【文档说明】浙江省七彩阳光联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx,共(19)页,1.204 MB,由小赞的店铺上传
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2021学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知:1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无
效.4.考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数23iz=−的虚部为()A.3B.3−C.3iD.i3−【答案】B【解析】【分析】直接求出虚部即
可.【详解】虚部为3−.故选:B.2.化简AMMBAC+−等于()A.CBB.BCC.CMD.MC【答案】A【解析】【分析】根据向量运算,直接求解即可.【详解】因为AMMBAC+−ABACABCACB=−=+=.故选:A.3.斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测
画法和直观图的说法正确的是()A.矩形的直观图一定是矩形B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形C.平行四边形的直观图一定是平行四边形D.菱形的直观图一定是菱形的【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规
则可判断各个选项.【详解】对A,矩形的直观图可以是平行四边形,故A错误;对B,等腰三角形的直观图的两腰不相等,不一定为等腰三角形,故B错误;对C,根据斜二测画法的规则线段的平行性不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故C正确;对D,菱形的直观图中,一组对边长度
可以改变,所以直观图不一定是菱形,故D错误.故选:C.4.正六边形ABCDEF中,若ABa=,AFb=,M为CD的中点,则AM=()A.3423ab+B.3523ab+C.423ab+D.322ab+【答案】D【
解析】【分析】作AHBC⊥,根据角度关系可证得12BHBC=,利用向量线性运算可表示出,,AHHCCM,由AMAHHCCM=++可求得结果.【详解】作AHBC⊥,垂足为H,连接HM,BF,如图所示,六边形ABCDEF为正六边形,120ABC=
,60ABH=,1122BHABBC==,FBABAFab=−=−,111222AHFBab==−,11112222HBABAHaabab=−=−−=+,33322HCHBab==+;又A
FCD=,1122CMAFb==,1133132222222AMAHHMAHHCCMababbab=+=++=−+++=+.故选:D.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2,,64aAC===,则b=()A.62−B.62+C.6
3−D.63+【答案】B【解析】【分析】先由sinsin()BAC=+求出sinB,再结合正弦定理求出b即可.【详解】由ABC++=可得62sinsin()sincossincos4BACACCA+=+=+=,由正弦定理可得sinsinbaBA=,即216224
b=+,解得62b=+.故选:B.6.已知向量a,b满足1,2ab==,a与b的夹角为4,则ab+rr在b上的投影向量为()A.24bB.22bC.424+bD.422+b【答案】C【解析】【分析】利用投影向
量的定义求解.【详解】解:因为1,2ab==,a与b的夹角为4,所以()242abbabb+=+=+rrrrrr,所以ab+rr在b上的投影向量424b+r,故选:C7.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立
的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据杭州的地理位置设计的表的示意图,已知杭州冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为36.5,夏
至正午太阳高度角(即∠ADC)为83.5,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为()A.sin732sin47aB.2sin47sin73aC.sin36.5sin83.5sin47aD.tan36.5tan83.5tan47a【答案】C【解析】【分析】先
由正弦定理求出AD,再通过sinACADADC=求出AC即可.【详解】在ABD△中,47BADADCABC=−=,由正弦定理知sinsinADBDABCBAD=,所以sinsinABCADBDBAD=,所以sin36.5sin83.5sinsin47aACADADC=
=.故选:C.8.正方形ABCD的边长为2,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面内一点,且满足()21OPOBOC=+−,则PM·PNuuur的最小值为()A.14−B.94−C.2−D.74−【答案】D【解析】【分析】设2OPOQ=
,由()21OPOBOC=+−得到Q为直线OP与BC的交点,再由极化恒等式PM·PNuuur221()()4PMPNPMPN=+−−222214PONOQONO=−=−,由1,2QONO
即可求解.【详解】设2OPOQ=,可得()1OQOBOC=+−,故,,CBQ三点共线,又,,OPQ三点共线,故Q为直线OP与BC的交点.PM·PNuuur221()()4PMPNPMPN=+−−,又2,2PMPNPOPMPNNMNO+=−==
,可得PM·PNuuur222214PONOQONO=−=−,又1,2QONO,所以PM·PNuuur()22211712444QONO=−−=−故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是()A.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面B.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的C.正棱锥的底面边长和侧棱长相等D.棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】BD【解析】【分析】由柱、锥、台的定
义依次判断即可.【详解】A选项:底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面,错误;B选项:由圆柱的定义知,任意两条母线所在直线互相平行,正确;C选项:正棱锥的底面边长都相等,但底面边长和侧棱长不一定相等,错误;.D选项
:由棱台的定义知,棱台的侧棱延长后必交于一点,正确.故选:BD.10.已知正三棱锥的侧棱长为43,底面边长为6,则()A.正三棱锥的表面积为932713+B.正三棱锥的高为6C.正三棱锥的体积为183D.正三棱锥的外接球的表面积为64π【答案】BCD【解析】【分析】先求出
侧面三角形的高,再按照表面积公式计算即可判断A选项;由侧面三角形的高,结合勾股定理求出正三棱锥的高即可判断B选项;利用体积公式即可判断C选项;找出球心,勾股定理求出半径即可判断D选项.【详解】如图,在正三棱锥PABC−中,过P作PDAB⊥交AB于D,过P作PO⊥面ABC
,H为外接球球心,易知H在PO上,连接CH.对于A,()2243339PD=−=,故正三棱锥的表面积为11336396693993222+=+,A错误;对于B,226333CD=−=,133DOCD==,故3936PO=−=,B正确;对于C,正
三棱锥的体积为113666183322=,C正确;对于D,设外接球半径为R,2233COCD==,由222CHCOOH=+可得()()222236RR=+−,解得4R=,故外接球表面积为2464R=,D正确.故选:BCD.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分
别为a,b,c,已知23aA==,,则下列结论正确的是()A.△ABC的外接圆的直径为433B.2cb+的最大值为4213C.若233b=,则△ABC为锐角三角形D.若cosbcA=,则△ABC面积为233【答案】ABD【解析】【
分析】根据正弦定理,余弦定理,以及三角形的面积公式,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.【详解】对A:因为23aA==,,故可得△ABC外接圆直径2432sin3sin3aRA===,故正确;对B:2cb+()43243532sin2sinsin2sinsincos33322RCBBBBB
=+=−+=+()4213sin,tan,,3522B=+=−,又20,3B,故当2B+=时,2cb+取得最大值4213,故正确;对C:若2
33b=,由余弦定理可得:22224413cos22433cbcaAbcc+−+−===,解得433c=,则2224164033bac+−=+−=,则△ABC为直角三角形,故错误;对D:若1cos2bcAc==,又由余弦定理可得2222214cos222bcabcAbcbc+−
+−===,的的即224bcbc=+−,联立12bc=可得:2343,33bc==,故△ABC的面积113234323sin222333SAbc===,故正确.故选:ABD.12.已知a,b是平面内的两个单位向量,且1cos,2ab=,则1|()||()|()2atabta
btR−+++的值可能为()A.12B.22C.32D.1【答案】CD【解析】【分析】设OAaOBb==,,()tabOC+=可得12CDOC=,()atabCA−+=,将1|()||()|2atabtab−+++转化为||CACD+,结合图形即可求出最小值,进而求解.【详解】如图,设OA
aOBb==,,则abOP+=,设()tabOC+=,易知C在直线OP上,由1cos,2ab=可得60AOB=,30COB=,1sin302CDOCOC==,又()atabOAOCCA−+=−=,则11|()||()|||||22ata
btabCAOCCACD−+++=+=+,过A作AQOB⊥,易知3sin602AQOA==,又3||2CACDAQ+=,故13|()||()|22atabtab−+++,结合选项,可能取值为32或1.故选:CD.非选择题部分三、填空题:本题共4小题,
每小题5分,共20分.13.一个圆锥的高为1,母线长为2,则该圆锥的侧面面积为_______.【答案】23【解析】【分析】根据题意求得圆锥底面圆半径,再根据侧面面积求解公式,即可求得结果.【详解】设圆锥的底面圆半径为r,则22213r=−=,故其侧面面积3223Srl
===.故答案为:23.14.已知复数32iz=−(为虚数单位)是关于x的方程20xpxq++=(其中,pqR)的一个根,则pq+=___________.【答案】7【解析】【分析】直接把32i−代入20xpxq++=,化简整理得53(122)i0pqp++−+=,可得530
1220pqp++=+=,解方程即可求出pq+.【详解】由题意知:()()232i32i0pq−+−+=,即2912i4i32i0ppq−++−+=,整理得53(122)i0pqp++−+=,故5301220pqp++=+=,解得6
13pq=−=,故7pq+=.故答案为:7.15.已知向量a,b满足13323ababab+=−=−=,,,则b=_______.【答案】233【解析】【分析】由13323ababab+=−=−=,,平方得到关于22,,abab的三元一次方程组,解方程即可求出b.【详解】由13
323ababab+=−=−=,,,可得()()()2222222222136992443abaabbabaabbabaabb+=++=−=−+=−=−+=,解得243b=,故233b=.故答案为:233.16.在△ABC中,3AB=,2AC=,D,E,F分别是边AB,AC,B
C上的点,且12ADDBAEECBFBC===,,,(∈R)连结DE,取DE上一点G,使得2DGGE=,若GF与∠BAC的平分线平行,则λ的值为___________.【答案】23【解析】【分析】用向量,ABAC表达∠BAC的平分线,以及GF,结合向量共线即可求得参数值.【
详解】设点P为∠BAC的平分线上的任意一点,故可得32ABACkkAPkABACABAC=+=+,kR;又()()22223333GFGDDBBFEDABBCADAEABACAB=++=++=−+
+−()211281332393ABACABACABABAC=−++−=−+−,因为GF与∠BAC的平分线平行,故存在实数mR,使得GFmAP=,即819332k
kABACmABAC−+−=+,故可得81,9332kmkm−=−=,联立可得:23=.故答案为:23.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知复数1
2i22izzm=−=+,(i为虚数单位,mR),且1z·2z为纯虚数.(1)求12zz+;(2)设复数1z,2z对应的点分别为A,B,若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的原点),求点C对应的复数3z.【答案】(1)10;(2)313iz=−+【解析】【分析】(1)先由1z·2
z为纯虚数求出m,再计算12zz+,求模即可;(2)先由四边形OABC为平行四边形求出C的坐标,即可求出3z.【小问1详解】由题意知:()()()112iii224i222zzzmmm=−+=+=+++,,又1z·2z为纯虚数,
故220m−=,解得1m=.则123izz=++,22123110zz+=+=;【小问2详解】易知(2,1),(1,2)AB−,设(,)Cxy,由四边形OABC为平行四边形可得()2112xy+=+−=,解得13xy
=−=,即()1,3C−,故313iz=−+.18.已知向量a,b满足123ab==(,),(1)若//ab,求向量b的坐标;(2)若()aba+⊥,求向量a与向量b夹角的余弦值.【答案】(1)3565,
55或3565,55−−;(2)53−【解析】【分析】(1)设(,)bxy=r,由3b=以及//ab建立方程组,解方程即可;(2)先由()aba+⊥求出ab,再按照向量夹角公式求解即可.【小问1详解】设
(,)bxy=r,则2232xyyx+==,解得355655xy==或355655xy=−=−,故b=3565,55或3565,55−−;【小问2详解】易知22125a=+=r,由()aba+⊥可得()0aba+=,即25a
ba=−=−,故55cos,353ababab−===−.19.如图,在直三棱柱ABC—111ABC中,底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形,且腰长为2,D为BC的中点,三棱柱体积42V=(1)求三棱柱的外接球的表面积和体积;(2)求三棱锥1
1BADC−的体积.【答案】(1)表面积16,体积323;(2)423【解析】【分析】(1)先由三棱柱体积求出1BB,再找出球心,勾股定理求出半径,即可求出外接球的表面积和体积;(2)先证得AB⊥面11BCCB,再利用1111BBA
DCADCVV−−=结合棱锥体积公式即可求解.【小问1详解】易知12222ABCS==,三棱柱体积11242ABCVSBBBB===,解得122BB=.取AC中点O,取11AC中点1O,连接1O
O交1AC于H,易知O为ABC的外心,1O为111ABC△的外心,H即为外接球的球心,222222AC=+=,故外接球半径为()()2212222222AC+==,故外接球表面积为24216=,体积为3432233=.【小问2详解】易知1BBAB⊥,又ABBC⊥,1BBB
CB=,所以AB⊥面11BCCB,故1111111114222223323ADCADCDCBBBVVSAB−−====.20.锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,,abc,满足()()()sinsinsinsinsinsinsinACACBAB−+=−
(1)求角C;(2)求222sinsinsin222ABC++的取值范围.【答案】(1)3(2)353,44−【解析】【分析】(1)先由正弦定理得222acabb−=−,再结合余弦定理即可求得角C;(2)先通过降幂公式得31(coscosc
os)22ABC−++,再由2,33CBA==−结合辅助角公式得到51sin426A−+,由锐角三角形求得角A的范围,即可求解.【小问1详解】由()()()sinsinsinsinsinsinsi
nACACBAB−+=−,结合正弦定理可得222acabb−=−,即222abcab+−=,所以2221cos22abcCab+−==,又()0,C,故3C=;【小问2详解】2221cos1cos1cos
31sinsinsin(coscoscos)22222222ABCABCABC−−−++=++=−++31151(coscos)(coscos)22242ABAB=−++=−+512511351coscos()coscossinsin4234222426AAAAAA=−
+−=−−+=−+,因为锐角三角形,故020223ABAB+=,解得62A,则2363A+,3sin126A+,故,531sin4653442A
−+−,即222sinsinsin222ABC++的取值范围为353,44−.21.舟山渔场是中国最大的渔场,自古以来因渔业资源丰富而闻名,地处东海,是浙江省、江苏省、福建省和上海市
三省一市渔民的传统作业区域,渔场的中心基地位于嵊山.现嵊山基地正东40海里处一渔船遇险需救援,在基地东偏南30且距离为203海里处的渔船甲,和在甲正北方向且距离为163海里处的渔船乙,同时收到了求救信号,甲、乙两船分别以18海
里每小时,12海里每小时的航速前往营救,请问谁第一时间到达营救地点,并以怎样的方向前往?(参考数据:31.732133.6,)【答案】甲第一时间到达,往北偏东30方向航行【解析】【分析】构建几何图形,通过余弦定理求出A
B,得到OAB90=o,再求出,BECE,勾股定理求得BC,比较甲、乙的时间即可求解.【详解】如图构建几何图形,由题意知:30AOB=,40,203,163OBOAAC===,则()2222232cos30203402203404002ABOAOBOAOB=+−=+−=,则
20AB=,222OBOAAB=+,故OAB90=o,又sin30103AEOA==,可得30BAE=o,tan3010,63BEAECEACAE===−=,则()226310413BC=+=,故甲到达所用时间为10189AB=小时,乙到达所用时间为1312
3BC=小时,又10131.293,30BAE=o,故甲第一时间到达,且往北偏东30方向航行.22.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知()()32,,cos,cos,0bmacbnBAmn==+==,(1)求角B大小;(2)设ABC的重心为G,过点G
的直线分别交线段AB,BC于点E,F,当ABC面积取最大值时,求BGEF的取值范围.【答案】(1)23B=(2)11,44−.【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列方程,再由边角互化求角B,(2)根据余弦定理和三角形的面积公式确定当ABC面积最大值时三角形
的边角,再由向量的线性运算和数量积运算公式求BGEF的取值范围.【小问1详解】因为()()2,,cos,cos,0macbnBAmn=+==,所以()2cos+cos0acBbA+=,sincos+2sincos+sincos0ABCBBA=,()sin++2sincos0ABCB=,sin+
2sincos0CCB=,又(0,)C,sin0C,1cos=2B−,又(0,)B,所以23B=,的【小问2详解】由(1)可得1cos=2B−,所以222acbac+−=−,又3b=,所以229acac++=,由基本不等式可得222acac+
,所以3ac,当且仅当3ac==时等号成立,又ABC面积1sin2SacB=,所以当3ac==时ABC面积取最大值,设BExBA=,=BFyBC,01,01xy延长BG交AC与点D,因为ABC的重心为G,所以D为AC的中点,所以()2211133233BGBDBABCBA
BC==+=+,所以1133BGBEBFxy=+,又,,EGF三点共线,所以11=133xy+,即11=3xy+,因为01,01xy,所以111,122xy,()()()()11=++33BGEFBABCBFB
EBCBAyBCxBA−=−,又23,3,3BABCABC===所以133322BABC=−=−,所以2211111=+()=()=()33322BGEFyBCyxBCBAxBAyyxxyx−−−−−−,所以211
132=()=()2231231yyyBGEFyxyyy−−−=−−,令31yt−=,122t则2113211133=()26ttBGEFttt++−=−,函数11()6ytt=−在1,22上为增函数,所以1144y−,所以BGEF的取值范围为
11,44−.