【文档说明】北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，829.172 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3739428ce539536e714e6a12fd69d3db.html

以下为本文档部分文字说明：

石景山区2023—2024学年第二学期高二期末试卷数学本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1

已知集合{10}Mxx=+，{20}Nxx=−，则MN=（）A.{1}xx−B.{2}xxC.RD.{12}xx−【答案】D【解析】【分析】利用交集定义即可求解.【详解】因为{10}{1}Mxxxx=+=−，{20}{2}Nxxxx=−

=，所以12MNxx=−，故选：D.2.已知命题p：“2,10xRxx−+”，则p为（）A.2,10xRxx−+B.2,10−+xRxxC.2,10xRxx−+D.2,10xRxx−+【答案】C【解析】【分析】根据

命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p：“2,10xRxx−+”，的否定为：2,10xRxx−+．故选：C．3.已知等差数列59,10,20naaa==，则1a等于（）A.1−B.0C.2D.5.【答案

】B【解析】【分析】设出等差数列na的公差为d，建立等量关系求解即可.【详解】设等差数列na的公差为d，因为5910,20aa==，所以11410820adad+=+=，解得：52d=，10a=.故选：B.4.已知事件A，B相互独立，()0.8P

A=，()0.4PB=，则()PBA等于（）A.0.32B.0.4C.0.5D.0.8【答案】B【解析】【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以()()

()PABPAPB=，所以()()()0.80.40.40.8PABPBAPA===，故选：B.5.在数列{}na中，12a=−，111nnaa+=−（*Nn），则2024a的值为（）A.−2B.13C.12D.32【答案】D【解析】【分析】数列na中，由12a=−，111nnaa+=−

，计算2a，3a，4a，...，可得3nnaa+=，利用周期性计算得出.【详解】数列na中，由12a=−，111nnaa+=−，得211312aa=−=，同理可得313a=，42a=−，...，所以3nnaa

+=，则202467432232aaa+===.故选：D.6.函数()lnfxxax=+在点()1,1处的切线与直线12yx=−垂直，则a=（）A.1B.2C.1−D.2−【答案】A【解析】【分析】根据条件得到()yfx=在点()1,1处的切线斜率为2，进而通过()12f=及()1

f的值得到答案.【详解】由()lnfxxax=+知()1afxx=+，故()11=+fa.由于12yx=−的斜率为12−，故()yfx=在点()1,1处的切线斜率为2.所以()12f=，故12a+=，得1a=.故选：A.7

.已知函数()cosfxxx=+，则下列选项正确的是（）A.(2)(π)(e)fffB.(π)(e)(2)fffC.(e)(2)(π)fffD.(2)(e)(π)fff【答案】D【解析】【分析】利用导数判断出()fx的单调性可得答案.【

详解】()1sinfxx=−，当𝑥∈𝑅时，()1sin0fxx=−，所以()fx是单调递增函数，因为2eπ，所以()()()2eπfff.故选：D8.已知数列{}na是等比数列，其前n项和为nS，则“2nnSS+=”是“20nS=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分

条件.C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】在已知条件下，2nnSS+=，20nS=都与1q=−等价，由此即可得解.【详解】()2221110nnnnnnnSSSSaaaq+++++=−=+=+=，而10

na+，所以()()2122111011nnnnaSSqS+−−==−==−−，充分性成立；反过来若()21210111nnaqSqqq−===−−，若1q=，则一定有2120nSna=?，所以，1q=−，故212nnnnnSSaaS++

+=++=，必要性成立；也就是说，已知数列{}na是等比数列，则“2nnSS+=”是“20nS=”的充分必要条件.故选：C.9.若函数e,1(),1xxaxfxaxx+=−有且仅有两个零点，则实数

a的范围为（）A.(0,e)B.(,e)−C.10,eD.1,e−【答案】C【解析】【分析】即函数()fxa−图象与直线ya=−有且仅有两个交点，通过导数画出函数()fxa−图象，即可得答案.【详解】

()()0fxfxaa=−=−，则函数e,1(),1xxaxfxaxx+=−有且仅有两个零点等价于函数()fxa−图象与直线ya=−有且仅有两个交点.又()e,1,1xxxfxaxx−=−，则当1x时，()()1ex

fxax−=+，得()fxa−在(),1−−上单调递减，在()1,1−上单调递增，在1x=−处取得极小值1e−−.又1x时，()fxax−=−，据此可得()fxa−大致图象如下：则1100eeaa−−−.故选：C10.数列{}

na的通项公式为26nann=−（*Nn），前n项和为nS，给出下列三个结论：①存在正整数,()mnmn，使得mnSS=；②存在正整数,()mnmn，使得2mnmnaaaa+=；③记()121,2,3,nnTaaan==，则数列{}nT有最大项和最小项.其中正确结论的个数是（）A.3

B.2C.1D.0【答案】A【解析】【分析】由26nann=−，令0na=，求得60a=，得到65SS=，可判定①正确；由当2,4mn==时，可判定②正确；由当6n时，nT最小项，当5n=nT最大，可判定③正确.【详解】由题意，数列{𝑎𝑛}的通项公式为26nann=−

，令0na=，即260nann=−=，解得6n=或0n=（舍去），即60a=，所以65SS=，即存在正整数(),mnmn，使得mnSS=，所以①正确；由26nann=−，存在正整数2,4mn==，248,8,aa==使得2mnmnaaaa+=，所以②正确；由数列{𝑎𝑛}的通项公式

为26nann=−，可得1234565,8,9,8,5,0aaaaaa======，且当6n时，0na，所以()121,2,3,nnTaaan==，所以当6n时，数列nT有最小项0nT=，当5n=时，数列nT有最大项514400T=，所

以③正确.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数ln()1xfxx=+的定义域为_____________.【答案】(0,)+【解析】【分析】根据定义域求解方

法即可.【详解】要使函数ln()1xfxx=+有意义，则010xx+，解得0x，所以函数()fx的定义域为()0,+.故答案为：(0,)+.12.已知函数()yfx=的定义域为R，()fx

为其导函数，函数()yfx=的图象如图所示，且()21f−=，()31f=，则不等式()1fx的解集为________．【答案】()2,3−【解析】【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式.【详解】由导函数图象可知当0x时，()0fx，此时

函数单调递减；当0x时，()0fx，此时函数单调递增，因为()21f−=，()31f=，当23x−时，()1fx，即不等式()1fx的解集为()2,3−；故答案为：()2,3−的13.已知数列1na+是等比数列，且13a=，31a=，则5a=_____________

.【答案】0【解析】【分析】根据等比数列的定义得到53311111aaaa++=++，然后利用已知项的值即可得到结果.【详解】由1na+等比数列，知553342343211111111111111aaa

aaaaaaaaa++++++===++++++.所以()()()53553331111111111111101131aaaaaaaa+++=+−=+−=+−=+−=+++.故答案为：0.14.已知函数()b

fxax=的导函数为2()3fxx=，则ab+=__________，过点(1,1)且与曲线()yfx=相切的直线方程为_______________.【答案】①.4②.320,3410xyxy−−=−+=【解析】【分析】求出函数的导数，即可求解,ab，设切点，

求斜率，写切线方程，即可求解直线方程.【详解】()bfxax=的导数为12()()3bfxabxfxx−===，312abb=−=，解得13ab==，故4ab+=，即3()fxx=；设过点(1,1)且与曲线()y

fx=相切，切点为00(,)xy，且300()fxx=，故切线斜率为200()3fxx=，即切线方程为20003()yyxxx−=−，切线方程过点(1,1)，代入方程可得3200013(1)xxx−=−，解得

01x=或12−，当01x=时，直线方程为320xy−−=；当012x=−时，直线方程为3410xy−+=.故答案为：4，320,3410xyxy−−=−+=.15.已知aR，函数3()1fxxax=−+有两个极值点12,x

x，给出下列四个结论：①a可能是负数；是②120xx+=；③12()()fxfx+为定值；④若存在0xR，使得00(2)()1fxfx+−，则12a.其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③④【解析】【分析】对于①，分a是否大于0进行讨论；对

于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于a的不等式()()22000016128216128xxaxx−++++++有解，进一步等价于关于a的不等式()200

161282xxa−+++有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.【详解】对于①，2()3fxxa=−，因为函数3()1fxxax=−+有两个极值点12,xx，所以2()3fxxa=−有两个相异实根，这意味着0a，否则0a时，𝑓′(𝑥)≥0，即()fx单调递增，这与已知矛

盾，若0a，则当3ax−时，𝑓′(𝑥)>0，当33aax−时，()0fx，当3ax时，𝑓′(𝑥)>0，即在0a的条件下，()fx在,3a−−上单调递增，在,3

3aa−上单调递减，在,3a+上单调递增，所以()fx有两个极值点3a，故①错误；对于②，12,xx是方程()230,0xaa−=的两根，从而120xx+=，故②正确；

对于③，()()()()3312111111()()112fxfxfxfxxaxxax+=+−=−++−−−+=，故③正确；对于④，若存在0xR，使得()()()33200000000(2)()2211

612821fxfxxaxxaxxxa+−=+−++−−+=++−，即关于a的不等式()()22000016128216128xxaxx−++++++有解，而26129yxx=++没有最大值，故原命题等价于关于a的不等式()2

00161282xxa−+++有解，令()226127611yxxx=++=++,而函数()226127611yxxx=++=++的最小值为1，所以当且仅当21a，即12a满足题意，即若存在0xR，使得00(2)()1fxfx+−，则12a，故④正确.故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于a的不等式()200161282xxa−+++有解，由此即可顺利得解.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数2()(3)exfxx=−．（1）求函数()fx的极

值；（2）若对[1,2]x−都有()fxa恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值3(3)6ef−−=；极小值(1)2ef=−（2）2ea−【解析】【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解；（2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解.

【小问1详解】由2()(3)exfxx=−，得2()(23)exfxxx=+−.令()()223e0xfxxx−=+=得3x=−或1.当x变化时，()fx在各区间上的正负，以及()fx的单调性如下表所示：x(,3)−−3−(3,1)

−1(1,)+()fx＋0－0＋()fx↗极大↘极小↗所以当3x=−时()fx取极大值3(3)6ef−−=；当1x=时()fx取极小值(1)2ef=−.【小问2详解】由（1）可得函数()fx在)1,1−上单调递减，在(1,2上单调递增，则()fx在1,2−上的最小值为()12ef

=−.对[1,2]x−都有()fxa恒成立，所以2ea−.17.已知等差数列{}na的前n项和为nS，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，证明：数列{}nb的前n项和

12nT．条件①611a=，条件②525S=，条件③1816aa+=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）21nan=−，nN；（2）证明见解析.【解析】【分析】（

1）选①②或②③时，利用等差数列的通项公式与求和公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；选①③时，利用等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；（2）1111122121nnnbaann+==−−+，利用裂项

相消法即可证明.【小问1详解】（1）由于na是等差数列，设公差为d，当选①②时：615151151025aadSad=+==+=，解得112ad==，所以na的通项公式()11221nann=+−=−，nN．选①③时611815112716aadaaad=+=+=+=

，解得112ad==，所以na的通项公式()11221nann=+−=−，nN．选②③时51181510252716Sadaaad=+=+=+=，解得112ad==，所以na的通项公式()11221nann=+−=−，nN．【小问2详解】由（1）知

21nan=−，nN，所以()()111111212122121nnnbaannnn+===−−+−+，所以1111111111121323522121242nTnnn=−+−++−=−−++，因为nN，所以12nT.18.某植物园种植

一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于[15,25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a的值；（2）若从高度在[15,17)和[17,19)中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[15,17)内的株数为X，

求X的分布列及数学期望()EX；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[21,25]的概率.【答案】（1）0.125a=；（2）分布列见解析，65（3）12【解析】【分析】（1）依

题频率和为1可得答案；（2）求出X的取值及相应的概率可得答案；（3）根据独立重复概率公式可得答案.【小问1详解】依题意可得(0.050.0750.150.1)21a++++=，解得0.125a=；【小问2详解】由（1）可得高度在)1

5,17和)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在)15,17和)17,19的株数分别为2和3，所以X可取0，1，2，所以()3335C10C10PX===，()213235CC3231C105PX====，()

123235CC3132C1010PX====，所以X的分布列为：X012P11035310所以()1336012105105EX=++=；【小问3详解】从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在21,25为事件M，则()321231111C2222PM=+=

.19.已知函数()1exxfx+=.（1）求证：当()0,x+时，()2112fxx−+；（2）当0x时，若曲线()yfx=在曲线21yax=+的上方，求实数a的取值范围.【答案】（1

）证明见解析；（2）1,2−−.【解析】【分析】（1）构造()()()21102gxfxxx=+−，求导可得(e1)()exxxgx−=，分析()gx的符号可得()gx的单调性，从而可证明；（2）当12a−时，由（1）知()2

21112fxxax−++，满足题意.令()()22111exxhxfxaxax+=−−=−−，求导，分102a−与0a讨论即可求解.【小问1详解】令()()()221111102e2xxgxfxxxx+=+−=+−，(e1)()eexxx

xxgxx−=−+=.由0x得e10x−，于是()0gx，故函数()gx是()0,+上的增函数.所以当()0,x+时，()()00gxg=，即()2112fxx−+；小问2详解】当12a−时，由（1）知()221112fxxax−++，满足题意.

令()()22111exxhxfxaxax+=−−=−−，则()122eexxxhxaxxa=−−=−+.当102a−时，若10,ln2xa−，()0hx，则()

hx在10,ln2a−上是减函数.所以10,ln2xa−时，()()00hxh=，不合题意.当0a时，()0hx，则()hx在()0,+上是减函数，所以()()00hxh=，不合题意.综上所述，实数a的取值范围1,2−−

.20.若数列{}na对任意的*nN，均满足211nnnnaaaa+++−−，则称{}na为“速增数列”.（1）已知数列{}na是首项为1公比为3的等比数列，判断数列{}na是否为“速增数列”？说明理由；【（2）若数列{}nb为“速增数列”，且任意项

()*nbnZN，11b=，23b=，2024kb=，求正整数k的最大值.【答案】（1）数列{𝑎𝑛}是“速增数列”，理由见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据“速增数列”的定义判断即可；（2）根据数列{𝑏𝑛}为“速增数列”，得

()120242kkkb+=可得的答案【小问1详解】数列{𝑎𝑛}是“速增数列”，理由如下：由13nna−=，则1213323nnnnnaa+++−=−=，1113323nnnnnaa−−+−=−=

，因为12232333−=nnn，故211nnnnaaaa+++−−，所以数列{𝑎𝑛}是“速增数列”；【小问2详解】数列{𝑏𝑛}为“速增数列”，11b=，23b=，2024kb=，任

意项()*nbnZN，2k时，()()()1122112024kkkkkbbbbbbbb−−−==−+−++−+1321+−++++kk，即()12024,2kkk+Z，当63k=时，()120162kk+=，当64k=时，()120802kk+=，故正整

数k的最大值为63.【点睛】关键点点睛：根据“速增数列”的定义，紧紧围绕不等式211nnnnaaaa+++−−进行，当2k时，利用累加法的思想确定是解题的关键．