【文档说明】山东省济南大学城实验高级中学2021届高三下学期2月份模拟考试数学试题 含答案.docx，共(28)页，1.256 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2020-2021学年度济南大学城实验高级中学2月份模拟考试试卷考试范围：高考范围；考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8

小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合3AxNx=，260Bxxx=−−，则AB=（）A．23xx−B．03xxC．0,1,2D．1,22．已知复数134izi−=+（其中i为虚数单位），则

||z的值为（）A．1B．23C．2D．253．下列命题中错误的是（）A．命题“若xy=，则sinsinxy=”的逆否命题是真命题B．命题“0000,ln1xxx=−”的否定是“0000,ln1xxx−”C．若pq为真命题，则pq为真命题D．已知00x，则“00xxab”是“0

ab”的必要不充分条件4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A．90B．120C．210D．2165．已知向量()1,3a=−，3,3b=，若ab⊥，则3ab+与a的夹角

为（）A．π6B．π4C．π3D．2π36．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该

塔中间一层灯的盏数是（）A．24B．48C．12D．607．点M为抛物线214yx=上任意一点，点N为圆223204xyy+−+=上任意一点，若函数()()()log221afxxa=++的图象恒过定点P，则MPMN+的最小值为（）A．52B．114C．3D．1348．已知定义

在R上的函数()13yfx=+−是奇函数，当()1,x+时，()131fxxx+−−，则不等式()()3ln10fxx−+的解集为（）A．()1,+B．()()1,0,e−+C．()()0,1,e+D．()()1,01,−+二、多选题（本大题

共4个小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作

出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误．．的是（）A．销售额y与年份序号x呈正相关

关系B．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元C．销售额y与年份序号x线性相关不显著D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果10．已知函数()sin()

0,||2fxx=+在区间2,23−上至少存在两个不同的12,xx满足()()121fxfx=，且()fx在区间,312−上具有单调性，点,06

−和直线712x=分别为()fx图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（）A．()fx在区间,62上的单调性无法判断B．()fx图象的一个对称中心为59,06C．()fx在区间,44−上的最大值与最小值的和为12D．将()

fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6个单位得到()ygx=的图象，则()cosgxx=−11．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）

A．直线1DD与直线AF垂直B．直线1AG与平面AEF平行C．点C与点G到平面AEF的距离相等D．平面AEF截正方体所得的截面面积为9812．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A和3A表示

由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）A．()12PM=B．()1611PMA=C．事件M与事件1A不相互独立D．1A，2A，3A是两两互斥的事件第II卷（非选

择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角的终边经过点()2,1，()4cos5+=，且0,2，则si

n=______.14．甲､乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a，b满足：x，2ab+，y成等差数列，则1111ab+++的最小值为_____.1

5．定义函数()3612,1221,222xxfxxfx−−=，则函数()()9gxxfx=−在区间()*1,2Nnn内的所有的零点之和为_______.16．设12,FF是椭圆22221(0,0)xymnmn+=的两个

焦点，P为椭圆上任意一点，当12FPF取最大值时的余弦值为149−．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点A，使()220OAOFFA+=(O为坐标原点)，且12AFAF=，则的值为____．五、解答题17．在锐角ABC中，内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，且直线xA=为函数()23sin22sinfxxx=+图象的一条对称轴.（1）求A；（2）若4a=，求ABC面积的最大值.18．已知等比数列{}na的公比为q.（1）试问数列1{}nnaa++一定是等比数列吗？

说明你的理由；（2）在①3q=−，②4569aaa=，③12327aaa=这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答.问题：若，求{}na的通项公式及数列{(1)4}nnna−+的前n项和nS.注：如果选择多种情况解答，则按第一种情况计分.19．如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，底面

ABCD为矩形，1DD⊥平面ABCD，E，F分别是1BB，1DC的中点，1DA=，12DCDD==.（1）求证：//EF平面ABCD；（2）求直线1DC与平面EAD所成角的正弦值.20．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫

困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名

教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说

明理由；（3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有AB、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12pp、，假设12

1pp，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,qq，其中12,qq是12pp、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小

.21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab+=的长轴长为6，且经过点3(,3)2Q，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.（1）求椭圆的标准方程（2）若20OBOC+=，求线段PA的长（3

）试问：四边形ABCD的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由22．已知函数()()222xafxxexax=−−+，aR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1x时，不等式()()21202x

afxxexaxa+++−+恒成立，求a的取值范围．2020-2021学年度济南大学城实验高级中学2月份模拟考试参考答案1．C【分析】先求得集合,AB，由此求得两个集合的交集.【详解】由题意得30,1,2AxNx==，26023B

xxxxx=−−=−，故0,1,2AB=.故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算．易忽略集合M中x是自然数．2．D【分析】解法一:对z进行化简,然后计算z.解法二:利用复数模的性质,若12zzz=,则12zzz=【详解】解法一:()()()()1

341173434342525iiiziiii−−−===−−++−2217225255z=−+−=解法二:134izi−=+2222111123434534iizii−−+

====+++【点睛】本题考查复数模的求法,复数模的性质,属于简单题.3．C【分析】对于A，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C，根据复合命题的真假关系进行判断；对于D，利用必要不充分条件进行判断.【

详解】对于A，若x=y，则sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A正确；对于B，命题“0000,ln1xxx=−”的否定是“0000,ln1xxx−”，故B正确；对于C，若pq为真命题，则pq与至少有一个是真命题，故pq不一定为真命题，故C错误；对于

D，充分性：当044b2xa==−=，，时，显然0ab不成立，即充分性不具备；必要性：因为00x，0ab根据幂函数的单调性，显然00xxab，即必要性具备，故D正确.故选C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，

充要条件以及幂函数的性质，比较基础．4．C【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以

分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：3363120CA=种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：22236290CCA=种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台

阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是12090210+=.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5．B【分析】由ab⊥可得出的值，求出3ab+的坐标，根据向量夹角公式即可得结

果.【详解】∵()1,3a=−，3,3b=，ab⊥，设3ab+与a的夹角为，∴31303−+=，解得3=，∴()()313,312,4ab+=−++=，∴()()()2222321432cos232413abaaba+−+===++−+，由于0,

，可得4=，故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查向量夹角余弦值的求法，属于基础题.6．A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有7(12)38112a−=−，解得

3a=．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224=．选A．7．A【分析】计算()1,2P−，则1122MPMNMPMFPD++−−，计算得到答案.【详解】函数()()()log221afxxa=++的图象恒过定点()1,2−，故()1,2P−.214yx=，即24xy=，

焦点为()0,1F，准线为1y=−，223204xyy+−+=，即()22114xy+−=.111532222MPMNMPMFPD++−−=−=，当PMD共线时等号成立.故选：A.【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能

力.8．D【分析】本题首先可根据题意得出函数()fx的图像关于点()1,3中心对称且()13f=，然后根据基本不等式得出()0fx，则函数()fx在R上单调递增，最后将不等式()()3ln10fxx−+转化为()()30ln10fxx−+或()()3

0ln10fxx−+，通过计算即可得出结果.【详解】因为函数()13yfx=+−是定义在R上的奇函数，所以函数()fx的图像关于点()1,3中心对称，且()13f=，当()1,x+时，

10x−，则()()1113122120111xxxxxx+−=−+−−−=−−−，当且仅当2x=时取等号，故()1301fxxx+−−，函数()fx在()1,+上单调递增，因为函数()fx的图像关于点()1,3中心对称，所以函数()fx在R上单调递增，

不等式()()3ln10fxx−+可化为()()30ln10fxx−+或()()30ln10fxx−+，()()30ln10fxx−+，即10xx，解得1x，()()30ln10fxx−+，即110xx−

，解得10x−，故不等式的解集为()()1,01,−+，故选：D.【点睛】关键点点睛：若函数()()yfxaaR=+是偶函数，则函数()yfx=的图像关于直线xa=对称；若函数()()yfxbbR=+是奇函数，则函数()yfx=的图像关于点(),0b中心对称，考查通过基本不等

式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.9．BC【分析】采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可.【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确，不符合题意；

对于B，令10x=，由三次多项式函数得2684.54y=，所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B错误，符合题意；对于C，因为相关系数20.936r=，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，故C错误，符合题意；对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数20.9

99R=，而回归直线拟合的相关指数20.936R=，相关指数越大，拟合效果越好，故D正确，不符合题意.故选：BC.【点睛】本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，熟记概念，考查观察能力，属于基础题.10．BC【分析

】根据条件求出()sin23fxx=+，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得70,,6122xkk−+=+=+Z，即4132k=+，又()fx在区间2,23−上至少存在两

个最大值或最小值，且在区间,312−上具有单调性，所以5123122272326TT−−==−−==，所以121275

所以只有1k=时满足，此时2,3==，即()sin23fxx=+，因为62x，所以242333x+，所以()fx在区间,62上单调递减，故A错误；由5

922063+=，所以59,06为()fx图象的一个对称中心，故B正确；因为44x−剟，所以min52,()6364xfxf−+=−剟max1sin,()sin162122fxf=−

=−===，所以最大值与最小值之和为12，故C正确；将()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin3yx=+的图象，再向左平移6个单位，得到sinsincos632

yxxx=++=+=的图象，即()cosgxx=，故D错误.综上，BC正确故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.11．BD【分析】取1DD中点M，通过AM与1DD不垂直可判断选项A；取11BC中

点N，连接1AN，GN，通过平面1//AGN平面AEF可判断选项B；利用反证法可判断选项C；根据平面性质得出截面图形，计算出面积可判断选项D.【详解】对于A，取1DD中点M，则AM为AF在平面11AADD上的射影，AM与1DD不垂直，AF∴与1DD不垂直，故A错；对

于B，取11BC中点N，连接1AN，GN，在正方体1111ABCDABCD−中，1//,//ANAENGEF，1AN平面AEF，AE平面AEF，所以1//AN平面AEF，同理可证//NG平面AEF，1ANNGN=，所以平面1//AGN平面AEF，1AG平面1AGN

，所以1//AG平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故C错；对于D，在正

方体1111ABCDABCD−中，1//ADEF，把截面AEF补形为四边形1AEFD，由等腰梯形计算其面积98S=，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间中的位置关系的判断，考查平面的性质，属于中档题.12．BCD

【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A、2A和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的

事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，463535541()1011101110111102PM=++=，故A错误；对B，11146()61011(|)4()1110PMAPMAPA===，故B正确；对C，当1A发生时，6()11PM=，当1

A不发生时，5()11PM=，事件M与事件1A不相互独立，故C正确；对D，1A，2A，3A不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，

考查运算求解能力.13．2525【分析】根据角的终边经过点()2,1，求得sin,cos，确定的范围，再根据0,2的范围求得+的范围，再由()sinsin=+−求解.【详解】因为角的顶点为坐标

原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()2,1，所以5sin5=，25cos5=，又5152，所以22,6kkkZ+，因为0,2，所以222,3kkkZ++，因为()4cos5+=，所以()3sin5+=，所以()sinsi

n=+−，()()sincoscossin=+−+，3254525555525=−=.故答案为：2525【点睛】关键点点睛：一是活用定义，即会利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值；二是判断范

围，即会判断角的取值范围，注意估值法在解题中的应用；三是会“凑角”，即会根据所求角的特征与已知角的特征，合理“凑角”.14．23【分析】由中位数和平均数的定义求x和y，根据等差数列的定义，得到4ab+=，再利用“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解

】由茎叶图可知：0x=，4y=.∵正实数a，b满足：x，a，b，y成等差数列；∴4abxy+=+=；∴11111[(1)(1)]11611ababab+=++++++++11111122226

116113babaabab++++=+++=++++.当且仅当2a=，2b=时等号成立.故答案为：23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是“1”的妙用，将1111ab+++变形为11111[(1)(1)]11611ababab+=+++++++

+，最后利用基本不等式求最值.15．()3212n−【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后利用等比数列求和即可．【详解】当1≤x32时，f（x）＝12x﹣12，所以21()

12()122gxx=−−，此时当x32=时，g（x）max＝0；当32＜x≤2时，f（x）＝24﹣12x，所以2()12(1)3gxx=−−+＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．下面考虑2n﹣1<x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1

<x≤3•2n﹣2且n≥2时，由函数f（x）的定义知f（x）12=f（2x）112n−==f（12nx−），因为11322nx−，所以22243()(2)122nngxx−−=−−，此时当x＝3•2n﹣2时，g（x）max＝0；当3•2n﹣2<x≤2n时，同

理可知，12243()(2)32nngxx−−=−−+<0．由此可得2n﹣1<x≤2n且n≥2时，g（x）max＝0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间(2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为xn＝3•2n﹣2，因此，所

有这些零点成等比数列，所有零点的和为()3212n−．故答案为：()3212n−．【点睛】解决本题的关键是先求得1≤x≤2时，g（x）max，再利用伸缩且平移的特点考虑2n﹣1<x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况.16．5734或43【分析】（Ⅰ）利用基本不等式知点P位于短

轴端点时，12FPF的余弦值最大，计算得222449ba=，进而求出离心率22517cbeaa==−=；（Ⅱ）取2AF中点D，由已知得220ODFA=uuuruuur，可得2ODAF⊥，利用中位线性质可得12AFAF⊥，可得焦点12AFF

△为直角三角形，再由椭圆定义及勾股定理结合椭圆离心率，即可求出12,AFAFuuuruuur，进而求得【详解】设2,2ab分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）在12FPF△中，222212121212

42cos12PFPFcbFPFPFPFPFPF+−==−,2122122PFPFPFPFa+=，当且仅当12PFPFa==时，等号成立，即当点P位于短轴端点时，12FPF的余弦值最大，2221149ba−=−，即

222449ba=，则离心率2224511497cbeaa==−=−=（Ⅱ）取2AF中点D，由()220OAOFFA+=，即220ODFA=uuuruuur，可得2ODAF⊥，利用中位线性质可得12AFAF⊥，设1AFu=，2AFv=，则2224257uvcuvaac+=

+==解得8767uava==，或6787uava==，34=或43故答案为：57；34或43【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而

求出e；②构造,ac的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．17．（1）3A=；（2）43.【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数()fx的解析式进行化简、变形，然后再求出对称轴，确定A的值.（2）根据Aa，的值，再结

合余弦定理，找到bc，的关系式，再根据不等式确定bc的最大值，然后可根据1sin2ABCSbcA=求出面积的最大值.【详解】（1）()23sin22sin3sin2cos212sin216πxxxxxfx=+=−+

=−+，∴直线xA=为函数()fx图像的一条对称轴，∴262ππAkπ−=+(kZ)，即132πAkπ=+(kZ)，又02A，∴当0k=时，3A=.（2）∵3A=，4a=，∴由余弦定理得，2222162cos23πb

cbcbcbcbcbcbc=+−=+−−=，即16bc，当且仅当b=c=4时等号成立∴1113sinsin164322322ABCπbcAbcS===△，故ABC面积的最大值为43.【点睛】本题的关键点为：通过降幂公式和辅助角公式，将函数变形为()()sinωφfxAxB=+

+的形式，即可求出对称轴.三角形的面积公式111sin=sinsin222ABCbcAabCacBS==△18．（1）不一定，1q=−时，不是等比数列；（2）答案见解析．【分析】（1）1q=−时，10nnaa++=，从而确定数列是否为等比数列；（2）选①②，由4

569aaa=得39a=，求得1a后可得通项公式na，然后用分组求和法求得nS，对n分偶数和奇数分别求和化简．选②③，由4569aaa=得39a=，由12327aaa=得2a，然后求得1,qa后得通项公式na，然后用分组求和法求得nS，对n分偶数和奇数分别求和化简．选①③，由

12327aaa=得2a，从而得1a，从而可得na，然后用分组求和法求得nS，对n分偶数和奇数分别求和化简．【详解】（1）数列1{}nnaa++不一定是等比数列，理由如下：1q=−时，10nnaa++=，1{}nnaa++不是等比数列，1q

−时，1{}nnaa++是等比数列，故数列1{}nnaa++不一定是等比数列；（2）选①②，由4569aaa=，4536aaaa=得3669aaa=，39a=，∵3q=−，∴11a=，∴1(3)nna−=−，1(3)1234(1)41(3)nnnSn−−=−+−+−+−+−−，n为

偶数时，132nnnS=+−，n为奇数时，11(1)(1)1(3)322−=+−++−−=+nnnnSnn，选②③，由4569aaa=，4536aaaa=得3669aaa=，39a=，又3123227aaaa==，23a=，∴323aqa==，11a=，∴13−=nna，131234(1)413−

=−+−+−+−+−nnnSn，当n为偶数时，2232nnnS=−+，当n为奇数时，11(1)2(31)(5)2322nnnnSnn+=−++−=−++；选①③，由3123227aaaa==，得23a=，又3q=−，∴11a=−，∴1(3)nna−=−−，11

(3)1234(1)41(3)nnnSn−−−=−+−+−+−+−−，n为偶数时，132nnnS=−+，n为奇数时，13(1)(1)1(3)322nnnnSnn+=+−+−+−=−−，【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的

判断，考查求等比数列的通项公式和分组求和法求和．涉及到(1)n−，因此求和时按n的奇数和偶数分类讨论，偶数时正好相邻两项合并求和．数列求和的几种方法一定要掌握：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法．19．（1）证明见解析；（2

）1010.【分析】（1）取CD的中点G，连接FG，BG，证明四边形FGBE是平行四边形得出//EFBG即可证明；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1DC和平面EAD的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】解：（1）证明：取CD的中

点G，连接FG，BG.因为F是1DC的中点，所以1FG//CC，112FGCC=.因为E是1BB的中点，所以1//EBCC，112EBCC=.所以//FGEB，FGEB=.所以四边形FGBE是平行四边形.所以/

/EFBG.因为EF平面ABCD，BG平面ABCD，所以//EF平面ABCD.（2）因为底面ABCD为矩形，1DD⊥平面ABCD，所以DADC⊥，1DDDA⊥，1DDDC⊥.以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，1DD为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.因为1DA=，1

2DCDD==，所以()0,0,0D，()1,0,0A，()1,2,1E，()10,2,2C.所以()1,0,0DA=，()1,2,1DE=，()10,2,2DC=.设平面EAD的法向量为(),,nxyz=r，所以00nDAnDE==，即020xxyz=++=，令1

y=，则2z=−.所以()0,1,2n=−.所以1210cos,10225DCn−==−.所以直线1DC与平面EAD所成角的正弦值1010.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，

破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．（1）54125；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小.【分析】（1）在

每轮抽取中，甲被抽中的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132355PC=（2）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X表示先A后B完成任务所需人员数目，

求出的X期望，设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，求出的Y期望，从而得出结论.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525CC=，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为

213235455125PC==(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:()11222222332222222222555555370,100

CCCCCCCPCCCCCC==++=()11111122112323233241222222555555541,100CCCCCCCCCCPCCCCCC==++=()2112223233322222255555920,100CCCCCC

PCCCCC==++=因为()()()102PPP===，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人.（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小.设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则X12P1p()111pp−()()111212EX

ppp=+−=−设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，则X12P2p()221pp−()()()22212212,0()EYpppEYEXpp=+−=−=−−.故按照先A后B的顺序所需人数期望最小.【点睛】关

键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X表示先A后B完成任务所需人员数目，得出()()111212EXppp=+−=−，设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，则()()111212EXppp=

+−=−，相减得出大小，属于中档题.21．（1）22194xy+=；（2）241015；（3）是定值，6.【分析】（1）已知得3a=，代入点的坐标求得b后得椭圆方程；（2）由向量运算求得C点坐标，写出直线AP方程，与椭圆方程

联立方程组求得P点坐标，可得线段长；（3）设直线PB方程为223ykxk=−.得2,0Dk，P点坐标，C点坐标，计算四边形ABDC的面积1||||2ADBC即得．【详解】（1）解：由题意得26a=，解得3a=.把点Q的坐标代入椭圆C的方程2

2221xyab+=，得229314ab+=由于3a=，解得2b=所以所求的椭圆的标准方程为22194xy+=.（2）解：因为20OBOC+=，则得1(0,1)2OCOB=−=，即(0,1)C，又因为(3,0)A−，所以直线AP的方程为1(3)3yx=+.由221(3)3194yxxy=+

+=解得30xy=−=(舍去)或27152415xy==，即得2724,1515P所以2227242410||(3)151515AP=−−+=即线段AP的长为241015（3）由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线2:23PBykxk

=−.令0y=，得2,0Dk，由222194ykxxy=−+=得()2249360kxkx+−=，解得0x=(舍去)或23649kxk=+所以2218849kyk−=+，即22236188,4949kkPkk−++于是直线AP的方程

为22218849(3)36314kkyxkk−+=+++，即2(32)(3)3(32)kyxk−=++令0x=，得2(32)32kyk−=+，即2(32)0,32kCk−+，所以四边形ABDC的面积等于1||||2ADBC122(32)13212326232232kkkkkk

k−+=++==++即四边形ABDC的面积为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：写出直线方程求出交点坐标，得出线段长度．对定

值问题，设出直线方程得出各交点坐标，计算出四边形面积即可得．22．（1）答案见解析；（2）()1,+．【分析】（1）求出函数()fx的导函数()fx，分0a，0ae，ae=，ae讨论即可得出函数()fx的单调性；（

2）分离参数，借助导数，判定函数的单调性，求函数最值即可.【详解】解：（1）因为()()222xafxxexax=−−+，aR．所以()()()()11xxfxxeaxaxea=−−+=−−．①当0a时，令

()0fx，得1x．()fx在(),1−上单调递减；令()0fx，得1x，()fx在()1,+上单调递增．②当0ae时，令()0fx，得ln1ax．()fx在()ln,1a

上单调递减；令()0fx，得lnxa或1x．()fx在(),lna−和()1,+上单调递增．③当ae=时，()0fx在xR时恒成立，()fx在R单调递增．④当ae时，令()0fx，得1lnxa．()f

x在()1,lna上单调递减；令()0fx，得lnxa或1x．()fx在(),1−和()ln,a+上单调递增．综上所述：当0a时，()fx在(),1−上单调递减，在()1,+上单调递增；当0ae时，()fx在()ln,1a上单调递

减，在(),lna−和()1,+上单调递增；当ae=时，()fx在R上单调递增；当ae时，()fx在()1,lna上单调递减，在(),1−和()ln,a+上单调递增．（2）不等式()()21202xafxxexaxa+++−+，等价于()()211

xxeax−−．(),1x−时，()211xxeax−−．设函数()()211xxehxx−=−，则()()()2231xxxehxx−=−．当()0,1x时，()0hx，此时()hx单调递减；当(),0x−时，()0hx，此时()hx单调递增．()(

)max01hxh==，1a．综上，a的取值范围为()1,+．【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求

函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.