【文档说明】湖南省长沙市望城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题含解析.doc，共(22)页，1.989 MB，由小赞的店铺上传

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2020年下期普通高中期末质量调研检测高二数学班级：______姓名：_______准考证号：_________（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知0b

a，下列不等式恒成立的是（）A.22abB.1abC.1baD.11ab2.等差数列na中，21a=，45a=，则公差d等于()A.2B.12C.43D.343.命题“3[0,),0xxx++”的否定是（）

A.3(,0),0xxx−+B.3(,0),0xxx−+C.3000[0,),0xxx++D.3000[0,),0xxx++4.若双曲线221(0)xyaa−=的实轴长为2，则其渐近线方程为()A.2yx=B.22yx=

C.12yx=D.yx=5.已知集合24120Axxx=−−，440Bxx=−，则AB=（）A.12xxB.2xx−C.16xxD.6xx−6.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A.充分而不必要条件B.

必要而不充分条件、C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若对(0,)t+，都有22(1)3xtxt++成立，则x的取值范围是（）A.()2,6−B.(,3)(2,6)−−−C.(,3)(2,)−−−+D.(,3)(2,)−−−+8.椭圆2

2221xyab+=（0ab）上一点M关于原点的对称点为N，F为椭圆的一个焦点，若0MFNF=，且3MNF=，则该椭圆的离心率为（）A.212−B.22C.33D.31−二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，

部分选对的得3分，有选错的得0分．9.在公比为q等比数列na中，nS是数列na的前n项和，若521127,==aaa，则下列说法正确的是（）A.3q=B.数列2nS+是等比数列C.5121S=D.()222lglglg3nnnaaan−+=+10.已知函数4()

fxxx=+，则（）A.()fx的最小值为4B.当(0,)x+时，有()4fxC.当(,0)x−时，有()4fx−D.当(2,)x+时，()fx的最小值是411.已知曲线22:1Cmxny+=．则下列结论正确的是：（）A.若

0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若0mn=，则C是圆，其半径为nC.若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D.若0,0mn=，则C是两条直线12.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数()

fx满足()()01fxfxx−−，对于函数()()xfxgxe=，下列结论正确的是（）A.函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数B.x=1是函数g(x)的极小值点C函数g(x)至多有两个零点D.当x≤0

时，不等式()xfxe恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线22ypx=上一点(2,)t到点,02p的距离等于3，则p=_________．14.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584

年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规

则，插入的第四个数应为__________.15.已知(3,,)(,)uabababR=+−r是直线l的方向向量，(1,2,3)n=是平面的法向量，如果l⊥，则ab+=________________16.已知,ab为正实数，直线2yxa=−+与曲线1xbye+=−相切，则1

1ab+的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数3()212fxxx=−．（1）求()fx在点(1,(1))f处的切线；（2）求()fx在区间[1,3]−上的最大值和最小值．18.条件①：设数列na的前n项之和为

nS，且()12,,1nnSknNkRa+=+=．条件②：对nN+，有11nnaqa+=（q为常数），34a=，并且2341,,1aaa−−成等差数列．在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．在数列na中，_____________．（1）求

数列na的通项公式na；（2）记12323nnTaaana=++++，求10T的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19.如图所示，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D点折到P点，且PCPB=.（1）求证

:PO⊥面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角的正弦值.20.某商家耗资4500万元购进一批VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比

上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.(1)求盈利额y（万元）与使用年数x之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？21.已知四点1234221,,1,,(1,1),(0

,1)22PPPP−−中恰有三点在椭圆2222:1xyCab+=上，其中0ab．（1）求,ab的值；（2）若直线l过定点(2,0)M且与椭圆C交于,AB两点（l与x轴不重合），点B关于x轴的对称点为点D．探究：直线AD是否过定点，若

是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22.已知函数221()ln,(),,()()()2fxmxxgxmxxmRFxfxgx=−=+=−．（1）讨论函数()fx的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式()10Fxmx+−恒成立

，求整数m的最小值．长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高二数学（解析版）班级：______姓名：_______准考证号：_________（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．1.已知0ba，下列不等式恒成立的是（）A.22abB.1abC.1baD.11ab【答案】B【解析】【分析】通过反例、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【详解】选项A.当13ba==−，时，22ab，故选项A不正确.由0ba，则0

ab，所以1ab成立，故选项B正确.选项C不正确.选项D当0ba时，110,0ab，所以11ab，故选项D不正确.故选：B2.等差数列na中，21a=，45a=，则公差d等于()A.2B.12C.43D.34【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质

()mnaamnd=+−，构建方程，解得答案.【详解】由等差数列的性质可知：422125aadd=+=+=所以2d=.故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本性质，属于基础题.3.命题“3[0,),0xxx++

”的否定是（）A.3(,0),0xxx−+B.3(,0),0xxx−+C.3000[0,),0xxx++D.3000[0,),0xxx++【答案】C【解析】【分析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论

【详解】解：命题“3[0,),0xxx++”的否定为“3000[0,),0xxx++”，故选：C4.若双曲线221(0)xyaa−=的实轴长为2，则其渐近线方程为()A.2yx=B.22yx=C.12yx=D.yx

=【答案】D【解析】【分析】由双曲线性质得a，表示双曲线标准方程，表示渐近线方程即可.【详解】因为实轴长为2，所以1a=，所以双曲线为221xy−=所以渐近线方程为yx=.故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及实轴和求渐近线方程，属于基础题.5.已知集合24120Axxx=−

−，440Bxx=−，则AB=（）A.12xxB.2xx−C.16xxD.6xx−【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合26Axx=−，1B

xx=，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合2412026Axxxxx=−−=−，4401Bxxxx=−=，根据集合交集的概念与运算，可得16ABxx=.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集的概念及运

算，其中解答中正确求解集合,AB，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.6.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件、C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】

C【解析】【分析】【详解】1212311101aaaaaaqaqq或1001aq，所以数列｛an｝是递增数列若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充

分必要条件，选C7.若对(0,)t+，都有22(1)3xtxt++成立，则x的取值范围是（）A.()2,6−B.(,3)(2,6)−−−C.(,3)(2,)−−−+D.(,3)(2,)−−−+【答案】B【解析】【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4tt+，再根据题意

得到243xx+，解不等式即可.【详解】令()2(1)tttf+=，()0,t+，()2)2(11ttfttt==+++，因为()0,t+，所以()122124fttt=+++=，当1tt=即1t=时取等号，又因为(0,)t+，都

有22(1)3xtxt++，所以243xx+即可.由243xx+得()243033xxxx+−++，即241203xxx−−+，()()241230xxx−−+，所以()()()6230xxx−++，解得3x−或26x−.故选：B.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要

注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8.椭圆22221xyab+=（0ab）上一点M关于原点的对称点为N，F为椭圆的一个焦点，若0MFNF=，且3MNF=，则该椭圆的离心率为（）A.

212−B.22C.33D.31−【答案】D【解析】【分析】E是另一个焦点，由对称性知MENF是平行四边形，从而得MENF是矩形．3MEFMNF==，在直角三角形MEF中用c表示出两直角边，再上椭圆

定义得,ac的等式，求得离心率．【详解】如图，E是另一个焦点，由对称性知MENF是平行四边形，∵0MFNF=，∴MFNF⊥，∴MENF是矩形．3MNF=，∴3MEF=，∴1cos232MEEFcc===，2sin33MF

cc==，∴(31)2MFMEca+=+=，∴23131cea===−+．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,ac的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E后形成一个平行四边形MENF，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形

中利用椭圆的定义构造出,ac的关系．求出离心率．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.

在公比为q等比数列na中，nS是数列na的前n项和，若521127,==aaa，则下列说法正确的是（）A.3q=B.数列2nS+是等比数列C.5121S=D.()222lglglg3nnnaaan−+=+【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的

定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.【详解】因为521127,==aaa，所以有431127273qaqqqa===，因此选项A正确；因为131(31)132nnnS−==−−，所以131+2+2(3+3)132nnnS−==−，因为+1+111(3+3)+2

22=1+1+21+3(3+3)2nnnnnSS−=常数，所以数列2nS+不是等比数列，故选项B不正确；因为551(31)=1212S=−，所以选项C正确；11130nnnaaq−−==，因为当3n

时，22222lglg=lg()=lg2lgnnnnnnaaaaaa−+−++=，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考

查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.10.已知函数4()fxxx=+，则（）A.()fx的最小值为4B.当(0,)x+时，有()4fxC.当(,0)x−时，有()4fx−D.当(2,)x+时，()fx的最小值是4【答案】BC【解析】

【分析】由均值不等式以及以能取等的条件对每一选项进行逐一判断即可.【详解】选项A.当0x时，4()0fxxx=+,则()fx的最小值不为4，所以选项A不正确.选项B.当0x时,44()24fxxxxx=+=当且仅当4xx=，即2x=时取得等号，所以()4fx

，故选项B正确.选项C.当0x时,()444()24fxxxxxxx=+=−−+−=−−当且仅当4xx−=−，即2x=−时取得等号，所以()4fx−，故选项C正确.选项D.当2x时,44()24fxxxxx=+

=当且仅当4xx=，即2x=时取得等号，所以等号不成立，即()4fx，故选项D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求

积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.11.已知曲线22:1Cmxny+=．则下列结论正确的是：（）A.若0

mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若0mn=，则C是圆，其半径为nC.若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D.若0,0mn=，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】选项A.当

0mn时，曲线22:1Cmxny+=，则表示焦点在y轴上的椭圆；选项B.当0mn=时，曲线221:Cxyn+=可判断；选项C.若0mn，则C是双曲线,由220mxny+=，可得myxn=−可判断.选项D..当0m=，0

n时，曲线21:Cyn=可判断；【详解】选项A.当0mn时，曲线22:1Cmxny+=，可化为22:111xyCmn+=，由0mn，则110nm，则表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确.选项B.当0mn=时，曲线221:Cxyn+

=，表示半径为nn的圆，故B不正确选项C.若0mn，则C是双曲线,由220mxny+=，可得myxn=−所以渐近线方程为myxn=−，故C正确选项D.当0m=，0n时，曲线21:Cyn=，即1yn=，表示两条直

线，故D正确故选：ACD12.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数()fx满足()()01fxfxx−−，对于函数()()xfxgxe=，下列结论正确的是（）A.函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数B.x=

1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.当x≤0时，不等式()xfxe恒成立【答案】ABC【解析】【分析】对函数()()xfxgxe=求导,利用()()01fxfxx−−可得()gx的正负，即函数

()gx的单调性，判断出选项AB；讨论()1g的符号，结合单调性得出函数()gx的零点个数，判断出选项C；利用()gx在(),0−的单调性和最值，判断出选项D．【详解】函数()()xfxgxe=，则()()()xf

xfxgxe−=，当1x时，()()0fxfx−，故()gx在()1,+单调递增，A正确；当1x时，()()0fxfx−，故()gx在(),1−单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确；若

()10g，则()ygx=有两个零点，若()10g=，则()ygx=有一个零点，若()10g，则()ygx=没有零点，故C正确；()gx在(),1−单调递减，则()gx在(),0−单调递减，()()000

1fge==，可知0x时，()()0gxg，故()1xfxe，即()xfxe，D错误；故选：ABC【点睛】本题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性和极值，判断函数的零点个数，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．三、填空题：本大

题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线22ypx=上一点(2,)t到点,02p的距离等于3，则p=_________．【答案】2【解析】【分析】由抛物线的定义可得232p+=，从而可得答案.【详解】,02p14.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.

明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数

，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为__________.【答案】132【解析】【分析】根据等比数列的通项公式即可先求出公比的关系式122q=，再根据等比数列的通项公式可知451aaq=即可求出．【详解】由题意设这

13个数组成依次递增的等比数列为{}na，满足1131,2aa==，122q=，即有143512aaq==．故答案为：132．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于容易题．15.已知(3,

,)(,)uabababR=+−r是直线l的方向向量，(1,2,3)n=是平面的法向量，如果l⊥，则ab+=________________【答案】6【解析】【分析】由平面法向量与平面的垂线的方向向量平行可得．【详解】∵l

⊥，∴//nu，∴3123abab+−==，∴6ab+=．故答案为：6．16.已知,ab为正实数，直线2yxa=−+与曲线1xbye+=−相切，则11ab+的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线

上，且切点处的导数相等，求出a，b的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【详解】解：由2yxa=−+得1y=；由1xbye+=−得xbyye+==；因为直线2yxa=−+与曲线1xbye+=−相切，令1xbe+=，则可得xb=−，代入1xbye+=−得0

y=；所以切点为(,0)b−．则20ba−−+=，所以2ab+=．故11111()()112222222baabababababba+=++=+++=…，当且仅当1ab==时等号成立，此时取得最小值2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相

切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数3()212fxxx=−

．（1）求()fx在点(1,(1))f处的切线；（2）求()fx在区间[1,3]−上的最大值和最小值．【答案】（1）640xy++=；（2）18，82−．【解析】【分析】（1）求出导函数，再求出()()'1,1ff，

用点斜式方程写出直线方程即可.（2）求出()fx的极大值和极小值，跟端点值进行比较，得出最大值和最小值.【详解】（1）()3212fxxx=−，则()2612fxx=−则()110f=−，()16f=−故切线为()106

1yx+=−−，即640xy++=（2）()()()2612622fxxxx=−=+−当12x−时，()0,(2)0fxf=当23x时，()0fx()fx在[1,2)−上单调递减，在(2,3]上单调递增(1)

10,(3)18,(2)82fff−===−()fx\在区间[1,3]−上的最大值和最小值分别是18，82−．【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出

最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1

8.条件①：设数列na的前n项之和为nS，且()12,,1nnSknNkRa+=+=．条件②：对nN+，有11nnaqa+=（q为常数），34a=，并且2341,,1aaa−−成等差数列．在以上两个条件中任选一

个，补充到下面的问题中，并作答．在数列na中，_____________．（1）求数列na的通项公式na；（2）记12323nnTaaana=++++，求10T的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）条件性选择见解析，

12nna-=；（2）1010921T=+【解析】【分析】（1）若选条件①，则1121Ska=+==得1k=−，21nnS=−，再利用1nnnaSS−=−可求得na；若选条件②，则数列na是公比为q的等比数列，再由已知条件可得4842qq=+−，2231124aaqa===，可求出

1,aq，进而可求出na；（2）利用错位相减法求和即可【详解】选条件①，由1121Ska=+==得1k=−21nnS=−当2n时，112nnnnaSS−−=−=，又11a=∴数列na的通项公式为12nna-=选条件②，（1）1nnaqa+=知数列na是公比为q的等比数列，且32

434,4aaaaqqqq====由已知可得：324211aaa=−+−即:4842qq=+−解得12,2qq==（舍去）22311124,1aaqaa====12nna-\=（2）239101223242102T=+++++

234910102222324292102T=++++++239101012222102T−=+++++−10102110221−=−−1010921(9217)T=+=（或1014123251663276481289256105129217T=++++++

+++=）19.如图所示，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D点折到P点，且PCPB=.（1）求证:PO⊥面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3015【

解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面POF，进而得到BCPO⊥，进而证得PO⊥面ABCE；（2）分别以OG、OF、OP为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，求得平面PAB的一个法向量为()2,0,

1n=，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得PAPE=，OAOE=，则POAE⊥，取BC的中点F，连OF，F，可得//OFAB，所以OFBC⊥，因为PBPC=，BCPF\^，且PFOFF=，所

以BC⊥平面POF，又因为PO平面POF，所以BCPO⊥.又由BC与AE为相交直线，所以PO⊥平面ABCE.（2）作//OGBC交AB于G，可知OGOF⊥，分别以,,OGOFOP为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(1,1,0

)A−，(1,3,0)B，()1.3,0C-，()0,0,2P，可得(2,4,0)AC=-，(1,1,2)AP=-，(0,4,0)AB=，设平面PAB的法向量为(),,nxyz=，则2040nAPxyznABy=−++===，令1z=，可得平面PAB的一个法向量

为()2,0,1n=，又由22222230sincos,15(2)4(2)1nACnACnAC−====−++，所以AC与面PAB所成角的正弦值为3015.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解

答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.某商家耗资4500万元购进

一批VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.(1)求盈利额y（万元）

与使用年数x之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？【答案】（1）22026204500yxx=−+−；（2）15年；2020万元.【解析】【分析】（1）由等差数列求和公式表示总保养费，再由盈利额等于总收入减去总保养费

再减去购买设备的资金构建关系式；（2）表示年平均盈利额的表达式，利用基本不等式求最值，得答案.【详解】（1）由题可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列形式，所以x年的总保养费()21200402

01802xxxSxxx−=+=+万元，x年的总收入为2800x万元，所以盈利额()2228004500202620450080210xxxyxx=−−=−+−+故关系式为22026204500yxx=−+−；（2）由（1）可知年平均

盈利额220262045004500202620yxxZxxxx−+−===−−+由基本不等式可知4500450020220600xxxx+=，当且仅当15x=时取等号，所以45002026206

0026202020Zxx=−−+−+=故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元.【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据实际构建函数模型，其中涉及等差数列求和，基本不等式求最值，属于较难题.21.已知四点1234221,,1,,(

1,1),(0,1)22PPPP−−中恰有三点在椭圆2222:1xyCab+=上，其中0ab．（1）求,ab的值；（2）若直线l过定点(2,0)M且与椭圆C交于,AB两点（l与x轴不重合），点B关

于x轴的对称点为点D．探究：直线AD是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）21ab==；（2）直线AD过定点(1,0)Q．【解析】【分析】（1）由于12221,,1,22PP−−

关于原点对称，从而可得12,PP和4P在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出,ab的值；（2）由题意可知直线l的斜率存在，则设直线l为2(0)xtyt=+，与椭圆方程联立成方程组，消去x

，得()222420tyty+++=，再由根与系数的关系得12122242,22tyyyytt+=−=++，而直线AD方程为()()()122112210yyxxxyxyxy++−−+=，代入化简可得答案【详解】因为12221,,1,22PP−−

关于原点对称，由题意得12,PP和4P在椭圆上，将14,PP的坐标代入22221xyab+=得：222111211abb+==解得：21ab==（2）显然，l与x轴不垂直，设l的方程为：2(0)xtyt=+()22222242012xtytyty

xy=++++=+=设()()1122,,,AxyBxy，则()22,Dxy−且12122242,22tyyyytt+=−=++直线AD方程为()()()122112210yyxxxyxy

xy++−−+=令0y=，得()()122112211212121222242214tyytyyxyxytyytxyyyyyyt++++===+=+=+++−，故直线AD过定点(1,0)Q．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线l的方程为：2

(0)xtyt=+，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得12122242,22tyyyytt+=−=++，进而可得AD方程为()()()122112210yyxxxyxyxy++−−+=化简可得答案，属于中档题22.已知函数221()ln,(),,()

()()2fxmxxgxmxxmRFxfxgx=−=+=−．（1）讨论函数()fx的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式()10Fxmx+−恒成立，求整数m的最小值．【答案】（1）函数()fx在1,2m+上为增

函数，在10,2m为减函数，有极小值1(1ln2)2m+，无极大值；（2）2.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导得221()mxfxx−=，然后分0m和0m判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极

值；（2）()10Fxmx+−恒成立，转化为()22ln12xxmxx+++恒成立，然后构造函数()()22ln12xxhxxx++=+，再利用导数求出函数()hx的最大值即可【详解】解：（1）由2()lnfxmxx=−得()fx的定义域为(0,)+，

且221()mxfxx−=①当0m时，()0fx恒成立，∴()fx在()0,+上是减函数，无极值；②当0m时，令()0fx，得12xm，令()0fx，得102xm所以函数()fx在1,2m+上为增函数，在10,2m

为减函数，且当12xm=时，有极小值1(1ln2)2m+，无极大值．（2）()10Fxmx+−恒成立，即()22ln12xxmxx+++恒成立，令()()22ln12xxhxxx++=+，则()222(1)

(2ln)()2xxxhxxx−++=+令()2lnxxx=+显然()x是增函数，且11(1)0,ln4022=−1,12t，使()0t=即2ln0tt+=且当0xt时，()0,xxt

时，()0x()222(1)02xxx−++()hx在(0,)t上是增函数，在(,)t+上是减函数∴当xt=时，()hx有最大值22(ln1)1()2tthtttt++==+1,12t1(1,2)t所以整数m的最小值为2【点睛】关键点点睛

：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决恒成立问题，第2问解题的关键是()10Fxmx+−恒成立，转化为()22ln12xxmxx+++恒成立，然后构造函数()()22ln12xxhxxx++=+，再利用导数求函数的最值，此题考查数学转化思想，属于较难题