【文档说明】北京市第十二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.153 MB，由小赞的店铺上传

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北京十二中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学2023.11命题人：陈立刚蒋海燕复核人：蒋海燕本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.第一部分选择题（

共60分）一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线21yx=−+的一个方向向量是（）A.()1,2-B.()2,1-C.()1,2D.()2,1【答案】A【解析】【分析】根据直线方向向量与斜率的关系可得.【详解】因为

21yx=−+的斜率为2−，所以直线的一个方向向量为()1,2-.故选：A2.以()1,2为圆心且过原点的圆的方程为A.()()22125xy−+−=B.()()22125xy+++=C.()()22125xy−+−=D.()()221

25xy+++=【答案】C【解析】【分析】设圆方程为()()22212xyr−+−=，代入点()0,0，计算得到答案.【详解】设圆方程为()()22212xyr−+−=，代入点()0,0得到5r=，即圆方程为()()22125xy−+−=.故选：C.【点睛】本题考查了圆的

标准方程，意在考查学生的计算能力.3.在正方体1111ABCDABCD−中，点E为上底面A1C1的中心，若1AEAAxAByAD=++，则x，y的值是A.12x=，12y=B.1x=，12y=C.12x=，1y=D.1x=，1y=【答案】A【解析

】【详解】试题分析：根据题意，结合正方体的性质，可知11111111122AEAAAEAAABAD=+=++11122AAABAD=++,所以有12x=，12y=，故选A．考点：空间向量的分解．4.如图在长方体1111-

ABCDABCD中，设11ADAA==，2AB=，则1BDAD等于（）A.1B.2C.3D.63【答案】A【解析】分析】利用向量加法化简1BDAD，结合向量数量积运算求得正确结果.【详解】由长方体的性质可知1,,//,1ADABADBBADBCADBC⊥⊥==，11BDBA

BCBB=++，所以()111BDADBABCBBADBAADBCADBBAD=++=++2001BC=++=.故选：A【5.“1a=”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++

=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110aaaa−+−=，解

得：0a=或1a=；10aa==或1a=，0a=或11aa==¿，“1a=”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的充分不必要条件.故选：A.6.下面结论正确的个数是（）①已知,,abc是不共面的三个向量，则,,cacac+−能构成空间的

一个基底；②任意向量(),,0abca满足abac=，则bc=；③已知向量()()1,1,,3,,9axbx==−，若a与b共线，则3x=−.A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】根据基底的定义可判定①，根据向量的数量积可判定②，根据空间向量共线的坐标

表示可判定③.【详解】因为()()1122cacac=+−−，所以,,cacac+−共面，即①错误；如,,abc是三个两两垂直的单位向量，显然满足abac=，但bc，即②错误；若a与b共线，则存在实数满足ba=，即313139xxx−==−=

=−=，即③正确.故选：C7.已知圆C的方程为22(3)(4)1xy−+−=，过直线:3450lxy+−=上任意一点作圆C的切线，则切线长的最小值为（）A.4B.15C.17D.5【答案】B【解析】【分析】利用点到直

线的距离结合直线与圆的位置关系转化问题计算即可.【详解】如图所示，直线上一点A作圆的两条切线ADAE、，过C作BCl⊥，则切线长为221ADAEAC==−，显然ACBC，当且仅当AB、重合时取得最小值，此时2220==4=3+4BCAC，所以切线长最小值为15.故选：

B8.已知()()2,3,3,2AB−−−，直线l过点()1,1P且与射线AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.4k−或15k−B.344k−C.145k−−D.4k−或15k−【答案】D【解析】【分析】求出直线,PAAB的斜率，

结合图象即可得解.【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点,,ABP，如图，()233114,21325PAABkk−−−−−==−==−−−−，因为直线l过点()1,1P且与射线AB相交，由图可知，所以直线l的斜率4k−或15k−.故选：D.

9.已知直线1l：10xmy−+=过定点A，直线2l：30mxym+−+=过定点B，1l与2l相交于点P，则22PAPB+=（）A.10B.12C.13D.20【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得直线1l过定点(1,0)A−，直线2l恒过定点(1,3)B−，结合1()10mm+−

=，得到PAPB⊥，利用勾股定理，即可求解.【详解】由直线1:10lxmy−+=过定点(1,0)A−，直线2:30lmxym+−+=可化为(1)30mxy−++=，令1030xy−=+=，解得1

,3xy==−，即直线2l恒过定点(1,3)B−，又由直线1:10lxmy−+=和2:30lmxym+−+=，满足1()10mm+−=，所以12ll⊥，所以PAPB⊥，所以22222(11)(03)13PAPBAB+==−−++=.故选：C.10.已知空间直

角坐标系Oxyz−中，()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2OAOBOP===，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为（）A.131,,243B.11,,122C.448,,

333D.333,,442【答案】C【解析】【分析】设(,,2)OQxOPxxx==，即(,,2)Qxxx，然后计算出QAQB，由二次函数性质得最小值，从而得出x值，即得Q点坐标．【详解】设(,,2)OQxOPxxx

==，即(,,2)Qxxx，(1,2,32)(2,1,22)QAQBxxxxxx=−−−−−−(1)(2)(2)(1)(32)(22)xxxxxx=−−+−−+−−2242616106()33xxx=−+=−−，43x=时，QAQB取得最小值23−，此时Q点坐标为44833()3,,

．故选：C．11.已知()()()1,0,4,0,0,3ABD，动点P满足2PBPA=，则2PDPB+的最小值是（）A.8B.10C.10D.210【答案】D【解析】【分析】由2PBPA=求出P点轨迹方程得其轨迹是圆，2222()PDPBPDPAPDPA+=+=+，由此求出PDPA+

的最小值即可得．【详解】设(,)Pxy，由2PBPA=得2222(4)2(1)xyxy−+=−+，化简得224xy+=，所以P点轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，2222()PDPBPDPAPDPA+=+=+，显然当P是线段AD与圆

的交点时，10PDPAAD+==为最小值．所以()22210PDPBPDPA+=+故选：D．12.在空间直角坐标系Oxyz−中，若有且只有一个平面，使点()2,2,2A到距离为1，且点的(),0,0B

m到的距离为4，则m的值为（）A.2B.1或3C.0或4D.217−或217+【答案】B【解析】【分析】分析可知，以点A为球心，半径为1的球面与以点B为球心，半径为4的球内切，可得出球心距等于两球半径之差的绝对值，结合空间中两点间的距离公式可求

得实数m的值.【详解】由题意可知，满足题意时，以点A为球心，半径为1的球面与以点B为球心，半径为4的球内切，所以，球心距等于两球半径之差的绝对值，即()222222413m−++=−=，解得1m=或3.故选：B.第二部分非选择题（共90分）二、填

空题.本题共6小题，每题5分，共30分.13.直线210xy−−=与210xy−+=之间的距离是________.【答案】255##255【解析】【分析】由平行线间的距离公式可求得结果.【详解】易知直线210xy−−=与210xy−+=平行，这两条直线间的距

离为()221125521d−−==+−.故答案：255.14.下面三条直线123:34:0:24lxylxylxmy+=−=−=，，不能构成三角形，请给出一个符合题意的m的值________.【答案】23−（或2或2−）【解析】【分析】根据13ll∥，23ll

∥或3l过1l和2l的交点求解即可.为【详解】当直线13ll∥时，32m−=，得23m=−；当直线23ll∥时，2m−=−，得2m=；解方程组340xyxy+=−=得直线1l和2l的交点为()1,1，当直线3

l过点()1,1时，24m−=，解得2m=−.综上，当23m=−或2m=或2m=−时，三条直线不能构成三角形.故答案为：23−（或2或2−）15.如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，1||||1=

==ABADAA，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．【答案】2【解析】【分析】利用11ACABADAA=++，即可求解．【详解】11ACABADAA=++，

22221111222ACABADAAABADABAAADAA=+++++111111211()211()211222=+++−+−+2=，12AC=，故答案为：2．【点睛】本题考查了空间向量的应用

，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16.已知空间向量()()()()1,2,4,1,4,2,0,4,,abcxx=−=−=R.（1）若ac⊥，则x=________；（2）若,,abc共面，则x=________.【答案】①.2−②.12−【解析】【分析】由ac⊥，可得0ac=，列

方程可求出x的值；由,,abc可知存在一对实数,mn，使cmanb=+，从而可求出x的值.【详解】（1）因为ac⊥，所以0ac=，即0840x++=，解得2x=−；（2）因为,,abc共面，所以存在一对实数,mn，使cmanb=+，所以(0,4,)(1,2,4)

(1,4,2)(,24,42)xmnmnmnmn=−+−=−+−+，所以024442mnmnmnx−+=−=+=，解得2212mnx=−=−=−.故答案为：2,12−−.17.已知空间中三点()1,0,0A、()2,1,1B−

、()0,1,2C−，那么点C到直线AB的距离为________.【答案】63##163【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出cosBAC的值，进而可求得sinBAC，由此可得出点C到直线AB的距离为sindACBAC=，即可得解.【详解】由已知可得()1,1,1AB=−，()1,

1,2AC=−−，11222coscos,336ABACBACABACABAC−−−====−，所以，22221sin1cos133BACBAC=−=−−=，因此，点C到直线AB的距离为16sin633

dACBAC===.故答案为：63.18.已知点()2,0P和圆22:36Oxy+=上两个不同的点,MN，满足90MPN=，Q是弦MN的中点，给出下列三个结论：①MP的最小值为4；②点Q的轨迹是一

个圆；③若点()5,3A，点()5,5B，则存在点Q，使得90AQB=.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】由点P和圆心O的距离求得圆上点到P点距离的最小值判断命题①，利用22

PQQMOMOQ==−求出Q点轨迹方程判断②，利用两圆位置关系判断③．【详解】M在圆O（半径为6）上，2OP=，min4MPROP=−=，当M是圆O与x轴正半轴交点时取得最小值，①正确；设(,)Qxy，由90MPN=，Q是弦MN的中点

，得22PQQMOMOQ==−，所以2222(2)36()xyxy−+=−+，化简得22(1)17xy−+=，所以Q点轨迹是圆，是以(1,0)H为圆心，17为半径的圆，②正确；若90AQB=，则Q在以AB为直径的圆上，该圆圆心

为(5,4)，半径为1，又22(51)442117−+=+，即以AB为直径的圆与②中Q点的轨迹圆相离，因此不存在Q点，使得90AQB=，③错，故答案为:①②.三、解答题.本题共5小题，共60分.19.已知ABC三边所在直线方程分别为:10,:30,:220ABxyBCxyCAxy++

=−+=+−=.（1）求点B坐标；（2）求与点B关于直线CA对称的点D的坐标；（3）求在平面ABC内，过点B且与直线CA无公共点的直线方程.【答案】（1）(2,1)B−（2）()6,5D（3）230xy++=【解析】【分析】（1）联立方程组1030xyxy++=−+=

，求解即可；（2）设(),Dmn，则1(2)122122022nmmn−−=−+−++−=，求解即可；（3）根据平行求得斜率，再利用点斜式方程即可求解.【小问1详解】联立方程组1030xyxy++=

−+=，解得21xy=−=，(2,1)B−【小问2详解】设(),Dmn，则BDCA⊥，且BD的中点在直线CA上，1(2)122122022nmmn−−=−+−++−=，解得65mn=

=.(6,5)D；【小问3详解】记过点B且与直线CA无公共点的直线为l，则//lCA，2lCAkk==−，所以直线l的方程为：()122yx−=−+，即230xy++=，过点B且与直线CA无公共点的直线方程为230xy++=.20.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直

的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体1111ABCDABCD−中，4,ABE=为1AA的中点，F为1DD的中点，13ANNB=.（1）证明：四棱锥11NEFCB−为阳马；（2）求点1B到平面NEF的距离.【答案】（1）证明见详解（

2）25【解析】【分析】（1）先证明四边形11EFCB为矩形，再证明EN⊥平面11EFCB即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面距离即可.【小问1详解】因为E为1AA的中点，F为1DD的中点，所以11111111////,==EFADBCEFADBC，所以

四边形11EFCB为平行四边形，又11BC⊥平面11CDDC，1FC平面11CDDC，所以111BCFC⊥，所以四边形11EFCB为矩形.因为1111111π,,222AEABANAEEANEAB====，所

以11EANBAE，所以11π2BEANEA+=，所以1BEEN⊥.又EF⊥平面11ABBA，NE11ABBA，所以EFNE^，又1BEEFE=，1,BEEF平面11EFCB，所以NE⊥平面11EFCB，所以四棱

锥11NEFCB−为阳马.【小问2详解】以D为原点，1,,DADCDD分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.则()()()()14,0,2,0,0,2,4,1,0,4,4,4EFNB，所以()()()14,0,0,0,1,2,0,4,2FEENEB

==−=，设平面NEF的法向量为(),,nxyz=，则4020FEnxENnyz===−=，取1z=得()0,2,1n=，所以点1B到平面NEF的距离110255EBndn===.21.已知点()0,2P−及圆22:64120Cxyxy+−+−=.（1）求圆心C的坐标

及半径r的大小；（2）设过点P的直线1l与圆C交于,MN两点，当8MN=时，求以线段MN为直径的圆1C的方程；（3）设直线30axy−+=与圆C交于,AB两点，是否存在实数a，使得过点()1,0Q的直线2l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）圆心

()3,2C−，半径=5r（2）()22216xy++=（3）不存在【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出答案；（2）根据由垂径定理求出圆心()3,2C−到直线1l的距离为d，可知P为MN的中点，求解即可；（3）首先根据直线与圆相交的条件得到2355+1ada+=，根据

垂直平分线的几何关系求出直线AB的斜率，进而求出参数a的值，通过a的值判断是否满足2355+1ada+=条件即可.【小问1详解】由22:64120Cxyxy+−+−=得()()223225xy−++=，所以圆心()3,2C−，半径=

5r；【小问2详解】设圆心()3,2C−到直线1l的距离为d，由垂径定理可得：22258d−=，解得：3d=，因为()3,2C−到点()0,2P−的距离为3，所以P为MN的中点，所以，以线段MN为直径的圆1C，即以()0,2P−为圆心，

半径为4的圆，所以圆1C的方程为：()22216xy++=.【小问3详解】由直线30axy−+=与圆C交于A，B两点，则圆心()3,2C−到直线的距离2355+1ada+=，假设符合条件的实数a存在，由于2l垂直平分弦AB，故圆心()3,2C−必在2l上.

因为直线2l过点()1,0Q，所以2l的斜率2131QCk−==−−，而11ABQCkak==−=，所以1a=，由于1a=不满足2355+1ada+=，故不存在实数a，使得过点()1,0Q的直线2l垂直平分

弦AB.22.如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面11ACCA是菱形，平面11ACCA⊥平面,,ABCEF分别是棱11,ACBC的中点，G是棱1CC上靠近点C的三等分点.（1）证明：//EF平面11ABBA；（2）从①三棱锥

1CABC−的体积为1；②直线1CC与底面ABC所成的角为60；③异面直线1BB与AE所成的角为30.这三个条件中选择一个作为已知.（ⅰ）判断点A是否在平面EFG内，并说明理由；（ⅱ）求平面1ACC与平面EFG夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）证明

见解析；（ⅱ）45353．【解析】【分析】（1）取AB中点H，证明1HFAE是平行四边形，所以1//EFAH，然后由线面平行的判定定理得证线面平等；（2）（ⅰ）利用异面直线的判定证明,,,AEFG四点不共面即可得；（ⅱ）选①，作1COAC⊥于点O，证明O是AC中点，选②，

选1COAC⊥于点O，证明O是AC中点，选③，取AC中点O，证明1COAC⊥，下面三个问题都是一样：建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】取AB中点H，连接1,HAHF，又F是BC中点，则1/

///FHACAE，又E是11AC中点，所以112HFACAE==，所以1HFAE是平行四边形，所以1//EFAH，1AH平面11ABBA，EF平面11ABBA，所以//EF平面11ABBA；【小问2详解】（ⅰ）选①②③都有：点A不在

平面EFG内，G平面11AACC，AE平面11AACC，F平面11AACC，GAE，所以FG与AE是异面直线，即,,,FAEG四点不共面，因此点A不在平面EFG内；（ⅱ）选①，作1COAC⊥于点O，因为平面11ACCA⊥

平面ABC，1CO平面11ACCA，所以1CO⊥平面ABC，23234ABCS==，111113133CABCABCVCOSCO−===△，13CO=，又12CCAC==，所以2212(3)12COCA=−==

，即O是AC中点，而ABC是等边三角形，连接OB，所以OBAC⊥，分别以1,,OBOCOC为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则(3,0,0)B，(0,1,0)C，31(,,0)22F，1(0,0,3)C，1(0,2,3)A

−，(0,1,3)E−，11113013)(0,,)3333CGCC==−=−(，，，所以3113313(,,0)(0,,)(,,)2233263FGFCCG=+=−+−=−，33(,,3)22EF=−，设平面EFG的一个法向量是(,,)mxyz=，则3330223130263mEF

xyzmFGxyz=+−==−++=，取3y=，得52,2xz==，5(2,3,)2m=，显然平面11ACCA的一个法向量是(1,0,0)n=，2453cos,53254314mnmnmn===++，所以平面1

ACC与平面EFG夹角的余弦值为45353；选②，因为平面11ACCA⊥平面ABC，所以1CC在平面ABC上的射影是AC，所以1CCA是1CC与平面ABC所成的角，即160CCA=，作1COAC⊥于点O，则11cos2cos601COCCCCA===，所以O是AC中点，以下

同选①选③，因为11//AABB，所以1AAE是异面直线1BB与AE所成角或其补角，所以130AAE=，由余弦定理2221112cos30AEAAAEAAAE=+−，即21423AEAE=+−，解得3AE=，所以2221

1AEAEAA+=，所以11AEAC⊥，取AC中点O，连接1,COOB，则由1CE与AO平等且相等得1AOCE平行四边形，1//COAE，所以是111COAC⊥，11//ACAC，所以1COAC⊥，以下同选①．23.记集合()()12,,,,1,2

,,2,nniRxxxxRinnn==N，对于()()1212,,,,,,,nnnnAaaaRBbbbR，定义：()1122,,,nnABbababa=−−−为由点,AB确定的广义向量，()1122nndA

Bbababa=−+−++−为广义向量的绝对长度，（1）已知()()441,2,1,0,1,2,2,1ARBR−，计算()dAB；（2）设,,nABCR，证明：()()()dABdBCdAC+；（3）对于给定,nABR，若()12,

,,nnPpppR满足()()()dAPdPBdAB+=且()1,2,,ipin=Z，则称P为nR中关于,AB的绝对共线整点，已知()()31,0,3,6,5,5ABR，①求3R中关于,AB的绝对共线整

点的个数；②若从3R中关于,AB的绝对共线整点中任取m个，其中必存在4个点()()()()()11213242123412,,,,,,,,,,,,xyzxyzxyzxyzxxxxyy，满足1234xxx

x+=+，求m的最小值.【答案】23.4；24.证明见详解；25.108；73.【解析】【分析】（1）由广义向量的绝对长度定义计算即可；（2）根据广义向量的绝对长度的定义，结合绝对值三角不等式即可证明；（

3）①根据绝对共线整点定义，由（2）结合条件列式可解；②先考虑z坐标都为3的点中至少取多少个元素满足条件，由此确定m的最小值.【小问1详解】因为()()441,2,1,0,1,2,2,1ARBR−,所以()112212014dAB=−+−+−−+−=,所以()4dAB=.【小问2详解】设(

)()()121212,,,,,,,,,,,nnnAxxxByyyBzzz，则()1122nndAByxyxyx=−+−+−，的()1122nndACzxzxzx=−+−+−，()1122nndBCzyzyzy=−+−+−.由绝对值三角不等式可得,1,2

,,iiiiiiiiiiyxzyyxzyzxin−+−−+−=−=，当且仅当()()0iiiiyxzy−−时等号成立.所以()()11221122nnnndABdBCyxyxyxzyzyzy+=−+−+

−+−+−+−11112222nnnnyxzyyxzyyxzy=−+−+−+−+−+−()1122nnzxzxzxdAC−+−+−=，所以()()()dABdBCdAC+.【小问3详

解】①设()123123,,,,,PttttttZ为3R中关于A，B的绝对共线整点，则()()()dAPdPBdAB+=，因为()()31,0,3,6,5,5ABR，所以()()()()()()112233160050350tttttt−−

−−−−，得1231,2,3,4,5,6,0,1,2,3,4,5,3,4,5ttt.所以3R中关于A，B的绝对共线整点的个数为663108=.②先考虑A，B的绝对共线整点

中z坐标都为3的点，取出x坐标分别为1,2,3,5，z坐标为3的点共有24个，因为1,2,3,5中任意两个数的和都不等于另外两个数之和，故不存在满足条件的四个点.若取x坐标分别为1,2,3,5，z坐标为3的24个点，加入x坐标为4，

z坐标为3的任意点()4,,3k，则存在0,1,2,3,4,5k，存在()()()()1,,3,4,,3,2,,3,3,,3,kkhhhk，满足要求；同理，加入x坐标为6，z坐标为3的任意点都存在满足要求的四个点.由此可证在z坐标为3的点中取24个点不一定满足要求，但取2

5个点则一定存在满足条件的四个点.故满足给定要求m的最小值为73.【点睛】“新定义”主要有即时定义新概念、新公式、新法则、新定理、新运算五种，然后根据此定义取解决问题.有时候还需要利用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解.