【文档说明】辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田第二高级中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，1.921 MB，由小赞的店铺上传

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高三1月考试数学试题（理）一、选择题1.复数(),zabiabR=+是()()212ii++的共轭复数，则ab+=（）A.5B.5−C.5iD.5i−【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数()()212i

i++表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出a与b的值，即可得出+ab的值.【详解】()()22122525iiiiiabi++=++==−，05ab=−=，解得05ab==−，因此，5a

b+=−.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.2.已知全集U=R，集合2{|log1},2,1AxxB==−，则U()ABð等于（）A.[1,2]−B.{2}C.[2,0]−D.【答案】C【解析】【分析】

由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出UAð，然后再由交集的运算求U()ABð．【详解】解：∵2log1x，∴02x，∴(0,2)A=，∴U(,0][2,)A=−+ð，又2,1B=−，∴U()[2,0]AB=−ð，故

选：C．【点睛】本题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用．3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“

喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析

】【分析】根据茎叶图分别找出中位数，求出平均数，方差，即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：x甲7582838793845++++==，乙组选手得分的平均数：x乙7783858591845++++==，两个平均数相等，所以A选项错误；甲组选手得分的中位

数为83，乙组选手得分的中位数为84，所以B、C错误；甲组选手得分的方差：2s甲()()()()()()2222212167584828483848784938455=−+−+−+−+−=，乙组选手得分的方差：2s乙()()

()()()()222221100778483848484858491842055=−+−+−+−+−==，所以甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差.故选：D【点睛】此题考查根据茎叶图的数字特征，求平均数，中位数，方差.4.设nS为等差数列na的前n项和，已知11a=，

63363SS−=，则5a=（）A.3B.5C.7D.9【答案】D【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，利用条件63363SS−=求出d的值，由此可计算出5a的值.【详解】设等差数列na的公差为d，则1163653263322363632adadSSd++−=−=

=，解得2d=，因此，5141429aad=+=+=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5.已知直线3x=是函数()()

2sin22fxx=+的一条对称轴，则（）A.6π=B.()fx在0,2上单调递增C.由()fx的图象向左平移6个单位可得到2sin2yx=的图象D.由()fx的图象向左平移12个单位可得到2si

n2yx=的图象【答案】D【解析】【分析】由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项A错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选项B错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项C错误和选项D正确.【详解】由题

意可得：2()32kkZ+=+，据此可得：()6kkZ=−，令k=0可得：6=−，选项A错误；函数的解析式为：()2sin26fxx=−，若0,2x，则52,66

6x−−，函数不具有单调性；由()fx的图象向左平移6个单位可得到2sin22sin2666yxx=+−=+的函数图象，选项C错误；由()fx的图象向

左平移12个单位可得到2sin22sin2126yxx=+−=的图象，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键，属基础题.6.平

面向量a与b的夹角为23，(3,0)a=，||2b=，则|2|ab+=（）A.13B.37C.7D.3【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵平面向量a与b的夹角为23，(3,0)a=，2b=，∴21cos32()332abab==−=−，∴222|2|(2)4

49161213abababab+=+=++=+−=，故选A.考点：平面向量数量积的运算.7.使命题p：[1,2)x−，2()40fxxax=−++为假命题的一个充分不必要条件为（）A.03aB.0<<3aC.3aD.0a【答案】B【解析】【分析】先求命题p的等价条

件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．【详解】解：若命题p：[1,2)x−，2()40fxxax=−++为假命题，则命题命题p：[1,2)x−，2()40fxxax=−++为真命

题，则(1)0(2)0ff−，即(1)140(2)4240fafa−=−−+=−++，解得03a，∴命题p的等价条件为03a，则对应的充分不必要条件为[0,3)的一个真子集，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，

求出p的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决本题的关键．8.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A.

0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．考点：次独立重复试验．9.如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A.23B.22C.6D.2【

答案】B【解析】【分析】将该几何体放在棱长为2的正方体中，通过三视图还原出几何体，计算各侧面面积比较即可.【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥PABC−，故1AC=，2PA=，5BCPC==，22A

B=，23PB=，∴12112ABCPACSS===，1222222PABS==，123262PBCS==，∴该多面体的侧面最大面积为22．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，还原时可以将该几何体放在正方体中考虑，属于常考题.10.已知直线()0ykxk=与双

曲线()222210,0xyabab−=交于,AB两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为24a，则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF的

面积转化为FBF的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F为双曲线的左焦点ABQ为圆的直径90AFB=根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形12ABFAFBFFBFSSS==

又2224tan45FBFbSba===，可得：225ca=25e=5e=本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,ac的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11.ABC中，2AB=

,22AC=,45BAC=,P为线段AC上任意一点，则PBPC的取值范围是（）A.1,14−B.1,04−C.1,42−D.1,22−【答案】C【解析】【分析】先设PA＝x，x

∈[0，22]，利用向量数量积的运算性质可求PBPC，结合二次函数的性质即可求解．【详解】△ABC中，设PA＝x，x∈[0，22]，则PBPC=（PAAB+）•PCPAPCABPC=+=x（22﹣x）×cos180°+2（22﹣

x）×cos45°＝x2﹣32x+42321()22x=−−，∵x∈[0，22]，由二次函数的性质可知，当x322=时，有最小值12−；当x＝0时，有最大值4，所求PBPC的范围是[12−，4]．故选C【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数

量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．12.已知函数()sinfxxx=+，若正实数a，b满足1210ffab+−=，则3412abab+−−的最小值为（）A.7B.743+C.543+D.723+【答案】B【

解析】【分析】通过求导数，根据导数符号可判断出()fx是R上的增函数，且()fx是奇函数，从而根据1210ffab+−=可得出121ab=−，从而得出21aba=−，从而得出3412abab

+−−()37411aa=++−−，且a，b都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：()sinfxxx=+()1cos0fxx=+…，()()()sinfxxxfx−=−+−=−()fx是增函数，且()fx是奇函数，由1210ffab+−=得，

121ffab=−，121ab=−，即21aba=−a，b都为正数，1a()()31342834371212281ababababab−+−++=+=++−−−−−−2837211aaa=++−−−()37411aa=++

−−()372417431aa+−=+−当且仅当()3411aa=−−时取等号，3412abab+−−的最小值为743+．故选：B．【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等

式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．二、填空题13.已知函数31()4sin3fxxx=+在0x=处的切线与直线60nxy−−=平行，则2()nxx−的展开式中常数项为__________；【答案】24【解析】【分析】函数()314sin3fxxx=

+在0x=处的切线的斜率为()'04f=，直线60nxy−−=的斜率为n，依题得()'0=fn，故4n=，再利用二项式定理计算结果即可.【详解】由题意知，()2'4cosfxxx=+.由题意知()'04fn==，即4n=.422nxxxx

−=−，其常数项为22234224TCxx=−=.故答案为：24.【点睛】本题考查导数的几何意义和二项式定理，属于基础题.14.已知点E在y轴上，点F是抛物线22(0)ypxp=的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，

若点M为线段EF的中点，且|12|NF=，则p=__________．【答案】8【解析】【分析】设()0,Eb，又,02pF，由M为EF的中点，求得()0,2Ep，直线EF的方程代入22ypx=，得22450xpxp−+=，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义

，即可求解．【详解】设()0,Eb，又,02pF，因为M为EF的中点，所以点M的坐标为,4py，则22242ppyp==，即2,42pMp，又由0222bp+

=，则2bp=，即()0,2Ep，直线EF的方程为222yxp=−+，代入22ypx=，得22450xpxp−+=，设(),Nxy，则544pxp+=，解得xp=，由抛物线的定义得：122pNFp=+=，解得：8p=．【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．15.在ABC中，角,,ABC所对

的边为,,abc，若23sincabC=，则当baab+取最大值时，cosC=__________；【答案】21313【解析】【分析】由余弦定理得2222coscababC=+−，结合条件23sincabC=，将式子baab+通分

化简得3sin2cosCC+，再由辅助角公式得出baab+()13sinC=+，当2C+=时，baab+取得最大值，从而求出结果.【详解】在ABC中由余弦定理可得2222coscababC=+−，所以

2222cos3sin2cos3sin2cosbaabcabCabCabCCCabababab++++====+()13sinC=+，其中213sin13=，313cos13=，当baab+取得最大值13时，2C+=，∴213co

scossin213C=−==．故答案为：21313.【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16.《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问

题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有－圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长－尺.问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为

1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AR=尺，弓形高1CD=寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为__________立方寸.（结果保留整数）注：l丈

＝10尺＝100寸，3.14，5sin22.513.【答案】633【解析】【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【详解】如图所示：10AB=（寸)，则5AD=（寸)，1CD=（寸)，设圆O

的半径为x（寸)，则(1)ODx=−（寸)，在RtADO中，由勾股定理可得：2225(1)xx+−=，解得：13x=（寸)．5sin13ADAODAO==，即22.5AOD，则45AOB=．则弓形ACB的面积2

111310126.33242S=−（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为6.33100633V==（立方寸）．故答案为：633.【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档

题．三、解答题17.如图，四棱锥PABCD−中，22ABADBC===，BCAD∥，ABAD⊥，PBD为正三角形，且23PA=.（1）证明：直线AB⊥平面PBC；（2）若四棱锥PABCD−的体积为2，E是线段CD的中点，求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.【答

案】（1）证明见解析；（2）22121.【解析】【分析】（1）证明ABPB⊥，ABBC⊥，推出AB⊥平面PBC；（2）以A为原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由（1）的结论知，AB⊥平面PBC，所以则向量PE与向量AB所成的角或其补角与直线PE与平

面PBC所成的角互余，计算结果即可.【详解】（1）ABAD⊥，且2ABAD==，22BD=，又PBD为正三角形，所以22PBPDBD===，又2AB=，23PA=，所以ABPB⊥，又ABAD⊥，BC//AD，ABBC⊥，PBBCB=，所以AB⊥平面PBC.（2）设点P到平面ABCD的距

离为h，则()1112232PABCDVhh−=+=，依题可得2h=，以A为原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量PE，由（1）可知AB⊥平面PBC

，故向量AB是平面PBC的一个法向量，则向量PE与向量AB所成的角或其补角与直线PE与平面PBC所成的角互余.则()0,0,0A，()2,0,0B，()0,2,0D，()2,1,0C，则31,,02E，设(),,2Pxy，由23PA=，22PBPD==，可得()()2222

22412248248xyxyxy++=+−+=−++=，解得2x=，2y=，即()2,2,2P，所以11,,22PE=−−−，又由（1）可知，()2,0,0AB=是平面PBC的一个法向量，∴()()22

2122221cos,212112122PEAB−−==−=−+−+−，所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为22121.【点睛】本题考查线面垂直的判定以及用向量法求线面角，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于高考常考题型.18

.已知数列na的前n项和为nS，且22()nnSanN=−.（1）求数列na的通项na.（2）设(1)nncna=+，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）()*21,nnannN=；（2）12nnTn+=.【解析】【分析】(1)利用通项与前n项和的关系求得关于na的递

推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列na的通项na.(2))2(1nncn=+为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）1122,22(2,)nnnnSaSannN−−=−=−两式

相减得1122nnnnSSaa−−−=−12nnaa−=,12(2)nnannNa−=，即数列{an}是等比数列．1222(2,)nnnannN−==112(1,)nnaSannN==(2)(1)2nncn=+12312232422(1)2nnnTnn

−=++++++①234122232422(1)2nnnTnn+=+++++②①﹣②得234142222(1)2nnnTn+−=+++++−+(1)2(12)2(1)212nnn+−=+−+−1112(1)22nnnnn+++=−+=−12nnTn+

=【点睛】本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下[20,30)[30,40)[40,50

)[50,60)[60,70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在[50,70]使用自由

购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环

保购物袋.【答案】（Ⅰ）17100（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2200【解析】【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X所有的可能取

值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所

以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P=．（Ⅱ）X所有的可能取值为1,2,3，()124236115CCPXC===,()214236325CCPXC===,()304236135CCPXC===.所以X的分布列为X123P1515所以X的数学期望为

1311232555EX=++=.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100=.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，

以及古典概型，比较综合．20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，离心率为32，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AFF面积的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线:lyxm=+与椭圆C相交于点,AB两点，问y轴上是否存在点M，使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）见解析【解析】【分析】（1）由面积最大值可得

3bc=，又32ca=，以及222abc=+，解得,ab，即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点()0,Mt，ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,Axy，()22,Bxy，线段AB的中点为()00,Nxy，根据韦达

定理求出点N的坐标，再根据AMBM⊥，MNl⊥，即可求出m的值，可得点M的坐标.【详解】（1）12AFF面积的最大值为3，则：3bc=又32cea==，222abc=+，解得：24a=，21b=椭圆C的方程

为：2214xy+=（2）假设y轴上存在点()0,Mt，ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形设()11,Axy，()22,Bxy，线段AB的中点为()00,Nxy由2214xyyxm+==+，消去y可得：2258440xmxm++−=()()2226420441650m

mm=−−=−，解得：25m∴1285mxx+=−，212445mxx−=120425xxmx+==−，005myxm=+=4,55mmN−依题意有AMBM⊥，MNl⊥由MNl⊥可得：5114015mtm−=−−−，可得：35mt=−由AMBM⊥可得：121

21ytytxx−−=−11yxm=+，22yxm=+代入上式化简可得：()()()2121220xxmtxxmt+−++−=则：()222244880555mmm−−+=，解得：1m=当1m=时，点30,5M−满足题意；当1m=−时，

点30,5M满足题意故y轴上存在点30,5M，使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.已知aR，函数()2lnfxaxx=+(1)讨论函数()

fx的单调性；(2)若2x=是()fx的极值点，且曲线()yfx=在两点()()11,Pxfx，()()22,Qxfx()126xx处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为1b、2b，求12bb−的取值

范围.【答案】（1）见解析；（2）2ln203−，【解析】【分析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，（2）由x＝2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得11

141blnxx=+−，同理，22241blnxx=+−．求出b1﹣b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围【详解】（1）()222aax2f'xxxx−=−+=，①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减

；②当a＞0时，2x0a，时f'（x）＜0，2xa+，时，f'（x）＞0，即f（x）在2x0a，上单调递减，在2xa+，单调递增；（2）∵x=2是f（

x）的极值点，∴由（1）可知22a=，∴a=1，设在P（x1，f（x1））处的切线方程为()112111221ylnxxxxxx−+=−+−，在Q（x2，f（x2））处的切线方程为()222222221

ylnxxxxxx−+=−+−∴若这两条切线互相平行，则2211222121xxxx−+=−+，∴12111xx2+=∵21111x2x=−，且0＜x1＜x2＜6，∴11111162xx−＜＜，∴11114x3＜＜，∴x1∈（3，

4）令x=0，则1114blnx1x=+−，同理，2224blnx1x=+−．【解法一】∵21111x2x=−，∴1212121111121111bb4lnxlnx4lnlnxxx2x2x−=−+−=−−+−设()1g

x8x2lnxlnx2=−−+−，11x43，∴()22221116x8x1(4x1)g'x801x2xx2xxx2−+−=−−==−−−＜∴g（x）在区间1143，上单调递减，∴()2gxln203，−即b1-b2的

取值范围是2ln203−，．【解法二】∵1212xxx2=−，∴11212121x118bb4lnxlnx2ln1xxx2−=−+−=−+−令()8xgxln12x2=+−−，其中x∈（3，4）∴()()()2222281x8x16

(x4)g'x0xx2xx2xx2−+−=−+==−−−＞∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴()2gxln203，−∴b1-b2的取值范围是2ln203−，．【解法三】∵x1•x2=2（x1+

x2），∴()()121212111121211212212222x214xx2xxxxxx44bblnxlnxlnlnlnxxxxxxxxxx1x−−−−=−+−=++=+++═设()()21xgxlnx1x−=++，则()22241(

1x)g'x(1x)xx(1x)−−=+=++∵112xx111x22=−，，∴g'（x）＞0，∴函数g（x）在区间112，上单调递增，∴()2gxln203，−，∴b1-b2的取值范围是2ln203−，．【点睛】本小题主要考查函数与导数

的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：3cossin3sincosxy=+=−(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρsi

n()16+=.(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析:（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，

利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．试题解析：(Ⅰ)曲线，可得：曲线C的普通方程：x2＋y2＝4.直线l：ρsin＝1＝ρsinθ＋ρcosθ，

直线l的直角坐标方程：x＋y－2＝0.(Ⅱ)∵圆C的圆心(0，0)半径为2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与l2上，如图：直线l1与l2与l的距离为1.l1：x＋y＝0，l2：x＋y－4＝0.，可得两个交点(－，1)、(，－1)；解得(1，)，这三个点

的极坐标分别为：、、.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosx=及siny=直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,的形式，进行整体代换

.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23.已知函数()211fxxax=−+−．(1)当2a=时,()fxb有解,求实数b的取值范围；(2)若()2fxx−的解集包含1,

22,求实数a的取值范围．【答案】(1))1,+；(2))3,+.【解析】【分析】()1当2a=时,利用绝对值三角不等式求出()fx的最小值,由()fxb有解,可知()minbfx；()2由()2fxx−的解集包含1,22,化为133axx−−对1,22x

恒成立,再分112x和12x两种情况求出a的范围．【详解】解：()1当2a=时,()()()212121211fxxxxx=−+−−−−=，当且仅当()()21220xx−−,即112x

时取等号，()1minfx=,()fxb有解,只需()1minbfx=，b的取值范围是)1,+；()2当1,22x时,210x−,20x−,()2fxx−的解集包含1,22,133axx−−对1,22x恒成立,当112x

时,不等式化为()133axx−−,解得3a；当12x时,不等式化为()133axx−−,解得3a−；综上,a的取值范围是)3,+．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中

档题．