【文档说明】海南省北师大万宁附属中学2021届高三下学期5月底模拟考试数学试题 版含答案.docx，共(10)页，767.426 KB，由小赞的店铺上传

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1北师大万宁附中2021年高考5月底模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合240,AxxxN=−，则集合A的子集的个数是（）A．2B．3C．4D．52．若()122zii+=−，则z

=（）A．1B．-1C．iD．i−3．若5axx+的展开式中x的系数为15，则a=（）A．2B．3C．4D．54．已知直线1l：()21230xaya+−+−=，2l：2340axya++

+=，则“12//ll”是“32a=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点()2,3−，则3sin22+=（）A．613B．613−C．5

13D．513−6．已知0.3x=，log3y=，cos3z=，则（）A．zyxB．yzxC．zxyD．xzy7．我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个1

c键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：c,#c,d,e,f,#f,g,#g,1a,#a,1b,1c）的音频恰成一个公比为122的等比数列的原理，也即高音1c的频率正好是中音c的2倍．已知标准音1a的频率为440Hz，那么频率为2202Hz的音名是（）2A．dB．fC．eD．#d8．已知的

图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，()()2fxfx+=−恒成立，当10x−时，()2xfx=，则()2021f=（）A．-1B．12−C．12D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（）A．甲、乙两组成绩的平均分相等B．甲、乙两组成绩

的中位数相等C．甲、乙两组成绩的极差相等D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差10．已知，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若//m，//，则//mB．若m⊥，n⊥，⊥，则mn⊥C．

若m⊥，n⊥，//mn，则//D．若mn⊥，n⊥，//m，则⊥11．函数()π2cos216fxx=−+()xR，则下列说法正确的是（）A．若()()123fxfx==，则12πxxk−=()kZB．函

数()fx在ππ,63−上为增函数C．函数()fx的图象关于点π,13对称3D．函数()fx的图象可以由()π2sin213gxx=−+()xR的图象向左平移π12个单位长度得到12．已知函数()2lnfxxaxx=

−−()aR，则下列说法正确的是（）A．若1a=−，则()fx在区间10,2上单调递减B．若1a=，则()0fxC．若01a，则()fx有两个零点D．若1a，则曲线()yfx=上存在在相异两点M，N处的切线平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向

量()2,3ax=−，()4,3bx=−，若//ab且方向相反，则x=______．14．抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则()PAB=___

___．15．已知抛物线C：24xy=−的焦点为F，抛物线C上一点A满足3AF=，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为______．16．在上、下底面均为正方形的四棱台1111ABCDABCD−中，已知11112AABBCCDD====，2AB=，1

11AB=，则该四棱台的表面积为______；该四棱台外接球的体积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①152ABAC=；②3sinc

osacCCb++=；③面积733S=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．问题：在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，6a=，43sinbB=，且______，求ABC△的周长．注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分．418．（12分）已知数列na满足()112323122nnaaanan+++++=−+．（1）求数列na的通项公式;（2）求数列2221loglognnaa+的前n项和nT．19．（12分）2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到

初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量iy（单位：十万支，1,2,,9i=）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：yz91iiity=

91iiitz=2.7219139.091095注：图中日期代码1～9分别对应这连续9天的时间；表中iyize=，1,2,,9i=，9119iizz==．（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；（2）由散点图分析

，样本点都集中在曲线()lnybta=+的附近，求y关于t的方程()lnybta=+，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．参考公式：回归方程ˆˆˆybxa=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：()()(

)1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆaybx=−．参考数据：454.6e20．（12分）如图，长方体1111ABCDABCD−被经过1BD的动平面所截，分别与棱1CC，1AA交于点M，N，得到5

截面1BMDN，已知1ABBC==，13DD=．（1）求证：MNBD⊥；（2）若直线AB与截面1BMDN所成角的正弦值为24，求AN的长．21．（12分）已知双曲线E：22221xyab−=（0a，0b）的两条渐近线所成的锐角为60°，且点()2,3P为

E上一点．（1）求E的标准方程；（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线l与E恰有一个公共点，且直线l分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：AOB△面积为定值．22．（12分）（1）已知函数()()()2212xafxxex=

−−−，讨论()fx的单调性；（2）已知函数()gx的图象与函数()xfxxe−=的图象关于直线1x=对称，证明：当1x时，()()fxgx．数学参考答案一、选择题123456789101112CCBCCADBBCD

BCACAB二、填空题13．-114．4515．2516．537+；82316．在等腰梯形11DCCD中，过1C作1CHDC⊥，垂足为H，6易求12CH=，172CH=．则四棱台的表面积为()127144=53722SSSS+=++=+++侧上底下底．设

ACBDO=，11111ACBDO=．由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥（如图），因为2AB=，111AB=，可知11SAB△与SAB△相似比为1:2；则1222SAAA==，2AO=，则6SO=，则162OO=，即该四棱台的高为62．由于上、下底面都是

正方形﹐则外接球的球心在1OO上，在平面11BBOO上．由于162OO=，1122BO=，则12OBOB==，即点О到点B与到点1B的距离相等，同理О到A，1A，C，1C，D，1D的距离均为2，于是О为外接球的球心，且外接球的半径2r=，故该四棱台外接球的体积为823．三、解答题17．解：43s

insinabAB==，代入6a=，得3sin2A=，又A为锐角，故3A=．若选①，15cos2ABACbcA==，由1cos2A=，得15bc=．又2222cosabcbcA=+−，即2236bcbc+−=，()2336

bcbc+−=，得9bc+=．∴ABC△周长为15abc++=．7若选②，sinsin3sincossinacACCCbB+++==，即()3sinsincossinsinsinCBCBBCC+=++．化简得3sincos1BB=+，即()2sin16B−=，解得66B−=或56（舍）

．故3B=，此时ABC△为等边三角形，周长为318a=．若选③，731sin23SbcA==，得283bc=．又2222cosabcbcA=+−，即2236bcbc+−=，()2336bcbc+−=，得8bc+=．∴ABC△周长为14abc++=．1

8．解：（1）由题意：()112323122nnaaanan+++++=−+，①当2n时，()()1231231222nnaaanan−++++−=−+，②①－②得()()11222nnnnann+=−−−，即2nna=,当1

n=时，12a=满足上式，所以2nna=．（2）因为22loglog2nnan==，所以()22211111loglog222nnaannnn+==−++，所以11111111111232435112nTnnnn=−+−+−++−+−

−++()()1111323122124212nnnnn+=+−−=−++++．19．解：（1）记所求事件为A，9天中日产量不高于三十万支的有5天．21543910()21CCPAC==．（2）∵()lnybta=+，∴yzebta==+，5t=，921285iit==

．8∴()()()9911992222119109595194285959iiiiiiiiiittzztztzbtttt====−−−−====−−−．∴19451azbt=−=−=−，∴()ln41yt=−．令()ln414t−，解得4113.94et+．∴1

4t，即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支．20．解：（1）以D为原点，分别以DA，DC，1DD，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,0,3D．

设()()1,0,0,3Ntt，()()0,1,0,3Mhh则()1,1,MNth=−−，而()1,1,0DB=，所以0MNDB=，所以MNBD⊥．（由向量相等1BNMD=可得3th+=）（2）因为()0,1

,0AB=，()0,1,BNt=−，()11,1,3BD=−−，设平面1BMDN的法向量为(),,nxyz=，则1030BNnyztBDnxyz=−+==−−+=，令1z=，则()3,,1ntt=−，设直线AB与截面1BMDN所成角

为，所以()222sincos,431tABntt===−++，解得33t=，所以33AN=．921解：（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为30°或60°，即33ba=或3．当33ba=时，E的标准方程为222231yxaa−=，代入()2,3，无解．当3ba=时，

E的标准方程为222213yxaa−=，代入()2,3，解得21a=．故E的标准方程为2213yx−=．（2）直线斜率显然存在，设直线方程为ykxt=+，与2213yx−=联立得：()2223230kxktxt−+++=．由题意，3k且()()222244330ktkt=−−+=，化

简得：2230tk−+=．设()11,Axy，()22,Bxy，将ykxt=+与3yx=联立，解得13txk=−；与3yx=−联立，解得23txk−=+．212122311sin22sin1203223AOBtSOAOBAOBxxxxk==

==−△．由2230tk−+=，∴3AOBS=△，故AOB△面积为定值3．22．解：（1）解：()()()()()111xxfxxeaxxea=−−−=−−．设0a，则当(),1x−时，()0

fx；当()1,x+时，()0fx．所以在(),1−单调递减，在()1,+单调递增．设0a，由()0fx=得1x=或lnxa=．①若ae=，则()()()1xfxxee=−−，所以()fx在(),−+单调递增．②若0ae，则ln1a，故当

()(),ln1,xa−+时，()0fx；当()ln,1xa时，()0fx，所以()fx在(),lna−，()1,+单调递增，在()ln,1a单调递减．③若ae，则ln1a，故当()(

),1ln,xa−+时，()0fx；当()1,lnxa时，()0fx，所以()fx在(),1−，()ln,a+单调递增，在()1,lna单调递减．（2）证明：由题意可知函数()yfx=的图象与函数()2yfx=−的图象关于直线1x=对称，10则()()2gx

fx=−,于是得()()22xgxxe−=−，令()()()hxfxgx=−，即()()22xxhxxexe−−=+−，于是()()()2211xxhxxee−−=−−．当1x时，220x−,从而221

0xe−−，有0xe−，()0hx，从而函数()hx在)1,+单调递增，又()10h=，所以1x时，()()10hxh=，即()()fxgx．