【文档说明】江苏省苏州市常熟市2020届高三下学期3月“线上教育”学习情况调查数学试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.823 MB，由小赞的店铺上传

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高三学生“线上教育”学习情况调查高中数学注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0．5毫米黑色签字笔书写

，作图可用2B铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．1.已知集合{|21,},{|10}AxxxZBxx=−=−，则AB=_______．【答案】1,0−【解析】【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得

到结论.【详解】解：{|21,}2,1,0,1AxxxZ=−=−−，又{|10}Bxx=−，则1,0AB=−.故答案为：1,0−.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，确定集合元素是解决本题的关键.2.某校高一、高二、高三学生数之比为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽取n位同

学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n=________．【答案】27【解析】【分析】根据比例关系列方程412234n=++，解出即可.【详解】解：由已知得412234n=++，解得：27n=.故答案为：27.【点睛】本题考查分层抽样的基本计算，是基础题.3.有4件产品，其中

1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是_______．【答案】12【解析】【分析】先列举选取两件的基本事件个数，再列举两件产品均为正品的基本事件数，最后用古典概型公式求解概率即可.【详解】解

：设1件是次品为A，正品为,,abc从4件产品中选取两件，有,,,,,AaAbAcabacbc共6个基本事件，检测的两件产品均为正品，有,,abacbc共3种基本事件，则两件产品均为正品的概率是3162=.故答案为：12.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，是基础题.4.若

执行下面的程序框图，则输出的k值是________．【答案】4【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变

化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得n＝3，k＝0不满足条件n为偶数，n＝10，k＝1不满足条件n＝8，执行循环体，满足条件n为偶数，n＝5，k＝2不满足条件n＝8，执行循环体，不满足条件n为偶数，n＝16，k＝3不满足条件n＝8，执行循环体，满足条件n为偶数，n＝8，

k＝4此时，满足条件n＝8，退出循环，输出k的值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n，k的值是解题的关键，属于基础题.5.复数20191izi+=（其中i是虚数单位）的虚部是___________．【答案】-1【解

析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：41i=，则201950443321111iiiziiiiii++++====−=−−，虚部为1−.故答案为：1−【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.6.已知0,2

，且52sin3cos1212−=+，则=________．【答案】512【解析】【分析】利用诱导公式化为同一个角的计算问题即可.【详解】解：由已知5552sin3cos3sin

1212212−=−+=−−，得5sin012−=，又0,2，550,1212−==.故答案为：512.【点睛】本题考查利用诱导公式化简和求值，是基础题.7

.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯

数为_____________【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=71(12)12a−−=381，解得a1=3．故

答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.8.双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线与抛物线22(0)ypxp=的两个交点(原点除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为

__________．【答案】5【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线与抛物线的一个交点,2pp，再利用交点在渐近线上可得2ba=，进而根据21cbeaa==+可得结果.【详解】解：对于抛物线22(0)y

pxp=，当2px=时，yp=则双曲线的渐近线与抛物线的一个交点为,2pp，则双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线的斜率22bppa==，则离心率21145cbeaa==+=+=.故答案为：5.【

点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要通过条件找到,,abc的关系式，是基础题.9.四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，2PA=，则四棱锥的侧面积是_________．【答案】442+【解析】【分析】首先证明CD⊥平面PAD，得到PCD

是直角三角形，进而四棱锥PABCD−每个侧面都是直角三角形，用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：如图：由已知PA⊥平面ABCD，又CD平面ABCD，则CDPA⊥，又CDAD⊥，且PAADA=，所以CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以CDPD⊥，即

PCD是直角三角形，同理PBC也是直角三角形，且PBC和PCD的面积相同，四棱锥的侧面积：221122222222244222PADPCDSSS=+=++=+.故答案为：442+.【点睛】本题考查四棱锥

侧面积的计算，关键是得到侧面都是直角三角形，是基础题.10.已知正项数列na的前n项和为nS，且12a=，()()*121nnnaaSnN+=+，则20192020aa+=_______．【答案】4041【解析】【分析】由()121nnnaaS+=+，可得2n时，()11

21nnnaaS−−+=，相减可得：+112+nnaa−=，利用等差数列的通项公式即可得出.【详解】解：∵()121nnnaaS+=+，∴2n时，()1121nnnaaS−−+=，相减可得：112,0nnnnnnaaaaaa+−−=.112nnaa+−−=，又12a=201920

1912(1)220202a+=+−=.由()121nnnaaS+=+，当1n=时，()()12112121aaSa=+=+，得23a=，202020203(1)220212a=+−=，则201920204041aa

+=.故答案为：4041.【点睛】本题考查了nS法求数列通向公式，考查了等差数列的通项公式，考查了学生计算能力，属于中档题.11.已知函数132,1()log,1xxfxxx=„，若1(())2ffx=，则x=___________．【答

案】3【解析】【分析】分类讨论，分别令122x=，13log12x=，求得x后，继续将x作为函数值求自变量.【详解】由题意，当1x„时，((])220,xfx=，当1x时，13()log0fxx=，又1(())2ffx=，则122x=，可得1x=−，再令13log1x

=−，得3x=，符合；故答案为：3.【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，考查分类讨论的思想，是基础题.12.若对于给定的正实数k，函数()kfxx=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是________

__．【答案】90,2【解析】【分析】根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即()fx的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利

用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.【详解】解：根据题意得：211123OC−=+=，设,kCxx，222||2kOCxkx=+，23k，即902k则k的范围为90,2

.故答案为：90,2.【点睛】此题考查圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3.13.已知平面四边形ABCD中，1,2,3,10ABCDD

AACBD====，则BC=________．【答案】4【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用AB，,BCCD和DA表示AC和BD，计算即可.【详解】解：平面四边形ABCD中，1,2,3,10ABCDDAACBD====则2()(

)ABACCBADDB=++ACADACDBCBADCBDB=+++()ACBDACADCBADCBDB=−+++ACBDABADCBDB=−++()()ACBDADDBADCBD

CCB=−++++22ACBDADDBADCBDCCB=−++++22()ACBDADDBACCDCBDCCB=−+++++22()ACBDADDBACDBCDCBDCCB=−+++++222()ACBDA

DCBDBCBCD=−+++−2222ACBDADCBCD=−++−即2222121032CB=−++−，解得216CB=，即4CB=；所以4BC=.故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是难题.14.设函

数1()ln()fxxaxaRx=−+的两个极值点分别为12,xx，若()()12212221fxfxeaxxe−−−−„恒成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】1aee+【解析】【分析】由函数1()ln()fxxaxaRx=−+有两个极值点分别为12,xx

，可知()fx不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得122212axxxx=+=+，作差()()12fxfx−，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数211()ln(1,)eFxxxxx

e−=−+，通过求导，判断单调性可得2xe，即可得到a的范围.【详解】解：∵函数1()ln()fxxaxaRx=−+有两个极值点分别为12,xx，()fx的定义域为(0,)+，22211()1axaxfxxxx−+=−−+=−，令2()1gxxax=−+，其判别式24a=−.

当22a−时，0,()0,()fxfx在(0,)+上单调递减，不合题意.当2a−时，0,()0gx=的两根都小于零，在(0,)+上，()0fx，则()fx在(0,)+上单调递减，不合题意.当2a时，，设()0gx=的两个根12,xx都大于零，

令22121244,,122aaaaxxxx−−+−===，当10xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，当2xx时，()0fx，故()fx分别在()()120,,,xx+上单调递减，在()1

2,xx上单调递增，∴a的取值范围是(2,)+.则122212axxxx=+=+，()()1211221211lnlnfxfxxaxxaxxx−=−+−−+()()21211212lnlnxxxxaxxxx−=

+−+−，()()12121212121212lnlnlnln112fxfxxxxxaaxxxxxxxx−−−=−−+=−+−−−.若()()12212221fxfxeaxxe−−−−恒成立，则1

2212lnln2221xxeaaxxe−−+−−−，12212lnln21xxexxe−−−，不妨设12xx，则()212121lnln2exxxxe−−−.又()212222111,2ln2exxxxxe−=−−，()2222211ln01exxxx

e−−+①恒成立.记22211111()ln(1),()1eeFxxxxFxxexex−−=−+=−−+，记222222121111114,422eeeexeeeex−−−−=−−=+−，()Fx在()21,x

上单调递增，在()2,x+上单调递减，且易知1201xxe.又(1)0,()0FFe==，∴当(1,)xe时，()0Fx；当[,)xe+时，()0Fx.故由①式可得，2xe，代入方程()222210gxxax

=−+=，得2211axexe=++，（221axx=+在2[,)ex+上递增）.又2a，∴a的取值范围是1aee+.故答案为：1aee+.【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数

的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直三棱柱111ABCABC−中，ABC为等腰直角三角形，90BAC=

，且1ABAA=，点,,DEF分别为11,,ABCCBC中点．（1）求证：//DF平面11ACCA；（2）求证：EF⊥平面1BAF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连结11,ABAC，推导出D是1AB中点，从而1//DFAC，由此能证

明//DF平面11ACCA；（2）推导出ABAC=，AFBC⊥，1BBAF⊥，从而AF⊥平面11BCCB，进而AFEF⊥，从而四边形11BCCB是矩形，推导出1~BBFFCE，从而1EFBF⊥，由此能证明EF⊥平面1BAF.【详解】（1）连11,ABAC,三棱柱111ABCABC−中，侧面

11ABBA是平行四边形，因平行四边形对角线互相平分，D是1AB中点，D∴是1AB中点，又F是BC中点，1//,DFACDF平面111,ACCAAC平面11ACCA，//DF平面11ACCA；（2）ABC为等腰直角三角形，90BAC=，ABAC

=，又F是BC中点，AFBC⊥,由直三棱柱111ABCABC−知1BB⊥平面ABC，AF平面ABC，1BBAF⊥，又11,,BCBBBBCBB=平面11BCCB，AF⊥平面11BCCB，又EF平面11BCCB

，AFEF⊥，又由ABC为等腰直角三角形，90BAC=，且1ABAA=,可知12BCBB=，又F是BC中点，E是1CC中点，易证1~BBFFCE,得11,BFBCEFBBFCFE==,又1190BBFBFBCEFCFE+=+=,119,0BFBCFE

EFBF+=⊥，又11,,AFBFFBFAF=平面1,BAFEF⊥平面1BAF.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.在ABC中，角A、B、C的对边分别

为,,abc，已知1c=，3C=．（1）若ABC的面积为34，求a，b；（2）若sin26sincosBAB=，求ABC的面积．【答案】（1）1ab==；（2）36或3328【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求1ab=，利用余

弦定理可得2ab+=，联立方程即可得解a，b的值.（2）由已知可求得cos0B=，或sin3sinBA=，分类讨论，当cos0B=时，可得2B=，求得a，利用三角形的面积公式即可求解；当sin3sinBA=时，由正弦

定理可得3ba=，进而根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）1133sin2224ABCSabCab===，1ab=，∵由22222cos()31cababCabab=+−=+−=，2

ab+=，∴解得1ab==；（2）sin26sincosBAB=，即2sincos6sincosBBAB=，2cos(sin3sin)0BBA−=，可得cos0B=，或sin3sinBA=，当cos0B=时，由于(0,)B，可得2B=，又1,3cC==.可得33a=，113

3sin112236ABCacBS===；当sin3sinBA=时，由正弦定理可得3ba=，又22222cos71cababCa=+−==，可得737,77ab==，11737333sin2277228ABCSabC===.∴三角形的

面积为36或3328.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.17.江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形

湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线12,ll，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道,其路线为ABC−−(如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，1,30OAlOA⊥=米．设CBP

=，满足02．（1）试将木栈道ABC−−的总长表示成关于的函数()L，并指出其定义域；（2）求木栈道ABC−−总长的最短长度．【答案】（1）9030cossinL−=，定义域为0,2，其中02cos3=；（2）602【解析】【分析】（

1）试将木栈道ABC−−的总长表示成关于的函数()L，由0AB且0BC求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道ABC−−总长的最短长度.【详解】解：（1）过Q分别向AO和1l作垂线，垂足为,HM，由题意可得，,20sin,20cosQOH

QHHO===，则3020cosAHMQ==−.在直角三角形BMQ中，3020costantanQMBM−==.3020cos2030cos20sintansinABAMBMQHBM−−=−=−=−=.又7

0702030cos9030cos,0sinsinsinsin2BCLBCAB−−==+=+=，0AB且2cos0,3sin0BC，令02cos3=，则0,2

.∴定义域为0,2，02cos3=；（2）由9030cos()sinL−=，得0213cos()30,,sin2L−=.令()0L=，得1cos3=，1233，∴当1cos3=时，

min9010[()]602119L−==−.故木栈道ABC−−总长的最短长度为602米.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件，利用导数求函数的最值是解决本题的关键，是中档题.18.已知椭圆2222:1(0

)xyCabab+=上一点31,2与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，过椭圆C上一点P的直线:lykxm=+与椭圆22:11612xyE+=交于,AB两点（,AB均不在坐标轴上），设O为坐标原点，过O的射线OP

与椭圆E交于点Q．（1）若||||OQOP=，求实数的值；（2）当P为31,2时，若四边形OAQB的面积为12，试求直线l的方程．【答案】（1）2=；（2）122yx=−+【解析】【分析】（1）由题意可知1c=且

232ba=，从而求出椭圆C的方程，再把点,PQ再把代入椭圆方程，即可求出的值；（2）设()()1122,,,AxyBxy，由直线过点31,2知32km+=①，分别联立直线l与椭圆E和椭圆C的方程，利用韦达定理得到所以22243161

221234AQBAOBkmSSmk+−===+，化简得2243km+=②，由①②即可解得k和m的值，从而求出直线l的方程.【详解】解：（1）椭圆C的右焦点坐标为（1，0），且232ba=，又221,0abab−=，解得：224,

3ab==，所以椭圆C的方程为：22143xy+=，设()00,Pxy，则()00,Qxy，由220022220014311612xyxy+=+=得：214=，又0，故2=；（2）设(

)()1122,,,AxyBxy，由直线过点31,2知32km+=①，由2211612ykxmxy=++=得，()2223484480kxkmxm+++−=，有()()()222221(8)4344484121612

0kmkmkm=−+−=+−，且21212228448,3434kmmxxxxkk−−+==++，由22143ykxmxy=++=得，()2223484120kxkmxm+++−=，因为()()()222222(8)43441248430kmkmkm=−+=+

−−，所以2243km+，所以221224316122||||1234AQBAOBkmSmxxmkS+−==−==+，化简得()()2222224343kmk+−=+，得2243km+=②，由①②解得：1,22km=−

=，所以直线l的方程为：122yx=−+.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的综合，考查了韦达定理的应用及面积的计算，考查了学生计算能力与分析能力，是一道中档题.19.构造数组，规则如下：第一组是两个1，即(1,1)，第二组是(1,2,1)a，第三组是(1,(12),2,(21),

1),aaaaa++，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中(0,1)a．设第n组中有na个数，且这na个数的和为()*nSnN．（1）直接写出1na+与na的关系式，并求na和nS；

（2）已知12a=，11,21,11,2,1nnnnkkNabnkkNS+−=−−==−，nT是数列nb的前n项和，nH是数列nT的前n项和．若对任意*nN，2162|44nkkHxx−−−，求所有满足条件的正整数k的值．【答案

】（1）121nnaa+=−，112nna−=+，11(21)nnSa−=++；（2）1,2,3k=【解析】【分析】（1）112,21nnaaa+==−，化为：()1121nnaa+−=−，数列1na−为等比数列，可得：1,2naS=

，()121nnnSSSa+=+−，可得：()()111211,11nnSSaS+−=+−−=，利用通项公式可得nS；（2）11,21,21,2,2nnnnkkNbnkkN−−=−==，可得1,21,20,2,nnnkkNTnkkN−=−==

，可得2112232121..134nnnnTTHTT−−−=++++=−−，可得212132nH−−−，根据对任意2162,|44nkknNHxx−−−，

即可得出.【详解】解：（1）112,21nnaaa+==−，化为：()1121nnaa+−=−，∴数列1na−为等比数列，可得112nna−−=，可得：112nna−=+，12S=，()121nnnSSSa+=+−可得：()()111211,11nnSSa

S+−=+−−=.11(21)nnSa−−=+，解得：11(21)nnSa−=++.（2）11,21,21,2,2nnnnkkNbnkkN−−=−==，1,21,20,2,nnnkkNTnkkN−=−

==.21122321..nnnTTTTH−−−=++++3211111112124112223414nnn−−=−−−−=−=−−−.212132nH−−−.∵对任意2162,|44nkknNxxH−−−，

6221,4342kk−−−−，解得1003k.∴正整数1,2,3k=.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20.已知函数31(),()3xfxxaxgxe=−+=．（1）设()

()()fxFxgx=,①当1a=−时，求曲线()yFx=在点(1,(1))F处的切线方程；②当0a时，求证：2()Fxe−对任意(0,)x+恒成立．（2）讨论()()()Gxfxgx=的极值点个数．【答案

】（1）①2ye=−；②证明见解析；（2）当0a时，()fx有且仅有一个极值点；当0a时，()fx有三个极值点【解析】【分析】（1）①将1a=−代入，求出切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；②只需证0a时，()()2xxhxeea

e=+−对任意0x都成立，利用导数求其最值即可得证；（2）()Gx只有一个极值点或三个极值点，令()3213xxxaxa=−−++，当()Gx只有一个极值点时，()x的图象必穿过x轴且只穿过一次，即()x为单调减函数或者()x极值同号，分类讨论即

可得解，同理可求当()Gx有三个极值点时的情况.【详解】解：（1）()()22'2,xxaxxxaFxFxee−−−==，①当1a=−时，2''212(),(1)0,(1)xxxFxFFee−+===−，∴切线方程为2ye=

−；②证明：要证对任意0x，()2120xxeaxee+−+，只需证0a时，()2()20xhxeeax=+−对任意0x都成立，()22,()22xxhxeexhxee=−=−，令()0hx

=得1x=，且(0,1)x时，()0,()nhxhx单减，(1,)x+时，()0,()hxhx单增，()(1)0hxh=，()hx在(0,)+上单增，()(0)20hxhae=+，∴当0a时，

2()Fxe−对任意(0,)x+恒成立.（2）31()3xGxxaxe=−+，，则321()3xGxexxaxa=−−++()Gx只有一个极值点或三个极值点，令321()3xxxaxa=−−+

+，当()Gx只有一个极值点时，()x的图象必穿过x轴且只穿过一次，即()x为单调减函数或者()x极值同号，（i）()x为单调减函数时，2()20xxxa=−−+在R上恒成立，则440a=+，解得1a−；（ii）()x

极值同号时，设12,xx为极值点，则()()2120,()20xxxxxa=−−+=有解，则1a−，且2211221220,20,2xxaxxaxx−−+=−−+=+=−，12xxa=−，()()()()3211111111111222

(1)333xxxaxaxaxaxaxaaxa=−−++=−−−−++=++，同理()()222(1)3xaxa=++，()()()()121222(1)(1)033xxaxaaxa=++++，化简得()221212(1)(1)0axx

aaxxa+++++，22(1)()(1)(2)0aaaaa+−++−+，解得10a−，∴当0a时，()Gx只有一个极值点；当()Gx有三个极值点时，()()120xx，同理可得0a，综上，当0a时，()fx有且仅有一个极值点；当0a时，(

)fx有三个极值点.【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点的切线方程，不等式的恒成立问题，函数的极值等知识点，考查分类讨论思想，属于较难题目.