【文档说明】黑龙江省大兴安岭漠河县高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.540 MB，由小赞的店铺上传

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高一学年上学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合2560Axxx=−−，13Bxx=−，则AB=（）A.()1,4−B.(2,4−C.)1,4−D.)2,4−【答案】C【解析】【分析】解出集合A、B，利用交集的定义可得出集合AB.【详解】256

01,6Axxx=−−=−，()133132,4Bxxxx=−=−−=−，因此，)1,4AB=−.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式和绝对值不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.若函数

()2=logfxx，则下列函数中，与()fx的定义域和单调性都相同的为（）A.()1gxx=B.()gxx=C.()2gxx=D.()3xgxx=【答案】D【解析】【分析】分析函数()2=logfxx的定

义域和单调性，并分析各选项中函数的定义域和单调性，可得出结论.【详解】函数()2=logfxx的定义域为0xx，当0x时，()2logfxx=，此时该函数为增函数，当0x时，()()2logf

xx=−，此时该函数为减函数.对于A选项，函数()1gxx=的定义域为0xx，该函数在区间(),0−和()0,+上均为减函数；对于B选项，函数()gxx=的定义域为R，该函数在区间(,0−上为减函数，在区间)0,+上为增函数；对于C选项，函数()2gxx=的定

义域为R，该函数在区间(,0−上为减函数，在区间)0,+上为增函数；对于D选项，函数()32xgxxx==的定义域为0xx，该函数在区间(),0−上为减函数，在区间()0,+上为增函数.故选：D.【点睛】本题考查基本初等函数单调性和定

义域的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.3.已知tan3=，则sincossincos+=−（）A.3B.13C.2D.12【答案】C【解析】【分析】在分式的分子和分母中同时除以cos，代入tan计算即可.【详

解】sincossincostan131coscos2sincossincostan131coscos++++====−−−−.故选：C.【点睛】本题考查正余弦齐次分式的计算，一般利用弦化切的思想进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.已知在ABC

中，4A=，2a=，3b=，则B=（）A.3或23B.23C.3D.无解【答案】A【解析】【分析】由4A=，可得出304B，利用正弦定理求出sinB的值，即可得出B的值.【详解】4A=，304

B，由正弦定理sinsinbaBA=，得23sin32sin22bABa===，因此，3B=或23.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求角，一般在利用正弦定理求角时，若正弦值小于1，对应的角可能会有两个，考查计算能力，

属于基础题.5.已知20.2a=，2log0.9b=，0.12c=，则a、b、c的大小关系为（）A.abcB.cabC.acbD.cba【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性得出a、b、c与0和1的大小关系，即可得出这三个数的大小关系.【详解】指数

函数0.2xy=为增函数，则2000.20.21=，即01a；对数函数2logyx=在()0,+上为增函数，则22log0.9log10b==；指数函数2xy=为增函数，则0.10221c==.因此，cab.故选：B.【点睛】本题考查指数和对数大小关系的比较，一般

利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来得出大小关系，考查推理能力，属于中等题.6.函数()1sin24fxx=−的图象，可以由函数sinyx=的图象经过下列哪个变换过程得到（）A.

先向右平移8个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B.先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移4个单位C.先向右平移4个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍D.先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移8个单位【答案】C【解析】【分析】根据三

角函数图象的变换规律可得出合适的选项.【详解】将函数sinyx=的图象先向右平移4个单位，可得到函数sin4yx=−的图象，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得到函数()1sin24fxx=−的图象.故

选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查推理能力，属于基础题.7.已知角终边经过点()3,4−，则()3sincos25sincos22−+=++（）A.43B.43−C.34D.34−【答案】C【

解析】【分析】先利用三角函数的定义求出tan的值，然后利用诱导公式对所求分式化简，并在分式的分子和分母中同时除以cos，代入tan的值计算即可.【详解】由三角函数的定义可得4tan3=−，因此，()()()()3sincos

coscos1325cossintan4sincos22−+−−==−=−++.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用，同时也

考查了利用诱导公式和弦化切思想进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知函数()yfx=是定义在R上的奇函数，在区间()0,+上单调递减，且()10f=，则不等式()0xfx的解集为（）A.1xx−或1xB.1xx−或1x或0x=C.11x

x−D.11xx−【答案】B【解析】【分析】构造函数()()gxxfx=，可知函数()ygx=为偶函数，结合题中条件求出不等式()0gx在区间)0,+的解，再结合偶函数的性质可得出不等式()0xfx的解集.【详解】构造

函数()()gxxfx=，由于函数()yfx=是定义在R上的奇函数，则()()fxfx−=−，()()()()()gxxfxxfxxfxgx−=−−=−−==，则函数()ygx=为偶函数.由于()00g=，当0x时

，由()0xfx可得()0fx，函数()yfx=在()0,+上单调递减，且()10f=，由()()01fxf=，可得1x.函数()ygx=为偶函数，不等式()()0gxxfx=在区间(),0−上的解为1x−.因此，不等式()0xfx的解集为1xx−或1x或0x=.故

选：B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性的应用，当性质较多时，可以充分利用图形来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.若函数()()sin0,0,2fxAxA=+的一段图象

如下图所示，则()fx=（）A.sin26x−B.sin6x+C.sin26x骣琪+琪桫pD.sin6x−【答案】C【解析】【分析】由图象的最高点求得出A的值，利用

图形得出该函数的最小正周期T，可得出2T=的值，再将点,16的坐标代入该函数的解析式，结合的范围可得出的值，由此可得出函数()yfx=的解析式.【详解】由图象可得()max1Afx==，设函数()yfx=的最小正周期为T，则4612

T=+=，22T==，()()sin2fxx=+.将点,16的坐标代入该函数的解析式，得sin163f=+=，22−，5636−+，32+=，

得6π=，因此，()sin26fxx+=.故选：C.【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知函数()()1,331,3xxfxfxx

=+，则()32log2f+的值为（）A.154B.54−C.227−D.227【答案】A【解析】【分析】计算出32log2+的范围，结合函数()yfx=的解析式、指数幂的运算律以及对数恒等式可计算出()32log2f+

的值.【详解】333log1log2log3，即30log21，322log23+，()()1,331,3xxfxfxx=+，()()333log23log2331

112log23log2333ff++=+==3log21111127327254===.故选：A.【点睛】本题考查分段函数值的计算，涉及指数幂的运算以及对数恒等式的应用，考查计算能力，属于中等题.11.函数()()2logsincos1sinx

xfxx−=−的定义域为（）A.52,2,44kkkZ++B.5,,44kkkZ++C.2,2,42kkkZ++D.52,22,2,4224

kkkkkZ++++【答案】D【解析】【分析】由题意得出sincos2sin041sin0xxxx−=−−，解出不等式组，即可得出函数()yfx=的定义域.【详解】由题意得sincos2sin04

1sin0xxxx−=−−，即22422kxkxk−++，其中kZ，解得2242kxk++或()52224kxkkZ++，因此，

函数()yfx=的定义域为52,22,2,4224kkkkkZ++++.故选：D.【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及三角不等式的计算，考查运算求解能力，属于中等题.12.已知函数()lg1fxx=−，()sin2gxx=，则若两个函数图

象的交点分别为()111,Pxy、()222,Pxy、()333,Pxy、、()P,nnnxy，则123nxxxx++++=（）A.8B.10C.12D.14【答案】B【解析】【分析】在同一直角坐标系作出两函数的图象，可知

两函数图象有10个交点，且两函数的图象关于直线1x=对称，利用对称性可求出这些交点的横坐标之和.【详解】作出函数()lg1fxx=−与函数()sin2gxx=的图象如下图所示：可知函数()lg1fxx=−与函数()sin2gxx=的图象都关于直线1x=对称，当9x−或11x时，()lg1

1fxx=−，此时，两函数图象没有交点，由图象知，两个函数图象共有10个交点，这些交点中有5对关于直线1x=对称，因此，123102510xxxx++++==.故选：B.【点睛】本题考查两函数图象交点

横坐标之和，涉及到函数对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数()11xfxa+=+（0a且1a），则函数()fx的图象恒过点_________.【答案】()1,2−【解析】【分析】

令指数为零，求出x的值，代入函数解析式即可得出定点坐标.【详解】令10x+=，得1x=−，则()0112fa−=+=，因此，函数()yfx=的图象恒过定点()1,2−.故答案为：()1,2−.【点睛】本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零来求得，考查运算求解

能力，属于基础题.14.,22x−，使tan3x成立的x的取值范围是_____________.【答案】,,2332−−【解析】【分析】由tan3x可得tan3

x或tan3x−，求出不等式tan3x在区间,22−上的解，然后利用正切函数的奇偶性得出不等式tan3x−在区间,22−的解，由此可得出答案.【详解】由tan3x可得tan3x或tan3x−，由于正切函数tanyx=在区间,22

−上为增函数，由tan3tan3x=，可得32x，又因为函数tanyx=为奇函数，则不等式tan3x−在区间,22−的解为23x−−.因此，所求x的范围是,,2332

−−.故答案为：,,2332−−.【点睛】本题考查正切不等式的求解，解题时要充分利用正切函数的单调性和奇偶性，考查运算求解能力，属于中等题.15.sin10sin30sin5

0sin70=___________.【答案】116【解析】【分析】将代数式化为1cos20cos40cos802，乘以sin20sin20，利用二倍角的正弦公式与诱导公式可计算出所求代数式的值.【详解】1sin20cos20cos40cos80sin10sin30sin50sin

70cos20cos40cos8022sin20==()sin18020sin40cos40cos80sin80cos80sin160sin204sin208sin2016sin2016sin2016sin20−=====116=

.故答案为：116.【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及二倍角正弦公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为（tan2=）的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.当矩形ABCD周长最大时，BC边的长为__________

__.【答案】5【解析】【分析】设COP=，将BC、AB均用的三角函数表示，利用辅助角公式以及正弦函数的有界性可求出矩形ABCD周长的最大值，即可得出对应的BC边的长.【详解】由22sintan2cossincos102==+=，得25sin55cos

5==，设COP=，则sin5sinADBCOC===，cos5cosOBOC==，在RtOAD中，AOD=，5sintan2ADOA==，55cossin2CDABOBOA==−=−，所以，矩形ABCD的周长为()()()5225cossin5

sin5sin2cos55sin2ABBC+=−+=+=+，当2+=时，四边形ABCD的周长取最大值55，此时，5sin5sin5cos52BC==−==

.故答案为：5.【点睛】本题考查扇形内接矩形周长的最大值的求解，涉及辅助角公式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17.ABC的内角A、B、C的对边分别

是a、b、c，已知()2sin23sin2BAC+=.（1）求角B的大小；（2）若8ac+=，ABC面积为33，求b的值.【答案】（1）3B=；（2）27.【解析】【分析】（1）由诱导公式以及辅助角公式可得出3sin32B

+=，结合角B的取值范围，可得出角B的值；（2）利用三角形的面积公式可求出ac的值，再利用余弦定理即可求出b的值.【详解】（1）ABC++=，ACB+=−，()()sinsinsinACBB+=−=，()sin31cosBB=−，sin3cos3BB+=，即2sin

33B+=，化简得3sin32B+=.()0,B，4,333B+，233B+=，解得3B=；（2）由已知得13sin3324acBac==，12ac=，()222

212cos22cos82122122bacacBacacacB=+−=+−−=−−27=.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及辅助角公式求角，同时也考查了利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形，要结合三角形已知条件

类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.18.已知5sin5=，310cos10=，、0,2.（1）求cos23−的值；（2）求+的值.【答案】

（1）34310+；（2）4.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出sin2和cos2的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos23−的值；（2）利用两角和的余弦公式求出()cos

+的值，并求出角+的取值范围，即可求出+的值.【详解】（1）0,2且5sin5=，225cos1sin5=−=.213cos212sin1255=−=−=，5254sin22sincos

2555===，因此，3143343cos2cos2cossin2sin333525210+−=+=+=；（2）由（1）知5sin5=，25cos5=，0,2且310c

os10=，2910sin1cos11010=−=−=，()310251052coscoscossinsin1051052+=−=−=，Q、0,2，()0,+，因

此，4+=.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了给值求角，涉及二倍角正弦公式和余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知()22coscos23sin32fxxxx=−+−

，xR.（1）求函数()fx的最小正周期、单调增区间和函数()fx图象的对称轴；（2）若0,2x，求函数()fx的值域.【答案】（1）最小正周期，()5,1212kkkZ−+，对称轴()5212kxkZ=+；（2）3,2−.【解析】

【分析】（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式可得出()2sin23fxx=−，利用正弦型函数的周期公式可计算出函数()yfx=的最小正周期，解不等式()222232kxkkZ−−+可得出该函数的单调递增区间，解方程()2

32xkkZ−=+，可得出该函数图象的对称轴方程；（2）由0,2x可得出23x−的取值范围，结合正弦函数的基本性质可得出该函数的值域.【详解】（1）()()2sincos31cos23sin23cos22sin23fxxxx

xxx=+−−=−=−，所以，函数()yfx=的最小正周期为22=.解不等式()222232kxkkZ−−+，得()51212kxkkZ−+，所以，函数()yfx=的单调增区间为()5,1212

kkkZ−+，解方程()232xkkZ−=+，可得()5212kxkZ=+，因此，函数()yfx=图象的对称轴方程为()5212kxkZ=+；（2）0,2x

，22,333x−−，3sin2123x−−，因此，函数()yfx=在区间0,2上的值域为3,2−.【点睛】本题考查正弦型函数的周期、单调区间、对称轴方程以及值域的求解，解题的关键就是利用

三角恒等变换的思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.20.已知不等式()()22log1log72xx+−.（1）求不等式的解集A；（2）若当xA时，不等式1114242xxm−−+总成立，求m的取值范围.【答案

】（1）(1,2−；（2）(,1−.【解析】【分析】（1）利用对数函数的单调性以及真数大于零得出关于实数x的不等式组，解出即可；（2）令11,224xt=，利用参变量分离法得出2442mtt−+，求出函数24

42ytt=−+在区间1,24上的最小值，即可得出实数m的取值范围.【详解】（1）由已知可得：1012172xxxx+−+−，因此，原不等式的解集为(1,2−；（2）令()1114242xxfx−=−+

，则原问题等价()minfxm，且()1144242xxfx=−+，令11,224xt=，可得()221442412fxttt=−+=−+，当12t=时，即当1x=时，函数()yfx=取得最

小值，即()()min11fxf==，1m.因此，实数m的取值范围是(,1−.【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题在转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，

考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21.已知函数()sin3fxx=++（其中2）为偶函数.（1）求的值；（2）设函数()()2212gxfxfx=−−+，求函数()gx的最值.【答案】（1）6π=；

（2）最大值52，最小值2−.【解析】【分析】（1）由函数()yfx=为偶函数，得出()32kkZ+=+，结合的取值范围可得出的值；（2）由题意得出()2152sin22gxx=−++，再由si

n1,1x−，结合二次函数的基本性质可得出函数()ygx=的最大值和最小值.【详解】（1）()sin3fxx=++为偶函数，则()32kkZ+=+，()6kkZ=+，22−，0k=，6π=；（2

）由（1）知()sincos36fxxx=++=，()2cos22cos1cos22sin12sin2sin22gxxxxxxx=−−+=−+=−−+2152sin22x=−++，sin1,1x

−，当1sin2x=−时，函数()ygx=取最大值，即()max52gx=；当sin1x=时，函数()ygx=取得最小值，即()min2gx=−.因此，函数()ygx=的最大值为52，最小值为2−.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求参数，同时也考查了正弦型二次函数的最值问

题，考查计算能力，属于中等题.22.已知函数()2222,023,0xxxfxxxax−+=−++，aR.（1）若对任意实数m，关于x的方程：()fxm=总有实数解，求a的取值范围；（2）若2a=，求使关于x的方程：()fx

kx=有三个实数解的k的取值范围.【答案】（1）)1,+；（2）()222,−+.【解析】【分析】（1）由题意得知函数()yfx=的值域为R，根据二次函数的基本性质可得函数()yfx=在区间)0,+上的值域)1,+，以及该函数在区间(),0−上的值域(),a−，可得出

()),1,aR−+=，从而可得出实数a的取值范围；（2）由题意得出()2222,0232,0xxxfxxxx−+=−++，可知0x=不是方程()fxkx=的根，由参变量分离法得出()22,02

23,0xxfxxkxxxx+−==−++，令()()()0fxgxxx=，将问题转化为直线yk=与函数()ygx=的图象有三个公共点，利用数形结合思想可得出实数k的取值范围.【详解】（1）原问题等价为函数()fx的值域为R.当0x时，()()2222111fxxx

x=−+=−+，所以，函数()yfx=在区间)0,+上的值域为)1,+；当0x时，()223923248fxxxaxa=−++=−−++，则函数()yfx=在区间(),0−上单调递增，此时()fxa.所以，函数()yfx=在区间(),0−上的值域为()

,a−.由题意可得()),1,aR−+=，1a.因此，实数a的取值范围是)1,+；（2）当2a=时，()2222,0232,0xxxfxxxx−+=−++，可知0x=不是方程()fxkx=的根，

当0x时，由()fxkx=，得()fxkx=，令()()()0fxgxxx=，则()22,0223,0xxxgxxxx+−=−++，所以，直线yk=与函数()ygx=的图象有三个公共点.当0x时，由双勾函数的单调性可知，函数()ygx=的单调递减区间为()0,2

，单调递增区间为()2,+，此时，函数()ygx=取得最小值，即()()min2222gxg==−；当0x时，()223gxxx=−++，由于函数23yx=−+和函数2yx=都是减函数，则函数()ygx=在

区间(),0−上为减函数.作出函数()ygx=和直线yk=的图象如下图所示：由图象可知，当222k−时，直线yk=与函数()ygx=的图象有三个交点，因此，实数k的取值范围是()222,−+.【点睛】本题考查利用函数的零点求参数，同时也涉及函数的值域问题，将问

题转化为两函数图象的交点个数问题，并借助数形结合法以及参变量分离法求解可简化计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.