMQN=D.在x轴上存在点R，使得MRF为钝角【答案】BC【解析】【分析】由抛物线方程可

得焦点坐标和准线方程，将M代入抛物线方程可求得M坐标，由抛物线焦半径公式可知A错误；将直线MF方程与抛物线方程联立可求得N点坐标，知B正确；利用向量数量积的坐标运算可知C正确；设(),0Rt，由向量数量积坐标运算可求得()220RFRMt=−，知D错误.【详解】由抛物线方程知：焦点()0,

1F，准线为1y=−；对于A，()04,My在抛物线24xy=上，04y=，015MFy=+=，A错误；对于B，413404MFk−==−，直线3:14MFyx=+，由23144yxxy=+=得：114xy=−=或44xy==，又()4,4M，11,4N

−，B正确；对于C，()0,1Q−，()4,5QM=，51,4QN=−，259444QMQN=−+=，C正确；对于D，设(),0Rt，则(),1RFt=−，()4,4RMt=−，()()22444420RFRMttttt=−−

+=−+=−，MRF不能为钝角，D错误.故选：BC.三、填空题（每题5分，4小题，合计20分）13.直线n经过点()1,1A，()221,2Bmm+−，且倾斜角为135°，则实数m为______．【答案】1m=或32m=−【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的对应

关系求得正确答案.【详解】依题意221tan135211mm−−=+−，所以2312mm−=−，2230mm+−=，解得1m=或32m=−.故答案为：1m=或32m=−14.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，…

…经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”．

根据规律，新数列的第8项为______．【答案】19.6##985【解析】【分析】分析原数列、新数列规律，从而求得正确答案.【详解】原数列，从第3项起，每一项是前一项的两倍，所以其第8项为962192=，新数列，是将原数列的对应的项：先加4，然后除以10所得，所以，新数列的第8项为(

)19241019.6+=.故答案为：19.615.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知na是“和差等比数列”，12a=，23a=，则使得不等式10na的n的最小值是______．【答案

】5【解析】【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得345,,aaa的值，从而求得正确答案.【详解】依题意，2121551aaaa+==−，323323353aaaaaa++==−−，解得392a=，的44343492592aaaaaa++

==−−，解得4548a=，5545455485548aaaaaa++==−−，解得53241032a=，所以使得不等式10na的n的最小值是5.故答案：516.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第

一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AF=，则以下结论①4p=，②DFFA=，③2BDBF=，④4BF=，正确的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】写出直线l的方程并与抛物线方程联立，求得,ABxx，由此

对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线AB的方程为32pyx=−，由2322pyxypx=−=消去y并化简得22333530422ppxpxpxx−+=−−=，解得32

3AApxyp==，633BBpxyp==−.由于282ApAFxp=+==，所以4p=，①正确.抛物线方程为28yx=，准线方程为2x=−，焦点坐标为()2,0F，直线l的方程为()32yx=

−，()2436,43,,33AB−，()223243DDxxyxy=−=−=−=−，则()2,43D−−，为所以()()4,43,4,43,DFFADFFA===，②

正确.8836464316,3393BDBD+==−−==，2162222233BpBFx=+=+=，所以2BDBF=，所以③正确.1618323BF==

，所以④错误.故答案为：①②③四、解答题（17题10分，18至22每题12分，合计70分）17.求解下列问题：（1）已知等差数列na中，156a=，16d=−，5nS=−，求n及na；（2）已知数列na的前n项和为nS，且213nnSa+=，求证：na

为等比数列．【答案】（1）315,2nna==−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式以及前n项和公式求得正确答案.（2）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−证得na为等比数列.【小问1详解】(

)()2211151101152626121212nnnnnnnnnSnadnn−−−−=+=+−=−==−，()()211601540nnnn−−=−+=，解得15n=，负根舍去.所以1515131414662naaa

d==+=−=−.【小问2详解】213nnSa+=，当1n=时，111213,1aaa+==，当2n时，213nnSa+=，11213nnSa−−+=，两式相减得()11233,32nnnnnaaaaan−−=−=，所以数列na是首项11a=，公比为3的等比数列.

18.已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线2241xy−=的右顶点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线:2lyx=−与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．【

答案】（1）22yx=（2）是定值，1−【解析】【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线

的斜率公式即可求解.【小问1详解】双曲线2241xy−=化为标准形式：22114xy−=，211,42aa==，右顶点A1,02,设抛物线的方程为22ypx=，焦点坐标为,02pF,由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以1p=

,所以抛物线C的方程22yx=；【小问2详解】联立222yxyx==−，整理得2240yy−−=,设()()1122,,,AxyBxy,则12124,2,yyyy=−+=,()()()121212121121224122242442OAOByyyyyy

kkxxyyyyyy−===+++++++==−−,19.已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线:24lxy+=上.（1）求半径最小时的圆C的方程；（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点.【答案】（1）228416()()555xy−+−=；（2）

证明见解析.【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；（2）设定点坐标0(x，0)y，表示出圆的方程，当a为变量时，0x，0y能使该等式恒成立，即00420y

x−=且2200080xyy+−=，解方程组可得定点坐标．【详解】（1）因为圆心C在直线:24lxy+=上，所以设圆心的坐标为(,42)aa−.又因为动圆C经过坐标原点O，所以动圆的半径28165()55ra=−+，所以半径r的最小值为455.并且此时圆的方程为：228416()()

555xy−+−=.（2）设定点坐标0(x，0)y，因为圆的方程为：2222()[(42)](42)xayaaa−+−−=+−所以22000022(42)0xaxyay−+−−=，即2200000(42)(8)0ayx

xyy−++−=，因为当a为变量时，0x，0y却能使该等式恒成立，所以只可能00420yx−=且2200080xyy+−=即解方程组可得：085y=，0165x=或者00y=，00x=（舍去）所以圆C恒过一定点16(5，8)5.20.已知n

S为数列na的前n项和，且1nnaad+=+（n+N，d为常数），若312S=，353525100aaaa+−−=．求：（1）数列na的通项公式；（2）nS的最值．【答案】（1）2nan=+或28nan=−+（2）答案见解析【解析

】【分析】（1）利用32312Sa==可求得24a=；利用()()3535352510520aaaaaa+−−=−+=可求得3a或5a；利用23,aa或25,aa可求得公差d，进而得到等差数列通项公式；（2）利用等差数列求和公式表示出nS，由二次函数的性质可求得最值.【小问1详解】(

)133233122aaSa+===，24a=；()()3535352510520aaaaaa+−−=−+=，35a=或52a=−；当2345aa==时，321daa=−=，()()22422naandnn=+−=+−=+；当2542aa==−时，5223aad−==−，

()()2242228naandnn=+−=−−=−+；综上所述：2nan=+或28nan=−+.【小问2详解】当2nan=+时，13a=，则()2232151525222228nnnSnnn++==+=+−，()1min3nSS==；nS无最大值；当28nan=−

+时，16a=，则()226287497224nnnSnnn−+==−+=−−+；则当3n=或4n=时，nS取得最大值12，无最小值.21.在三棱柱111ABCABC-中，11BC⊥平面11AACC，D为1AA的中点，ACD

是边长为1的等边三角形.（1）证明：1ACAB⊥；（2）若3BC=，求二面角11BCDB−−的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由已知易得1ACCA⊥，ACBC⊥，然后利用线面垂直判定定理证得AC⊥面1BCA，进而证得结论；（2）建

立空间直角坐标系，写出个点的坐标，进而求得有关向量坐标，求得二面角两个平面的法向量，进而求解.【详解】解：（1）连接1CA，∵ACD是边长为1的等边三角形，且D为1AA的中点，∴112CDAA=，∴1ACCA⊥∵11BC⊥面11AACC，∴BC⊥面11AA

CC，又AC面11AACC，∴ACBC⊥，∵1CABCC=，AC⊥面1BCA，又1AB面1BCA，∴1ACAB⊥.（2）以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C，()0,0,3B，()11,3,0C−，13,,0

22D，()11,3,3BC=−−，133,,022CD=−.分设平面1BDC的法向量为(),,mxyz=，则330,22330.xyxyz−=−+−=∴可取()3,3,2m=，同理可求得平面11BCD的一个法向量为()1

,3,0n=.3333cos,422mnmnmn+===，且二面角11BCDB−−为锐角，∴二面角11BCDB−−的大小为30.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查二面角问题，建立空间坐标系是求解二面角问题的有效方法.22.已知

椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别为()13,0F−，()23,0F，且椭圆C上的点M满足127MF=，12150MFF=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆C的上顶点，点,QR

在椭圆C上，若直线PQ，PR的斜率分别为12,kk，满足1234kk=，求PRQ面积的最大值．【答案】（1）2214xy+=；（2）32．【解析】【分析】（1）由122MFMFa+=，结合22221121121=2cosMFMFFFMFFFMFF+−

可得解；（2）设()()1122,,,QxyRxy，直线:QRykxm=+，将直线与椭圆联立，用坐标表示()()12121212121111kxmkxmyykkxxxx+−+−−−==，代入韦达定理可解得2m=−，借助韦达定理表示21221344332214PQRk

Sxxk−=−=+，用均值不等式即得解.【详解】（1）依题意得：3c=，12223FFc==．由椭圆定义知122MFMFa+=，又12=7MF，则22=27MFa−，在12MFF△中，12=150MFF，由余弦定理得：22221121121=

2cosMFMFFFMFFFMFF+−即()222222223223cos150777a−=+−，解得2a=又2221bac=−=故所求椭圆方程为2214xy+=（2）设()()1122,,,QxyRxy，直线:QRykxm=+联立方程组2214ykxmx

y=++=，得()222148440kxkmxm+++−=，()()()222222=644441416140kmmkkm−−+=+−，得2214km+，122814kmxxk−+=+，212244

14mxxk−=+，()()()()()22121212121212121211111134kxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+−+−+−++−−−====，由题意知1m，由122814

kmxxk−+=+，21224414mxxk−=+，代入化简得()()()()222418141310kmkmmkm+−+−+−+=，2m=−故直线QR过定点()0,2−，由0，解得234k，221222134436433221414PQRkkSxxkk−

−=−==++，令2430=−tk，则2663442PQRtSttt==++，当且仅当2t=，即72k=时等号成立，所以PRQ△面积的最大值为32．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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